晶体结构与空间点阵共55页

现代科技中的晶体——高强度材料
在Ni、Co、 Al等基体中生长 出的碳化钽针状 晶体，像混凝土 中的钢筋一样， 使材料强度大大 增加.
8.3 晶体的周期性结构与点阵
8.3.1 结构基元与点阵
晶体的周期性结构使得人们可以把 它抽象成“点阵”来研究.将晶体中重 复出现的最小单元作为结构基元(各个 结构基元相互之间必须是化学组成相 同、空间结构相同、排列取向相同、 周围环境相同),用一个数学上的点来 代表,称为点阵点.整个晶体就被抽象 成一组点,称为点阵.
1981年发展的碰撞锁模染料激光器产生飞秒(1 fs=10-15 s) 级激光脉冲. 90年代, 更稳定的全固体超快掺钛蓝宝石飞秒激 光器出现, 使飞秒化学成为物理化学界的重要研究领域. 1999 年诺贝尔化学奖授予Ahmed H Zewail教授,以表彰他利用飞秒 激光脉冲技术研究超快化学反应过程和过渡态的开拓性工作.
正确做法是按统一取法把每一对离子A-B作为结构 基元，抽象为点阵点, 就得到正确的点阵——立方简单.
CsCl型晶体的点阵——立方简单
NaCl型晶体中，按统一的方式将每一对离子A-B抽象 为一个点阵点. 于是，点阵成为立方面心.
NaCl型晶体结构
NaCl型晶体的点阵—立方面心
金刚石晶体结构
金刚石中每个原子都 是C, 但它们都能被抽象为 点阵点吗？
❖ 晶体特有的性质是异向性、自范性、对称性、 确定的熔点、X光衍射效应:
晶
体
的
云 母
异
片
向
性
产地:甘肃省肃北县
玻 蜡滴 璃
片
云母薄片上的热导率有异向性
蓝晶石两个方向上的硬度差异显著,有“二硬石”之称; 古代的宝石工匠早就知道钻石的八面体面（111）特别难以 抛光……

h 1 . 2 2 6 2 m V V
1.平移
平移是晶体结构中最基本的对称操作，可用 T 来表示
Tmnp＝ma＋nb＋pc
m，n，p为任意整数 即一个平移矢量 Tmnp 作用在晶体三维点阵上， 使点阵点在a方向平移m单位，b方向平移n单位，c 方向平移p单位后，点阵结构仍能复原。 所有点阵都有的操作
2
1

h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V
平面点阵
（ a ）NaCl 结构 点阵
（ b ）Cu 晶格

h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V
平面点阵
b a
（c）石墨
结构
点阵
晶格

h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V
(1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . (7) .
旋转轴--旋转操作 镜面--反映操作 对称中心--反演操作 反轴--旋转反演操作 点阵--平移操作 螺旋轴--螺旋旋转操作 滑移面--反演滑移操作

h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V

h h p m v
h 1 . 2 2 6 2 m V V
7个晶系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c 夹角 =β =γ = 900 =β =γ ≠900 =β =γ = 900 =β = 900, γ = 1200 =β =γ = 900 =β = 900, γ ≠ 900 0 ≠β ≠γ ≠ 90 晶体实例 NaCl Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO4·5H2O

[ Physics Today, P55, Sep. 2007 ]
• 材料科学与工程上：metals、ceramics、 polymers
¾ 材料的性能取决于其化学组成和微观结构。当化学 组成确定后，材料的结构就决定其性能。而结构又 是和工艺条件紧密相联系的。因此，研究材料的结 构，不仅可以帮助我们判别材料的性能，而且也可 以使我们了解到生产工艺过程的变化情况。
3.2 晶系、布拉菲格子 3.3 典型的晶格结构 3.4 倒易点阵 3.5 晶格的对称性 3.6 晶体缺陷
4.1.2点阵参数与阵点位置
在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点 阵，相邻两个点阵点的矢量a是这直线点阵的单位矢 量，矢量的长度a=｜a｜，称为点阵参数，如图（a）
a
图 (a) 直线点阵
平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并
在晶体的空间点阵中，每个阵点都具有完全相同 的周围环境；在平移的对称操作（连结点阵中任意两 点的矢量,按此矢量平移）下,所有点都能复原；每个 点代表结构中相同的位置；它所对应的具体内容，包 括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排 列的结构，称为晶体的结构基元，简称基元(Basis)。 基元是指重复周期中的具体内容；点阵点是代表结构 基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点 阵中各阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就 得整个晶体的结构。所以
的方向来标志，上式中u, v, w必为互质的整数，实际上 用这三个互质的整数来标志晶向，写作[uvw]，称为晶 向指数。
• 等效晶向组成等效晶向族，通常用尖括号表示为 <100>,<111>, <110>等.
¾晶面
晶面：布拉菲格点可以看成分布在平行等距的平面系上，这些 平面称为晶面。

晶体结构与点阵结构
晶体结构=点阵*结构基元
✓结构基元
✓结构基元须满足四个条件：①化学组成相同； ②空间结构 相同； ③排列取向相同； ④周围环境相同。 ❖ 不管结构基元的具体内容和具体结构，都将其抽象为一个 几何点。这个点可以是每个结构基元中某个原子的中心、或 某个键的中心、或其它任何指定的点，但该几何点在每个结 构基元中的位置须相同。
6、用计算和绘图两种方法证明(110)、(311)和(132)属于一个 晶带，晶带轴指数是什么？
[112] hu+kv+lw=0
(311)
Z [112]
(132)
Y
(110) X
7、有一正交点阵a＝b，c＝a/2。某晶面在三个晶轴上的 截距分别为6、2、4个原子间距，求该晶面的密勒指数。
(263)
（2）BCC结构的[110]和[111]晶向的线密度；(100)、(110)晶面的面密度； （3）HCP结构的(0001)晶面的面密度。
10、FCC、BCC、HCP结构的致密度、配位数、最密排面及方向各是什么？
11、求下列晶面的晶面间距，并指出晶面间距最大的晶面：
（1）bcc的(100)、(110)、(111)；（2）fcc的(100)、(111)、(111)。 12、计算：立方晶系中[321]与[401]、(210)与(320)、(111)与[112]间的夹角 13、求(211)、(110)晶面的晶带轴，并列出属于该晶带的5个晶面。 14、什么是对称要素？可分为哪两类？分别包括哪些对称要素？ 15、什么是点群？空间群？各有多少种？ 16、解释概念：固溶体、中间相、超结构、电子化合物、正常价化合物、间
3、什么是晶向族？晶面族？ 位向不同但阵点排列相同的等价晶向构成晶向族； 位向不同但阵点排列相同的等价晶面构成晶面族。

3. 晶面（夹）角守恒定律：同一种晶体，不论其外形如何， 两个确定晶面的夹角的大小恒定不变。
4.1.2 点阵和结构基元
1912年Lave等首次用X射线衍射测定晶体结构， 标志现代晶体学的创立。晶体内部原子、分子结 构的基本单元，在三维空间作周期性重复排列， 我们可用一种数学抽象——点阵来研究它。若晶 体内部结构的基本单元可抽象为一个或几个点， 则整个晶体可用一个三维点阵来表示。
标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易点阵中只须一 个阵点就可以表示，倒易阵点用它所代表的晶面指数 标定，正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个 参量就能表示。
(a) Po (d) Cu
(b) CsCl
(c) Na (e)金刚石
三维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
4.1.3 点阵单位
在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点阵， 相邻两个点阵点的矢量a是这直线点阵的单位矢量， 矢量的长度a=｜a｜，称为点阵参数，如图（a）
a
图（a）直线点阵
平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并可 选择两个不相平行的单位矢量a和b划分成并置的平 行四边形单位，点阵中各点阵点都位于平行四边形 的顶点上。矢量a和b的长度a=｜a｜ ， b =｜b｜及 其夹角γ称为平面点阵参数，如图（b）所示
晶体实例
各种宝石
锗酸铋 电气石
➢ 晶体相关的基本概念：
1. 单晶：构成固体的原子作周期性有规则排列的固体。
2. 多晶：由细微小单晶无规排列的固体。
3. 非晶：至少在微米尺度内作周期性排列称为长程有序。原 子作长程无序排列的固体称为非晶态。
➢ 单晶体的几个概念：
1. 晶棱：晶体的外部晶面的交线。
2. 晶带：如果晶面间的晶棱相互平行，构成这些晶棱的晶面 称为一个晶带。晶棱的方向称为带轴。

1-1 晶向指数 [u v w]
建立步骤： ①建立坐标系。以某一阵点为坐标原点，三个棱边为 坐 标轴，并以点阵常数(a、b、c)作为各个坐标轴的单位长度； ②作 OP // AB ； ③确定P点的三个坐标值（找垂直投影）； ④将坐标值化为互质的最小整数，并放入到[ ] 中，则 [uvw]即为所求；
1.晶体结构与空间点阵（续）
1-4 晶胞 ①定义：在空间点阵中，能够代表晶格中原子排列特征的最小单元体。 晶胞通常是平行六面体，将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点 阵。 ②晶胞的选取原则：
几何形状与晶体具有同样的对称性； 平行六面体内相等的棱与角的数目最多； 当平行六面体棱间有直角时，直角数目最多； 在满足上述条件下，晶胞的体积应最小。
o o a a a c , 9 0 , 1 2 0 1 2 3

菱方：简单菱方 o a b c , 9 0

单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0
o
三斜：简单三斜
a b c ,
9 0
第二章 晶体结构
第一节 晶体的特征
各项异性 晶体由于具有按照一定几何规律排列的内 部结构，空间不同方向上原子排列的特征不同， 如原子间距及周围环境，因而在一般情况下， 单晶体的许多宏观物理量（如弹性模量、电阻 率、热膨胀悉数、折射率、强度及外表面化学 性质等）的大小是随测试方向的不同而改变的， 这个性质称为各项异性。晶体断裂的解理性就 是晶体具有各项异性的最明显例子。
晶体具有确定的熔点
熔点是晶体物质的结晶状态与非结晶状态互相转 变的临界温度，晶体熔化时发生体积变化。 晶体有一些其他共同特征：晶体中存在不完整性， 晶体内原子排列并不是理想的有序排列，而是有 缺陷的；晶体的原子周期排列促成晶体有一些共 同的性质，如均匀性、自限性和对称性等。

(1) A
B
C A BC
D EF
D
EF
2R
LD[10]02
0.707 2R
LD[110] 1
LD [11]1(2
2R 2R)
0.408 3
PD(10)0(222RR2)2 0.78
PD(11)11(4R2)2Rs2in60o 0.90
2
2R2
PD (11)0(2
0.56 2R)(4R)
(2)
A
BA
✓原子 ✓分子 ✓晶体
➢ 晶体结构
原子的电子结构
波粒二象性；几率波；电子能级和波函数；薛定谔方程； 量子数（n, l, m）；径向分布图（函数），角度分布图； 钻穿效应；单电子（平均势场）近似，中心势场近似； 屏蔽常数。
2 22V(r)(r)E(r)
N
e2
N
4 r j1 0ij j1
e2 4 0rij
Cl-
NaCl
Na+
Cl-
CsCl
Cs+
Zn2+
立方ZnS
S2-
F-
CaF2
Ca2+
HCP
Cu3Au CuAu
思考题
1、什么是空间点阵？与晶体结构的关系如何？ 2、什么晶系？布拉菲点阵？分别有多少个（种）？ 3、什么是晶向族？晶面族？ 4、在立方晶胞中画出下列晶向或晶面：[221]、[312]、(102)、(123) 5、在六方晶胞中画出下列晶向或晶面：[1210]、(2111) 6、什么是晶带？用计算和绘图两种方法证明(110)、(311)和(132)属于一个
B
A
C
C
ED
E
D
D

30
• 单胞和原胞相同
31
• 单胞和原胞不相同
1 a b c j k 2 2 1 a a2 c a k i 2 2 1 a a3 a b i j 2 2 a1
面心立方
单胞
32
简单菱方 原胞
• 单胞和原胞不相同
2
1.2 1.1，1.2，1.4.2
• Robert W. Cahn. The coming of Materials Science. 3.1.1
重要概念：
晶体结构，空间点阵，结构基元，阵点
基矢，初级矢量，非初级矢量
阵胞，晶胞，原胞，单胞，初级阵胞，非初级阵胞（复胞）
点阵常数（晶格常数），晶系，布拉菲点阵
微镜的发明并提供了原子晶体结构的有利证据，但在高分辨电子显微
15
镜发明之前，人们从未看到原子本身。
Development of STM
scanning tunneling microscope
• 1982年IBM公司苏黎士研究实验室 的Gerd Bining和Heinrich Roher 研制出扫描隧道显微镜（STM）。 • STM使人类第一次能够实时地观察 单个原子在物质表面的排列状态和
空间群理论发表20年后才发现分析晶体结构的实验方法。用于分析衍
射谱的一个必不可少的工具。
9
20世纪， X射线衍射方法成为确定晶体结构的手段，间接地证明晶体中
原子呈规则排列，揭示了晶体内部周期性结构。
在晶体学的全部历史中，最重要的转折是发现晶体能够衍射 X射线，使
得人们通过实验确定原子在晶胞中的位置。
14
Development of TEM Transmission Electron Microscope

返回
面心立方晶格中原胞的体积V V a 1 (a 2 a 3 ) a 3 /4
原胞体积是晶胞体积的1/4，一个晶胞对应4个格
点，一个原胞只对应一个格点。
第三十七页，共65页。
面心立方晶格（bcc）示意图3
R 2a 4
单个原子体积
V 4 R3 2 a3
3
24
由于晶胞中含4个原子，因此晶胞体积
应两个格点，一个原胞只对应一个格点。
第三十二页，共65页。
返回体Leabharlann 立方晶格（bcc）示意图3 R 3a 4
单个原子体积
V 4 R3 3 a3
3
16
由于晶胞中含两个原子，因此晶胞体积为
a3，两个原子占据体积为
3 a3 8
第三十三页，共65页。
面心立方晶格（fcc）示意图1
原子铺排方式：密排面，ABCABC…… 返回
、Fe
❖ 面心立方晶格（fcc） （示意图） (演示1) ( 演示2) 晶胞 原胞 Fe、Au、Ag、Cu、Al
Cu 1s22s22p63s23p63d104s1
第二十七页，共65页。
简立方晶格（sc）示意图1
R 1a 2
原子铺排方式：AAA…… 晶胞体积a3, 原子体积
a3 6
返回
第二十八页，共65页。
Atom：希腊语中不可分割的意思。 希腊德谟克里特：物质由原子组成。
希腊哲学家柏拉图：广泛宣传原子论。 十七世纪自然科学开始成熟，牛顿等建立的力学、天文
学、光学的基础。
1840年，Maxwell建立了电磁学理论，确立了经典电 动力学。
19世纪末，Bolzman奠定了统计物理基础。
第十页，共65页。
第十四页，共65页。

第17页/共53页
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三 棱为方向，点阵常数为单位 ；
2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 平移晶向或坐标，让在第一点 在原点则下一步更简单)；
3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2z1 ；
4. 化成最小、整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗
七个晶系及有关特征
特征对称元素
晶胞特点
4个按立方体对 角线取向的3重
旋转轴
6重对称轴
4重对称轴
a=b=c α=β=γ=90°
a=b≠c α=β=90°,γ=12
0°
a=b≠c α=β=γ=90°
3重对称轴
a=b=c α=β=γ≠90°
2个互相垂直的 对称面或3个互 相垂直的2重对
称轴
a≠b≠c α=β=γ=90°
a/h、b/k、c/l。
即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。
第23页/共53页
立方晶系几组晶面及其晶面指标。
（100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行； （110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行； （111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1
(100) (110) (111) 在点阵中的取向
表示方法：用{hkl}表示。
例如：立方晶系中{100}晶面族包括六个晶面
（100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1）
注意，在其他晶系中，通过数字位置互换而得到的晶面不一定属于同 一晶面族，例如，正方晶系中a=bc，因此，{100}晶面族分为两组， 一个包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一个包含（001） （00-1）两个晶面。

晶系
三斜Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ
布拉菲点阵 晶系
简单三斜
六方 Hexagonal
a1=a2＝a3≠c，α=β＝90º， γ=120º
布拉菲点 阵
简单六方
单斜 Monoclinic a≠b≠c， α=γ=90º≠β
正交 a≠b≠c，α=β=γ＝90º
简单单斜 底心单斜
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
3.晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）
求法： 1） 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标轴x，y，z 2） 以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距； 3） 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（h k l）即是。
求法： 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z） 4） 将此值化成最小整数u，v，w并加以方括号[u v w]即是。 （代表一组互相平行，方向一致的晶向）
晶向族<u v w>：具有等同性能的晶向归并而成；
（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二点连线的晶向指数：[x2-x1,y2-y1,z2-z1] *指数看特征，正负看走向
120°
（h k i l ) [u v t w]
i= -( h+k ) t= -( u+v )
三指数系统 → 四指数系统 three－index system four－index system

（h k l） （h k il） i＝-（h＋k）
[U V W]
[u v t w]
U = u - t, V = v - t, W = w