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§1.1.1 正弦定理教学要求：（一）知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
（二）过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
（三）情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程： 一、复习准备：1、讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形。
已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？二、讲授新课：1、教学正弦定理的推导：（1）特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =，sin c c C =，sin sin sin a b cA B C ==。
（2）推广到斜三角形证明一：（传统证法）在任意斜ABC ∆中：111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b cA B C==， 证明二：（外接圆法）如图所示，A D ∠=∠，∴2sin sin a aCD R A D===，同理2sin b R B =，2sin c R C=。
证明三：（向量法）当ABC ∆为锐角三角形时，过A 作单位向量垂直于AC ，AC +CB =AB ，两边同乘以单位向量， j ⋅r (AC +CB )=j ⋅rAB ，则：⋅AC +⋅CB =⋅AB ，∴()()A C -=-+οοο909090∴A c C a sin sin =，∴sin sin a c A C=， 同理：若过C 作垂直于得：sin sin b c B C =，∴sin sin sin a b cA B C==， 当ABC ∆为钝角三角形时，ACBjACB j设90A ∠>o，过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，同样可证得：sin sin sin a b cA B C ==。
《正弦定理》教学设计一、教学目标分析1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。
3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
三、教学基本流程1、引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；2、结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；4、应用正弦定理解三角形。
五、教学反思1、新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提高数学思维能力。
本设计创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。
2、新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下∠进行“再创造”过程。
本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来的正弦与B（在一般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。
1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理沉着说课本章内容是处理三角形中的边角联络，与初中学习的三角形的边与角的根本联络有亲近的联络，与已知三角形的边和角持平断定三角形全等的常识也有着亲近的联络．教科书在引进正弦定理内容时，让学生从已有的几许常识动身，提出探求性问题“在恣意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角联络.咱们是否能得到这个边、角的联络准确量化的表明呢?”在引进余弦定理内容时，提出探求性问题“假如已知三角形的两条边及其所夹的角,依据三角形全等的断定办法，这个三角形是巨细、形状彻底确认的三角形.咱们依然从量化的视点来研讨这个问题，也便是研讨怎么从已知的两头和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联络的观念，重新的视点看曩昔的问题，使学生关于曩昔的常识有了新的知道，一同使新常识树立在已有常识的坚实根底上，构成杰出的常识结构．教育要点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其根本使用．教育难点1.正弦定理的探求和证明；2.已知两头和其间一边的对角解三角形时判别解的个数．教具预备直角三角板一个三维方针一、常识与技术1.经过对恣意三角形边长和视点联络的探求，把握正弦定理的内容及其证明办法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定了解斜三角形的两类根本问题．二、进程与办法1.让学生从已有的几许常识动身,一同探求在恣意三角形中，边与其对角的联络；2.引导学生经过调查、推导、比较，由特别到一般概括出正弦定理；3.进行定理根本使用的实践操作．三、情感情绪与价值观1.培育学生在方程思维辅导下处了解三角形问题的运算才能；2.培育学生探求数学规则的思维才能，经过三角函数、正弦定理、向量的数量积等常识间的联络来表现事物之间的遍及联络与辩证统一．教育进程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着极点C滚动．师考虑：∠C的巨细与它的对边AB的长度之间有怎样的数量联络？生明显，边AB的长度跟着其对角∠C的巨细的增大而增大．师能否用一个等式把这种联络准确地表明出来？师在初中，咱们已学过怎么解直角三角形，下面就首先来评论直角三角形中，角与边的等式联络．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,依据锐角三角函数中正弦函数的界说，有=sin A， =sin B，又sin C=1=,则.然后在直角三角形ABC中，.推动新课[协作探求]师那么关于恣意的三角形，以上联络式是否依然树立？（由学生评论、剖析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据恣意角三角函数的界说，有CD=A sin B=B sin A,则，同理，可得.然后.（当△ABC是钝角三角形时，解法相似锐角三角形的状况，由学生自己完结）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比持平，即.师是否可以用其他办法证明这一等式？生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角持平，来证明这一联络．师很好！这位同学能充分使用咱们曾经学过的常识来处理此问题，咱们一同来看下面的证法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O 为圆心,连接BO并延伸交圆于B′,设BB′=2R.则依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角持平可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sin C=sin B′=.∴.同理,可得.∴.这便是说,关于恣意的三角形,上述联络式均树立,因而,咱们得到等式.点评:上述证法采用了初中所学的平面几许常识,将恣意三角形经过外接圆性质转化为直角三角形从而求证,此证法在稳固平面几许常识的一同,易于被学生了解和承受,而且消除了学生所持的“向量办法证明正弦定理是仅有途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量办法证明正弦定理作了衬托.[常识拓宽]师接下来,咱们可以考虑用前面所学的向量常识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角联络,而在向量常识中,哪一常识点表现边角联络呢?生向量的数量积的界说式A·B=|A||B|C osθ,其间θ为两向量的夹角.师答复得很好,可是向量数量积触及的是余弦联络而非正弦联络,这两者之间能否转化呢?生可以经过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化.师这一转化发生了新角90°-θ,这就为辅佐向量j的增加供给了头绪,为便利进一步的运算,辅佐向量选取了单位向量j,而j笔直于三角形一边,且与一边夹角呈现了90°-θ这一方式,这是作辅佐向量j笔直于三角形一边的原因.师在向量办法证明进程中,结构向量是根底,并由向量的加法准则可得而增加笔直于的单位向量j是要害,为了发生j与、、的数量积,而在上面向量等式的两头同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,咱们再结合讲义进一步领会向量法证明正弦定理的进程,并留意总结在证明进程中所用到的向量常识点.点评: (1)在给予学生恰当自学时刻后,应着重学生留意两向量的夹角是以同起点为条件,以及两向量笔直的充要条件的运用.(2)要求学生在稳固向量常识的一同,进一步领会向量常识的东西性效果.向量法证明进程:1.△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j笔直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法准则可得,为了与图中有关角的三角函数树立联络,咱们在上面向量等式的两头同取与向量j的数量积运算,得到由分配律可得.∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C)=|j|Co s(90°-A).∴A sin C=C sin A.∴.别的,过点C作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.(此处应着重学生留意两向量夹角是以同起点为条件,避免误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B)∴.2.△ABC为钝角三角形,无妨设A＞90°,过点A作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Co s(90°-C)=C·Co s(A-90°),∴A sin C=C sin A.∴别的,过点C作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为90°+B.同理,可得.∴（方式1）.综上所述,正弦定理关于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均树立.师在证明了正弦定理之后,咱们来进一步学习正弦定理的使用.[教师精讲]（1）正弦定理阐明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且份额系数为同一正数，即存在正数k使A=ksin A，B=ksin B，C=ksin C；（2）等价于 (方式2).咱们经过调查正弦定理的方式2不难得到,使用正弦定理,可以处理以下两类有关三角形问题.①已知三角形的恣意两角及其间一边可以求其他边，如.这类问题因为两角已知,故第三角确认,三角形仅有,解仅有,相对简单,讲义P4的例1就归于此类问题.②已知三角形的恣意两头与其间一边的对角可以求其他角的正弦值，如．此类问题改变较多,咱们在解题时要辨明标题所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的进程叫作解三角形．师接下来,咱们经过例题剖析来进一步领会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 c m,解三角形.剖析:此题归于已知两角和其间一角所对边的问题,直接使用正弦定理可求出边B,若求边C,再使用正弦定理即可.解：依据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;依据正弦定理，b=≈80.1(c m);c=≈74.1(c m).[办法引导]1.此类问题成果为仅有解,学生较易把握,假如已知两角和两角所夹的边,也是先使用内角和180°求出第三角,再使用正弦定理.2.关于解三角形中的杂乱运算可使用计算器.【例2】在△ABC中，已知A=20c m，B=28c m，A=40°，解三角形（视点准确到1°，边长准确到1 c m）．剖析:此例题归于B sin A＜a＜b的景象,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的查验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到意图很清晰,一同领会剖析问题的重要性.解：依据正弦定理，sin B=≈0.899 9.因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）当B≈64°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，C=≈30(c m).（2）当B≈116°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C=≈13(c m).[办法引导]经过此例题可使学生清晰,使用正弦定理求角有两种或许,可是都不契合题意,可以经过剖析取得,这就要求学生了解已知两头和其间一边的对角时解三角形的各种景象.当然关于不契合题意的解的取舍,也可经过三角形的有关性质来判别,关于这一点,咱们经过下面的例题来领会.变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(准确到1°)和C(保存两个有用数字).剖析:此题归于A≥B这一类景象,有一解,也可依据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来扫除B为钝角的景象.解：已知B<A,所以B<A,因而B也是锐角.∵sin B=≈0.513 1,∴B≈31°.∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.∴C=≈91.[办法引导]同样是已知两头和一边对角,但或许呈现不同成果,应着重学生留意解题的灵活性,关于本题,假如没有考虑角B 所受约束而求出角B的两个解,从而求出边C的两个解,也可使用三角形内两头之和大于第三边,两头之差小于第三边这一性质从而验证而到达扫除不契合题意的解.变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(准确到1°)和C(保存两个有用数字).剖析:此题归于A为钝角且A>B的景象,有一解,可使用正弦定理求解角B后,使用三角形内角和为180°扫除角B为钝角的景象.解：∵sin B=≈0.618 6,∴B≈38°或B≈142°(舍去).∴C=180°-（A+B）=22°.∴ C=≈12.[办法引导](1)此题要求学生留意考虑问题的全面性,关于角B为钝角的扫除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)归纳上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两头与其间一边的对角解三角形.3.关于已知两头夹角解三角形这一类型,将经过下一节所学习的余弦定理来解.师为稳固本节咱们所学内容,接下来进行讲堂操练：1.在△ABC中(成果保存两个有用数字)，1.已知C =,A=45°,B=60°，求B;2.已知B＝12,A＝30°,B＝120°,求A.解：(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，，∴B=≈1.6.(2)∵，∴A=≈6.9.点评:此题为正弦定理的直接使用,意在使学生了解正弦定理的内容,可以让数学成果较弱的学生进行在黑板上回答,以增强其自信心.2.依据下列条件解三角形(视点准确到1°,边长准确到1):1.B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1) ∵.∴sin A=≈0.909 1.∴A1≈65°，A2≈115°.当A1≈65°时，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C1=≈22.当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C2=≈13.2.∵sin B=≈0.505 1,∴B1≈30°，B2≈150°.因为A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或许由B＜A知B＜A,故B应为锐角).∴C=180°-(45°+30°)=105°.∴C=≈38.3.∵,∴sin B=≈0.654 6.∴B1≈41°,B2≈139°.因为B＜C,故B＜C,∴B2≈139°应舍去.∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°,A=≈24.4.sin B= =1.212＞1.∴本题无解.点评:此操练意图是使学生进一步了解正弦定理,一同加强解三角形的才能,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种或许,又要结合标题的具体状况进行正确取舍.讲堂小结经过本节学习,咱们一同研讨了正弦定理的证明办法,一同了解了向量的东西性效果,而且清晰了使用正弦定理所能处理的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两头和其间一边的对角解三角形.安置作业（一）讲义第10页习题1.1第1、2题.（二）预习内容：讲义P5～P 8余弦定理[预习提纲]1.温习余弦定理证明中所触及的有关向量常识.2.余弦定理怎么与向量发生联络.3.使用余弦定理能处理哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明办法:3.使用正弦定理,可以处理两类问题:1.平面几许法 (1)已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两头和其间一边的对角。
正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。
其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。
所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。
2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。
3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。
课题：1.1.1正弦定理
【学习目标】
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
【学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用。
【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
【学习方法】
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
课题：1.1.1正弦定理
课题：1.1.1正弦定理。
高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计1000字【教学设计】【教学目标】1. 理解正弦定理的概念，掌握求解三角形边长的方法。
2. 学会运用正弦定理求解实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学内容】《数学必修5》第1章第1节，“正弦定理”（1.1.1）。
【教学过程】一、导入1. 引导学生思考：“三角形的边有什么特点？”2. 让学生回忆一下高中数学所学的定理，比如勾股定理和角平分线定理。
3. 引入正弦定理的概念，让学生对正弦定理有个初步的了解。
二、知识讲授1. 讲解正弦定理的概念及其公式。
2. 分别对三角形中的三角函数进行讲解，让学生对它们的定义有一个清晰的认识。
3. 通过图示让学生知道在不同情况下如何使用正弦定理解决问题。
4. 给学生提供几个具体例子，让他们练习运用正弦定理解决实际问题。
三、练习1. 让学生自主完成课本上的练习题，巩固所学知识。
2. 可以组织学生进行小组竞赛，比赛项目为用正弦定理解决实际问题，以此提高学生的兴趣和参与度。
四、复习与总结1. 以课堂小测验的形式检查学生对所学知识的掌握情况。
2. 对所学知识进行概括性总结，让学生对正弦定理的应用有更全面的了解。
【教学重点】1. 正确掌握正弦定理的概念和公式。
2. 熟练掌握正弦定理的运用方法。
【教学难点】1. 正弦定理的应用在实际问题中的具体运用。
2. 正确判断在不同情况下使用正弦定理的方法。
【教学方法】1. 讲解法：通过讲解，让学生明白正弦定理的概念和公式。
2. 案例法：通过实例让学生知道如何使用正弦定理解决问题。
3. 组织竞赛法：通过小组竞赛，让学生更加积极主动地参与课堂活动。
【学情分析】学生学习高中数学是从基础数学知识逐步深入的，正弦定理是高中数学重点内容之一，更为复杂的三角函数内容的基础。
学习正弦定理需要有良好的基础数学知识，同时也需要良好的逻辑思维能力，因此需要从基础知识入手，渐进进行教学。
【教学建议】1. 为了保证课堂效果，教师应该采用多样化的教学法，如讲解法、案例法、练习法等。
(新课标)2019高中数学-1.1.1正弦定理教学设计-新人教A版必修5人教版高中数学必修精品教学资料1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系,与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联CcB b A a sin sin sin ==. 师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆,在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等,来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题,我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°,∠C =∠B′,∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==.∴R Cc B b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.[知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化.师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得AB CB AC =+而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键,为了产生j 与AB、AC 、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(由分配律可得AB j CB j AC •=•+.∴|j|ACCo s90°+|j|CBCo s(90°-C )=|j|ABCo s(90°-A ).∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =.另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j与AB 的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==. (2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC垂直的单位向量j,则j 与AB的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .由AB CB AC =+,得j·AC+j ·CB =j·AB ,即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°),∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =. ∴Cc B b simA a sin sin ==（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使A =ksin A ,B =ksin B ,C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边,如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题.②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC 中,已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理,C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根据正弦定理,b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m).[方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中,已知A =20c m,B =28c m,A =40°,解三角形（角度精确到1°,边长精确到 1c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理,sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9. 因为0°＜B ＜180°,所以B ≈64°或B ≈116°.（1）当B ≈64°时,C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°,C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m).（2）当B ≈116°时,C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°,C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1, ∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =oo A C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91.[方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6,∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-（A +B ）=22°.∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字), (1)已知C =3,A =45°,B =60°,求B ; (2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A .解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°,CcB b sin sin =, ∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =, ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1):(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°;(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解： (1) ∵B bA a sin sin =. ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1. ∴A 1≈65°,A 2≈115°.当A 1≈65°时,C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°,∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22. 当A 2≈115°时,C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13. (2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a Ab ≈0.505 1, ∴B 1≈30°,B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角).∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38. (3)∵CcB b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6. ∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去.∴当B =41°时,A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a Ab =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法(1)已知两角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角习题详解（课本第5页练习）1.解：（1）∵B b A aC c sin sin sin ==,∴a =︒︒=30sin 45sin 10sin sin C A c ≈14. B =180°-A -C =105°,∴b =︒︒=30sin 105sin 10sin sin C B c ≈19. （2）C =180°-A -B =180°-60°-45°=75°,∵B bA a C c sin sin sin ==, ∴a =︒︒=75sin 60sin 20sin sin C A c ≈18, b =︒︒=•75sin 45sin 20sin sin C B c ≈15. 2.解：（1）∵C cB b A a sin sin sin ==, ∴sin A =11101130sin 20sin =︒=b B a .又0°＜A ＜180°,∴A ≈65°或A ≈115°.①当A ≈65°时,C =180°-A -B =180°-65°-30°=85°,c =︒︒=30sin 85sin 11sin sin B C b ≈22. ②当A ≈115°时,C =180°-115°-30°=35°,c =︒︒=30sin 35sin 11sin sin B C b ≈13. (2)∵C c B b A a sin sin sin ==,∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.007 2. 又B 为锐角,∴B ≈41°,A ≈24°,∴A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24.备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析. 设已知A 、B 、A ,则利用正弦定理aAb B sin sin =, 如果sin B ＞1,则问题无解. 如果sin B ＝1,则问题有一解;如果求出的sin B ＜1,则可得B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断. 2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC ,设BC ＝A , CA ＝B ,AB ＝C ,作AD ⊥BC ,垂足为D .则Rt△ADB 中,ABADB =sin , ∴AD =AB ·sin B =c sin B .∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•. 同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=.∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==.∴ab sin c =bc sin A =ac sin B ,在等式两端同除以ABC ,可得bBa A c C sin sin sin ==. 即Cc B b A a sin sin sin ==.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A =2Rsin A ,B =2Rsin B ,C =2Rsin C 或sin A =RcC R b B R a 2sin ,2sin ,2==.（R 为△ABC 外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用.二、典型例题1．若△ABC 中(A 2+B 2)sin(A -B )=(A 2-B 2)sin C ,则△ABC 是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A =2Rsin A ,B =2Rsin B 以及结论sin 2A -sin 2B =sin(A +B )sin(A -B ),由（A 2+ B 2）sin(A -B ) = (A 2- B 2)sin C ,∴(sin 2A +sin 2B )sin(A -B ) =(sin 2A -sin 2B )sinC =sin(A +B )·sin(A -B )·sin C .若sin(A -B )= 0,则 A = B .若sin(A -B )≠0,则sin 2A +sin 2B =sin 2CA 2+B 2=C 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案选D .2.在△ABC 中,A =45°,B ∶C = 4∶5,最大边长为10,求角B 、C ,外接圆半径及面积S.分析：由A +B +C =180°及B ∶C =4∶5,可得B =4K,C =5K,则9K=135°,故K=15°.那么B =60°,C =75°.由正弦定理)26(575sin 210-=︒=R ,由面积公式32575sin sin 221sin 21-=••=•=A B R c A bc S .点评：求面积时B 未知但可转化为B =2Rsin B ,从而解决问题.3.在△ABC 中,已知A =30°,A 、B 分别为角A 、B 对边,且A =4,B =43,解此三角形.分析：由正弦定理知23sin sin 3430sin 4sin sin =⇒=︒⇒=B B B b A a . 那么B 1=60°,C 1=90°,C 1=8或B 2=120°,C 2=30°,C 2=4.点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角,如图可以看出满足条件的三角形有2个.4.已知△ABC 的三个内角成等差数列并且t a n A ·t a n C =2+3,（1）求A 、B 、C 的度数;（2）若AB 边上的高CD =43,求三边A 、B 、C 的长．分析：（1）由2B =A +C ,得B =60°,则A +C =120°,32cos cos sin sin 32tan tan +=••⇒+=•CA CA C A .即(2+3)CO s A ·CO s C -sin A ·sin C =0⇒(1+3)CO s A ·CO s C + (CO s A ·CO s C -sin A ·sin C )=0 ⇒(1+3)·21［CO s(A +C )+CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0 ⇒231+［-21+CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0.∴CO s(A -C )=23. 得|A -C |=30°.又∵A +C =120°.∴A =45°,C =75°或A =75°,C =45°.（2）如图,若A ＜B ＜C ,由正弦定理得A =8,B =46,C =BCO s A +ACO s B =4(3+1).同理,若A ＞B ＞C 时,则A =4(3+1),B =46,,C =8.点评：这类具有一定综合性的题目,恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A +C =120°,恒等变形的目标就是寻找A 与C 的关系,用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化．此题还可以由t a n A ·t a n C =2+3求出t a n A +t a n C =3+3,运用韦达定理解出t a n A 和t a n C ,这对综合能力的训练大有益处．。
1.1。
1 正弦定理教学要求:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程:一、复习引入：1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。
二、讲授新课：探究一:在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. 探究二:能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =。
同理，sin sin a cA C=（思考如何作高？）,从而sin sin sin a b cA B C==。
探究三:你能用其他方法证明吗？1． 证明一：(等积法)在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==。
两边同除以12abc 即得：sin a A =sin bB =sin c C。
2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ,∴2sin sin a aCD R A D===， 同理sin bB=2R ,sin c C ＝2R 。
3．证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…。
.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R[理解定理] 1公式的变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2)1(===C B A c b a sin :sin :sin ::)3(=,2sin ,2sin ,2sin )2(Rc C R b B R a A ===Bb Cc C c A a B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin )4(===2.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
