空间点阵

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空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。这14种空间点阵以后就被称为布拉

菲点阵。

空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如图1-8

所示。一般情况下单胞的选取有以

图1-8 空间点阵及晶胞的不同取法图1-9面心立方阵胞中的固体物理原胞

图1-10晶体学选取晶胞的原则

下两种选取方式：

1．固体物理选法

在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征，如图1-9所示。

2．晶体学选法

由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则（如图1-10所示）：

①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；

②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；

③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。

根据以上原则，所选出的14种布拉菲点阵的单胞（见图1-12）可以分为两大类。一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8个顶点上有结点，而每个顶点处的结点又分属于 8个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。另一类为复合单胞(或称复杂单胞)，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。14种布拉菲点

阵中包括7个简单单胞，7个复合单胞。

图1-11 单晶胞及晶格常数

根据单胞所反映出的对称性，可以选定合适的坐标系，一般以单胞中某一顶点为坐标原点，相交于原点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴，定义X、Y轴之间夹角为γ，Y、Z之间夹角为α，Z、X轴之间夹角为β，如图1-11所示。单胞的三个棱边长度a、b、c和它们之间夹角α、β、γ称为点阵常数或晶格参数。六个点阵常数，或者说三个点阵矢量a、b、c描述了单胞的形状和大小，且确定了这些矢量的平移而形成的整个点阵。也就是说空间点阵中的任何一个阵点都可以借矢量a、b、c由位于坐标原点的阵点进行重复平移而产生。每种点阵所含的

平移矢量为：

简单点阵：a、b、c

底心点阵：a、b、c、（a+ b）/2

体心点阵：a、b、c、（a+ b+ c）/2

面心点阵：a、b、c、（a+b）/2、（b + c）/2、（a+ c）/2

所以布拉菲点阵也称为平移点阵。

(1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7)

(8) (9) (10) (11)

(12) (13) (14)

图1-12 14种布拉菲点阵

晶体根据其对称程度的高低和对称特点可以分为七大晶系，所有晶体均可归纳在这七个晶系中，而晶体的七大晶系是和14种布拉菲点阵相对应的，如图1-

12和表1-2所

表1-2 七大晶系和十四种布拉菲点阵

示。所有空间点阵类型均包括在这14种之中，不存在这14种布拉菲点阵外的其它任何形式的空间点阵。例如在图l-12中未列出底心四方点阵，从图1-13可以看出，底心正方点阵可以用简单正方点阵来表示，面心正方可以用体心正方来表示。如果在单胞的结点位置上放置一个结构基元，则此平行六面体就成为晶体结构中的一个基本单元，称之为晶胞。在实际应用中我们常将单胞与晶胞的概念混

淆起来用而没有加以细致的区分。

图1-13面心正方和体心正方点阵的关系图1-14底心正方和简单正方点阵的关系

§1-2 常见的晶体结构及其原胞、晶胞

1) 简单晶体的简单立方(simple cubic, sc) 它所构成的晶格为布喇菲格子。例如氧、硫固体。基元为单一原子结构的晶体叫简单晶体。

其特点有: 三个基矢互相垂直（），重复间距相等，为a，亦称晶格常数。其晶胞=原胞；体积= ；配位数(第一近邻数) =6。（见图1-7）

图1-7简单立方堆积与简单立方结构单元

2) 简单晶体的体心立方 ( body-centered cubic, bcc ) , 例如，Li，K，Na，Rb，Cs,αFe，Cr，Mo，W，Ta，Ba等。其特点有：晶胞基

矢, 并且，其惯用原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的矢量构成：（见图1-9 b）

(1-2)

其体积为；配位数=8；（见图1-8）

图1-8体心立方堆积与体心立方结构单元

图1-9简单立方晶胞(a)与体心立方晶胞、惯用原胞(b) 3) 简单晶体的面心立方 ( face-centered cubic, fcc ) , 例如，Cu，Ag，Au，Ni，Pd，Pt，Ne, Ar, Xe, Rn, Ca, Sr, Al等。晶胞基矢

，并且每面中心有一格点, 其原胞基矢由从一顶点指向另外三个面心点的矢量构成（见图1-10 b）：

(1-3)

其体积=；配位数=12。，（见图1-10）

图1-10面心立方结构(晶胞)(a)与面心立方惯用原胞(b)

4) NaCl结构（Sodium Chloride structure），复式面心立方（互为fcc），配位数=6（图1-11 a)。

表1-1 NaCl结构晶体的常数

5) CsCl结构（Cesuim Chloride structure），复式简单立方（互为sc），配位数=8（图1-11 b）。

表1-2 CsCl结构晶体的常数