黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三上学期期末考试数学(文)答案

2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期10月月考数（理）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x R x =∈+>，{}|1B x Z x =∈≤，则A B =（ ）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】根据交集的运算，即可得出结果. 【详解】解：根据题意可知{}|1A x R x =∈>-，{}|1B x Z x =∈≤， 所以{}0,1AB =.故选：C. 【点睛】本题考查交集的运算，考查运算求解能力，分析问题能力，属于基础题. 2．设复数z 满足()(1)2z i i i -+=，则||z =（ ）A ．5BC ．2D ．1【答案】B【解析】利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可. 【详解】由()()12z i i i -+=， 得2121iz i i i=+=++，则z =. 故选B. 【点睛】本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式，属于简单题. 3．已知命题:0,1xp x e ∀≥≥或sin 1x <，则p ⌝为（ ）A ．0,1x x e ∃<<且sin 1x >B ．0,1x x e ∃≥<或sin 1x >C ．0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥D ．0,1x x e ∃<≥或sin 1x ≤【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断. 【详解】解：命题:0,1xp x e ∀≥≥或sin 1x <为全称命题，由全称命题的否定为特称命题，则p ⌝为0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥故选：C 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.4．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．5．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【考点】函数的图象与性质．6．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．2C ．D【答案】B【解析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=故选：B 【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.7．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，则()()()1210f a f a f a +++的值为 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．2【答案】A【解析】分析知数列为以1为首项,1为公差的整数列问题转化为求()()()1210f f f +++,由函数周期为2又是奇函数,根据这些性质求出函数的前二个值即可. 【详解】因为数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以()11n a n n =+-=，∴奇函数()f x 的定义域为R,(0)0,(1)(1)0f f f ∴=+-=又()f x 是以2为周期的周期函数,(10)(8)(6)(4)(2)(0)0,(1)(1)f f f f f f f f ∴=======-(1)0f ∴=，(9)(7)(5)(3)(1)0f f f f f ∴=====，()()()1210f a f a f a ++⋯+()()()12100f f f =+++=.应选A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,等差数列的特征,知识覆盖面广,技能性较强，属于中档题.8．已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则向量AB 在向量CD 方向上的投影为A ．5B ．5C ．5D ．5【答案】B【解析】分别求出向量AB 、CD 的坐标和数量积，以及模，再由向量AB 在向量CD 方向上的投影为AB CD CD⋅，计算即可得到所求值．【详解】由()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，可得()()2,2,1,3AB CD ==-，()21234AB CD ⋅=⨯-+⨯=，1CD =+=，则向量AB 在向量CD 方向上的投影为5AB CD CD⋅==，故选B. 【点睛】本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 9．若2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点，函数()()g x f x m =-恰好有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()24,,0e ⎛⎫+∞⋃-∞ ⎪⎝⎭B ．{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(),0-∞【答案】B【解析】由2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点求出实数a 的值，由题意可知，直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点，利用导数研究函数()y f x =的单调性与极值，数形结合可求得实数m 的取值范围.【详解】()()22x f x x ax e =+，该函数的定义域为R ，则()()2222xf x x a x a e '⎡⎤=+++⎣⎦，由于2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点，则()2220f ae -'-=-=，解得0a =，()2x e f x x ∴=，则()()2x f x x x e '=+.列表如下：由于函数()()g x f x m =-恰好有一个零点，则直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点，如下图所示： 当x →-∞时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞. 由图象可知，当0m =或24m e>时，直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点.综上所述，实数m 的取值范围是{}240,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用函数的极值点求参数，考查计算能力，属于中等题. 10．若函数()()sin xf x e x a =+在区间R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．()1,+∞C ．[)1,-+∞D ．)+∞【答案】A【解析】本题先求导函数，根据已知条件建立不等式()'0f x ≥，接着参变分离，构造新函数())4g x x π=+，求最大值即可解题.【详解】 解：∵ ()()sin xf x e x a =+，∴ ()()'sin cos )4xx f x ex x a e x a π⎤=++=++⎥⎦，∵ 函数()()sin xf x e x a =+在区间R 上单调递增，∴()()'sin cos )04xx f x ex x a e x a π⎤=++=++≥⎥⎦恒成立，∴ )4a x π≥+恒成立，令())4g x x π=+，即max ()a g x ≥=∴a ≥故选：A. 【点睛】本题考查利用导函数研究原函数的单调性的应用，参变分离三角函数求最值，恒成立问题，是基础题.11．已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则方程22[()]3()20f x f x --=实根的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦得到()2f x =或()12f x =-，再根据()f x 的图象来判断当()2f x =或()12f x =-时对应的x 有几个，即为实根个数 【详解】由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =-，当0x ≥时，()()21212121f x x x x x '=-=-，当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递减，当()1,∈+∞x 时，0fx，()f x 单调递增，∴函数()f x 在1x =处取得极小值，极小值为()14611f =-+=-，绘制函数()f x 的图象如图所示，观察可得，方程22[()]3()20f x f x --=的实根个数为3，故选B【点睛】本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键12．已知函数()sin ,()f x x x x R =+∈，且()()2223410f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是（ ）A ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3⎡⎤⎣⎦D ．1,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据已知函数解析式，可知为奇函数，利用导数可判断出其单调递增，由已知函数不等式得22(2)(1)1x y -+-≤，即1y ≥时是以(2,1)为圆心的上半部分的圆，而1y x +表示过点(1,0)-的直线斜率k ，根据几何性质结合图象即可求出1y x +的范围. 【详解】由()1cos 0f x x '=+≥知：()f x 单调递增，又()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-知：()f x 为奇函数，()()2223410f y y f x x -++-+≤有()()2222341(41)f y y f x x f x x -+≤--+=-+-，∴222341y y x x -+≤-+-，整理得22(2)(1)1x y -+-≤，1y ≥时即(,)x y 的取值区域如下图阴影部分所示： ∴1y x +表示直线(1)y k x =+在过图中阴影部分的点时斜率1yk x =+，即问题转化为直线与阴影区域有交点时，k 的取值范围，∴当与半圆相切，k 取最大值，而此时圆心(2,1)到(1)y k x =+的距离1d ==，得34k =；当交半圆于右端点(3,1)时，k 取最小值为14，所以k 的取值范围13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】本题考查了根据函数的性质确定代数关系的几何意义，应用数形结合的方法求目标代数式的范围，属于难题. 二、填空题13．当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 【答案】【解析】试题分析：sin 32sin 3y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以当232x k πππ-=+时函数取得最大值，此时56x π= 【考点】三角函数最值14．函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________． 【答案】(),0-∞【解析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论． 【详解】 由220x x ->， 可得2x >或0x <， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞又()211t x =--在区间(),0-∞的单调递减，13log y t =单调递减,∴函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是(),0-∞, 故答案为(),0-∞． 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）. 15．在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP ＝λED ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是______________.【答案】[－1,1] 【解析】【详解】建立如图所示的直角坐标系，设∠P AE ＝α，则 A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)，F ，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵AP ＝λED ＋μAF ， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ， ∴cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋μ， ∴λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12 (cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝sin α－cos αsin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，∴－2≤sin(α－45°)≤2，∴－α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．点睛：向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解． 三、双空题16．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22m →⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x →=，()0,x π∈.若//m n →→，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n →→→+=恒成立，则实数t 的取值范围为______.【答案】34π)【解析】（1x x =，则tan 1x =-，即可得x ；（2）计算得sin ,cos 22m n x x →→⎛+=+- ⎝⎭，则m n →→+=1n →=，由条件可转化得t =()0,π上有两个不同的解，故可得t 的取值范围. 【详解】 （1）由向量共线得22x x =-，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=-； （2）计算得sin ,cos m n x x →→+=+⎝⎭，则m n →→+==， 又存在两个不同的x 值，使得n m t n →→→+=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解， 令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 令4m x π=-，则322sin ,,44y m m ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，如图：2t <<. 故答案为：（1）34π；（2）)【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想. 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2322n n S n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nT n =+. 【解析】（1）本小题运用借n S 求n a 直接求出32n a n =-（2n ≥），再验证1n =是否满足即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求出31n n T n =+即可. 【详解】解：（1）∵2322n n S n =- 所以当2n ≥时，2131(1)22n n S n --=-- 两式相减并化简得32n a n =-当1n =时，111a S ==也符合此通项公式故32n a n =-（2）由（1）知32n a n =-，所以111111(32)(31)33231+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n n b a a n n n n 所以31n n T n =+ 【点睛】 本题考查借n S 求n a ，裂项相消法求前n 项和，是基础题.18．已知向量()23sin cos ,sin a x x x =-，()cos ,sin b x x =，()1f x a b =⋅+. （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心（2）求函数()f x 的单调减区间；【答案】（1）最小正周期是π，对称中心为,1()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）5[,],36k k k ππππ++∈Z . 【解析】由()1f x a b =⋅+结合向量数量积的坐标公式有()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）由正弦函数的最小正周期为2||T πω=、对称中心为(,1)()k k Z π∈即可求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）由正弦函数的单调减区间为()3[2,2]22k k k Z ππππ++∈即可求()f x 的单调减区间；【详解】（1）函数()f x 的最小正周期是22T ππ==， 由2()6x k k Z ππ-=∈得()212k x k Z ππ=+∈，即对称中心为,1()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）由于函数sin y u =的单调递减区间为322,22uk u k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭， 解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ； 【点睛】 本题考查了正弦函数的性质，应用了向量数量积的坐标公式、倍角公式、辅助角公式化简函数式，得到三角函数解析式，依据正弦函数的性质求最小正周期、对称中心、单调区间.19．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）max min ()3()2f x f x ∴==， （2）(14)， 【解析】（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2633x ∴≤-≤，即π212sin 233x ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭， max min ()3,()2f x f x ∴==．（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，max ()2m f x ∴>-且min ()2m f x <+，14m ∴<<，即m 的取值范围是(1,4)．20．已知函数21()ln ()2f x a x x a ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R （1）当1a ＝时，求()f x 在区间[1,]e 上的最大值和最小值；（2）证明：当10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，在区间(1,)+∞上，不等式()2f x ax <恒成立. 【答案】(1)2max ()12e f x =+,min 1()2f x =;(2)见解析. 【解析】(1)当1a ＝时,21()12f x x nx =+,211'()x f x x x x+=+=利用导数研究函数的单调性即可得出最值;(2)令21()()2212g x f x ax a x ax nx ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭,(1,)x ∈+∞,在区间(1,)+∞上,不等式()2f x ax ＜恒成立等价于()0<g x 在区间(1,)+∞上恒成立.利用导数研究函数的单调性即可得出()g x 大值.【详解】(1)解:当1a ＝时,21()12f x x nx =+,则211()x f x x x x'+=+= 对于[1,e]x ∈,有'()0f x >.()f x ∴在区间[1,]e 上为增函数2max ()()12e f x f e ∴==+,min 1()(1)2f x f ==. (2)证明:21()()2212g x f x ax a x ax nx ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,(1,)x ∈+∞ 当10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,则有210a ≤﹣,此时在区间(1,)x ∈+∞上恒有()0g x '< 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数.()(1)g x g ∴<,又1(1)02g a =--<， ()0g x ∴<,即()2f x ax ＜恒成立. 【点睛】本题考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.求函数的最值,常用的方法有图像法,单调性分析求最值,导数法等.利用导数求最值时,明确函数的定义域,求导后,解出导数为零的根,分析函数及导数随自变量的变化情况,进而可求出最值.若证明()f x A > 恒成立,只要证明min ()f x A > 即可; 若证明()f x A < 恒成立,只要证明max ()f x A < 即可. 21．已知在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且π3C =. (1)若224c a ab =-，求sin sin B A； (2)求sin sin A B ⋅的最大值.【答案】(1)sin sin B A =（2）34.【解析】（1）先利用余弦定理求得b =，再根据正弦定理得结果；（2）根据正弦、余弦的二倍角公式及利用两角和公式化简整理，利用正弦函数的性质求得()f x 的最大值.【详解】(1)由余弦定理及题设，22224c a b ab a ab =+-=-得b =.由正弦定理知sin sin b B a A =，得sin sin B A=(2)由已知2π3A B +=， 2π03A <<∵，∴当π3A =时，sin sin A B 取最大值34. 22．已知函数()()(),x f x x a e b a b =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对给定的a ，函数()f x 有零点，求b 的取值范围；（3）当2a =，0b =时，()()ln F x f x x x -=+，记()y F x =在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为m ，且[),1,m n n n ∈+∈Z ，求n 的值．【答案】（1）(),1x a ∈-∞-，函数()f x 单调递减；()1,x a ∈-+∞，函数()f x 单调递增；（2）当1a b e -≤时，函数()f x 有零点；（3）4n =-．【解析】（1）函数的定义域为R ，求导得()()'1xf x x a e =-+，再根据()'0f x >和()'0f x <求单调区间即可；（2）结合（1）得函数()f x 在1x a =-时取得最小值，且当x →+∞时，()f x →+∞，故满足题意需满足()()min 10f x f a =-≤，进而求得b 的取值范围；（3）根据题意得()()2ln xF x x e x x =-+-，研究函数的单调性得函数()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001x x e =，故()000212m F x x x --==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求得43m -<<-，进而得4n =-.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()1'x x x x a e e e f a x x -+=-=+，令()'0f x >得1x a >-，所以函数()f x 在()1,x a ∈-+∞上单调递增；令()'0f x <得1x a <-，所以函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减.（2）对给定的a ，当x →+∞时，()f x →+∞，又因为函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减，在()1,x a ∈-+∞上单调递增 所以函数()f x 在1x a =-时取得最小值，故函数()f x 要有零点，则需有()()min 10f x f a =-≤，即：10a e b --+≤，故1a b e -≤，所以对给定的a ，函数()f x 有零点，b 的取值范围为(1,a e-⎤-∞⎦（3）当2a =，0b =时，()()2x f x x e =-， 所以()()()ln 2ln xF x f x x x x e x x =+=+---， 所以()()()()111'1111x xx x xe F x x e x e x x x x --=--+=-+=-，令()1x g x xe =-，则()()'10x g x x e =+>在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上成立， 所以()1x g x xe =-在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 由于111ln 222211111=2=02222g e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()110g e =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即001x x e =. 所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()g x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上满足()0g x <， 在()0,1x 上满足()0g x >所以()'F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上满足()'0F x >，在()0,1x 上满足()F'0x <， 所以函数()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减， 所以()()()000000max 022ln 12x F x e m F x x x x x x ===---=-+，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2222222'0x h x x x--=>=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 所以()212h x x x --=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 由于114142h ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11223h =--=-， 所以43m -<<-，因为[),1,m n n n ∈+∈Z所以4n =-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数的最值，考查数学运算求解能力，属于较难题.。

2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（ ） A ．2x ∀>，210x -≤ B ．2x ∀≤，210x -> C ．2x ∃>，210x -≤ D ．2x ∃≤，210x -≤【答案】C【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题p ⌝. 【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，由全称命题的否定可知，命题:2p x ⌝∃>，210x -≤.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题. 2．已知{}215A x x =->，{}3,4,5,6B =，则A B =（ ）A ．{}3B ．∅C ．{}3,4,5,6D ．{}4,5,6【答案】D【分析】求出集合A ，进而与集合B 取交集即可.【详解】因为{}{}2153A x x x x =->=>，{}3,4,5,6B =， 所以{}4,5,6AB =.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集，考查学生对基础知识的掌握. 3．已知函数()212f x x -=-，则()2f 的值为（ ）A ．1-B ．7C ．2D ．1【答案】B【分析】令12x -=得3x =，再代入解析式计算可得； 【详解】解：因为()212f x x -=-，由12x -=得3x =，所以()22327f =-=.故选：B.4．下列四个数中，最大的是（ ） A ．0.1log 6 B ．2log 9C ．3log 12D ．4log 15【答案】B【分析】根据对数的性质，判断各选项对数值所在的区间即可知它们的大小关系.【详解】因为0.1log 60<，2log 93>，32log 123<<，41log 152<<，所以最大的是2log 9. 故选：B【点睛】本题考查对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养. 5．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x =（ ）A ．3±B ．2±C ．5±D ．2±【答案】B【分析】设tan x t =，直接利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式展开求解.【详解】设tan x t =，因为()2222221211tan 2tan 541111t t t t t x x t t t t π-+++⎛⎫-+=-=== ⎪----⎝⎭， 所以232t =，故tan x t ==. 故选：B【点睛】本题考主要查两角和的正切公式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将cos y x =图象上所有点（ ） A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 C ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，22T ππ=⨯=，22πωπ==，∵sin[2]06πϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，∴3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，可得：()2cos 236f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴将cos y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到()y f x =的图象，故选A. 7．在ABC ∆中，6A π=，ABC ∆的面积为2，则2sin sin sin 2sin sin C BC B C++的最小值为（ ）A ．32B ．334C ．32 D ．53【答案】C 【解析】分析：详解：由ABC ∆的面积为2，所以11sin sin 2226S bc A bc π===，得8bc =， 在ABC ∆中，由正弦定理得22sin sin 22sin 2sin sin 2(2)C B c b cb bcC B C c b c b c b c +=+=++++ 22222216841841132282848248222b b b b b b ++=+=+-≥⋅-=-=+++， 当且仅当2,4bc ==时，等号是成立的，故选C ．点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用． 8．在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB DC =，点P 在线段BC 上，且2BP PC =，则（ ）A ．2132AP AB AD =+ B ．1223AP AB AD =+C ．3322AP AB AD =+ D ．2233AP AB AD =+ 【答案】D【分析】由图形结合平面向量的线性运算即可得解. 【详解】因为1122BC AB AD DC AB AD AB AD AB =-++=-++=-，2BP PC =， 所以221333BP BC AD AB ==-， 所以2122++3333AP AB BP AB AD AB AB AD =-+==.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的应用及用基底表示向量，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A ．20 B ．17C ．19D ．21【答案】C【解析】试题分析：由等差数列的性质和求和公式可得10110,0a a ><又可得:而20101110()0S a a =+<,进而可得n S 取得最小正值时19n =.【解析】等差数列的性质10．已知等比数列{}n a 中，1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根，则215181a a a ⋅⋅的值为（ ） A ．64 B ．64±C ．256D ．256±【答案】A【分析】利用韦达定理和等比数列的性质，结合等比数列通项公式求出51a ，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】因为1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根， 所以由韦达定理可得，1101110116,10a a a a ⋅=+=, 即()1001110a q+=，所以10a>，由等比数列的性质知,2110121815116a a a a a ⋅=⋅==，因为50511a a q =⋅0>，所以514a =，所以215181a a a ⋅⋅64=. 故选:A【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式；考查运算求解能力；利用韦达定理和等比数列的性质正确求出51a 的值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.11．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ） A． B．C．3+ D．3+【答案】D【分析】由导数的几何意义转化条件得1a b +=，进而可得1223b a a b a b+=++，由基本不等式即可得解. 【详解】因为函数ln()y x b =+的导数1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 所以11x b=+即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-得10b a --=，即1a b +=， 又a 、b 为正实数， 所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =-.所以12a b+的最小值是3+. 故选：D.【点睛】本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．已知实数x 、y 满足3210204130x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件3210204130x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩作出可行域如下图所示：联立413020x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，解得13xy=-⎧⎨=⎩，即()1,3A-，化2z x y=-为2y x z=-，由图可知，当直线2y x z=-过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，即()min2135z=⨯--=-.故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.二、填空题13．已知曲线sin6y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭关于直线1x=对称，则ω的最小值为________.【答案】3π【分析】由题意可得出ω的表达式，由此可求得ω的最小值.【详解】因为曲线sin6y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭关于直线1x=对称，所以()62k k Zππωπ+=+∈，所以()3k k Zπωπ=+∈，当0k=时，ω取最小值为3π.故答案为：3π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数的最值，考查计算能力，属于中等题.14．设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【分析】根据平面向量垂直的性质可得21a b b =-=-⋅，进而可得()2b a b ⋅+、2a b +，再根据投影的公式代入求解即可. 【详解】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15．关于x 的不等式230x ax a -++≥在区间[]2,0-上恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】2a ≥-【分析】先分离参数得4(1)21a x x ≥-++-，再利用基本不等式求右边式子的最大值得解. 【详解】由题得234(1)211x a x x x +≥=-++--，因为20,311x x -≤≤∴-≤-≤-， 所以44(1)2=-[(1-x)+]22211x x x-+++≤-=---. 当且仅当x=-1时得到等号. 所以a≥-2. 故答案为2a ≥-【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知向量(3,2)AB =，(5,1)AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为______．【答案】90︒【分析】利用向量夹角公式，计算出向量0AB BC ⋅=，由此判断出向量AB 与BC 的夹角为90︒.【详解】由于()2,3BC AC AB =-=-，所以()()3,22,30AB BC ⋅=⋅-=，所以向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故答案为：90【点睛】本小题主要考查向量坐标的线性运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求 ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cos A 的值，即可确定出角A 的大小；(2)由,cos a A 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc 的最大值，即可确定出三角形ABC 面积的最大值． 【详解】解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ， 由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ， ∵sin 0C ≠， ∴1cos 2A =， ∵(0,)A π∈， ∴3A π=；（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号）∴1sin 2=≤ABCSbc A所以ABC 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．已知函数()π2sin cos 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值及相应x 的值．【答案】（1）πT =；（2）π12x =时，()max 1=+f x ；π4x =-时，()min =f x ．【分析】（1）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化为一个角的三角函数得最小正周期； （2）求得ππ5π2636x -≤+≤结合三角函数性质求解最值即可【详解】（1）解：()π12sin cos 2sin cos 32f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21sin cos sin 22x x x x ==πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期πT =． （2）解：当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2636x -≤+≤，当ππ232x +=，即π12x =时，函数取得最大值()max π112f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭当ππ236x +=-，即π4x =-时，函数取得最小值()min π314f x f -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，考查三角函数的图像及性质，考查三角公式的运用，是中档题.19．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值； （2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间. 【答案】（1）T π=，2ω=，3πϕ=；（2）,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性．【详解】解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，可得32134123πππω=-，解得2ω=，∴最小正周期22T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为函数过13,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523k k Z πϕπ=-+∈ 因为2πϕ<，所以3πϕ=．所以()sin(2)3f x x π=+ （2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，所以2[36x ππ+∈-，5]6π，令2632x πππ-≤+≤，解得412x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.20．设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，749=S . （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，12n nb -=或11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；（2）12362n n n T -+=-【分析】(1)由已知求得公差和首项即可； (2) 2313572112222n n n T --=++++⋯+，①23111352321222222n n nn n T ---=+++⋯++，②利用错位相减法①−②可得n T ．【详解】解：（1）由()17412177349a d S a a d =⎧⎨==+=⎩，则1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩或112a d =⎧⎨=⎩， 当1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；当112a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n n b -=；（2）当1d >时，由（1）可得，21n a n =-，12n n b -=，则1212n n n c --=， ∴12135211222n n n T --=+++⋯+ ∴123111352321222222---=++⋯++n n n n n T ， ∴1231122222123132222222n n n nn n T --+=+++⋯+-=-，∴12362n n n T -+=-． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差0d ≠，414S =且1a ，3a ，7a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）()22n nT n =+.【分析】（1）由等差数列的通项公式、前n 项和公式结合等比数列的性质列方程可得数列首项与公差，即可得解； （2）由111112n n a a n n +=-++，结合裂项相消法即可得解. 【详解】（1）因为数列{}n a 为等差数列，414S =，1a ，3a ，7a 成等比数列，所以2317a a a =⋅，所以()()1211143414226a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，又因为0d ≠，所以121a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a a n d n =+-=+；（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++， 所以()111111112334122222n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及裂项相消法的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 22．已知函数211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【分析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭， 令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增.（2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当02a e-<<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018级高三上学期期末考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单选题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2320A x x x =+-≤,(){}2|log 210B x x =-≤,则A B =（ ） A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦2．描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期,在漆器表面,用金色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹.现甲,乙两位工匠要完成A ,B ,C 三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间（单位：h ）如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要（ ）A ．43hB ．46hC ．47hD ．49h3．已知函数42()f x x x =-,则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-4．若将函数3sin 2y x =的图像向右平移12π个单位,则平移后的函数的对称中心为（ ）A ．(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B ．(),026k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．(),0212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 5．已知()1,2A ,()3,4B ,()2,2C -,()3,5D -,则向量CD 在AB 上的投影为（ ）A ．5B ．5C D6．已知0x >,0y >,且31155x y +=,则34x y +的最小值是（ ） A ．5 B ．6 C ．285 D ．2457．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若981S =,713a =,若3S ,1716S S -,k S 成等比数列,则k =（ ）A ．11B ．13C ．15D ．178．双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,其中a =,则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．29．如图,在正三棱柱ABC 一A 1B 1C 1中,AB =A 1A =2,M ､N 分别是BB 1和B 1C 1的中点,则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）A B C ．25 D ．3510．已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形,AB ⊥平面BCD ,1AB BC CD ===,若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为（ ）。

哈师大附中2014级高三上学期期末考试文科数学答案一、ABBAD ABCAC DD二、2016 3k ≤-或3k ≥ 15213三、17.（1）解：由已知可得()sin(2)3f x x πω=-，所以2,1,()sin(2)23f x x πππωω=∴=∴=-. ()f x ∴的单调递增区间为5[,].1212k k ππππ-+L L L L L L L L 6分 （2）解：由已知可得, 2.3A a π==由,sin sin sin a b cA B C ==可得4(sin sin )3b c B C +=+, 又4,[sin sin()]33A B C b c B B ππ++=∴+=++4sin()6B π=+.又20,3B π<<5,666B πππ∴<+<sin()6B π∴+1,12⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(2,4].b c ∴+∈ L L12分18.（1）(0.020.080.160.04)2=0.6+-+⨯1-0.6=0.40.42=0.20÷所补直方图高度为0.20（图略） L L L L L L L L 4分（2） 0.45020⨯=0.3025030⨯⨯=(2030)510+÷=极坐标：20102÷= 不等式：30103÷=L L L L L L L L 6分 记选极坐标与参数方程的2份试卷为a,b; 选不等式选讲的3份试卷为1，2，3 从中任取2份共有：(,)(,1)(,2)(,3)a b a a a (,1)(,2)(,3)b b b (1,2)(1,3)(2,3)10个基本事件设事件A ：两份试卷得分不同，事件A 包括：(,1)(,2)(,3)a a a (,1)(,2)(,3)b b b 6个基本事件63()105P A ==。

两份试卷得分不同的概率为35 L L L L L L L L 12分19.（1）设PB 的中点为Q ，连NQ ，CQPAB V 中,N Q 为,PA PB 的中点⇒NQ //AB 且NQ 12AB =ABCD Y 中M 为CD 的中点⇒CM //AB 且CM 12AB =所以NQ //CM 且NQ =CM所以MNQC Y 中//MN CQ ，又MN CQ ⊄⊂平面PBC ，平面PBC 所以//MN 平面PBC L L L L L L L L 6分 （2）连BN ，PAB V 中N 为PA 的中点，且2AB PB ==，所以PA BN ⊥ 等边PAM V 中N 为PA 的中点，所以PA MN ⊥，又BN MN N =I ，所以PA BMN ⊥平面，又BM BMN ⊂平面. 所以PA BM ⊥L L L L L L L L 12分20.（1）解：由已知点P 的轨迹为以30-30（，），（，）为焦点，4为长轴长的椭圆，所以其轨迹方程为2214x y +=. L L L L L L L L 4分 （2）解：由||||OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 知.0OA OB ⋅=u u u r u u u r将椭圆方程2214x y +=与直线方程:y kx m =+l 联立， 可得222(14)8(44)0k x kmx m +++-=，由220,140k m ∆>+->可得.（1） L L L L L L L L L L L L L L L L 6分2121222844,.1414km m x x x x k k --+==++22122414m k y y k-=+， 所以22222121222448(1)01414m k m OA OB x x y y k m k k--⋅=+=+++=++u u u r u u u r L L L L L L L L 8分 所以225440m k --=， L L L L L L L L L L L L L L L L L L 10分代入（1）得23,4m >所以32m <-或32m >. L L L L L L L L L L 12分21、（1）111,()ln a f x x x x e==++ 21()ln 1f x x x '=-++,321()0,()f x f x x x'''=+>∴在(0,)+∞递增又()0f x '=，()01;()001f x x f x x ''∴>⇒><⇒<<x(0,1) 1(1,)+∞()f x ' -+()f x 递减极小值 递增1()=(1)1f x f e∴=+极小，没有极大值. L L L L L L L L 4分（2）121,,22x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12()()f x g x ≥，需12max ()()f x g x ≥21()2x x xe e g x e e -'=-=()0ln ;()0ln 22e eg x x g x x ''>⇒><⇒<()g x 在(0,ln )2e 递减，在(ln ,)2e+∞递增11ln ln ,,2(ln ,)2222e e e ⎡⎤=>∴⊆+∞⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，max 1()(2)1g x g e ==+。

2017～2018高三上学期期末数学试卷（文科）哈师大附中 联考试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{||2|3,}A x x x N =-≤∈，{|ln }B x y x ==，A B =（ ）A.NB.*NC.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.复数31iz i+=-的复数对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题：“若a b >，则a b b c +>+”的否命题是（ ） A.若a b b c +>+，则a b > B.若a b b c +≤+，则a b ≤ C.若a b ≤，则a b b c +≤+D.若a b >，则a b b c +≤+4.已知向量a ，b 满足(1,1)a =-，||3b =，a 与b 夹角为23π，则a b ⋅=（ ）A.2B.2-C.2D.2-5.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A.()sin 2g x x =C.()sin(2)3g x x π=-C.2()sin(2)3g x x π=+D.()sin 2g x x =-6.实数x ，y 满足约束条件102224x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数3z x y =+最大值（ ）A.1B.3C.5D.67.已知数列{}n a 为等比数列，且是递增数列，25128a a =，3411316a a +=，n a =（ ） A.2nB.2nC.1()2nD.2n 8.图中给出计算111123100++++的值的程序框图，判断框内应填入的是（ ）A.98i ≤B.99i ≤C.100i ≤D.101i ≤9.函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=++(0,0)ϕπω<<>，()()f x f x -=，则ϕ=（ ） A.6πB.3π C.23πD.56π 10.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A.1B.2C.3D.611.曲线2:8C y x =焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线交曲线C 于A 、B ，A 在x 轴上方，则12||||AF BF +=（ ） A.14B.12C.78D.112.菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，以BD 为轴折叠使平面ABD ⊥平面CBD ，则三棱锥A BCD -外接球表面积为（ ） A.43π B.203πC.16πD.12π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.函数211()()2x f x -=的增区间为_________.14.圆22:448410O x y x y ++-+=的圆心坐标为_________. 15.已知0a >，0b >，8ab =，则222ab +的最小值为_________.16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1sin12n n n a a π++=，100S =_________. 三、解答题：本大题共4小题，每小题5分.17.锐角在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若满足sin sin sin C a bA B a c+=--.（1）求角B ；（2）求22sin sin A C +的范围.18.我国是一个淡水资源分布不均的国家，有些地区已经处于严重缺水状态.某地为了节约用水制定合理的节水方案，现对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了当年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照月均用水量进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的a 值；（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量超过 2.5吨的人数，并说明理由；（3）若从调查的这100位居民月均水量超过3.5吨的居民中选取2位调查具体用水情况，求这2位分别在[3.5,4)和[4,4.5)内各1人的概率.19.棱锥P ABCD -，底面ABCD 为直角梯形，2AB =，1CD BD ==，90ABC ∠=︒，PD ⊥面ABCD ，//AB DC ，1PD =.（1）求证：面PD ⊥面PBD ；（2）求点C 到平面PAD 的距离.20.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>离心率为12，右焦点2F 与抛物线214x y =的焦点相同，左顶点为P ，过2F 的直线交椭圆于A 、B ，直线PA 、PB 分别与直线2:l x =点M 、N .（1）求椭圆方程；（2）求PM PN ⋅.21.已知函数()xe f x x=，()()F x xf x kx =-.（1）求函数()f x 图象在2x =点处的切线方程；（2）若2()1F x x >+对任意的0x >恒成立，求实数k 的取值范围.选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4，坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，斜率为1-的直线过l 点(3,0)，圆22:440C x y x y +-+=，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系.（1）过圆C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）若M 为212y x =的焦点，直线l 与圆交于P ，Q .求||||MP MQ 的值. 23.选修4-5，不等式选讲已知()|3||1|f x x x =--+最大值为a .（1）求实数a 的值；（2）若0,0,b c b c a ≥≥+=.求33b c +的最小值.2017-2018年度哈师大附中高三上学期期末考试文科数学试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出第四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5：DACDB6-10：DACAB11、12：CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.(0,)+∞14.1(1,)2-15.32 16.100三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）∵sin sin sin C a bA B a c+=--， ∴c a b a b a c+=--， ∴222b ac ac =+-，∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=.（2）221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+=11sin(2)26A π+-， ∵锐角ABC ∆，∴02A π<<，02C π<<，23A C π+=，∴62A ππ<<，∴23A ππ<<，∴52666A πππ<-<，∴1sin(2)126A π<-≤，当3A π=，最大值32，∴22sin sin A C +的范围是53(,]42.18.解：（1）∵1(0.080.160.400.520.120.080.04)0.5a a =++++++++⨯，整理可得：2 1.42a =+，∴解得：0.3a =.（2）估计全市居民中月均用水量超过2.5吨的人数为13.5万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量超过 2.5吨的频率为(0.30.120.080.04)0.50.27+++⨯=，又样本容量为50万，则样本中月均用水量超过2.5吨的户数为500.2713.5⨯=万.（3）从调查的这100位居民月均用水量在[3.5,4)内有0.080.51004⨯⨯=人，在[4,4.5]内的4人标号为1，2，3，4，在[4,4.5]内的2人标号为a ，b ，则月均用水量超过3.5吨的居民中选取2位的基本事件为(1,2)(1,3)(1,4)(1,)(1,)(2,3)(2,4)(2,)(2,)(3,4)(3,)(3,)(4,)(4,)(,)a b a b a b a b a b 共15种，其中这2位分别在[3.5,4)和[4,4.5]内各1人的基本事件为(1,)(1,)(2,)(2,)(3,)(3,)(4,)(4,)a b a b a b a b 共8种，则事件A “这2位分别在[3.5,4)和[4,4.5]内各1人”的概率为8()15P A =. 19.解：（1）证明：连接BD ∵PD ⊥面ABCD ，∴PD BD ⊥，∵底面ABCD 为直角梯形，2AB =，1CD BD ==，90ABC ∠=︒，∴BD =，AD =，∴222AD BD AB +=∴AD BD ⊥， ∵ADPD D =∴BD ⊥平面PAD ∴面PAD ⊥面PBD .（2）设点C 到平面PAD 的距离为d ，∵PD AD ⊥∴112PDA S ∆=⨯=， 1122ACD S CD CB ∆=⋅=，∵PD ⊥面ABCD ∴PD 为三棱锥P ACD -的高，∵C PAD P ACD V V --=∴1133PDA ACD d S PD S ∆∆⋅=⋅∴d =即点C 到平面PAD 的距离为. 20.解：（1）∵12c e a ==，2(1,0)F ，1c =∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）直线:4l x =，(2,0)P -，设1122(,),(,)A x y B x y ， 当AB 的斜率不存在时，:1AB x =，3(1,)2A ，3(1,)2B -，1:(2)2PA y x =+，∴(4,3)M ，同理，(4,3)N -，(6,3)PM =，(6,3)PN =-，27PM PN ⋅=.当AB的斜率存在时，:(1A B x k x =-代入22143x y +=得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∵0∆>恒成立，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+，12:(2)2y PA y x x =++，116(4,)2y M x +，216(6,)2y PM x =+， 22:(2)2y PB y x x =++，226(4,)2y N x +，226(6,)2y PN x =+， ∴12121236362()4y y PM PN x x x x ⋅=+=+++121212(1)(1)36362()4k x k x x x x x --++++，212121212[()1]3636369272()4k x x x x x x x x -++=+=-=+++.综上：27PM PN ⋅=.21.解：（1）∵()x e f x x =()x R ∈∴2'()x x e x e f x x ⋅-=，∴2'(2)4e k f ==，2(2)2e f =， ∴在2x =点处的切线方程为22(2)24e e y x -=-即24e y x =.（2）由2()1F x x >+对任意的0x >恒成立得，210x e kx x --->即21(0)x e x kx x -->>恒成立， ∴21(0)x e x k x x--<>恒成立. 令21()(0)x e x g x x x--=>，∴min ()k g x <即可， 21'()x x xe e x g x x --+==2(1)(1)(1)x e x x x x ---+=2(1)(1)x x e x x---， ∵0x >，设()1xt x e x =--，则'()10xt x e =->∴()1xt x e x =--在(0,)+∞单调递增，()(0)0t x t >=∴10x e x -->.∴()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴当1x =时，()g x 取最小值(1)2g e =-，∴2k e <-. 选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4，坐标系与参数方程解：（1）∵圆22:440C x y x y +-+=∴24cos 4sin 0ρρθρθ-+=∴4cos 4sin ρθθ=-，即圆C：)4πρθ=+.直线l的参数方程322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （2）(3,0)M ，设点P ，Q 的参数为12,t t ，将322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22440x y x y +-+=得，得230t +-=，∵0∆>，12t t +=123t t =-，12||||||3MP MQ t t ==.23.选修4-5，不等式选讲解：（1）()|3||1||(3)(1)|4f x x x x x =--+≤--+=， 当且仅当1x ≤-时max ()4f x =∴4a =. （2）∵若0,0,4b c b c ≥≥+=，∴33332(4)124864b c b b b b +=+-=-+(04)b ≤≤， 当2b =时，33b c +的最小值为16.。

黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（）①平均数；②标准差；③平均数且标准差；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤参考答案：D2. 把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A. B. C. D.参考答案：D3. 方程C：y2=x2+所对应的曲线是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数的最值即可判断．【解答】解：当y＞0时，y=（x2+），该为函数为偶函数，故关于y轴对称，且y2=x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，取等号，故最小值为2，y2=x2+也关于x轴对称，故选：D4. 已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），则命题P：“?x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017”是命题Q：“?x∈R，|f′（x）|＜2017”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由Q?P，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：命题Q：“?x∈R，|f′（x）|＜2017”??x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017；反之不一定成立，由?x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017可能得到：?x∈R，|f′（x）|≤2017．∴命题P是Q的必要不充分条件．故选：B．5. 是“x<3”的(A)充分必要条件（B)必要不充分条件(C)充分不必要条件（D)既不充分也不必要条件参考答案：C6. 如图是正三棱锥的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】由题知：正三棱锥的底面等边三角形的边长为正视图中的AB=过作则AH=2，所以所以侧视图的面积是：7. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C试题分析：第一个图是选项A的模型；第二个图是选项B的模型；第三个图是选项D的模型.考点：三视图8. 如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：A略9. 已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为（）A、33B、46C、48D、50参考答案：C10. 已知α、β表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“α//β”是“m//β”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不充要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD=，则BD=；三角形ABD 的面积为．参考答案：2，﹣1．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】△CBD 中，由余弦定理，可得，BD，△ABD 中，利用正弦定理，可得AD，利用三角形的面积公式，可得结论．【解答】解：△CBD 中，由余弦定理，可得，BD==2，△ABD 中，利用正弦定理，可得AD==2﹣2，∴三角形ABD 的面积为（2﹣2）×=﹣1，故答案为2，﹣1．12. 已知，且，则____________．参考答案：-1【分析】通过，的齐次式，求得的值；再利用两角和差的正切公式求解.详解】又解得：本题正确结果：【点睛】本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.13. 已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于.参考答案：16π14. 设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）=f（x+2）；③时，f（x）=2x﹣1．则= ．参考答案：略15. 已知三棱锥的各顶点都在一个表面积为的球面上，球心在上，平面，，则三棱锥的表面积为 .参考答案：16. 已知实数满足约束条件，则的最小值是．参考答案：约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、、，带入所得值分别为、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.17. 已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2024届哈尔滨师范大学附属中学高三数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-2．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R3．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．44．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．75．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62566．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1B ．2C ．2D ．47．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A．B．C．D．8．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y和气温x之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x轴表示气温，y轴表示销售量），由散点图可知y与x的相关关系为（）A．正相关，相关系数r的值为0.85B．负相关，相关系数r的值为0.85-C．负相关，相关系数r的值为0.85-D．正相关，相关负数r的值为0.859．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．B．C．D．10．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．411．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定12．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053C ．12πD ．20π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省2021届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.1.若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,5,8A =，{}1,3,5B =，那么()UA B ⋂等于（ ）A. {}5B. {}1,3C. {}2,8D.{}1,3,4,5,6,7,8【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集和交集的进行求解即可.【详解】因为{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,5,8A =，所以{}1,3,4,6,7UA =，因为{}1,3,5B =，所以(){}1,3U A B =.故选：B.【点睛】本题考查了集合的补集和交集的定义，属于基础题. 2.下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. cos y x =C. ln y x =D. 21y x=【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性可逐项判断各选项中函数的奇偶性及其在区间(),0-∞上的单调性，进而可得出合适的选项. 【详解】易知3y x =是奇函数，A 错；cos y x =在(),0-∞不是增函数，B 错；ln y x =在(),0-∞上是减函数，C 错；只有21y x =既是偶函数又在(),0-∞上单调递增. 故选：D.【点睛】本题考查基本初等函数单调性与奇偶性的判断，属于几种常见的基本初等函数的单调性和奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.3.对命题20000,240x x x “”∃<-+≤的否定正确的是（ ）A. 20000,240x x x ∀-+><B. 20,240x x x ∀≥-+> C. 20,240x x x ∀>-+> D. 20,240x x x ∀≥-+≥【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得出结论.【详解】命题20000,240x x x “”∃<-+≤为特称命题，其否定是“20000,240x x x ∀-+><”.故选：A.【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于基础题. 4.下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ） A. 1y x =+B. xy e =C. ln(1)y x =+D.(2)y x x =-+【答案】D 【解析】 【分析】根据四个函数的单调性进行判断即可.【详解】A ：函数1y x =+在(,1)-∞-是减函数，在(1,)-+∞是增函数，所以函数1y x =+在(0,)+∞是增函数，故本选项不符合题意；B ：函数xy e =是实数集上的增函数，故本选项不符合题意；C ：函数ln(1)y x =+在(1,)-+∞是增函数，故本选项不符合题意；D ：函数2(2)(1)1y x x x =-+=-++，在(,1)-∞-是单调递增函数，在(1,)-+∞是单调递减函数，故函数()2y x x =-+在(0,)+∞上是减函数，符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查了对数型函数、指数函数、二次函数、绝对值型函数的单调性的判断，属于基础题.5.函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C 【解析】试题分析：可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ． 考点：零点存在性定理．6.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为1的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱，底面为直角边长为1的直角三角形．故选C ． 考点：空间几何体的三视图、直观图．7.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A. 4 B. －4C. －14D.14【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题. 8.在△ABC 中，AC=1，30B ︒∠=，△ABCC ∠=（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由三角形面积公式得，1||sin 3022BC ︒⋅=,所以||2BC =．显然三角形为直角三角形，且90A ︒∠=，所以C 60︒∠=． 考点：解三角形．9.已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3根 【答案】B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数.【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B.【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.10.在数列{}n a 中，已知1(*)n n a a n n N +=+∈，且12a =，则40a 的值是（ ） A. 782 B. 782.5 C. 822 D. 822.5【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式，运用累和法，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】由11(*)n n n n a a n n N a a n ++=-+∈⇒=， 所以39393838340107214()()()()39383712a a a a a a a a a a =-+-+-+-+=+++++，所以40(391)3927822a +⨯=+=.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的应用，考查了累加法求通项，考查了数学运算能力.11.已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. 1(,1)4- B. (1,14)C. (1,2)D. (1,2)-【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到,P Q 和M 三点共线且点P 在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．【详解】由题意，抛物线的方程为24y x =，所以2p =，所以焦点(1,0)F ，过点M 作准线1x =-的垂线，垂足为M ，由PF PM =,依题意可知当,P Q 和M 三点共线且点P 在中间时距离和最小， 如图所示，故点P 的纵坐标为1-，代入抛物线的方程，求得14x =， 所以点1(,1)4-，故选A ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当,P Q 和M 三点共线且点P 在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12.三棱锥P ABC －的四个顶点都在体积为5003π的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为（ ）A. 7B. 7.5C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】由球体的体积可计算出球体的半径R 的值，由底面ABC 的外接圆面积可计算出该三角形的外接圆半径r ，由球的几何性质知可知该三棱锥高的最大值为球心到底面ABC 所在小圆的圆心H 的距离加上R ，进而可得出结果.【详解】由3450033V R ππ==求得球的半径为5R =， 由216S r ππ==求得底面ABC 所在的小圆的半径4r =，则球心O 到底面ABC 所在小圆的圆心H 的距离为3OH ==．当点P 在底面ABC 的投影与H 重合时，该三棱锥的高最大，求得最大值为8PH R OH =+=．故选：C ．【点睛】本题考查了由球的体积求半径，由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用，是中等题．二､填空题:本大题共4小题, 每小题5分 13.已知0x >，0y >且34x y +=，则41x y +的最小值为_____．【答案】12 【解析】 【分析】由题意得出()413x y +=，将代数式41x y +和代数式()43x y +，展开后利用基本不等式可求得41x y+的最小值.【详解】由题()4141444441512333y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y xx y=时，即当2x y =时取等号， 因此，41x y+的最小值为12. 故答案为：12.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，考查计算能力，属于基础题.14.设曲线4y x ax b =++在1x =处的切线方程是y x =，则a =______，b =______.【答案】 (1). 3- (2). 3 【解析】分析】对函数进行求导，利用导数的几何意义和已知切线的方程进行求解即可.【详解】4'3()()4y f x x ax b f x x a ==++⇒=+，由于曲线4yx ax b =++在1x =处的切线方程是y x =，所以有(1)11f a b =++=且'(1)41f a=+=，所以3,a =-3b =.故答案为：3-；3【点睛】本题考查了已知曲线的切线求参数问题，考查了导数的几何意义，属于基础题.15.数列{}n a 的通项公式n a =n 项和9n S =，则n =________．【答案】99. 【解析】 【分析】化简数列的通项公式n a ==【详解】由题意，可得n a ==∴121)...n n S a a a =+++=+++19==，解得99n =.【点睛】本题考查了数列的求和及应用，其中解答中化简数列通项公式为n a =利用裂项法求和是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16.已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围. 【答案】[]1,1- 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数a 的取值范围.【详解】作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示：由z ax y =+得y ax z =-+，目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小，结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题. 三､解答题17.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）π；，最小值为1-． 【解析】【详解】（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .【答案】（1）21n b n =-；（2）(45)25nn T n =-+【解析】试题分析：（1）求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；（2）整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=. 故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈. （2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和19.如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求四棱锥B CEPD －的体积; （2）求证://BE 平面PDA . 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知的线面垂直关系，根据面面垂直的判定定理可以得到平面PDCE ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的性质定理可以得到BC ⊥平面PDCE ，最后利用棱锥的体积公式进行求解即可；（2）利用线面平行的判定定理可以证明出//EC 平面PDA ，//BC 平面PDA ，最后利用面面平行的判定定理和面面平行的性质进行证明即可. 【详解】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD ，BC CD ⊥，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面PDCE .11()32322PDCE S PD EC DC +⨯=⨯⨯=梯形＝，∴四棱锥B CEPD －的体积1132233B CEPD PDCE V S BC =⨯=⨯⨯=－梯形；（2）//,EC PD PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，//EC ∴平面PDA ，同理可得//BC 平面PDA ，EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EC BC C =，∴平面//BEC 平面PDA ，又BE ⊂平面EBC ，//BE ∴平面PDA .【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了面面平行的判定定理和性质，考查了四棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力，属于中等题.20.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 【答案】（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，2212sin 1cos 1()33B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=172242233927⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.21.若椭圆2212:1(02)4x y C b b +=<<抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点在椭圆1C 的顶点上.（1）求抛物线2C 的方程；（2）若过()1,0M -的直线l 与抛物线2C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线2C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥时，求直线l 的方程.【答案】（1）24x y =；（2）10x y -+=. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率的公式和椭圆中,,a b c 的关系，可以求出b 的值，最后可以求出抛物线2C 的方程；（2）设出直线l 的方程，设出E 、F 两点坐标，把抛物线方程变成函数解析式形式，对函数进行求导，求出过E 、F 的抛物线2C 的切线1l 、2l 的斜率，将直线l 的方程与抛物线方程联立，消y ，得到一个关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，结合两直线垂直它们的斜率的关系进行求解即可.【详解】（1）已知椭圆的长半轴长为2a =，半焦距c =，由离心率ce a===得1b =， ∴椭圆的上顶点为()0,1，即抛物线的焦点为()0,1，2p ∴=，因此，抛物线的方程为24x y =； （2）由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,E x y 、()22,F x y ， 抛物线的函数解析式为214y x =，求导得12y x '=，∴切线1l 、2l 的斜率分别为112x 、212x ，当12l l ⊥时，1211221x x ⋅=-，即124x x =-， 由()214y k x x y⎧=+⎨=⎩，得2440x kx k --=，由()()24440k k ∆=-⨯->-，解得1k <-或0k >. 又1244x x k =-=-，得1k =. 因此，直线l 的方程为10x y -+=.【点睛】本题考查了椭圆离心率公式的应用，考查了利用导数求抛物线的切线的斜率，考查了求抛物线的标准方程，考查了数学运算能力，属于中等题. 22.已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,),()2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）211b e-≤． 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为()0,∞+. 因为()1ln ()f x ax x a R =--∈，所以，当时，()0f x '<在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a>， ∴在1(0,)a 上递减，在1(,)a+∞上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，∴，令，所以2221ln 1ln 2()x x x x g x x x x ⋅--=--='， 令()0g x '<可得在上递减，令()0g x '>可得在上递增，∴，即211b e -≤. 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.。

2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期数学文期末考试题答案1．D 【分析】解不等式确定集合,A B 后，再由交集定义计算． 【详解】{}22320{|1}3A x x x x x =+-≤=-≤≤，(){}21|log 210{|0211}{|1}2B x x x x x x =-≤=<-≤=<≤， ∴12{|}23AB x x =<≤． 故选：D ． 2．B 【分析】经分析，找到乙工匠空闲时间最短的方案即可得解. 【详解】 由题意，甲按A ，C ，B 的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，所需时间最短，最短时间为91514846+++=h. 故选：B . 3．B 【分析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t tt =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确； 由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第2页，总15页故选：B ． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的最值，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 4．D 【分析】求出平移后的解析式3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,6x k k π-=π∈Z 即可得出对称中心. 【详解】将函数3sin 2y x =的图像向右平移12π个单位，可得3sin 23sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令2,6x k k π-=π∈Z ，则可得,212k x k Z ππ=+∈， 则平移后的函数的对称中心为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 5．C 【分析】根据向量数量积的坐标表示求数量积，由向量CD 在AB 上的投影为||cos CD θ即可求投影. 【详解】由题意知：(1,3),(2,2)CD AB =-=，而||||cos (1)2324CD AB CD AB θ⋅==-⨯+⨯=，又||22AB =CD 在AB上的投影为||cos CD θ==故选：C 6．A 【分析】由()31343455x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为0x >，0y >，且31155x y+=， 则()31131213434941355555x y x y x y x y y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当312x y y x =，即112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立.故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7．A 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和公式求出n S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列，列出式子求解即可.【详解】 解：由95981S a ==，解得：59a =，又713a =，75275a a d -∴==-， 1541a a d =-=，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。