历年高考全国1卷文科数学真题分类汇编-概率与统计无答案

（全国1卷3）答案：（全国1卷19）答案：（全国2卷5）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3答案：D（全国2卷18）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模y t型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．答案：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（全国3卷5）答案：B（全国3卷14）答案：分层抽样（全国3卷18）答案：（北京卷17）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）答案：（天津卷15）(15)(本小题满分13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(II)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比分别为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(II)(i)解：从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.(ii)解：由(I)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种.所以，事件M 发生的概率5()21P M =.。

全国各地文科数学（统计、概率）高考试题汇总（近5年）2011安徽.20某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（1） 利用所级数据求年需求量与年份之间的回归直线方程组（2） 利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读试卷首所给的计算公式及其说明。

2011山东18.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女。

（1） 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率。

（2） 若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率。

2011天津15.编号分别为1A ,2A , ,16A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（1） 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格。

（2） 从得分在区间【20，30﹚内的运动员中随机抽取2人， ① 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ② 求这2人得分之和大于50的概率。

2011辽宁.19某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验。

选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙。

（1） 假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2） 试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地2种植哪一品种？ 附：方差公式（略）2011北京.16以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 第16题图（1） 如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2） 如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。

（注：方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，其中12,,,n x x x x 为的平均数）2011湖南.18某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关。

2021 年— 2021 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编10．统计、概率一、【 2021，2】 估一种 作物的种植效果， 了n 地作 田 . n 地的 量〔 位：kg 〕分x 1 , x 2 , , x n ，下面 出的指 中可以用来 估 种 作物 量 定程度的是A. x 1 , x 2 , , x n 的平均数B. x 1 , x 2 , , x n 的 准差C. x 1, x 2 ,, x n 的最大D. x 1 , x 2 ,, x n 的中位数【 2021， 4】如 ，正方形ABCD 内的 形来自中国古代的太极 ，正方形内切 中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心 称 .在正方形内随机取一点， 此点取自黑色局部的概率是〔 〕1π1π A.B.C. D. 4824【 2021， 3】 美化 境，从 、黄、白、紫4 种 色的花中任2 种花种在一个花 中，余下的2 种花种在另一个花 中， 色和紫色的花不在同一花 的概率是〔 〕．1 B ．1 2 5A ．2C ．D ．336【 2021，4】如果 3 个正数可作 一个直角三角形三条 的 ， 称3 个数 一 勾股数，从 1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数， 3 个数构成一 勾股数的概率 ()3 1 C ．1 D ．1A ．B ．1020105【 2021， 3】从 1,2,3,4 中任取2 个不同的数， 取出的2 个数之差的2 的概率是 ()．A ．1B ．1C ．1D ．123 4 6【 2021， 3】在一 本数据〔x 1 ， y 1 〕，〔 x 2 ， y 2 〕，⋯，〔 x n ， y n 〕〔 n2 ， x 1 ， x 2 ，⋯， x n 不全相 等〕的散点 中，假设所有 本点〔 x i ， y i 〕〔 i =1， 2，⋯， n 〕都在直y1x 1 上， 本数据的 本相关系数 〔 〕2A ．－ 1B ． 01 D ． 1C ．2【 2021，6】有 3 个 趣小 ，甲、乙两位同学各自参加其中一个小 ，每位同学参加各个小 的可能性相同， 两位同学参加同一个 趣小 的概率 〔〕 .11 C.2 3A.B.3D.324二、填空【 2021，13】将 2 本不同的数学 和 1 本 文 在 架上随机排成一行， 2 本数学 相 的概率 _____.三、解答【 2021，19】 了 控某种零件的一条生 的生 程， 每隔 30 min 从 生 上随机抽取一个 零件，并 量其尺寸〔 位：cm 〕．下面是 在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序 12345678零件尺寸抽取次序 910111213141516零件尺寸算得 x1161162116222( x i x) 16x )x i 9.97 ， s(x i， 1616i 116 i 116 i 116( x i 8.5)218.439 ，( x i x ) i ，其中 x i 抽取的第 i 个零件的尺寸， i=1,2, ⋯ ,16．i 1i11, i ( i=1,2, ⋯ ,16) r 〔 〕求，并答复是否可以 一天生 的零件尺寸不随生 程的x i 的相关系数 行而系 地 大或 小〔假设 ， 可以 零件的尺寸不随生 程的 行而系 地 大或 小〕 ．〔 2〕一天内抽 零件中，如果出 了尺寸在( x 3s, x 3s) 之外的零件，就 条生 在 一天的生 程可能出 了异常情况，需 当天的生 程 行 ．〔 ⅰ 〕从 一天抽 的 果看，是否需 当天的生 程 行 ？〔 ⅱ 〕在 ( x 3s, x 3s) 之外的数据称 离群 ， 剔除离群 ，估 条生 当天生 的零件尺寸的均 与 准差． 〔精确到〕n( x i x)( y iy)i 1 附： 本 (x i ,y i )(i=1,2,⋯,n)的相关系数r，．nn(x ix )2( y i y)2i 1i 1【 2021，19】某公司划 1 台机器，种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易零件，在机器，可以外种零件作件，每个200 元．在机器使用期，如果件缺乏再，每个500元．需决策在机器同几个易零件，此搜集并整理了100 台种机器在三年使用期内更的易零件数，得下面柱状.数2420161060161718192021更的易零件数x 表示 1台机器在三年使用期内需更的易零件数，y 表示 1 台机器在易零件上所需的用〔位：元〕， n 表示机的同的易零件数．〔 1〕假设n19，求y与x的函数解析式；〔 2〕假设要求“需更的易零件数不大于n 〞的率不小于0.5 ，求n的最小；〔 3〕假100台机器在机的同每台都19 个易零件，或每台都20 个易零件，分算100 台机器在易零件上所需用的平均数，以此作决策依据，1台机器的同19 个是 20 个易零件？【 2021， 19】某公司确定下一年度投入某种品的宣，需了解年宣x〔位：千元〕年售量〔位： t 〕和年利 z〔位：千元〕的影响，近8 年的宣 x i，和年售量 y i (i=1,2,3, ⋯ ,8)的数据作了初步理，得到下面的散点及一些量的，表中1i x i ,88ii 1n n n nx y(x i x)2( i)2(x i x)( y i y)(i)( y i y)i1i 1i 1i 15631469(Ⅰ )根据散点判断， y=a+bx与 y c d x ，哪一个宜作年售量y 关于年宣x的回方程型〔出判断即可，不必明理由〕；(Ⅱ )根据 (Ⅰ )的判断果及表中数据，建立y 关于 x 的回方程；(Ⅲ )种品的年利z 与 x， y 的关系，根据 (Ⅱ )的果答复以下：(1)当年宣 x= 49 ，年售量及年利的多少？(2)当年宣 x 何，年利的最大？【2021,18 】18．从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75 ， 85)[85 ， 95)[95 ， 105)[105 ， 115)[115 ， 125)频数62638228〔 I 〕在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：〔 II 〕估计这种产品质量指标值的平均数及方差〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔 III〕根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的80%〞的规定？【 2021， 18】为了比拟两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药， B 药 )的疗效，随机地选取20 位患者服用 A 药， 20 位患者服用 B 药，这 40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位： h) ．试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【 2021， 18】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进假设干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

概率统计高考题1.[2016.全国卷3.T5] 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A.158 B. 81 C. 151 D. 301 2.[2016.全国卷2.T8] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.710 B. 58 C.38 D.3103.[2015.全国卷1.T4] 如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.103 B.15 C.110 D.1204.[2015.全国卷2.T3]根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，A C ．2006 5.[2013.2的概率是（ ）A.12 B.13 C.14 D.166.[2012.全国卷.T3]在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A. -1B.0C. 12D. 17.[2011.全国卷.T6]有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年A.13B. 12C.23D.348.[2014.全国卷1.T13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为9.[2014.全国卷2.T13]甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为10.[2013.全国卷2.T13]从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是11.[2010.全国卷.T14]设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和1, 2.....n y y y ，由此得到V 个点()(),1,2....x y i N -。

高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。

在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。

为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。

1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。

2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。

连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。

3) 某音乐社有男生40人，女生60人。

从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。

2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。

2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。

现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。

3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。

求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。

（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。

在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。

祝同学们取得优异的高考成绩！。

专题09 概率与统计（2）概率与统计大题：10年10考，每年1题．第一小题多为统计问题，第二小题多为概率计算问题，特点：实际生活背景在加强，阅读量大．1．（2019年）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝()()()()()2n ad bca b c d a c b d-++++．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828【解析】（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝4050＝45，女顾客对该商场服务满意的概率P＝3050＝35；（2）由题意可知，K2＝()21004020301070305050⨯-⨯⨯⨯⨯＝10021≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．2．（2018年）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7）频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数 1 5 13 10 16 5（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）【解析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：（2）根据频率分布直方图得：该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率为：p ＝（0.2+1.0+2.6+1）×0.1＝0.48． （3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：150（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）＝0.48， 使用节水龙头50天的日均用水量为：150（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）＝0.35， ∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）＝47.45m 3．3．（2017年）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 x ＝161116i i x =∑＝9.97，s ＝＝≈0.212，，()()1618.5ii x x i =--∑＝﹣2.78，其中x i为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2，…，16．（1）求（x i ，i ）（i ＝1，2，…，16）的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r |＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（x ﹣3s ，x +3s ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（x ﹣3s ，x +3s ）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）的相关系数r()()niix xy y --∑．【解析】（1）r＝()()()()161161622118.58.5iiii ix x ix x i===----∑∑∑＝0.2121618.439⨯⨯＝﹣0.18．∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i）x＝9.97，s＝0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），显然第13号零件尺寸不在此范围之内，∴需要对当天的生产过程进行检查．（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为()1169.979.2215⨯-＝10.02，1621iix=∑＝16×0.2122+16×9.972＝1591.134，∴剔除离群值后样本方差为115（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）＝0.008，∴剔除离群值后样本标准差为0.008≈0.09．4．（2016年）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若n＝19，求y与x的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】（1）当n ＝19时，y ＝()19200,191920019500,19x x x ⨯≤⎧⎪⎨⨯+-⨯>⎪⎩＝3800,195005700,19x x x ≤⎧⎨->⎩；（2）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06， 更换的易损零件数为17个频率为0.16， 更换的易损零件数为18个频率为0.24， 更换的易损零件数为19个频率为0.24， 又∵更换易损零件不大于n 的频率为不小于0.5， 则n ≥19，∴n 的最小值为19件；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件， 所须费用平均数为：1100（70×19×200+4300×20+4800×10）＝4000（元）， 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件， 所须费用平均数为1100（90×4000+10×4500）＝4050（元）， ∵4000＜4050，∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．5．（2015年）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i ＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyω()821ii x x =-∑()821ii ωω=-∑()()81iii x x y y =--∑ ()()81iii y y ωω=--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i x ω=，8118i i ωω==∑．（1）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（2）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1 v 1），（u 2 v 2），…，（u n v n ），其回归线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【解析】（1）由散点图可以判断，y ＝c +x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）令w x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于108.8ˆ 1.6d =＝68， ˆˆcy d ω=-＝563﹣68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆy＝100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为ˆy＝x ， （3）（i ）由（2）知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值ˆy＝49＝576.6， 年利润z 的预报值ˆz＝576.6×0.2﹣49＝66.32， （ii ）根据（2）的结果可知，年利润z 的预报值ˆz＝0.2（x ）﹣x ＝﹣x x +20.12， x ＝13.62＝6.8时，即当x ＝46.24时，年利润的预报值最大． 6．（2014年）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数 6 26 38 22 8（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？【解析】（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为x＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100，质量指标的样本的方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08＝0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．7．（2013年）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【解析】（1）设A药观测数据的平均数据的平均数为x，设B药观测数据的平均数据的平均数为y，则x＝120（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）＝2.3．120y=（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）＝1.6．由以上计算结果可知：x y>．由此可看出A药的效果更好．（2）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果有710的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．8．（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【解析】（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n﹣85；∴利润y关于当天需求量n的函数解析式1085,1785,17n nyn-<⎧=⎨≥⎩（n∈N*）．（2）（i）这100天的日利润的平均数为551065207516855476.4100⨯+⨯+⨯+⨯=元；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16+0.16+0.15+0.13+0.1＝0.7．9．（2011年）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110] 频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110] 频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩．估计用B 配方生产的产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 【解析】（1）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=， ∴用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=， ∴用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0.96，∴用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为()142542424 2.68100⨯-+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦（元）． 10．（2010年）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828附：K 2＝()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++．【解析】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=．（2）K2的观测值()250040270301609.96720030070430k⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）＝0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．、。

历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计解答题）汇编考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据：样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9..量i y并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i i(1.377)()nx x y yr--=≈∑．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i，y i)(i=1，2，…，20)，其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==∑，2011200iiy==∑，202180iixx=-=∑（，2021)9000iiy y=-=∑（，201)800iiix yx y=--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i，y i)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r)ni ix yx y--∑（（≈1．414．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．6352．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6 8 12 (75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．8283 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？的附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．8285．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200](200，400](400，600]1(优) 2 16 25 2(良)51012的3(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001k 3．841 6．635 10．8286．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．2()P K k…0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828参考答案考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．【答案】(1)221210,10.3,0.036,0.04x yS S ====；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 【答案解析】：(1)9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==(2)依题意，0.320.15y x -==⨯==，=y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲.分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 4020 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 2817 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；(2)选甲分厂，理由见答案解析．【答案解析】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为280.28 100=；(2)甲分厂加工100件产品总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：的记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)． 【答案】【答案解析】：(1)C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得： 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩， 解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =，0.10b =． (2)估计甲离子残留百分比的平均值为：20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．乙离子残留百分比的平均值为：30.0540.150.1560.3570.280.156x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈. 【答案】【答案解析】：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)． 【答案】(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【答案解析】：(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(岁)． (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．(3)设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}， 则由条件概率公式可得 ()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据： 样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积量i y0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377)()nx x y y r --=≈∑．【答案】(1)20.06m ；30.39m (2)0.97..(3)31209m【答案解析】：【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x == 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y == 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ， 平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---==∑∑0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈ 【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ． 则该林区这种树木总材积量估计为31209m2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，202180i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．的附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1．414．【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见答案解析【答案解析】(1)样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= (2)样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．635【答案】(1)A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有 【答案解析】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013P M ==； B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ， 则210()28074P N ==． A 家公司长途客车准点的概率为1213； B 家公司长途客车准点的概率为78． (2)列联表准点班次数未准点班次数 合计A 240 20 260B 210 30 240 合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 2．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6812(75,115]3 7 10(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．828【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得的222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 3 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 【题目栏目】统计\相关关系、回归分析与独立性检验\独立性检验4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)75%；60%；的(2)能．答案解析：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=．(2)()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400] (400，600]1(优) 216 252(良) 510 123(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；(2)350；(3)有，理由见答案解析．【答案解析】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=(3)22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 3337 空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．6．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】【答案解析】(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.。

2023年全国各省份高考数学真题概率与统计汇总一、单选题1．（2023年全国乙卷（文数）第7题，（理数）第5题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A ．18B ．16C ．14D ．122．（2023年全国乙卷（文数）第9题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．133．（2023年全国乙卷（理数）第7题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种4．（2023年全国甲卷（文数）第4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．235．（2023年全国甲卷（理数）第6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.46．（2023年全国甲卷（理数）第9题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A ．120B ．60C ．30D ．207．（2023年北京卷第5题）512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A ．80-B ．40-C ．40D ．808．（2023年天津卷第7题）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（）A ．花瓣长度和花萼长度没有相关性B ．花瓣长度和花萼长度呈现负相关C ．花瓣长度和花萼长度呈现正相关D ．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245二、多选题9．（2023年新课标Ⅰ卷第9题）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A ．2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B ．2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C ．2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D ．2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10．（2023年新课标Ⅱ卷第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A ．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D ．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题四、解答题14．（2023年新课标Ⅰ卷第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．15．（2023年新课标Ⅱ卷第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间的最小值．16．（2023年全国乙卷（文数）第17题，（理数）第17题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）一、单选题2．（2023年全国乙卷（文数）第从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（A．56B．23【详解】用1，2，3，4，5，6表示下表：乙123A．花瓣长度和花萼长度没有相关性B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项r=是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能正确；由于0.8245变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D选项错误故选：C二、多选题它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)βββββ-⋅⋅-=-，B 正确；对于C ，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为22323C (1)(1)(1)(12)βββββ-+-=-+，C 错误；对于D ，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0的概率2(1)(12)P αα=-+，单次传输发送0，则译码为0的概率1P α'=-，而00.5α<<，因此2(1)(12)(1)(1)(12)0P P αααααα'-=-+--=-->，即P P '>，D 正确.故选：ABD 三、双空题四、填空题12．（2023年新课标Ⅰ卷第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．61=。

年高考数学真题分类汇编文科-概率与统计(文科)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2一、选择题1.（2014四川文2）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） . A.总体 B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本2.（2014重庆文3）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）. A.100 B.150 C.200 D.2503.（2014广东文6）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）.A.50B.40C.25D.204.（2014湖南文5）在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）. A.45 B. 35 C.25 D. 155.（2014江西文3）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）A.118 B.19 C.16 D.1126.（2014陕西文6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）. A.15 B. 25 C. 35 D. 457.（2014辽宁文6）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π8.（2014北京文8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图所示记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（2014大纲文7）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）.A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种10.（2014湖北文5）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ）. A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p <<D ．312p p p <<11.（2014湖南文3）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）. A.123p p p =< B. 231p p p =< C.132p p p =< D. 123p p p == 12.（2014湖北文6）根据如表所示样本数据x 345678y4.02.50.5得到的回归方程为ˆybx a =+，则（ ）. A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >13.（2014陕西文9）某公司10位员工的月工资（单位:元）为1210,,x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）.A.x ，22100s +B.100x +，22100s +C. x ，2sD.x +100，2s14.（2014山东文8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)[]12,13,13,14,14,15,15,16,16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）.O 5430.80.70.5tp 0.5- 2.0- 3.0-A. 6B. 8C. 12D. 1815.（2014江西文7）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4所示，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1 表2表3 表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量二、填空题16.（2014新课标Ⅱ文13）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 .17.（2014浙江文14）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是______________.18.（2014重庆文15）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_________（用数字作答）. 19.（2014湖北文11）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总 数为 件.20.（2014新课标Ⅰ文13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率成绩 性别不及格及格总计男 6 14 20 女 10 22 32 总计163652视力 性别好 差 总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652智商 性别偏高正常总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计163652阅读量 性别丰富 不丰富 总计男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652171615141312/kPa舒张压频率/组距0.360.080.160.24O为 .21.（2014天津文9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生.22. （2014广东文12）从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________. 23.（2014江苏4）从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率 是 ．24.（2014大纲文13）6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）25.（2014福建文13）如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 .26.（2014江苏6）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[]80130，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm ．三、解答题27.（2014新课标Ⅰ文18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数62638228（1）作出这些数据的频率分布直方图；频率/组距100 90 80 110 120 130 0.020 0.025 0.030 0.0100.015 底部周长/cm（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？28.（2014重庆文17）（本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示： 洞穿高考预测题六（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别求出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率. 29.（2014陕西文19）（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示：赔付金额（元） 0 1000 200030004000车辆数（辆）500130100150120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；频率组距成绩（分）7a 6a 3a 2a100908070605000.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0O78910115 12质量指0.00.0（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.30. （2014山东文16）（本小题满分12分） 洞穿高考例3.11海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C 数量50 150100（1）求这6件样品中来自,,A B C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率. 31．（2014安徽文17）（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）. （1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.32.（2014北京文18）（本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：()P K k 20≥0.10 0.05 0.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.879组号 分组 频数 1 [0，2) 6 2 [2，4) 8 3 [4，6) 17 4 [6，8) 22 5 [8，10) 25 6 [10，12) 12 7[12，14)6组距频率204681012)(小时时间025.0100.0570.0501.0125.0（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）.33.（2014大纲文20）（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.34. （2014新课标Ⅱ文19）（本小题满分12分）洞穿高考例3.3某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：甲部门乙部门3 5 94 4 0 4 4 89 75 1 2 2 4 56 67 7 789 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 06 0 1 1 2 3 4 6 8 8 9 8 87 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 07 0 0 1 1 3 4 4 9 6 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 5 6 3 2 2 2 09 0 1 1 4 5 6100 0 0（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 35.（2014福建文20）（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085元为中等偏下收b a频率组距阅读时间18161412108642O8 [14，16) 2 9[16，18) 2 合计100入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如表所示：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP（单位：美元）A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000E 20% 10000（1）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.36.（2014广东文17）（本小题满分13分）洞穿高考例3.3某车间20名工人年龄数据如表所示：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差.37.（2014辽宁文18）（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生60 20 80北方学生10 10 20合计70 30 100（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：()22112212211212n n n n n n n n n χ++++-=，38.（2014湖南文17）（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，，，， ()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，. 其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败. （1）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.39.（2014天津文15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其年级情况如表所示：一年级 二年级 三年级 男同学A B C 女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.40.（2014四川文16）(本小题满分12分)()2P k χ≥ 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.41.（2014江苏22）（本小题满分10 分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球, 这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球, 求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为1x ，2x ，3x ，随机变量X 表示1x ，2x ，3x 中的最大数． 求X 的概率分布和数学期望()E X ．42.（2014江西文21）（本小题满分14分）将连续正整数*1,2,,()n n ∈N 从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123 456 789 101 112，共有15个数字，(12)15F =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，*{|()1,100,}S n h n n n ==∈N ≤，求当n S ∈时()p n 的最大值.43.（2014天津文20）（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}11212n n i A x x x x q x q x M i n -==+++∈=，，，，，， （1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；（2）设111212,,,+,n n n n s t A s a a q a q t b b q b q --∈=+++=++其中12i i a b M i n ∈=，，，，，，求证：若,n n b a <则t s <.。