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第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等；②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=∙⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即B A U U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ， ∴ 腔内表面必有感应电荷-q 。
第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时，称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成： ①⇒导体内各点电势相等； ②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=•内S Sq s d E 01ε 导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=•⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布（1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=•内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴ 空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即BAU U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=•内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ，∴ 腔内表面必有感应电荷-q ，。
静电场中的导体和电介质静电平衡时导体是个等势体，导体表面是等势面，大前提是整个导体都是一样的，不要因为单独说导体表面是个等势面就误以为导体表面和内部不是等势的。
（证明省略）由此公式得出：导体表面电荷密度大的地方场强大，面电荷密度小的地方场强小。
导体表面电荷分布规律①与导体形状有关②与附近有什么样的带电体有关。
定性分析来说，孤立导体面电荷密度与表面的曲率有关，但是并不是单一的函数关系。
拓展知识（尖端放电的原理以及应用；避雷针的原理）这是一个从带电体上吸取全部电荷的有效方法。
测量电量时，要在静电计上安装法拉第圆筒，并将带电体接触圆筒的内表面，就是为了吸取带电体的全部电量，使测量更准确。
库仑平方反比定律推出高斯定理，高斯定理推出静电平衡时电荷只能分布导体外表面。
所以可以由实验精确测定导体内部没有电荷，就证明了高斯定理的正确，进而就证明了库仑平方反比定律的正确。
所以说这是精确的，因为通过实验测定数据是一定会存在误差的，而通过实验测定导体内部没有电荷是不会存在误差的，所以是很精确的。
以上是库仑平方反比定律验证的发展历史。
见图2-1，导体壳内部没有电荷时，导体的电荷只是分布在外表面上，为了满足电荷守恒定理，见图2-1c，就要一边是正电荷，而另一边是负电荷，其实空腔内没有电场的说法是对于结果而言的，并不能看出本质，本质是外电场和感应电荷的电场在导体腔的内部总的场强为0。
使带电体不影响外界，则要求将带电体置于接地的金属壳或者金属网内，必须接地才能将金属壳或者金属网外表面感应电荷流入地下。
则外界不受带电体场强的作用，而本质上也是带电体的场强和内表面感应电荷的场强叠加作用使外界总场强为0。
孤立导体的电容：电容C与导体的尺寸和形状有关，与q，U无关，它的物理意义是使导体每升高单位电位所需要的电量。
电容器及其电容：对电容的理解要升高一个层次：电容是导体的一个基本属性，就好像水桶的容量一样，C=U/q。
然而导体A的附近有其他导体时，导体的电位不仅与自己的q 有关，还受到其他导体的影响。
103第八章 静电场中的导体和电介质一、基本要求1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。
2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。
3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。
4．了解电场能量、电场能量密度的概念。
二、本章要点 1．导体静电平衡导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。
在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。
2．电位移矢量在均匀各向同性介质中E E D r εεε0==介质中的高斯定理∑⎰⎰=⋅ii sQ s d D 自3．电容器的电容UQ C ∆=电容器的能量CQ W 221=4．电场的能量 电场能量密度D E w ⋅=21 电场能量⎰=VwdV W三、例题8-1 下列叙述正确的有（Ｂ）（Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。
（Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。
104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。
（Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。
（Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。
解：选（B ）。
由高斯定理⎰⎰∑=⋅0/εi iq s d E，由 ∑=⇒=00φq ，但场强则不一定为零，如上题。
（C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。
（D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。
（E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。
8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。
令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。
解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为RQ U 0114πε-=点电荷Ｑ2在球心的电势为RQ R Q U 020221234πεπε=⋅=所以，O 点的总电势为RQ Q U U U 012210123ε-=+=由于整个导体球壳为等势体，则0U U A =RQ Q 012123ε-=8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。
若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。
解：连接前，空心球电势RQ U 24011πε=，所以带电量为1051018RU Q πε=实心球电势RQ U 0224πε=，所以带电量为2024RU Q πε=连接后，两球电势相等，但总电量不变。
有U U U '='='21或 RQ 018πε'RQ 024πε'=2121''Q Q Q Q +=+联立解得+='1012(38U R Q πε2U ） 3221U U U +=' 8-4 一不带电的导体壳，壳内有一个点电荷0q ，壳外有点电荷1q 和2q 。
导体壳不接地，下列说法中正确的是（A 、B 、D ）；若导体壳接地，下列说法中正确的是（A 、B 、C 、D ）。
（Ａ）1q 与2q 的电量改变后，壳内场强分布不变。
（Ｂ）1q 与2q 在壳外的位置改变后，壳内的场强分布不变。
（Ｃ）0q 的电量改变后，壳外的场强分布不变。
（Ｄ）0q 在壳内的位置改变后，壳外的场强分布不变。
8-5 如图，半径为Ｒ的不带电的金属球内有两个球形空腔，在两个空腔中分别放点电荷1q 和2q ，在金属球外放一点电荷3q ，它们所带电荷均为q 。
若1q 和2q 到球心距离都是2/R ，3q 到球心距离R r >>，则1q 受力为_______，2q 受力为_________，3q 受力约为________。
解：1q 、2q 受力为0。
球为等势体，球外表面感应电荷均匀分布，电场在球外也呈径向对称分布。
由高斯定理球外场强为20214r q q E πε+=所以，3q 受力约为20220213424)(rq r q q q F πεπε=+= 8-6 半径分别为Ｒ1和Ｒ2（Ｒ1＜Ｒ2 ）互相绝缘的两个同心导体球壳，内球带电＋Ｑ。
取地球与无限远的电势均为零。
求（１）外球的电荷和电势。
106 （２）将外球接地后再重新绝缘，此时外球的电荷和电势。
（３）再将内球接地，此时内球的电荷。
解：（1）由于内球带电＋Ｑ，由静电平衡条件和高斯定理知，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q +。
因为外球壳外面的场强为204r Q E πε=（2R r >）所以，外球的电势为⎰⎰∞∞==⋅=22204R R dr rQ r d E U πε 204R Q πε（2）外球接地，内表面电量不变，外表面电量变为零，电势为零。
（3）将内球接地后，内球电势为零。
设内球电量变为q ，则0442010=-=R Q R q U πεπε Q R R q 21=8-7 在半径为Ｒ1的均匀带电Ｑ的金属球外有一层相对介电常数为r ε均匀电介质，外半径为Ｒ2，画出电势Ｕ～r 关系曲线和场强Ｅ～r 关系曲线（r 是球心到场点之间的距离）。
解：利用高斯定理⎰=⋅=⋅sQ r D s d D 内自24π24rQ D π内自=由于E Dε=，且⎪⎩⎪⎨⎧><<<=22110R r Q R r R QR r Q 内自 所以，场强分布为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<=22021201440R r r Q R r R rQ R r E r πεεπε107下面求电势分布：2R r >时⎰⎰∞∞==⋅=Rrdr r Q r d E U 204πε rQ 04πε21R r R ≤<时⎰⎰⎰∞∞+=⋅=22202044R rR r rdr rQ dr r Q r d E U πεεπε20200444R QR QrQ r r πεεπεεπε+-=1R r ≤时⎰⎰⎰⎰∞∞++=⋅=21212020440R R R r R rrdrrQ dr r Q dr r d E U πεεπε 202010444R QR QR Q r r πεεπεεπε+-=Ｕ～r 曲线和Ｅ～r 曲线如图所示：8-8 如图，一无限大均匀带电介质平板Ａ，电荷面密度为1σ，将介质板移近导体Ｂ后，Ｂ导体外表面上靠近Ｐ点处的电荷面密度为2σ，Ｐ点是Ｂ导体表面外靠近导体的一点，则Ｐ点的电场强度大小为__________________。
解：仅知P 点附近电荷面密度，其它地方不知，不能用场强叠加方法。
做如图所示的高斯面，其底面面积s 很小，可认为s 面上各点场强相等。
由于导体表面是等势面，所以s 面上各点场强垂直于导体表面。
P 点在底面上，另一底面在导体内部，面上各点场强为零。
由高斯定理，得02/εσs s E P = 02/εσ=P E8-9将一带电导体平板Ａ和一电介质平面Ｂ平行放置，如图所示。
在真空中平衡后，108 Ａ两侧的面电荷密度分别为1σ和2σ，则Ｂ的面电荷密度3σ等于___________。
解：在导体平板内任找一点P ，则02220030201321=--==--=εσεσεσE E E E P所以213σσσ-=8-10 半径为Ｒ、相对介电常数为r ε均匀电介质球中心放一点电荷Ｑ，球外是真空，在距中心ｒ＞Ｒ的Ｐ点场强大小为__________。
解：利用高斯定理容易求得Ｐ点场强204rQ E πε=。
8-11 平行板电容器中充满某种均匀电介质，电容器与一个电源相连，然后将介质取 出，则电容器的电容量Ｃ、电量Ｑ、电位移D 、电场强度E 、板间电压Ｕ与取出介质前相比，增大的有_______，减小的有__________，不变的有__________。
解：介质取出前，有d U E =d U E D εε== d s C ε= U ds Q ε= 介质取出后，有d UE =d U D 0ε= ds C 0ε= U d s Q 0ε= 所以，各量均无增大，减小的有C 、Q 、D ，不变有E 、U 。
8-12 一球形电容器由半径为Ｒ的导体球壳和与它同心的半径为４Ｒ的导体球壳所组成，Ｒ到２Ｒ为相对电容率为2=r ε的电介质，２Ｒ到４Ｒ为真空。
若将电容器两极板接在电压为Ｕ的电源上，求（1）电容器中场强的分布；（2）电容器的电容。
解：不妨先设内外球壳电量分别为Q Q -+、，由高斯定理容易求得场强分布 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<=Rr R rQ R r R r Q E r 424242020πεεπε电容器两极板之间的电压为⎰⎰⎰+=⋅=R R R R r R R dr r Q dr r Q r d E U 4220220444πεεπεR Q 08πε= 所以RU Q 08πε=109（1）电容器中场强的分布⎪⎩⎪⎨⎧><<<=Rr R rRU Rr R rRU E 422222（2）电容器的电容==UQC R 08πε 8-13 半径分别为Ｒ1和Ｒ2的同轴导体圆筒间充满相对电容率为r ε的均匀电介质。
现使圆筒带电，单位长度电荷各为＋1λ（内筒）和＋2λ（外筒），如图所示。
（1）求两筒间的电压；（2）设轴线上电势为零，分别求Ｐ点和Ｑ点的电势。
（Ｐ和Ｑ与轴分别相距P r 和Q r ） 解：（1）场强分布为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=2101120R r R rR r E r επελ两筒间电压⎰⎰==⋅=2121120101/ln 22R R rr R R R R dr r r d E U επελεπελ（2）设轴线上电势为零，则0=P U⎰⎰===-Q Qr R r R Q rr Q R R r dr r Edr U U 11110101/ln 22επελεπελ101/ln 2R r U Q rQ επελ-=8-14 将一空气平行板电容器与电源相连进行充电，使电容器储存能量Ｗ1。
若充电后断开电源，然后将相对介电常数为r ε的电介质充满该电容器，电容器储存的能量变为Ｗ2，则比值Ｗ1/Ｗ2=______________；如果充电后不断开电源，则比值Ｗ1/Ｗ2=______________。
