控制系统的复域数学模型

第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。

是对实际物理系统的一种数学抽象。

模型各有特点，使用时可灵活掌握。

若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。

11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。

可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。

微分方程在控制系统中起着重要的作用，它是描述系统动态行为的数学工具。

控制系统是一种通过操纵一个或多个输入使得系统输出达到期望目标的工程系统。

在实际的控制系统中，常常会出现不确定因素、各种各样的干扰等问题，这些都会对系统的稳定性和性能造成影响。

微分方程能够描述系统的动态行为，通过对微分方程进行分析和求解，可以得到系统的稳定性、阻尼比、频率响应等重要参数，对于控制系统的设计和优化起着至关重要的作用。

一、微分方程在控制系统中的应用微分方程是一种描述系统动态行为的数学模型，它能够准确地描述系统的变化规律和响应特性。

在控制系统中，微分方程通常被用来描述系统的状态方程、传递函数等。

控制系统可以分为线性系统和非线性系统，而微分方程可以准确描述各种类型的系统。

1.线性系统中的微分方程对于线性系统，微分方程通常采用状态空间法进行描述。

状态空间法是一种描述线性系统动态行为的数学工具，它将系统的状态、输入和输出用变量和矩阵的形式表示，系统的动态行为可以通过一组状态方程和输出方程描述。

状态方程一般采用微分方程进行描述，通过对状态方程进行求解和分析，可以得到系统的稳定性、阻尼比、频率响应等参数。

在控制系统的设计和分析中，状态方程是非常重要的，它能够帮助工程师深入理解系统的动态特性，对系统进行优化和设计。

2.非线性系统中的微分方程对于非线性系统，微分方程同样可以进行描述。

非线性系统由于其非线性特性，系统的动态行为往往更加复杂。

微分方程能够准确描述非线性系统的动态特性，在控制系统的设计中，对非线性系统进行微分方程建模是非常重要的。

通过对非线性系统的微分方程进行分析和求解，可以得到系统的稳定性、周期解、混沌现象等重要信息。

这些信息对于控制系统的设计和优化具有重要的指导意义，能够帮助工程师克服非线性系统的复杂性，实现系统的稳定性和性能要求。

二、微分方程在控制系统设计中的重要性微分方程是控制系统设计中不可或缺的数学工具，它能够帮助工程师深入理解系统的动态特性，为控制系统的设计和优化提供重要的信息。