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第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等；②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=∙⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即B A U U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ， ∴ 腔内表面必有感应电荷-q 。
静电场中的导体和电介质静电平衡时导体是个等势体，导体表面是等势面，大前提是整个导体都是一样的，不要因为单独说导体表面是个等势面就误以为导体表面和内部不是等势的。
（证明省略）由此公式得出：导体表面电荷密度大的地方场强大，面电荷密度小的地方场强小。
导体表面电荷分布规律①与导体形状有关②与附近有什么样的带电体有关。
定性分析来说，孤立导体面电荷密度与表面的曲率有关，但是并不是单一的函数关系。
拓展知识（尖端放电的原理以及应用；避雷针的原理）这是一个从带电体上吸取全部电荷的有效方法。
测量电量时，要在静电计上安装法拉第圆筒，并将带电体接触圆筒的内表面，就是为了吸取带电体的全部电量，使测量更准确。
库仑平方反比定律推出高斯定理，高斯定理推出静电平衡时电荷只能分布导体外表面。
所以可以由实验精确测定导体内部没有电荷，就证明了高斯定理的正确，进而就证明了库仑平方反比定律的正确。
所以说这是精确的，因为通过实验测定数据是一定会存在误差的，而通过实验测定导体内部没有电荷是不会存在误差的，所以是很精确的。
以上是库仑平方反比定律验证的发展历史。
见图2-1，导体壳内部没有电荷时，导体的电荷只是分布在外表面上，为了满足电荷守恒定理，见图2-1c，就要一边是正电荷，而另一边是负电荷，其实空腔内没有电场的说法是对于结果而言的，并不能看出本质，本质是外电场和感应电荷的电场在导体腔的内部总的场强为0。
使带电体不影响外界，则要求将带电体置于接地的金属壳或者金属网内，必须接地才能将金属壳或者金属网外表面感应电荷流入地下。
则外界不受带电体场强的作用，而本质上也是带电体的场强和内表面感应电荷的场强叠加作用使外界总场强为0。
孤立导体的电容：电容C与导体的尺寸和形状有关，与q，U无关，它的物理意义是使导体每升高单位电位所需要的电量。
电容器及其电容：对电容的理解要升高一个层次：电容是导体的一个基本属性，就好像水桶的容量一样，C=U/q。
然而导体A的附近有其他导体时，导体的电位不仅与自己的q 有关，还受到其他导体的影响。
第6章 静电场中的导体与电介质
一、选择题
1. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是
(A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高
(C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 [ ]
2. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 (A) 导体内的场强和电势均为零
(B) 导体内的场强为零, 电势不为零
(C) 导体内的电势与导体表面的电势相等
(D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 [ ]
3. 当一个带电导体达到静电平衡时
(A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零
(B) 表面曲率较大处电势较高
(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高
(D) 表面上电荷密度较大处电势较高 [ ]
4. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中，如图1所示．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将
(A) 放入前后场强相同
(B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小
(D) 无法判定 [ ]
5. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为V , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为
(A) 23R V r (B) V r (C) 2RV r (D) V R
[ ]
6. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后
(A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等 [ ]
7. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有
⎰⎰=⋅s
S D 0d ϖ
ρ, 则S 面内必定
(A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷
(C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 [ ]
8. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为
(A) 原来的两倍 (B) 原来的一半
(C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对 [ ]
9. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳，如图2所示．若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内
q
图1
(A) E ρ
＝0, V ＝0 (B)
E ρ
＝0, V ≠0 (C) E ρ
≠0, V ≠0 (D) E ρ
≠0, V ＝0 [ ]
10. 空气平板电容器与电源相连接．现将极板间充满油液, 比较充油前后电容器的电容C 、电压U 和电场能量W 的变化为 (A) C 增大, U 减小, W 减小
(B) C 增大, U 不变, W 增大 (C) C 减小, U 不变, W 减小
(D) C 减小, U 减小, W 减小 [ ]
二、填空题
1. 如图3所示，两金属球壳A 和B 中心相距l ，原来都不带电．现在两球壳中分别放置点电荷q 和Q ，则电荷Q 作用在q 上的电力大小为F
= ．如果去掉金属壳A ，此时，电荷Q 作用在q 上的电力大小是 ．
2 .如图4所示的导体腔C 中，放置两个导体A 和B ，最初它们均不带电．现设法使导体A 带上正电，则这三个导体电势的大小关系为 ．
3. . 半径为r 的导体球原来不带电．在离球心为R (r R >)的地方放一个点电荷q , 则该导体球的电势等于 ．
4. 如图5所示，金属球壳的内外半径分别r 和R , 其中心置一点电荷q , 则金属球壳的电势为 ．
5. 如图6所示，一个未带电的空腔导体球壳内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处 (d < R ) 固定一电荷量为＋q 的点电荷，用导线把球壳接地
后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 6. . 电荷q 均匀分布在内外半径分别为1R 和2R 的球壳体内，这个电荷体系的电势能为 ， 电场能为 ．
三、计算题
1. 真空中一带电的导体球A 半径为R ．现将一点电荷q 移到距导体球A 的中心距离为
r 处，测得此时导体球的电势为零．求此导体球所带的电荷量．
2. 如图7所示，一球形电容器由半径为R 1的导体球和与它同心的半径为R 2的导体球壳组成．导体球与球壳之间一半是空气， 另一半充有电容率为ε的均匀介质．求此电容器的电容．
3. 一面积为S 、间隔为d 的平板电容器，最初极板间为空气，在对其充电±q 以后与电源断开，再充以电容率为ε的电介质; 求此过程中该电容器的静电能减少量．试问减少的能量到哪儿去了?
图3 图4
A
B
C
A
B
Q
q
l
r
R
Q
图2
r
R
q
图5
d
R
q O
图6
图7
第6章 静电场中的导体与电介质答案
一、选择题
1.[ C ];
2.[ C ];
3.[ A ];
4.[ B ];
5.[ C ];6 [D ];7.[ C ];8.[ D ]；9. [B ]. 10. [B ].。
二.填空题
1. 1. 20π4l qQ ε，2
0π4l qQ
ε;2. 0C
B A >>>U U U ;3. R q 0π4ε;4. R q 0π4ε 5.
)1
1(π40R
d q -ε; 6. 2222121023222122131)(π40)2463(3R R R R q R R R R R R +++++ε，2
222121023
222122131)
(π40)2463(3R R R R q R R R R R R +++++ε 三、计算题
1. 解：球心的电势应等于点电荷在A 球心处的电势与导体球在球心处的电势以及导体球上感应电荷在球心处的电势之和．
设导体球带电Q ，它在球心处的电势为
04πQ Q
V R
ε=
利用上题的结果， 球心处的电势为
004π4πq A Q q Q
V V V V r R
εε=++=
+
由题意有
0004π4πq A Q q Q
V V V V r R
εε=++=
+=
所以，导体球所带电荷量Q 为
q r
R Q -
= 2. 解：如图8所示，设想通过球心的平面将一个球形电容器分成了两个半球形的电容器，再相互并联．已知球形电容器的电容为
1
22
1π4R R R R C -=
ε
于是，两半球形电容器的电容分别为
1
22100π2R R R R C -=
ε 122
1π2R R R R C -=εε
所求之电容为
)(π2π2π201
22
11221122100εεεεε+-=-+-=
+=R R R R R R R R R R R R C C C
3. 解：平板电容器充电后．具有静电能
S
d
q C q W 0222121ε=
= 与电源断开后，电容器极板上的电荷量不变．充入电介质后，其静电能为
S
d
q C q W ε222121=
'=' 则静电能改变的减少量为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
-='-=∆εεεε1121212102202S
d
q S d q S d q W W W 这减少的能量转化为了电介质的动能，最后通过摩擦转化为热能．。
