青岛市高三期末考试【数学试题】

2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |lnx ≥1}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{x |e ＜x ＜3}C ．{x |e ≤x ＜3}D ．{x |x ＞1}2．已知平面向量a →=(0，1)，b →=(−1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量是（ ） A ．(−√22，√22) B ．(√22，−√22) C ．(12，−12)D ．(−12，12)3．若复数z ＝（2﹣ai ）（i +1）的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，2）D ．（0，2）4．已知函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π4](ω＞0)的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（ ）A ．134 B ．94C ．54D ．145．(xlog 43−log 32x)4展开式的常数项为（ ） A ．34B ．−34C ．32D ．−326．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x 2+y 2＝a 2+b 2，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝r 2（r ＞0）上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆x 25+y 24=1的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（ ） A ．[1，7]B ．[3，9]C ．[3，7]D ．[2，8]7．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则csc10°−√3sec10°=（ ） A ．√3B ．2√3C ．4D ．88．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1，的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与FA →反向，则双曲线的离心率是（ ） A ．√5B ．√72C ．√52D ．√7二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知0＜a ＜b ，则下列选项正确的是（ ） A ．ln （b ﹣a ）＞0 B ．a b ＜a+2b+2C ．a −b ＜1a −1bD ．a−b lna−lnb＜a+b 210．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且P （X ＝k ）=C5k32（k ∈{0，1，2，3，4，5}），则新的样本数据（ ） A ．众数是1的概率是532B ．极差不变的概率是3132C ．第25百分位数不变的概率是316D ．平均值变大的概率是1211．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，若f （x ）是奇函数，f （2）＝﹣f （1）≠0，且对任意x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）f '（y ）+f '（x ）f （y ），则（ ） A ．f ′(1)=−12B ．f （6）＝0C ．∑ 2024k=1f(k)=1D ．∑f′2024k=1(k)=−1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，则该正四棱台的体积为 ．13．某次会议中，筹备组将包含甲、乙在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有 种．（用数字作答）14．某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n 次得到数列1，x 1，x 2，x 3，…，x k ，2；…；记a n ＝1+x 1+x 2+…+x k +2，则a 3＝ ；a 20241−a 2023= ．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanB =12tanC ．（1）求c 2−b 2a2的值；（2）若a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，求边b 上的高．16．（15分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，DE ＝AD ＝DB ＝2CF ． （1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ；（2）求平面BEF 与平面BCF 夹角的余弦值．17．（15分）为检验预防某种疾病的A 、B 两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A 、B 疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[0，100]），统计如下：个别数据模糊不清，用含字母m （m ∈N ）的代数式表示．（1）为检验该项医学指标在[0，50）内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[25，50）的志意者中，按接种A 、B 疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断．从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针．请先完成下面的2×2列联表，若根据小概率α＝0.025的独立性检验，认为接种A 、B 疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．18．（17分）已知椭圆T ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率12，其上焦点F 与抛物线K ：x 2＝4y 的焦点重合．（1）求椭圆T的方程；（2）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断|AC|与|BD|的大小关系，并证明；（3）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G（如图2所示），判断四边形AEBG的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．19．（17分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x，（a∈R）．（1）若f（x）为奇函数，求此时f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x，且存在x1，x2分别为g（x）的极大值点和极小值点．（i）求函数g（x）的极值；（ii）若a∈（1，+∞），且g（x1）+kg（x2）＞0，求实数k的取值范围．2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |lnx ≥1}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{x |e ＜x ＜3}C ．{x |e ≤x ＜3}D ．{x |x ＞1}解：由lnx ≥1⇒x ≥e ，即A ＝{x |x ≥e }⇒A ∩B ＝{x |e ≤x ＜3}． 故选：C ．2．已知平面向量a →=(0，1)，b →=(−1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量是（ ） A ．(−√22，√22) B ．(√22，−√22) C ．(12，−12)D ．(−12，12)解：因为a →=(0，1)，b →=(−1，1)，所以a →⋅b →=1，|b →|=√(−1)2+12=√2， 所以向量a →在向量b →上的投影向量是a →⋅b→|b →|⋅b→|b →|=12b →=(−12，12)．故选：D ．3．若复数z ＝（2﹣ai ）（i +1）的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，2）D ．（0，2）解：由题设，可得z ＝2+a +（2﹣a ）i ，∴z =2+a +(a −2)i ，对应的点位于第四象限， ∴{a −2＜02+a ＞0⇒−2＜a ＜2．∴实数a 的取值范围是（﹣2，2）． 故选：C ．4．已知函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π4](ω＞0)的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（ ）A ．134 B ．94C ．54D ．14解：函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π4]的图像关于原点中心对称，则−π3ω+π4=kπ+π2(k ∈Z)，解得ω=−3k −34，k ∈Z ，因为ω＞0，当k ＝﹣1时，ω取得最小值94．故选：B ． 5．(xlog 43−log 32x)4展开式的常数项为（ ） A ．34B ．−34C ．32D ．−32解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r⋅(log 43)4−r ⋅(−log 32)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，2，3，4）；当r ＝2时，常数项为C 42⋅(log 43)2⋅(log 32)2=32．故选：C ． 6．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x 2+y 2＝a 2+b 2，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝r 2（r ＞0）上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆x 25+y 24=1的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（ ） A ．[1，7] B ．[3，9] C ．[3，7] D ．[2，8]解：∵椭圆方程为x 25+y 24=1，∴a 2＝5，b 2＝4，∴a 2+b 2＝9， ∴根据题意可得椭圆x 25+y 24=1的蒙日圆O 的方程为x 2+y 2＝9，根据题意知圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝r 2（r ＞0）与蒙日圆O ：x 2+y 2＝9有公共点， 又圆心C （4，3），半径为r ；圆心O （0，0），半径r 2＝3， ∴|r ﹣r 2|≤|CO |≤r +r 2，∴|r ﹣3|≤√(4−0)2+(3−0)2≤r +3， ∴a ∈[2，8]， 故选：D ．7．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则csc10°−√3sec10°=（ ） A ．√3B ．2√3C ．4D ．8解：csc10°−√3sec10°=1sin10°−√3cos10°=cos10°−√3sin10°sin10°cos10°=2cos70°12sin20°=4sin20°sin20°=4． 故选：C ．8．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1，的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与FA →反向，则双曲线的离心率是（ ） A ．√5B ．√72C ．√52D ．√7解：设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，（a ＞0，b ＞0），由|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与FA →反向， 所以可设OA ＝m ﹣d ，AB ＝m ，OB ＝m +d ， 由勾股定理可得：（m ﹣d ）2+m 2＝（m +d ）2， 得：d =14m ，可得OA =34m ，OB =5m4，AB ＝m ，所以tan ∠BOA =AB OA =43， 又l 1的方程：y =b a x ，l 2的方程为y =−ba x ，即tan ∠AOF =b a ，tan ∠BOF =−ba，而tan ∠BOF ＝tan （∠AOF +∠AOB ）=b a +431−b a ×43=−ba ，解得b a=2，则离心率e =c a =√1+(ba)2=√5． 故选：A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知0＜a ＜b ，则下列选项正确的是（ ） A ．ln （b ﹣a ）＞0 B ．a b ＜a+2b+2C ．a −b ＜1a −1bD ．a−b lna−lnb＜a+b 2解：对于A 选项，b ﹣a 不一定大于1，故A 错误； 对于B 选项，因为0＜a ＜b ，则a ﹣b ＜0，所以a b −a+2b+2=a(b+2)−b(a+2)b(b+2)=2(a−b)b(b+2)＜0，故B 正确；一题多解，根据糖水不等式∀0＜a ＜b ，m ＞0，a b ＜a+m b+m ，可知B 正确．对于C 选项，a −b ＜1a −1b ⇔a −1a ＜b −1b，令f(x)=x −1x ，则f ′(x)=1+1x 2＞0，则f(x)=x −1x 在（0，+∞）上单调递增．又因为0＜a ＜b ，所以f （a ）＜f （b ），即a −b ＜1a −1b ，故C 正确；对于D 选项，因为0＜a ＜b ，要证a−b lna−lnb ＜a+b2，即要证2(a−b)a+b＜ln(ab)，即证2(a b −1)a b+1＜ln(ab )，即证ln （ab ）−2(a b −1)a b+1＞0，令t =a b (0＜t ＜1)，令ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，则ℎ′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0在（0，1）上恒成立，所以h （t ）在（0，1）上单调递增， 所以h （t ）＜h （1）＝0，即lnt ＜2(t−1)t+1(0＜t ＜1)， 则ln a b ＜2(a−b)a+b =2(ab −1)a b+1，即a−b lna−lnb ＜a+b 2成立，故D 正确．本选项也可以根据对数平均不等式∀0＜a ＜b ，√ab ＜a−b lna−lnb ＜a+b2，可知D 正确．故选：BCD ．10．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且P （X ＝k ）=C5k32（k ∈{0，1，2，3，4，5}），则新的样本数据（ ） A ．众数是1的概率是532B ．极差不变的概率是3132C ．第25百分位数不变的概率是316D ．平均值变大的概率是12解：由题意得P （X ＝k ）=C5k32，k ∈{0，1，2，3，4，5}；对于A ，众数是1的概率是P （X ＝1）=C 5132=532，选项A 正确；对于B ，若极差不变，则X ＝0，1，2，3，4，概率为1﹣P （X ＝5）＝1−C 5532=3132，选项B 正确；对于C ，由于5×25%＝1.25，6×25%＝1.5，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数， 所以X ＝1，2，3，4，5，第25百分位数不变的概率是1﹣P （X ＝0）＝1−C 5032=3132，选项C 错误；对于D ，原样本平均值为15×（0+1+2+3+4）＝2，平均值变大，则X ＝3，4，5，概率为C 5332+C 5432+C 5532=1032+532+132=12，选项D 正确．故选：ABD ．11．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，若f （x ）是奇函数，f （2）＝﹣f （1）≠0，且对任意x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）f '（y ）+f '（x ）f （y ），则（ ） A ．f ′(1)=−12B ．f （6）＝0C ．∑ 2024k=1f(k)=1D ．∑f′2024k=1(k)=−1解：根据题意，依次分析选项：对于A ，令x ＝y ＝1，得f （2）＝2f （1）f ′（1），因为f （2）＝﹣f （1）≠0， 所以f ′（1）=−12，所以A 正确；对于B 和C ，令y ＝1，得f （x +1）＝f （x ）f ′（1）+f ′（x ）f （1）①， 所以f （1﹣x ）＝f （﹣x ）f ′（1）+f ′（﹣x ）f （1）， 因为f （x ）是奇函数，所以f ′（x ）是偶函数， 所以f （1﹣x ）＝﹣f （x ）f ′（1）+f ′（x ）f （1）②， 由①②，得f （x +1）＝2f （x ）f ′（1）+f （1﹣x ）＝﹣f （x ）﹣f （x ﹣1）， 即f （x +2）＝﹣f （x +1）﹣f （x ），所以f （x +3）＝﹣f （x +2）﹣f （x +1）＝f （x +1）+f （x ）﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ），f ′（x ）是周期为3的函数，所以f （6）＝f （0）＝0，B 正确；对于C ，由B 的结论，∑ 2024k=1f （k ）＝f （1）+f （2）+.....+f （2024）＝[f （1）+f （2）+f （3）]×674+[f （1）+f （2）]＝0，故C 错误；对于D ，因为f ′（2）＝f ′（﹣1）＝f ′（1）=−12，在①中令x ＝0得f （1）＝f （0）f ′（1）+f ′（0）f （1）， 所以f ′（0）＝1，∑ 2024k=1f ′（k ）＝[f ′（1）+f ′（2）+f ′（3）]×674+[f ′（1）+f ′（2）]＝﹣1，所以D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，则该正四棱台的体积为28√23．解：如图，延长AA 1，BB 1，CC 1，DD 1相交于点P ，连接AC 、A 1C 1， 过点P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，则PO ⊥平面A 1B 1C 1D 1于点O 1，且点O 1在A 1C 1上，其中AC =4√2，A 1C 1=2√2，过点A 1作A 1F ⊥AC 于点F ，则OF =A 1O 1=√2， 所以AF =OA −OF =2√2−√2=√2，因为棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，所以∠A 1AF =45°，故A 1F =AF =√2， 则该正四棱台的体积为V =13(22+42+√22×42)⋅√2=28√23．故答案为：28√23． 13．某次会议中，筹备组将包含甲、乙在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有 30 种．（用数字作答）解：先将4人分成3组，共有C 42=6种分法，再将这3组分配到会议厅，共有A 33=6种分法，由分步计数原理可得共有6×6＝36种分法；甲乙两人分配到同一个会议厅的分法共有A 33=6种分法，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有36﹣6＝30种分法． 故答案为：30．14．某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n 次得到数列1，x 1，x 2，x 3，…，x k ，2；…；记a n ＝1+x 1+x 2+…+x k +2，则a 3＝ 42 ；a 20241−a 2023= ﹣3 ．解：由题意可得a 1＝1+2+3＝3+3＝6，a 2＝1+2+3+4+5＝3+3+9＝15， a 3＝3+3+9+27＝42，依次类推，得到a n ＝3+3+32+33+ (3)＝3+3−3n+11−3=3n+1+32，故a 20241−a 2023=32025+321−32024+32=32025+3−1−32024=3(32024+1)−(1+32024)=−3．故答案为：42；﹣3．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanB =12tanC ．（1）求c 2−b 2a2的值；（2）若a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，求边b 上的高． 解：（1）由tanB =12tanC ，可得sinB cosB =sinC 2cosC，所以2sin B cos C ＝sin C cos B ，又由正弦定理和余弦定理，可得2b ⋅a 2+b 2−c 22ab =c ⋅a 2+c 2−b22ac，整理得3（c 2﹣b 2）＝a 2，所以c 2−b 2a 2=13； （2）由a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，可得b +c ＝7， 又由（1）可知，c 2−b 2=13a 2=7，即（c +b ）（c ﹣b ）＝7，所以c ﹣b ＝1，联立方程组{b +c =7c −b =1，解得c ＝4，b ＝3，所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =9+16−212×3×4=16，所以sin A =√62−16=√356，所以边b 上的高为ℎ=csinA =4×√356=2√353． 16．（15分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，DE ＝AD ＝DB ＝2CF ． （1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ；（2）求平面BEF 与平面BCF 夹角的余弦值．解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC ． 又因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ． 因为BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDE ，设AC ，BD 交于O ，取BE 的中点G ，连FG ，OG ，OG ∥CF ，OG ＝CF ， 所以四边形OCFG 是平行四边形，所以FG ∥AC ， 因为AC ⊥平面BDE ，所以FG ⊥平面BDE ， 又因为FG ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDE ．（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系， 因为BE 与平面ABCD 所成的角为45°，∠BAD ＝60°，DE =BD =AB =2，OA =√3， 则D （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），E （0，﹣1，2），F （−√3，0，1）， 所以BE →=(0，−2，2)，BF →=(−√3，−1，1)，BC →=(−√3，−1，0)， 设平面BEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 所以{n →⋅BE →=0n →⋅BF →=0，所以{−2y +2z =0−√3x −y +z =0， 解得x ＝0，令y ＝1，得z ＝1，所以n →=(0，1，1)， 设平面BCF 的法向量m →=(x ，y ，z)， 所以{m →⋅BC →=0m →⋅BF →=0，所以{√3x +y =0√3x +y −z =0， 解得z ＝0，令x ＝﹣1，得y =√3，所以m →=(−1，√3，0)， 设平面BEF 与平面BCF 夹角的大小为θ， 所以cosθ=|cos〈n →，m →〉|=√322=√64．17．（15分）为检验预防某种疾病的A 、B 两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A 、B 疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[0，100]），统计如下：个别数据模糊不清，用含字母m （m ∈N ）的代数式表示．（1）为检验该项医学指标在[0，50）内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[25，50）的志意者中，按接种A、B疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断．从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人中接种B疫苗的人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针．请先完成下面的2×2列联表，若根据小概率α＝0.025的独立性检验，认为接种A、B疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m的最大值．附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．（1）从医学指标在[25，50）的志愿者中，按接种A、B疫苗分层抽取8人中，接种A疫苗有2人，接种B疫苗有6人，由题意可知，X可能取值为3，4，5，P(X=3)=C22C63C85=514，P(X=4)=C21C64C85=1528，P(X=5)=C20C65C85=328，X的分布列为：则E(X)=3×514+4×1528+5×328=154．（2）2×2列联表如下：则χ2=200[(80−m)(40−m)−(60+m)(20+m)]2100×100×140×60=2(10−m)221，由题意可知，2(10−m)221≥x 0.025=5.024，整理得，（10﹣m ）2≥52.752，解得m ≤2或m ≥18，m ∈N ， 又10﹣m ≥0，m ∈N ，则m ≤10，m ∈N ，所以m ≤2，m ∈N ， 故m 的最大值为2．18．（17分）已知椭圆T ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率12，其上焦点F 与抛物线K ：x 2＝4y 的焦点重合．（1）求椭圆T 的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断|AC |与|BD |的大小关系，并证明；（3）若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G （如图2所示），判断四边形AEBG 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意可知，物线K ：x 2＝4y 的焦点为F （0，1）， 则c ＝1，又椭圆的离心率e =c a =12，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝3， 所以椭圆T 的方程为y 24+x 23=1．（2）|AC |＞|BD |，证明如下：由题意得设椭圆与双曲线的交点为M ，联立{x 2=4y y 24+x 23=1，解得{x =±2√63y =23，由图可知M(−2√63，23)，F(0，1)，∴k MF=23−1−263=√612，若要产生如图B、D、A、C四点结构，可知k＞√612，设直线AB方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立{y=kx+1y24+x23=1，消去y得：（4+3k2）x2+6kx﹣9＝0，则x1+x2=−6k4+3k2，x1x2=−94+3k2，所以|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2•√(−6k3k2+4)2+4×93k2+4=12(1+k2)4+3k2．抛物线K的方程为：x2＝4y，联立{y=kx+1x2=4y，消去y得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x3+x4＝4k，x3x4＝﹣4，所以|CD|=√1+k2|x3﹣x4|=√1+k2•√(x3+x4)2−4x3x4=√(1+k2)(16k2+16)=4(1+k2)，所以|AC|﹣|BD|＝（|AC|+|AD|）﹣（|BD|+|AD|）＝|CD|﹣|AB|=4(1+k2)−12(1+k2)4+3k2=4(1+k2)(3k2+1)4+3k2＞0，即|AC|＞|BD|．（3）存在最小值，最小值为8．设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x5，y5），G（x6，y6），当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB方程为y＝kx+1（k≠0），则直线EG方程为y=−1kx+1，由（2）的过程可知：|AB|=12(1+k2) 4+3k2，由|CD|＝4（1+k2），以−1k替换k，可得|EG|=4(1+1k2)，所以S四边形AEBG =12|AB|⋅|EG|=12×12(1+k2)4+3k2×[4(1+1k2)]=24(1+k2)2k2(4+3k2)=24(1+k2)23(1+k2)2−2(1+k2)−1=243−2(1+k2)−1(1+k2)2，因为1+k2＞1，所以令t=11+k2∈（0，1），则函数f（t）＝﹣t2﹣2t+3在（0，1）上单调递减，所以0＜f（t）＜3，所以S四边形AEBG=24f(t)＞8；当直线AB的斜率不存在时，由{y=1x2=4y可得{x=±2y=1，则|EG|＝4，|AB|＝2a＝4，所以S四边形AEBG =12|AB|⋅|EG|=12×4×4=8；综上所述：S四边形AEBG≥8，所以四边形AEBG面积的最小值为8．19．（17分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x，（a∈R）．（1）若f（x）为奇函数，求此时f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x，且存在x1，x2分别为g（x）的极大值点和极小值点．（i）求函数g（x）的极值；（ii）若a∈（1，+∞），且g（x1）+kg（x2）＞0，求实数k的取值范围．解：（1）∵f（x）＝ae x﹣e﹣x为奇函数，∴f（0）＝0⇒a＝1，经检验知a＝1满足题意，∴f（x）＝e x﹣e﹣x，f'（x）＝e x+e﹣x，f（0）＝0，f'（0）＝2，∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x．（2）（i）∵g（x）＝f（x）﹣（a+1）x＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x既存在极大值，又存在极小值，∴g′(x)=(ae x−1)(e x−1)e x=0必有两个不等的实根，则a＞0且a≠1．当a∈（0，1）时，﹣lna＞0，则有：g（x）的极大值为g（0）＝a﹣1，极小值为g（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna 当a∈（1，+∞）时，﹣lna＜0，则有：g（x）的极大值为g（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，极小值为g（0）＝a﹣1．（ii）由a∈（1，+∞），所以x1＝﹣lna，x2＝0，由题意可得1﹣a+（a+1）lna+k（a﹣1）＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，即（k﹣1）（a﹣1）+（a+1）lna＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，即(k−1)a−1a+1+lna＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，令ℎ(x)=(k−1)x−1x+1+lnx（x＞1），则，令x2+2kx+1＝0，则，①当Δ≤0，即﹣1≤k≤1时，h'（x）≥0，h（x）在（1，+∞）上是严格增函数，∴h（x）＞h（1）＝0，即(k−1)a−1a+1+lna＞0，符合题意；②当Δ＞0，即k＞1或k＜﹣1时，设方程x2+2kx+1＝0的两根分别为x1，x2且x1＜x2，当k＞1时，则x1+x2＝﹣2k＜0，x1x2＝1＞0，则x1＜x2＜0，h（x）在（1，+∞）上是严格增函数，∴h（x）＞h（1）＝0，即(k−1)a−1a+1+lna＞0，符合题意；当k＜﹣1时，则x1+x2＝﹣2k＞0，x1x2＝1＞0，则0＜x1＜1＜x2，则当1＜x＜x2时，h'（x）＜0，h（x）在（1，x2）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，即(k−1)a−1a+1+lna＜0，不合题意．∴综上所述，k的取值范围是[﹣1，+∞）．。

2024学年山东青岛平度第三中学数学高三上期末综合测试试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．112．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-3．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512 B ．13C ．14D ．124．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．35．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤7．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．348．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±10．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 11．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．12012．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A ．512QR B ．512RQ C ．512RD D ．512RC 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省青岛市即墨鳌山卫中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则A． B． C． D．参考答案：A略2. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A． B．C． D．参考答案：B试题分析：当时，，故为假命题.由于在第一象限是增函数，在第一象限是减函数，故有一个交点，所以命题为真命题.考点：含有逻辑连接词命题真假性判断、全称命题与特称命题.3. 若，则( )A.0B.1C.2D.3参考答案：C4. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的为A． B. C. D. 参考答案：A5. 已知椭圆:,左右焦点分别为,,过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A．1 B．C．D．参考答案：D6.若的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中的常数项是A．15 B．35 C．30 D．20参考答案：答案：D7. 的展开式中x2的系数为（）A．﹣240 B．240 C．﹣60 D．60B解：的展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r x﹣r=（﹣1）r??x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，故展开式中x2的系数为=240，故选B．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件参考答案：A略9. 已知命题p：?x＜0，x3＜0，那么￢p是（）A．?x＜0，x3≥0B．?x0＞0，x03≤0C．?x0＜0，x03≥0D．?x＞0，x3≥0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：?x＜0，x3＜0，那么￢p 为：?x0＜0，x03≥0，故选：C．10. 已知是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列命题正确的是 ( ) A．若∥，则∥ B．若∥，则∥C．若，则 D．若，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线过椭圆的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为．参考答案：12. 以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆中，最大面积的圆方程为．参考答案：根据题的条件可知，圆的圆心为，直线是过定点的动直线，当满足直线和垂直时，其圆心到直线的距离最大，此时满足圆的面积最大，且半径为，所以面积最大的圆的方程是.13. 如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_ _．参考答案：14. 集合，若,则▲；▲；▲．参考答案：{0,1}，{1,0，-1}，{-1}【知识点】集合及其运算A1由得=1，则{0,1},{1,0，-1}，{-1}.【思路点拨】根据集合间的运算得。

山东省青岛市城阳第三高级中学2024学年数学高三上期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．122．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 3．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭4．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.55．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．1326．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．018．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．33y x =± C ．2y x =±D ．12y x =±9．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 10．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．212．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省青岛市第三高级中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．参考答案：D2. 函数的部分图象如图所示,则的值分别是（）(A) (B)(C) (D)参考答案：A3. 已知命题；命题．则下面结论正确的是A．p q是真命题 B．p q是假命题 C．q是真命题 D．p是假命题参考答案：A【知识点】复合命题的真假对于p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，因此正确；对于命题，正确．由上可得：p q是真命题．故选：A．【思路点拨】p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，即可判断出真假；命题q：利用实数的性质可得q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．4. 已知偶函数满足条件f(x+1)=f(x-1),且当时，f(x)=则A B. C. D. 1参考答案：D5. 已知函数，若，则（）A．0 B．1 C．D．参考答案：D略6. 已知集合，，则（）A． B．C． D．参考答案：A7. 已知集合，，则（）A．[1,+∞) B．(0, +∞) C．(0,1) D．[0,1]参考答案：8. 定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )A . B．C．D．参考答案：C考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C．9. 函数与的图象关于（）A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线y=x对称参考答案：C略10.A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f（）的值为．参考答案：﹣8058【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得f （x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），由此能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．【解答】解：在f（x）=x+sinπx﹣3中，若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+sin（x1π）+sin（x2π）﹣6=2+sin（x1π）+sin（2π﹣x1π）﹣6=﹣4，∴f（x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=2014×（﹣4）+f（）=﹣8056+（1+sinπ﹣3）=﹣8058．故答案为：﹣8058．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．12. 已知tanα=2，则= ．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则==，故答案为：．13. 如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为____________.参考答案：试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为所以函数与轴围成的部分的面积为，所以阴影部分的面积为.考点：定积分的应用.14. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.参考答案：画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.15. 已知函数f （x ）=，若f （1）=f （﹣1），则实数a的值等于．参考答案：2【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分段函数，求出f （1），f （﹣1），解方程即可．【解答】解：f （x ）=，∴f（1）=a ，f （﹣1）=2；∵f（1）=f （﹣1）， ∴a=2 故答案为：2，【点评】本题分段函数及运用，考查分段函数值应注意各段的自变量的取值范围，属于基础题．16. 在中，角所对的边分别为，若，，则角的值为 .参考答案：略17. 我校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则我校招聘的教师人数最多是 名.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若全集U=R，集合A={x∈R|x2+x−6≥0}，集合B={x∈R|lg(x−1)<0}，则(∁R A)∩B=()A. (−1,2)B. (1,2)C. (−3,2)D. (−3,1)2.1+sin70°2−2sin210∘=()A. 2B. −1C. 1D. 123.“∀x>0，a≤x+4x+2”的充要条件是()A. a>2B. a≥2C. a<2D. a≤24.《莱茵德纸草书》(Rℎind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为()A. 3B. 4C. 8D. 95.已知双曲线Γ：x2cos2θ−y2sin2θ=1(0<θ<π2)的焦点到渐近线的距离等于12，则θ=()A. π3B. π4C. π6D. π126.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)可能为()A. f(x)=cosx+12x+2−x B. f(x)=xcosx+sinx2x+2−xC. f(x)=cosx+xsinx2x−2−x D. f(x)=cosx+xsinx2x+2−x7.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A. 若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB. 若l//α，α//β，则l⊂βC. 若l//α，α⊥β，则l⊥βD. 若l⊥α，α//β，则l⊥β8.某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为()元附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．A. 52.28B. 65.87C. 50.13D. 131.74二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知向量a ⃗ ⋅b ⃗ =1,|a ⃗ |=1,|a ⃗ −b ⃗ |=√3，设a ⃗ ,b ⃗ 所成的角为θ，则( )A. |b ⃗ |=2B. a ⃗ ⊥(b ⃗ −a ⃗ )C. a ⃗ //b ⃗D. θ=60°10. 定义在R 上的函数f(x)满足：x 为整数时，f(x)=2021；x 不为整数时，f(x)=0，则( )A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. ∀x ∈R ，f(f(x))=2021D. f(x)的最小正周期为111. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(其中ω>0，0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴之间的距离π2,f(π6)=1，下列结论正确的是( )A. f(x)=sin(2x +π6)B. 将函数y =f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数y =sin2x 的图象 C. 当x ∈(0,π2)时，f(x)有且只有一个零点 D. f(x)在[0,π6]上单调递增12. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2√3的等边三角形，侧棱长为4√3，则( )A. 直线A 1C 与直线BB 1之间距离的最大值为3B. 若A 1在底面ABC 上的投影恰为△ABC 的中心，则直线A 1A 与底面所成角为60°C. 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与A 1C 所成的角为30°D. 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知i 是虚数单位，复数z =1i−1+i ，则|z|= ______ ．14. 若二项式(1+2x)n (n ∈N ∗)的展开式中所有项的系数和为243，则该二项式展开式中含有x 3的系数为______ ．15. 设函数f(x)=e x (x +1)的图象在点(0,1)处的切线为y =ax +b ，若方程|a x −b|=m 有两个不等实根，则实数m 的取值范围是______ ．16. 如图所示，在平面直角坐标系中，Q(0,−2√55),L(−3,0)，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切.则：(1)圆L 的半径等于______ ；(2)已知过点L 和抛物线x 2=2py(p >0)焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，则p = ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①4S n=a n2+2a n，②a1=2，na n+1=2S n这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，____．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足log13b n=12a n−1，且cn=a n b n，求数列{c n}的前n项和M n．18.在如图所示的平面图形中，AB=2，BC=√3,∠ABC=∠AEC=π6，AE与BC交于点F，若∠CAE=θ，θ∈(0,π3)．(1)用θ表示AE，AF；(2)求AEAF取最大值时θ的值．19.如图，在直角梯形ABED中，BE//AD，DE⊥AD，BC⊥AD，AB=4，BE=2√3.矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC⊥平面BCDE．(1)若BC=BE，证明：平面ABD⊥平面ACE；(2)当三棱锥A−BCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20.魔方(Rubik′s Cube)，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺⋅鲁比克(Rubik Ernő)教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为3×3×3的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．(1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x(天)1234567y(秒)99994532302421现用y =a +bx 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1)？ 参考数据(其中z i =1x i)：参考公式：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v ̂=a ̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i n i=1v i −muv−∑u i 2n i=1−mu−2，α̂=v −−β̂u −．(2)现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90°，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)．21. 已知函数f(x)=bx 22−ax(lnx −1)−e 22的图象在x =1处的切线斜率等于1.其中e =2.718…为自然对数的底数，a ，b ∈R ．(1)若a =0，当x >e 时，证明：f(x)<e x −e 22；(2)若a >e ，证明：f(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，在(x 1,x 2)上恰有一个零点x 0，且x 1x 2>x 02．22.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，点P在椭圆C上，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，PF1的中点为Q，△OF1Q周长等于√3+√62．(1)求椭圆C的标准方程；(2)W为双曲线D：y2−x24=1上的一个点，由W向抛物线E：x2=4y做切线l1，l2，切点分别为A，B．(ⅰ)证明：直线AB与图x2+y2=1相切；(ⅰ)若直线AB与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN外接圆面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】求出集合A ，集合B ，进而求出∁U A ，由此能求出(∁R A)∩B ．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】解：∵全集U =R ，集合A ={x ∈R|x 2+x −6≥0}={x|x ≤−3或x ≥2}， 集合B ={x ∈R|lg(x −1)<0}={x|1<x <2}， ∴∁U A ={x|−3<x <2}，∴(∁R A)∩B ={x|1<x <2}=(1,2)． 故选：B ．2.【答案】C【解析】解：1+sin70°2−2sin 210∘=1+cos20°2−2sin 210∘=1+(1−2sin 210°)2−2sin 210∘=1．故选：C ．利用诱导公式，二倍角公式化简即可求值得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：x >0，x +4x+2=x +2+4x+2−2>2√(x +2)4x+2−2=2， 当且仅当x =0时才取到2，∴“∀x >0，a ≤x +4x+2”的充要条件是a ≤2． 故选：D ．要使“∀x >0，a ≤x +4x+2”成立，只需求出x +4x+2的最小值即可，结合充要条件的定义即可求出所求． 本题主要考查了基本不等式，以及充分条件、必要条件的应用，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设该等比数列为{a n}，其公比为q，由题意知，S5=a1(1−q5)1−q =93，a1+a2=34a3．所以a1+a1q=34a1q2．因为a1≠0，所以1+q=34q2．解得q=2或q=−23(舍去)．当q=2时，a1(1−25)1−2=93，解得a1=3．故选：A．由题意知，S5=a1(1−q5)1−q =93，a1+a2=34a3.据此列出关于公比q的方程，通过解方程求得q的值，继而求得a1的值即可．本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．5.【答案】C【解析】解：由题意知，双曲线的焦点坐标为(±1,0)，渐近线方程为y=±sinθcosθx=±x⋅tanθ，∵双曲线的焦点到渐近线的距离为12，∴√tan2θ+1=12，解得tanθ=±√33，∵0<θ<π2，∴tanθ=√33，即θ=π6．故选：C．由双曲线的方程可得其焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式列得关于θ的方程，解之即可．本题考查双曲线的几何性质，主要包含焦点、渐近线等，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R，函数关于y轴对称，则函数为偶函数，则C不成立，C函数的定义域为{x|x≠0}，排除C；对于B，函数f(−x)=− xcosx−sinx2−x+2x=−f(x)，则B函数为奇函数，不满足条件，排除B；对于A，函数中，f(x)≥0恒成立，不存在负值，排除A．故选：D．结合图象特点，分别进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，分别利用函数定义域，对称性以及取值范围是否满足是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】D【解析】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故A错误；若l//α，α//β，则l⊂β或l//β，故B错误；若l//α，α⊥β，则l⊥β或l//β，故C错误；若l⊥α，α//β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故D正确；故选：D本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，C中由条件均可能得到l//β，即A，B，C三个答案均错误，只有D满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊂α,b⊄α,a//b⇒a//α)；③利用面面平行的性质定理(α//β,a⊂α⇒a//β)；④利用面面平行的性质(α//β,a⊄α,a⊄,a//α⇒a//β).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8.【答案】B【解析】解：因为X～N(0.95,0.012)，所以μ=0.95，μ+σ=0.96，所以P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5，P(0.95<X≤0.96)=P(μ<X≤μ+σ)=12P(μ−σ<X≤μ+σ)=12×0.6826=0.3413；P(X>0.96)=12[1−P(μ−σ<X≤μ+σ)]=12×(1−0.6826)=0.1587；所以每张芯片获得奖励的数学期望为E(Y)=0+100×0.3413+200×0.1587=65.87(元)．故选：B．根据X～N(0.95,0.012)得出μ=0.95，μ+σ=0.96，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望．本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：根据题意，设|b⃗ |=t，对于A，若a⃗⋅b⃗ =1,|a⃗|=1,|a⃗−b⃗ |=√3，则|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =3，即3=1+t2−2，解可得t=2，即|b⃗ |=2，A正确，对于B，a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=a⃗⋅b⃗ −a⃗2=1−1=0，则a⃗⊥(b⃗ −a⃗ )，B正确，对于C、D，又由|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，则cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=12，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°，则C错误，D正确．故选：ABD．根据题意，设|b⃗ |=t，由向量数量积的计算性质可得|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =3，求出t的值，计算a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=0，可得a⃗⊥(b⃗ −a⃗ )，由向量数量积公式计算θ的值，可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算以及向量垂直的判断，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于f(x)，有f(1)=2021，f(−1)=2021，f(−x)=−f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误，对于B，对于f(x)，若x为整数，则−x也是整数，则有f(x)=f(−x)=2021，若x不为整数，则−x也不为整数，则有f(x)=f(−x)=0，综合可得f(x)=f(−x)，f(x)是偶函数，B正确，对于C，若x为整数，f(x)=2021，x不为整数时，f(x)=0，总之f(x)是整数，则f(f(x))=2021，C正确，对于D，若x为整数，则x+1也是整数，若x不为整数，则x+1也不为整数，总之有f(x+1)=f(x)，f(x)的周期为1，若t(0<t<1)也是f(x)的周期，而x和x+nt可能一个为整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x+nt)，故f(x)的最小正周期为1，D正确，故选：BCD．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性的分析，涉及分段函数的性质以及应用，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴之间的距离π2,f(π6)=1，所以T=π，对于A：根据周期公式，解得ω=2．故sin(2×π6+φ)=1，解得φ=π6．故函数的关系式为f(x)=sin(2x+π6)，故A正确；对于B：函数的图象向右平移π6个单位得到g(x)=sin(2x−π3+π6)=sin(2x−π6)的图象，故B错误；对于C：由于x∈(0,π2)，所以2x+π6∈(π6,7π6)，当x=5π12时，函数f(5π12)=0，故C正确；对于D：当x∈[0,π6]时，2x+π6∈[π6,π2]，故函数在该区间上单调递增，故D正确；故选：ACD．首先利用函数的性质求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用确定结果．本题考查的知识要点：三角函数的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：取AC的中点M，A1C的中点M1，则MM1//AA1//BB1，在正△ABC中，BM=2√3⋅sin60°=2√3×√32=3，直线A1C与直线BB1的距离≤点M1与直线BB1的距离≤点M到直线BB1的距离≤BM=3，故直线A1C与直线BB1之间距离的最大值为3，故选项A正确；设A1在底面ABC上的投影为点O，则O为△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，故∠A1AO为直线A1A与底面ABC所成角，在正△ABC中，AO=23×√32×2√3=2，所以sin∠A1AO=A1OA1A =√A1A2−AO2A1A=√48−44√3=√336≠√32，所以直线A1A与底面所成角不是60°，故选项B错误；在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB//A1B1，所以∠B1A1C为异面直线A1B1与A1C所成的角，连结B1C，因为三棱柱的侧棱垂直于底面，所以在Rt△A1AC中，A1C=√AA12+AC2=√48+12=2√15，在Rt△B1BC中，B1C=√BB12+BC=√48+12=2√15，在△A1B1C中，cos∠B1A1C=A1B12+A1C2−B1C22A1B1⋅A1C =2×2√3×4√3=14≠√32，所以异面直线AB与A1C所成的角不可能为为30°，故选项C错误；由选项B中的分析可知，△ABC的中心为O，向上作垂线，则垂线垂直平面ABC，过平面ACC1A1的中心作垂线，则垂线垂直平面ACC1A1，设两条垂线的交点为O′，则O′为外接球的球心，故外接球的半径为R=√O′O2+OC2=√(12AA1)2+(AO)2=4，所以外接球的表面积S=4πR2=64π，故选项D正确．故选：AD．利用直线A1C与直线BB1的距离≤点M1与直线BB1的距离≤点M到直线BB1的距离≤BM，即可判断选项A；设A1在底面ABC上的投影为点O，得到∠A1AO为直线A1A与底面ABC所成角，在△A1AO中利用边角关系求解，即可判断选项B；利用已知条件确定∠B1A1C为异面直线A1B1与A1C所成的角，在△A1B1C中求解即可判断选项C；先确定外接球的球心O′，然后求出外接球的半径，再利用外接球的表面积公式，求解即可判断选项D．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面角的求解、异面直线所成角的求解、外接球的表面积的求解，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都有很高的要求，属于中档题．13.【答案】√22【解析】解：因为z =1i−1+i =i+1(i−1)(i+1)+i =i+1−2+i =−12+12i ，所以|z|=√(12)2+(12)2=√22．故答案为：√22．根据复数的运算法则化简复数z ，然后根据复数模的公式进行求解即可．本题主要考查了复数的运算法则，以及复数模的公式，同时考查了学生的运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】80【解析】解：令x =1，可得(1+2)n =243，解得n =5，则二项式(1+2x)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (2x)r =2r C 5r x r， 所以二项式(1+2x)5的展开式中含有x 3的系数为23C 53=80．故答案为：80．令x =1，可求得n =5，由二项展开式的通项公式即可求得x 3的系数． 本题主要考查二项式定理的性质及其应用，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,1)【解析】解：由f(x)=e x (x +1)，得f′(x)=e x (x +2)， 得a =f′(0)=2，且b =1． 作出函数y =|2x −1|的图象如图，由图可知，要使方程|a x −b|=m 有两个不等实根， 则实数m 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．由题意可得a 与b 的值，画出函数y =|2x −1|的图象，数形结合得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题．16.【答案】√5 2【解析】解：(1)由已知可得圆Q 的半径为r =2√55， 设圆L 的半径为R ，因为圆Q 与圆L 外切，则|LQ|=R +r ，即√(−3−0)2+(0+2√55)2=R +2√55，解得R =√5；(2)由抛物线方程可得焦点F 的坐标为(0,p2)， 则过点L(−3,0)和F 的直线的斜率k =p 2−00−(−3)=p6， 则直线的方程为：y =p2(x +3)，代入抛物线方程可得： x 2−p 2x −3p 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=p 2，x 1x 2=−3p 2，所以y 1y 2=x 12x 224p 2=9p 24，又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x 1x 2+y 1y 2=−3p 2+9p 24=−3，解得p =2， 故答案为：√5；2．(1)利用圆与圆外切的性质即可求解；(2)求出抛物线的焦点坐标，由此求出直线的斜率，即可求出直线方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到圆与圆外切的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①时，当n =1时，4 a 1=a 12+2a 1，因为a 1>0，所以a 1=2， 由4S n =a n 2+2a n ，① 可得4S n+1=a n+12+2a n+1，②②−①得4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ， 整理可得(a n+1+a n )⋅(a n+1−a n −2)=0， ∵a n >0，∴a n+1−a n =2，所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ． 选②时，因为na n+1=2S n ，①所以当n≥2时，(n−1)a n=2s n−1，②①−②得：na n+1=(n+1)a n，即 a n+1a n =n+1n，①中令n=1，可得a2=2a1满足 a n+1a n =n+1n，当n≥2时，a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅a n−2a n−3…a3a2⋅a2a1⋅a1=nn−1⋅n−1n−2⋅n−2n−3…32⋅21×1=2n，又a1=2满足a n=2n，综上，a n=2n．(2)因为满足log13b n=12a n−1，∴bn=(13)n−1，于是c n=a n b n=2n×(13)n−1，M n=2×1+4×13+6×(13)2+⋯+2n×(13)n−1…③1 3M n=2×13+4×(13)2+6×(13)3+⋯+2n×(13)n…④③−④得23M n=2+2(13+132+133+⋯+13n−1)−2n×13n=2×1−1 3n1−13−2n×13n．∴M n=92−(32+n)×(13)n−1．【解析】(1)选①时，由4S n=a n2+2a n，可得4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减整理可得a n+1−a n=2，即可求解；所以数列{a n}是以2为首项，公比为2的等比数列，选②时，由na n+1=2S n，可得n−1)a n=2s n−1，两式相减可得 a n+1a n =n+1n，利用累乘法即可求解；(2)c n=a n b n=2n×(13)n−1，利用错位相减法即可求解．本题考查了数列递推式，错位相减求和，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意可知在△ABC中，由余弦定理可知AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB，可得AC=1，且∠ACB=π2，在△ACE中，因为E=π6，∠CAE=θ，所以∠ACE=5π6−θ，由正弦定理可得：AEsin∠ACE =ACsinE，所以AE=2sin(5π6−θ)，在Rt△ACF中，AF=ACcosθ=1cosθ．(2)由(1)可知，AEAF =2cosθ⋅sin(5π6−θ)，θ∈(0,π3)，所以AEAF =2cosθ⋅sin(5π6−θ)=cos2θ+√3sinθcosθ=1+cos2θ+√3sin2θ2=12+sin(2θ+π6)，因为θ∈(0,π3)，所以2θ+π6∈(π6,5π6)，当2θ+π6=π2时，即θ=π6时，sin(2θ+π6)取得最大值1，所以AEAF 取最大值时，θ=π6．【解析】(1)由题意利用余弦定理可求AC的值，∠ACB=π2，可求∠ACE=5π6−θ，由正弦定理可得AE=2sin(5π6−θ)，在Rt△ACF中，可求AF=ACcosθ=1cosθ．(2)由(1)利用三角函数恒等变换的应用可求AEAF =12+sin(2θ+π6)，可求范围2θ+π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的性质可求AEAF取最大值时θ的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和函数思想，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵BC=BE，∴矩形BCDE为正方形，∴BD⊥CE，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，又CE∩AC=C，CE、AC⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE．(2)在△ABC中，设AC=x，则BC=√16−x2(0<x<4)，∴S△ABC=12AC⋅BC=12x⋅√16−x2=12√x2(16−x2)≤12×x2+16−x22=4，当且仅当x=√16−x2，即x=2√2时，等号成立，此时△ABC的面积有最大值4．∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，BE⊥BC，BE⊂平面BCDE，∴BE ⊥平面ABC ，∴V A−BCE =V E−ABC =13S △ABC ⋅BE ≤13×4×2√3=8√33， 故当三棱锥A −BCE 的体积最大时，AC =2√2． ∵BE//CD ，∴CD ⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0，0)，A(2√2,0，0)，D(0,0，2√3)，E(0,2√2,2√3)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0，2√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)， 设平面ADE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2√2x +2√3z =02√2y =0，令x =√3，则y =0，z =√2，∴m ⃗⃗⃗ =(√3,0，√2)， ∵CD ⊥平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2√3)，∴cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√3×√22√3×√5=√105， 故平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为√105．【解析】(1)易知BD ⊥CE ，由平面ABC ⊥平面BCDE ，推出AC ⊥平面BCDE ，可知AC ⊥BD ，再结合线面和面面垂直的判定定理，得证；(2)先由面面垂直的性质定理证明BE ⊥平面ABC ，再结合基本不等式和等体积法求三棱锥A −BCE 的体积最大时，AC 的长，然后以C 为原点建立空间直角坐标系，求得平面ADE 的法向量m⃗⃗⃗ ，而平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，最后由cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |，即可得解． 本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知：y −=99+99+45+32+30+24+217=50，b ̂=∑z i 7i=1y i −7z −y−∑z i 27i=1−7z−=184.5−7×0.37×500.55=550.55=100，所以a =y −−bz −=50−100×0.37=13， 因此y 关于x 的回归方程为：y =13+100x，所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒； (2)由题意可知：X 的可能取值为3，4，6，9，P(X=3)=A416×6=19，P(X=4)=2A416×6=29，P(X=6)=A41(1+A21)+A21A416×6=59，P(X=9)=A21A216×6=19，所以X的分布列为：数学期望为E(X)=3×19+4×29+6×59+9×19=509．【解析】(1)利用题中的数据清除y的平均值，进而可以求出b的值和a的值，即可求解；(2)写出X的可能取值，求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了线性回归方程的应用，属于中档题．21.【答案】证明：(1)由题意得：f′(x)=bx−alnx，故f′(1)=b=1，解得：b=1，若a=0，则f(x)=x2−e22，由f(x)<e x−e22，得：e x>x2，即证e x−x2>0，设g(x)=e x−x2，∵g′(x)=e x−2x(x>e)，设m(x)=g′(x)=e x−2x，则m′(x)=e x−2>0，故m(x)在(e,+∞)递增，故m(x)>m(e)>0，故g(x)在(e,+∞)递增，故g(x)>g(e)>0，故e x>x2，即f(x)<x2−e22；(2)令n(x)=f′(x)=x−alnx，则n′(x)=1−ax =x−ax(x>0)，当x∈(0,a)时，n′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，n′(x)>0，故f′(x)在(0,a)递减，在(a,+∞)递增，故f′(x)≥f′(a)=a−alna，由于a>e，故a−alna=a(1−lna)<0，又f′(1)=1>0，f′(e)=e−a<0，f′(e a)=e a−a2>0，故f′(x)有且只有2个零点，设为x1，x2(x1<e<a<x2)，当x∈(0,x1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,x1)递增，当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，f(x)在(x 1,x 2)递减， 当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(x 2,+∞)递增， 又∵f(e)=0，故f(x)有且只有2个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)且在(x 1,x 2)上恰有1个零点x 0=e ， ∵x 1=alnx 1，x 2=alnx 2，∴x 1−x 2=a(lnx 1−lnx 2)，x 1+x 2=a(lnx 1+lnx 2)， 故lnx 1+lnx 2lnx1−lnx 2=x 1+x 2x 1−x 2，故lnx 1+lnx 2=(x 1+x2x 1−x 2)(lnx 1−lnx 2)，令t =x1x 2∈(0,1)，则ℎ(t)=lnt −2(t−1t+1)，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，故ℎ(t)在(0,1)递增，故ℎ(t)<ℎ(1)<0，故lnx 1+lnx 2=(t+1t−1)lnt >2，即lnx 1x 2>2，故x 1x 2>e 2=x 02．【解析】(1)求出函数的导数，计算f′(1)，得到关于b 的方程，求出b 的值，求出f(x)的解析式，证明结论成立即可；(2)令n(x)=f′(x)=x −alnx ，根据函数的单调性得到f′(x)有且只有2个零点，设为x 1，x 2(x 1<e <a <x 2)，求出x 0=e ，得到lnx 1+lnx 2>2，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，换元思想，是难题．22.【答案】解：(1)设|F 1F 2|=2c ，因为Q 为PF 1的中点，所以△OF 1Q 的周长为|F 1Q|+|OQ|+|QF 1|=c +|F 2P|+|F 1P|2=a +c ，所以{a +c =√3+√62c a =√22，解得a =√3，b =c =√62，所以椭圆C 的方程为x 23+2y 23=1．(2)(ⅰ)证明：由x 2=4y 得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则直线l 1：y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 124，同理：l 2=x 22x −x 224，设W(x 0,y 0)，因为W 为l 1，l 2的交点， 所以x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，由题知直线AB 的斜率存在，设它的方程为y =kx +m ， 将y =kx +m 代入x 2=4y 得：x 2−4kx −4m =0， 所以x 0=2k ，y 0=−m ，因为y 02−x 024=1，所以m 2=1+k 2，所以圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ， 所以直线AB 与圆O ：x 2+y 2=1相切． (ⅰ)将y =kx +m 与x 23+2y 23=1联立得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−3=0，由韦达定理可得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−31+2k 2，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2， =3m 2−3k 2−31+2k 2=0，所以OM ⊥ON ， 又因为|MN|=2√(1+k2)(6k 2−2m 2+3)1+2k 2=2|m|√4m 2+32m 2+1，方法一：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，所以|MN|=√2⋅√2m 2(4m 2−3)2m 2−1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，所以0<t <2或0<t <√5−2， |MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)=√2⋅√−(t −12)2+94，当t =12时，即m =√62时，|MN|有最大值，且最大值3√22，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．方法二：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，|MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)≤√2⋅(2m 2+4m 2−3)2×(2m 2−1)=3√22， 当且仅当2m 2=4m 2−3，即m =√62(m =−√62舍)，第21页，共21页 所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22， 所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．【解析】(1)根据题意可得{a +c =√3+√62c a =√22，解得a ，c ，再由a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程．(2)(ⅰ)根据题意可得y =x 24，求导得y′=x 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线l 1，l 2的方程，联立求出l 1与l 2交点W(x 0,y 0)的坐标，有点W 在双曲线上，推出m 2=1+k 2，进而有点到直线的距离公式可得圆心O 到直线AB 的距离d =2=1=r ，即可得出答案．(ⅰ)联立直线ABy =kx +m 与x 23椭圆的方程得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，推出OM ⊥ON ，写出弦长|MN|=2|m|√4m 2+32m 2+1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，0<t <2或0<t <√5−2，再由配方法可得|MN|的最大值．方法二：同方法一解得m 的取值范围，再由基本不等式可得|MN|的最大值，进而求出△OMN 外接圆面积的最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

2022届山东省青岛市莱西市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x R x x =∈->，{}3,2,0,1,2,4B =--，C A B =，则集合C 的真子集的个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．16【答案】B【分析】先根据题意求出集合C ，再根据集合中元素个数求出真子集的个数.【详解】{}220{|0A x R x x x x =∈->=<或2}x >，则{}3,2,4C A B ==--，故集合C 的真子集的个数为3217-=. 故选：B.2．已知定义域为R 的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，f(－x)≠f(x) B ．∀x ∈R ，f(－x)≠－f(x) C ．∃x 0∈R ，f(－x 0)≠f(x 0) D ．∃x 0∈R ，f(－x 0)≠－f(x 0) 【答案】C【分析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答. 【详解】∵定义域为R 的函数f(x)不是偶函数， ∴∀x ∈R ，f(－x)＝f(x)为假命题， ∴∃x 0∈R ，f(－x 0)≠f(x 0)为真命题. 故选C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3．设随机变量()2~2,X N σ，()040.3P X <<=，()1P X m <-=，则下列结论正确的为（ ） A ．0.35m = B ．0.7m =C ．0.350.7m <<D ．00.35m <<【答案】D【分析】根据正态分布曲线的对称性可得()020.15P X <≤=，从而得到00.35P X ≤=，由()()()1010P X P X P X <-=≤--≤≤可得答案.【详解】由()040.3P X <<=，根据正态分布曲线的对称性可得()020.15P X <≤=，()20.5P X ≤=所以()()()02020.50.150.35P X P X P X ≤=≤-<≤=-=()()()()10100.3510P X P X P X P X <-=≤--≤≤=--≤≤又()100P X -≤≤>，所以()10.35P X <-<且()10P X <-> 所以00.35m << 故选：D4．如果两条直线()()21:2340l m x m m y ++-+=与()2:42370l x m y +-+=平行，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．﹣3 C ．﹣3或2 D ．3或2【答案】D【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求出m 的值．【详解】∵两条直线()()21:2340l m x m m y ++-+=与()2:42370l x m y +-+=平行， ∴()()()223243m m m m -+=-，即2560m m -+=，解得2m =或3，当2m =时，1:4240l x y -+=，2:4270l x y -+=，满足题意； 当3m =时，1:540l x +=，2:470l x +=，满足题意； 故选：D5．要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象（ ）A ．向左平行移动4π个单位长度 B ．向右平行移动12π个单位长度 C ．向右平行移动712π个单位长度D ．向左平行移动512π个单位长度 【答案】C【分析】首先利用诱导公式统一函数名，即3sin 3cos 32y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，然后根据平移变换即可求解.【详解】解：因为函数37sin3cos 3cos 32124y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到cos 3y x π⎛⎫=-的图象，只需将sin3y x =的图象向右平行移动7π个单位长度， 故选：C.6．已知3461x y z ==≠，则下列结论正确的为（ ）A ．数列1x ，12z ，12y 是等差数列B ．数列1x，1z ，12y 是等差数列C ．数列1x，1z ，12y 是等比数列D ．数列1x ，12z，12y 是等比数列【答案】A【分析】令()3461x y zt t ===≠,则3log x t =，4log y t =，6log z t =，由此利用对数的运算法则及换底公式即可证明1112z x y -=，由此就可以判断出数列1x ，12z，12y 是等差数列.【详解】令()3461x y zt t ===≠，则3ln log ln 3t x t ==，4ln log ln 4t y t ==，6ln log ln 6t z t ==， ∵11ln 6ln 3ln 2ln ln ln z x t t t-=-=，1ln 42ln 2ln 222ln 2ln ln y t t t ===， ∴1112z x y -=，即1211z y x =+，12212z y x =+， 故数列1x ，12z，12y 是等差数列，故A 正确，B 不正确；由1ln 3ln x t =，1ln 6ln z t =，1ln 22ln y t =，验证可知21112z x y ⎛⎫≠⋅ ⎪⎝⎭，故数列1x ，1z ，12y 不成等比数列，C 不正确，同理211122z x y ⎛⎫≠⋅ ⎪⎝⎭，故数列1x ，12z ，12y 不成等比数列，D 不正确.故选：A .7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001P χ≥=，根据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，以下结论正确的为（ ）A ．爱好跳绳与性别有关 B ．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C ．爱好跳绳与性别无关D ．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】D【分析】由列联表中正确读取a b c d 、、、的数值后，根据公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++去计算，将所得结果与10.828进行比较即可解决.【详解】402060a b +=+=，203050c d +=+=，402060a c +=+=，203050b d +=+=，40302020800ad bc -=⨯-⨯=，110n =，()()()()()2221108007.82210.82860506050n ad bc a b c d a c b d χ-⨯==≈<++++⨯⨯⨯故，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 故选：D8．已知函数()()23,014cos 2,0x x f x x x x ππ⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，()1g x kx =+，若函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有3个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．113k ≤B ．k =1143k <<C ．4k -<<D ．4k =-或113k >【答案】B【分析】先考虑0x =的情况，再考虑0x ≠的情况，把函数有3个零点转化为方程有3个实根，化简，构造两个新函数，图像有3个交点，画图得答案.【详解】()23,014cos ,0x x f x x x x π⎧+≥=⎨+<⎩，当0x =时，显然有()()f x g x ≠，即0x =不是()()y f x g x =-的零点；当0x ≠时，函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内的零点个数即为方程()()f x g x =在[]2,3x ∈-上的实根个数当03x <≤时，有213kx x +=+，即2k x x=+；当20x -≤<时，有114cos kx x x π+=+，即4cos .k x π=所以函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有3个不同的零点等价于y k =与2,03,4cos ,20x x y x x x π⎧+<≤⎪=⎨⎪-≤<⎩的图像有3个不同的交点，作出图像如图：由图可知22k =1143k << 故选：B. 二、多选题9．设a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，P 是一个点，则下列选项正确的为（ ）A ．若//αβ，a α⊂，则//a βB ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，b αβ=，P α∈，P a ∈，a b ⊥，则a β⊥D ．若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥ 【答案】ABD【分析】选项A. 由面面平行的性质可判断；选项B. 设,a b 分别为直线,a b 的方向向量，由a b ⊥，则a b ⊥从而可判断；选项C.由题意若P b ∈时不一定成立；选项D. 由平面平行的性质可判断.【详解】选项A. 若//αβ，a α⊂，由面面平行的性质可得//a β，故正确. 选项B. 设,a b 分别为直线,a b 的方向向量，由a b ⊥，则a b ⊥ 由a α⊥，b β⊥，则向量,a b 分别为平面,αβ的法向量 由a b ⊥，则αβ⊥，故正确.选项C. 若P b ∈，过点P 作直线a b ⊥，不一定能得到a β⊥. 过点P 作平面γ，使得b γ⊥，如图.过点P 在平面γ作直线a ，都满足条件，但不一定有a β⊥，故不正确.选项D. 若αγ⊥，//αβ，由平面平行的性质可得βγ⊥，故正确. 故选：ABD10．已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（ ）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上 C ．3z ≥D ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D.【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得()22224221331124z a aa a a ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭.判断正确； 选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误.11．已知两个向量1e 和2e 满足12e =，21e =，1e 与2e 的夹角为3π，若向量1227te e +与向量12e te +的夹角为钝角，则实数t 可能的取值为（ ）A ．6-B ．C ．12-D ．45-【答案】AD【分析】根据题意，()()1212270te e e te +⋅+<，且不能共线，再求解即可得实数t 的取值范围17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得答案. 【详解】解：因为12e =，21e =，1e 与2e 的夹角为3π， 所以1221cos13e e π⋅=⨯⨯=，因为向量1227te e +与向量12e te +的夹角为钝角， 所以()()1212270te e e te +⋅+<，且不能共线，所以()()()22221212112227227721570te e e te t e t e e t e t t +⋅+=++⋅+=++<，解得172t -<<-，当向量1227te e +与向量12e te +共线时，有()121227te e e te λ+=+，即27t t λλ=⎧⎨=⎩，解得t =，所以实数t 的取值范围17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以实数t 可能的取值为A ，D 故选：AD12．已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两个不同的点，则下列判断正确的为（ ） A ．AB 的最小值为323B ．以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x =C ．满足2AB =的直线有3条D ．若A ，B 同在双曲线的右支上，则直线l 的斜率44,,33k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】选项A.由实轴长为6可判断；选项B. 由()5,0F 可得出抛物线方程，从而可判断；选项C. 由当A ，B 两点同再双曲线的右支时，通经为最短弦，当A ，B 两点分别在双曲线一支上时，实轴为最短弦可判断；选项D.过右焦点F 分别作两渐近线的平行线12,l l ，由图可判断.【详解】选项A. 当直线l 的斜率为0时，于A ，B 两点分别为双曲线的顶点，则26AB a ==又3263<，故选项A 不正确. 选项B. ()5,0F ,则以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x =，故选项B 正确.选项C. 当A ，B 两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则223223b AB a ≥=>，此时无满足条件的直线.当A ，B 两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则262AB a ≥=>，此时无满足条件的直线. 故选项C 不正确.选项D. 过右焦点F 分别作两渐近线的平行线12,l l ，如图，将1l 绕焦点F 沿逆时针方向旋转到与2l 重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点. 此时直线l 的斜率43k >或43k <-,故选项D 正确故选：BD三、填空题13．在62x x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为___________；【答案】192-【分析】先求出二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求出展开式中2x 项的系数.【详解】由二项展开式的通项公式得()6116322166C 2C 21rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中令32r -=，即1r =， 故展开式中2x 的系数为()1156C 21192-=-.故答案为：192-. 14．记函数()()ln N 2nf x x x n +=+∈的图像在点22,f n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________.【答案】1nn + 【分析】利用导数求得n a n =，可得出11111n n a a n n +=-+，进而可利用裂项相消法可求得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.【详解】对函数ln 2n y x x =+求导可得12n y x'=+，由题意可得122n n a nn=+=， ()1111111n n a a n n n n +∴==-++， 因此，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和为111111111122334111n n n n n -+-+-++-=-=+++. 故答案为：1n n +. 15．在ABC 中，CA a =，CB b =，0a b ⋅<，5a =，3b =，若ABC 的外接圆的半C =___________. 【答案】23π 【分析】先根据正弦定理求出sin sin A B ，，再由条件确定C ∠为钝角，,A B ∠∠为锐角，然后求出cos cos A B ，，再利用()sinsin C A B =+即可求得角C . 【详解】设角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理2sin sin a b R A B ===159sin ,sin 143143B A ∴==， cos 0a b a b C ⋅=⋅<，cos 0C ∴<，即C ∠为钝角，,A B ∠∠为锐角，221511913cos 1,cos 11414143143B A ⎛⎫⎛⎫∴=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin sin sin cos cos si 1513911314142143143n C A B A B A B ∴=+=+=⨯+⨯=， 23C π∴∠=. 故答案为：23π. 16．如图，矩形ABCD 中，23AB =，2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN ∆折起，得到三棱锥D MNQ -．当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的表面积的值为________．【答案】253π【解析】沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，得到当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，利用三棱锥的体积公式，结合二次函数的性质，即可三棱锥的各棱长，再根据外接球的结构特点可建立关系求出球半径，即可得出表面积. 【详解】由题意，沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，可得当平面DMN ⊥平面MNQ 时，三棱锥D MNQ -体积最大，此时DN ⊥平面MNQ ， 设AM x =，则DN x =，且03x <<则三棱锥D MNQ -的体积为1112(23)332D NQ M Q M N V S DN x x -⎡⎤=⋅=⋅⎢⎥⎣⎦△，当3x =D MNQ -体积最大，且max 1V =， 此时3MB =2MQ NQ ==，故MNQ △为等边三角形， 如图，设MNQ △外接圆心为1O ，则123NO =，DN ⊥平面MNQ ，11322OO DN ∴==， 则在直角1OO N 中，2211536ON OO NO =+=，故外接球的表面积为25325463ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：253π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积计算，其中解答中根据几何体的结构特征，得到当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，再利用体积公式和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 四、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+，()cos ,cos n B C =，0m n ⋅=.(1)求角B 大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x . 【答案】(1)2π3B = (2)当7π12x =时，()f x 有最小值2-. 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.(1)由已知条件得()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=， 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，()2sin cos sin =0A B B C ++, 则2sin cos sin 0A B A +=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈ ,∴2π3B =; (2)()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭212cos sin sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x =sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭则()f x 的最小值2-，其中π3π232x +=，即当7π12x =时，()f x 有最小值2-.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a ，n a ，n S 为等差数列；数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++. (1)求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若对于*N n ∀∈，总有3207464n n m a --<成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)+1112+32n n n n T -=-. (2)6>7m .【分析】（1）由等差数列的性质得12+n n a a S =，继而有+11+12+n n a a S =，两式相减得+12n n a a =，由此得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，求得n a ，n S ，再由此求得n b ，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得n T . （2）由（1）将不等式转化为132074>642n n m ---⨯，再令13202n n n c --=，作+12233n nn n c c --=，判断出当8n =时，n c 取得最大值132，由此得174>6432m -⨯，求解即可. (1)解：因为1a ，n a ，n S 为等差数列，所以12+n n a a S =，所以+11+12+n n a a S =，两式相减得+1+122n n n n a a S S -=-，即+12n n a a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列， 又16b =，14n n nb S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，所以12n na ，12112122n n n S -⨯-=--=，所以1111242+3212n nn n n b --=++=+-，所以212112111112+32+32+++++3+22+2n n n n T b b b ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝⎭()21112+221++2++++32n n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111112222+311212nn n --⨯-=+--⨯ +1112+32n n n -=-， 所以+1112+32n n n n T -=-； (2)解：由（1）得不等式为132072464n n m ---<，整理得132074>642n n m ---⨯， 令13202n n n c --=，则()+113+122203202332n nn n nn n n c c -----=-=， 所以当07n <≤，*N n ∈时，+1>0n n c c -，即+1>n n c c ，当>7n ，*N n ∈时，+10n n c c -<，即+1n n c c <，所以当8n =时，n c 取得最大值88138201232c -⨯-==， 所以174>6432m -⨯，即74>2m -，解得6>7m .所以实数m 的取值范围为6>7m .19．现有混在一起质地均匀且粗细相同的长度分别为1m ､2m ､3m 的钢管各3根（每根钢管附有不同的编号），现随机抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是相等的），再将抽取的这4根首尾相接焊成笔直的一根.(1)记事件A =“抽取的4根钢管中恰有2根长度相同”，求()P A ；(2)若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），27ηλξ=-，()1E η>，求ξ的分布列和实数λ的取值范围.【答案】(1)914(2)分布列见解析；12λ>【分析】（1）由古典概型概率计算公式给求出()P A ；（2）ξ可能的取值为5,6,7,8,9,10,11，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E （ξ），再根据()()271E E ηλξ=->列不等式计算即可. (1)由已知()1211333349()914C C C C C P A ⋅⨯==；(2)由已知ξ可能的取值有5,6,7,8,9,10,11，则()()1349151142C P P C ξξ=====，()()22133349261021C C C P P C ξξ+=====，()()121133334957921C C C C P P C ξξ+=====，()211223333349287C C C C C P C ξ+===，∴ξ的分布列为()125252156789101184221217212142E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()()27271671E E E ηλξλξλ∴=-=-=->，解得12λ>20．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为菱形，160ABB ∠=︒，AB =BC =4AC =，1BB AC ⊥.(1)求证：平面11BB C C ⊥平面11ABB A ； (2)求平面11A BC 与平面ABC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 132001【分析】（1）连接1AB ，取1BB 的中点O ，连接,OA OC ，结合已知可得1BB OC ⊥，由已知的数据通过计算可得222OA OC AC +=，从而得OC OA ⊥，由线面垂直的判定定理可得OC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）以O 为原点，,,OA OB OC 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 (1)连接1AB ，取1BB 的中点O ，连接,OA OC ， 因为四边形11ABB A 为菱形，160ABB ∠=︒， 所以1AB B 为等边三角形，所以1BB OA ⊥， 因为1BB AC ⊥，AC OA A ⋂=， 所以1BB ⊥平面AOC ， 因为OC ⊂平面AOC ， 所以1BB OC ⊥，在等边1AB B 中，22AB = 所以22606OA =︒=在Rt OBC 中，3BC =2OB 所以10OC =因为4AC =，所以222OA OC AC +=，所以OC OA ⊥， 因为1OA BB O =，所以OC ⊥平面11ABB A ， 因为OC ⊂平面11BB C C ， 所以平面11BB C C ⊥平面11ABB A ， (2)由（1）可知,,OA OB OC 两两垂直，所以以O 为原点，,,OA OB OC 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则11(6,22,0),2,0),(0,22,10)A B C --， 所以111(6,0,10),(0,32,10)AC BC =-=- 设(,,)m x y z =为平面11A BC 的一个法向量，则111610032100m AC x z m BC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令33z =(35,15,33)m =， 设(,,)n a b c =为平面ABC 的一个法向量，由(6,0,0),2,0),10)A B C ，得(6,2,0),(0,2,10)AB BC =-=-， 则6202100n AB a b n BC b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令5a =，则(5,53,15)n =，设平面11A BC 与平面ABC 的夹角为θ，由图可知θ为锐角，则 15515595132001cos 451527257515m n m nθ⋅++===++⋅++21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为13e =，A ，B 为其左､右顶点，1F ，2F为其左､右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线:0l x y +相切，点P 是椭圆C 上的一个动点（P 异于A ，B 两点），点Q 与点P 关于原点对称，分别连接AP ，2QF 并延长交于点M ，连接2PF 并延长交椭圆C 于点N ，记△2AF M 的面积与2AF N △的面积分别为1S ，2S .(1)求椭圆C 的标准方程； (2)若1225S S =，求点P 的坐标.【答案】(1)22198x y(2)(0,P ±【分析】（1）利用原点到直线:0l x y ++=的距离为c ，求出c 值，再利用离心率13e =，求出a 值，最后利用222b a c =-求出2b 的值，即可求解；（2）设点P 坐标为(),m n ，分别求出直线AP 和直线2QF 的方程，然后联立求出点M 的坐标，利用1225S S =的关系求出点N 的纵坐标，利用点P 、2F 、N 三点共线求出点N 的横坐标，最后利用点N ，点P 在椭圆上，构造方程组即可解得m 、n 的值. (1)∵以线段12F F 为直径的圆与直线:0l x y ++=相切，∴原点到直线:0l x y +=的距离为c ，即1c ==，又∵13c e a ==，∴3a =，即2228b a c =-=， 故椭圆C 的标准方程为22198x y ;(2)设点P 坐标为(),m n ，由()30A -,得，直线AP 的方程为()33ny x m =++（其中3m ≠-，0n ≠）， ∵点Q 与点P 关于原点对称，∴点Q 的坐标为(),m n --， 则直线2QF 的方程为()11ny x m =-+, 将两直线方程联立得()23,2M m n +， 又∵1225S S =，∴1252M N y S S y ==,即252N n y =，45N n y =， 点P 和点N 分别位于x 轴的两侧，则45N ny =-， ∵点P 、2F 、N 三点共线，∴2PF ∥2F N , 即()21,PF m n =--，()21,N N F N x y =-,()()()110N N m y x n ----=，9455Nxm =-，故944,555n N m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∵点N 在椭圆上，∴2219414+=195585n m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵点P 也在椭圆上，∴22198m n +=， 以上两个方程联立求解得0m =，n =±则存在点(0,P ±，使得1225S S =.22．已知()()ln f x ax b x =+-，其中0a >，0b >. (1)求()f x 在[)0,∞+上为减函数的充要条件；(2)求()2y f x =在(),-∞+∞上的最大值；(3)解关于x的不等式：(ln 11ln 2+. 【答案】(1)0a b <≤ (2)maxln ,0ln ,b a b y a b a a b a <≤⎧⎪=-⎨->⎪⎩(3)8x k x k πππ⎧-≤≤⎨⎩或3,48k x k k Z ππππ⎫+≤≤+∈⎬⎭ 【分析】（1）先对函数求导，然后由'()0f x ≤可求出结果，（2）设2[0,)x t =∈+∞，则问题转化为求()y f t =在[0,)t ∈+∞上的最大值，然后分0a b <≤和a b >两种情况求()f t 的最大值即可，（3）取1a b ==，则()ln(1)f x x x =+-，由（1）可知()f x 在[0,)+∞上为减函数，将原不等式转化为(1)f f ≥1≤，进而可求得结果 (1)由()()ln f x ax b x =+-，得'()1a a b axf x ax b ax b--=-=++，[0,)x ∈+∞， 充分性：因为0,0,0x a b ≥>>，所以当'()0f x ≤时，0a b -≤，即0a b <≤，必要性：当0a b <≤时，因为0,0,0x a b ≥>>，所以0,0ax b a b ax +>--≤，即'()0f x ≤， 所以()f x 在[)0,∞+上为减函数的充要条件为0a b <≤， (2)设2[0,)x t =∈+∞，则问题转化为求()y f t =在[0,)t ∈+∞上的最大值，由（1）可知，当0a b <≤时，()f t 在[0,)t ∈+∞上为减函数，所以max (0)ln y f b ==，当a b >时，'()1a a b atf t at b at b--=-=++， 由于0a b t a -≤<时，()0f t '>，则()f t 在0,a b a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，当a b t a ->时，'()0f t <，则()f t 在,a b a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数， 所以max ln a b a b y f a a a --⎛⎫==-⎪⎝⎭， 综上，max ln ,0ln ,b a by a b a a b a <≤⎧⎪=-⎨->⎪⎩(3)取1a b ==，则()ln(1)f x x x =+-，由(ln 11ln 2+≥，得(ln 1ln 21≥-，所以(1)ff ≥，由（1）可知()f x 在[0,)+∞上为减函数，1≤，所以sin 2cos 20sin 2cos 21x x x x +≥⎧⎨+≤⎩，即204214x x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得22244k x k ππππ≤+≤+或322244k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 所以8k x k πππ-≤≤或348k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以不等式的解集为8x k x k πππ⎧-≤≤⎨⎩或3,48k x k k Z ππππ⎫+≤≤+∈⎬⎭ 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解不等式，解题的关键是令1a b ==，将原函数转化为()ln(1)f x x x =+-，从而将原不等式转化为(1)ff ≥，再利用函数的单调性可求得结果，考查了数学转化思和计算能力，属于较难题。

2023-2024学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝（﹣1，3），B ＝{x |x +a ≥0}，若A ∪B ＝{x |x ＞﹣1}，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，1]B ．（﹣3，1]C ．[﹣3，1）D ．（﹣3，1）2．复数z ＝a +i （a ∈R ，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若(z +1)(z +1)=1，则a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，3），（3，4），（2，3），E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF →⋅AB →=（ ） A ．10B ．12C ．14D ．164．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产品和最大规模的国际合作平台．树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图．该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（ ）A ．72B ．76C ．78D ．855．已知等差数列{a n }各项均为正整数，a 11＝a 1+a 2+a 3，a 2＜10，则其公差d 为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．46．已知点F 是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点(2√2，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2|AF |+|BF |的最小值为14，则E 的准线方程为（ ） A ．y ＝﹣4B ．y ＝﹣2C ．x ＝﹣4D ．x ＝﹣27．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ） A ．13B ．12C ．23D ．348．已知O 为坐标原点，双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点依次为F 1，F 2，过点F 1的直线与E 在第一象限交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，|OP |=√7a ，则E 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A ：“至少有1个红球”，事件B ：“至少有1个白球”，事件C ＝A ∩B ，则（ ） A ．事件A ，B 不互斥 B ．事件A ，B 相互独立C ．P （A |B ）＝P （B |A ）D ．P （C |A ）+P （C |B ）＞2P （C ）10．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象关于点(4π9，0)对称，在(π9，5π9)上单调递减，f(2π3)=f(8π9)．将y ＝f （x ）的图象向右平移2π9个单位得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．ω=32B ．φ=π3+kπ，k ∈ZC ．f(2023π)+f(2024π)=1+√32D ．g （x ）为偶函数11．若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8，则（ ） A ．a +b ≤8B ．ab ≥16C ．a +3b ≥4+6√3D ．1a−1+4b−1≥4312．将函数y ＝f （x ）的图象绕原点逆时针旋转π4后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝sin2xC ．y ＝x ﹣lnxD ．y ＝xe x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(1+2xy)(x −y)6的展开式中含x 4y 2项的系数是 ．（结果用数字表示） 14．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．已知事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}，C ＝{1，a ，b ，c }，若P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ）但A ，B 与C 均不独立，则事件C ＝ ．15．已知动点P ，Q 分别在圆M ：（x ﹣lnm ）2+（y ﹣m ）2=14和曲线y ＝lnx 上，则|PQ |的最小值为 ．16．若函数f （x ）＝e x +a |x 2﹣1|在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．（1）证明：若C＝2A，则a＝b﹣2a cos C；（2）探究：是否存在一个△ABC，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．18．（12分）已知函数f(x)=ae xx−x+lnx(a∈R)．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：f（x）≥e﹣1．19．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC，SA＝4，AB＝2，AC＝2√3，D，E分别为BC，SC的中点，点M，N都在棱SA上，AM＝1，且满足DM∥平面BEN．（1）求AN的长；（2）求平面BEN与平面DEM夹角的余弦值．20．（12分）为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x表示，t＝sin x，利润用y（单位：万元）表示，已知y与x的经验回归方程为y=bsinx+a．（1）求a，b的值（结果精确到1）；（2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X．（i）求X的分布列及数学期望；（ii）规定：进行多轮选择，每轮出现X＝3记为A，出现X≠3记为B，先出现AB为甲胜，先出现AA 为乙胜．记P1表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，P2表示“第一轮为B且最终甲胜的概率”，求P1，P2及甲胜的概率．参考数据：∑10i=1t i y i≈14.23，t≈0.14，y=3.28，∑10i=1(t i−t)2≈4.80．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）．其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式为：b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．21．（12分）已知O为坐标原点，点P在椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，C1的左、右焦点F1，F2恰为双曲线C2：x2−4y23=1的左、右顶点，C1的离心率e=12．（1）求C1的标准方程；（2）若直线l与C1相交于A，B两点，AB中点W在曲线C3：(x2+4y23)2=x2−4y23上．探究直线AB与双曲线C2的位置关系．22．（12分）在各项均为正数的数列{a n}中，a1＝2，a2＝16，a n+1a n﹣1＝4a n2（n＞1）．（1）证明数列{a n+1a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2+(2√log2a n+1)⋅lnnn+1，记数列{b n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）证明：S n＞−1 2．2023-2024学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝（﹣1，3），B ＝{x |x +a ≥0}，若A ∪B ＝{x |x ＞﹣1}，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，1]B ．（﹣3，1]C ．[﹣3，1）D ．（﹣3，1）解：集合A ＝（﹣1，3），B ＝{x |x +a ≥0}＝{x |x ≥﹣a }，∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣1}，∴﹣1＜﹣a ≤3，解得﹣3≤a ＜1，∴实数a 的取值范围是[﹣3，1）． 故选：C ．2．复数z ＝a +i （a ∈R ，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若(z +1)(z +1)=1，则a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：由题意，（a +1+i ）（a +1﹣i ）＝（a +1）2﹣i 2＝（a +1）2+1＝1，解得a ＝﹣1． 故选：B ．3．在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，3），（3，4），（2，3），E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF →⋅AB →=（ ） A ．10B ．12C ．14D ．16解：由题意可得E(−32，32)，F(52，72)，所以EF →=(4，2)，AB →=(1，3)，所以EF →⋅AB →=4×1+2×3=10． 故选：A ．4．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产品和最大规模的国际合作平台．树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图．该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（ ）A ．72B ．76C ．78D ．85解：由频率分布直方图可得，[50，60）组的频率为1﹣（0.027+0.025+0.016+0.014）×10＝0.18， 因为0.18+0.27＝0.45＜0.6，0.18+0.27+0.25＝0.7＞0.6， 所以第60百分位数落在[70，80）组内，设其为m ，则0.45+（m ﹣70）×0.025＝0.6，解得m ＝76，即第60百分位数大约为76． 故选：B ．5．已知等差数列{a n }各项均为正整数，a 11＝a 1+a 2+a 3，a 2＜10，则其公差d 为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4解：等差数列{a n }中，a 11＝a 1+a 2+a 3＝a 1+10d ， ∴a 2+a 3＝10d ＝2a 1+3d ，∴2a 1＝7d ，∴a 1=72d ，数列{a n }各项均为正整数，则d 为正整数， a 2＝a 1+d =72d +d =92d ＜10，∴0＜d ＜209，则d ＝1或2，当d ＝1时，由a 1=72d ，a 1不为正整数，舍去，则d ＝2．故选：C ．6．已知点F 是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点(2√2，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2|AF |+|BF |的最小值为14，则E 的准线方程为（ ） A ．y ＝﹣4B ．y ＝﹣2C ．x ＝﹣4D ．x ＝﹣2解：设过点(2√2，0)的直线l 的方程为y ＝k （x −2√2）， 联立{y =k(x −2√2)y 2=2px，可得k 2x 2−(4√2k 2+2p)x +8k 2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝8，且x 1＞0，∴2|AF |+|BF |＝2（p 2+x 1）+（p 2+x 2）=3p 2+2x 1+x 2=3p 2+2x 1+8x 1≥3p 2+2√2x 1⋅8x 1=3p 2+8，当且仅当2x 1=8x 1，又x 1＞0，即x 1＝2时，等号成立， ∴2|AF |+|BF |的最小值为3p 2+8=14，∴p ＝4，∴抛物线E 的准线方程为x =−p2=−2．故选：D ．7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34解：构造平面A 1BD ，平面CB 1D 1，则AC 1⊥平面A 1BD ，AC 1⊥平面CB 1D 1， 设正方体棱长为1，则A 1B ＝A 1D ＝BD =√2，AC 1=√3，∴AE ＝EF ＝FC 1=√33，∴VA 1−ABD=VC−B 1C 1D 1=13×12×1=16， 设A 到平面A 1BD 的距离为h ，则V A−AB 1D 1=13⋅√34⋅(√2)2•h =16，解得h =√33， ∴E ∈平面A 1BD ，同理可得F ∈平面CB 1D 1．∴正方体夹在平面α与β之间的部分体积为1−16×2=23．故体积比为23．故选：C ．8．已知O 为坐标原点，双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点依次为F 1，F 2，过点F 1的直线与E 在第一象限交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，|OP |=√7a ，则E 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x解：O 为坐标原点，双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点依次为F 1，F 2，过点F 1的直线与E 在第一象限交于点P ，且|PF 1|＝2|PF 2|，|OP |=√7a ，又|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 又∠F 1OP +∠POF 2＝180°，可得cos∠F1OP+cos∠POF2＝0，即2√7a)222c⋅√7a+2√7a)222c⋅√7a=0，可得：c2＝3a2，又c2＝a2+b2，可得b2＝2a2．故E的渐近线方程为：y＝±bax＝±√2x．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A：“至少有1个红球”，事件B：“至少有1个白球”，事件C＝A∩B，则（）A．事件A，B不互斥B．事件A，B相互独立C．P（A|B）＝P（B|A）D．P（C|A）+P（C|B）＞2P（C）解：根据题意，事件A：“至少有1个红球”，事件B：“至少有1个白球”，事件C＝A∩B，则事件C为“一个红球和一个白球”，P（A）=C42+C41C21C62=1415，P（B）=C22+C41C21C62=915，P（C）=C21C41C62=815，依次分析选项：对于A，事件C：“一个红球和一个白球”，事件A、B可能同时发生，故事件A、B不是互斥事件，A正确；对于B，P（A）=1415，P（B）=915，P（AB）＝P（C）=815，由于P（A）P（B）≠P（AB），事件A，B不相互独立，B错误；对于C，P（B|A）=P(AB)P(A)=814，P（A|B）=P(AB)P(B)=89，C错误；对于D，P（C|A）=P(AC)P(A)=P(C)P(A)＞P（C），同理：P（C|B）＞P（C），故有P（C|A）+P（C|B）＞2P（C），D正确．故选：AD．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于点(4π9，0)对称，在(π9，5π9)上单调递减，f(2π3)=f(8π9)．将y＝f（x）的图象向右平移2π9个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．ω=32B．φ=π3+kπ，k∈ZC．f(2023π)+f(2024π)=1+√32D．g（x）为偶函数解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）， f(2π3)=f(8π9)，则f （x ）的图象关于x =12×(2π3+8π9)=7π9， 又f （x ）图象关于点(4π9，0)对称，在(π9，5π9)上单调递减， 则T ＝2×（7π9−π9）=4π3=2πω，∴ω=32，A 正确；x =7π9时，函数取得最小值，则32×7π9+φ＝2k π+3π2，k ∈Z ，φ＝2k π+π3，k ∈Z ，B 错误； f （x ）＝sin （32x +π3），f （2023π）+f （2024π）＝sin （32×2023π+π3）+sin （32×2024π+π3）＝sin （π2+π3）+sin π3=1+√32，C 正确；D 项，将y ＝f （x ）的图象向右平移2π9个单位得到函数g （x ）的图象，则g(x)=sin[32(x −2π9)+π3]=sin 32x ，g （﹣x ）＝﹣g （x ），则g （x ）为奇函数，D 错误．故选：AC ．11．若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8，则（ ） A ．a +b ≤8B ．ab ≥16C ．a +3b ≥4+6√3D ．1a−1+4b−1≥43解：若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8≤（a+b 2）2，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，所以a +b ≥8，A 错误；若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8≥2√ab +8，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥16，B 正确； 由ab ＝a +b +8可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝9，所以a +3b ＝（a ﹣1）+3（b ﹣1）+4≥2√3(a −1)(b −1)+4＝6√3+4， 当且仅当a ﹣1＝3（b ﹣1），即b ＝1+√3，a ＝1+3√3时取等号，C 正确； 1a−1+4b−1≥2√4(a−1)(b−1)=2√49=43，当且仅当b ＝1＝4（a ﹣1），即a =52，b ＝7时取等号，D 正确． 故选：BCD ．12．将函数y ＝f （x ）的图象绕原点逆时针旋转π4后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝sin2xC ．y ＝x ﹣lnxD ．y ＝xe x解：若将函数y ＝f （x ）的图象绕原点逆时针旋转π4后得到函数仍是一个函数，则函数y ＝f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y ＝x +b 均不能有两个或两个以上的交点． 对于选项A ，设h （x ）＝sin x ﹣x ﹣b ，则h '（x ）＝cos x ﹣1≤0，所以函数h （x ）为R 上的单调递减函数，即方程sin x ﹣x ﹣b ＝0只有一解， 所以y ＝sin x 与y ＝x +b 只有一个交点，符合题意，故A 正确；对于选项B ，设g （x ）＝sin2x ﹣x ，则g （0）＝0，g （π4）＝1−π4，g （π2）＝0−π2＜0，所以由零点的存在性定理可得：g （x ）在（π4，π2）上存在零点，即方程sin2x ﹣x ＝0不只有一解，所以y ＝sin2x 与y ＝x 有多个交点，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，设F （x ）＝x ﹣lnx ﹣x ﹣b ＝﹣lnx ﹣b ， 则函数F （x ）在（0，+∞）上单调递减，且F （e ﹣b ）＝0， 所以y ＝x ﹣lnx 与y ＝x +b 只有一个交点，符合题意，故C 正确； 对于选项D ，设G （x ）＝xe x ﹣x ﹣1，则G （﹣2）＝﹣2e ﹣2+1＞0，G （0）＝﹣1＜0，G （2）＝2e 2﹣3＞0，所以由零点的存在性定理可得：G （x ）在（﹣2，0）和（0，2）上各有零点，所以y ＝xe x 与y ＝x +1有多个交点，不符合题意，故D 不正确． 故选：AC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(1+2xy)(x −y)6的展开式中含x 4y 2项的系数是 ﹣25 ．（结果用数字表示） 解：∵(1+2x y )(x −y)6=（1+2x y）[C 60x 6+C 61•x 5•（﹣y ）+⋯+C 65•x •（﹣y ）5+C 66•（﹣y ）6]， ∴展开式中含x 4y 2项的系数是C 62•（﹣1）2+2•C 63•（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25，故答案为：﹣25．14．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．已知事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}，C ＝{1，a ，b ，c }，若P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ）但A ，B 与C 均不独立，则事件C ＝ {1，5，7，8} ． 解：根据题意，样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}，C ＝{1，a ，b ，c }， 则P （A ）＝P （B ）＝P （C ）=48=12， 又由P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ），则P （ABC ）=18，故事件ABC 中只有1个元素，而事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}， 故C ＝{1，5，7，8}． 故答案为：{1，5，7，8}．15．已知动点P ，Q 分别在圆M ：（x ﹣lnm ）2+（y ﹣m ）2=14和曲线y ＝lnx 上，则|PQ |的最小值为 √2−12 ．解：因为圆M ：（x ﹣lnm ）2+（y ﹣m ）2=14，设M （x ，y ），则{x =lnmy =m，所以y ＝e x ，即圆心M 在曲线y ＝e x 上运动，易知，函数y ＝e x 与函数的图象y ＝lnx 关于直线y ＝x 对称，而曲线f （x ）与直线y ＝x +1相切于点A （0，1），曲线 （x ）与直线y ＝x ﹣1相切于点B （1，0）， 所以|PM |的最小值为 |AB|=√2，即|PQ |的最小值为|PM |−12=√2−12．故答案为：√2−12．16．若函数f （x ）＝e x +a |x 2﹣1|在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是 [−e 2，e2] ．解：∵f （x ）＝e x+a |x 2﹣1|（x ＞0）={e x +a(1−x 2)，0＜x ＜1e x +a(x 2−1)，x ≥1在（0，+∞）上单调递增，f ′(x)={e x −2ax ，0＜x ＜1e x +2ax ，x ≥1，∴e x ﹣2ax ≥0对∀0＜x ＜1成立，且e x +2ax ≥0对∀x ≥1成立， 即a ≤e x 2x 对∀0＜x ＜1成立，且a ≥−e x2x对∀x ≥1成立， 令g(x)=e x 2x (0＜x ＜1)，ℎ(x)=−e x2x(x ≥1)， 则g ′(x)=e x (x−1)2x 2＜0，ℎ′(x)=e x (1−x)2x 2≤0，∴g（x）是减函数，h（x）是减函数，∴a≤g（1）且a≥h（1）⇒−e2≤a≤e2，∴a的取值范围是[−e2，e2]．故答案为：[−e2，e2]．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）证明：若C＝2A，则a＝b﹣2a cos C；（2）探究：是否存在一个△ABC，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．解：（1）证明：若C＝2A，则b﹣2a cos C＝sin B﹣2sin A cos C＝sin（A+C）﹣2sin A cos C＝sin A cos C+cos A sin C﹣2sin A cos C＝sin C cos A﹣cos C sin A＝sin（C﹣A）＝sin A，由正弦定理得：a＝b﹣2a cos C．（2）假设存在△ABC，其三边为三个连续的自然数a﹣1，a，a+1（a＞1），设所对的角分别为A，B，C，则若最大角是最小角的两倍，即C＝2A，由（1）可得，a﹣1＝a﹣2（a﹣1）cos C，即2（a﹣1）cos C＝1，由余弦定理知cosC=(a−l)2+a2−(a+l)22a(a−l)，代入上式得a2＝5a，即a（a﹣5）＝0，解得a＝5或a＝0（舍），所以最大边长为a+1＝6，即存在一个△ABC，其三边为三个连续的自然数，最大边长为6．18．（12分）已知函数f(x)=ae xx−x+lnx(a∈R)．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：f（x）≥e﹣1．解：（1）当a＝0时，f（x）＝lnx﹣x，则f′(x)=1x−1=1−xx(x＞0)，由f'（x）＞0，得0＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，（2）证明：方法一：当a＝1时，f(x)=e xx−x+lnx=e xx−lne xx，令ℎ(x)=e xx(x＞0)，可知ℎ′(x)=(x−1)exx，则h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，因此ℎ(x)=e xx≥ℎ(1)=e（当且仅当x＝1时取得等号）．令k（x）＝x﹣lnx（x2e），则由（1）知，k（x）在[e，+∞）单调递增，因此k（x）≥e﹣1，所以f(x)=k(e xx)≥e−1．方法二：当a＝1时，f(x)=e xx−x+lnx，则f′(x)=(ex−x)(x−1)x2(x＞0)，由（1）可知，lnx≤x﹣1＜x，即x＜e x，所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，因此f（x）≥f（1）＝e﹣1（当且仅当x＝1时取得等号）．19．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC，SA＝4，AB＝2，AC＝2√3，D，E分别为BC，SC的中点，点M，N都在棱SA上，AM＝1，且满足DM∥平面BEN．（1）求AN的长；（2）求平面BEN与平面DEM夹角的余弦值．解：（1）如图，连接SD，交BE于点G，连接NG，则平面SMD∩平面BEN＝NG，因为DM∥平面BEN，DM⊂平面SMD，所以DM∥NG，因为D，E分别为BC，SC的中点，所以点G为△SBC的重心，所以SG＝2GD，所以SN＝2NM，由题意知AM=14SA，则N是SA的中点，AN=12SA=2．（2）由题意知SA⊥底面ABC，AB⊥AC，所以AB ，AC ，AS 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AS 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2√3，0)，S(0，0，4)，D(1，√3，0)， E(0，√3，2)，N(0，0，2)，M(0，0，1)，所以BE →=(−2，√3，2)，BN →=(−2，0，2)，DE →=(−1，0，2)，DM →=(−1，−√3，1)， 设平面BEN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅BE →=0m →⋅BN →=0，即{−2x 1+√3y 1+2z 1=0−2x 1+2z 1=0，令x 1＝1，则y 1＝0，z 1＝1， 所以平面BEN 的一个法向量为m →=(1，0，1)， 设平面DEM 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⋅DE →=0n →⋅DM →=0，即{−x 2+2z 2=0−x 2−√3y 2+z 2=0，令x 2＝2，则y 2=−√33，z 2=1， 所以平面DEM 的一个法向量为n →=(2，−√33，1)，故cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=√163=3√68，由图象可知平面BEN 与平面DEM 夹角为锐角， 所以平面BEN 与平面DEM 夹角的余弦值为3√68． 20．（12分）为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x 表示，t ＝sin x ，利润用y （单位：万元）表示，已知y 与x 的经验回归方程为y =bsinx +a ．（1）求a ，b 的值（结果精确到1）；（2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M ，集合M 中元素的个数记为随机变量X ． （i ）求X 的分布列及数学期望；（ii ）规定：进行多轮选择，每轮出现X ＝3记为A ，出现X ≠3记为B ，先出现AB 为甲胜，先出现AA 为乙胜．记P 1表示“第一轮为A 且最终甲胜的概率”，P 2表示“第一轮为B 且最终甲胜的概率”，求P 1，P 2及甲胜的概率．参考数据：∑ 10i=1t i y i ≈14.23，t ≈0.14，y =3.28，∑ 10i=1(t i −t)2≈4.80．参考公式：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）．其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式为：b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=∑ n i=1x i y i −nx⋅y ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．解：（1）月份用x 表示，t ＝sin x ，利润用y （单位：万元）表示， 已知y 与x 的经验回归方程为y =bsinx +a ，由已知公式得∑ 10i=1t i y i −10ty ≈14.23−10×0.14×3.28≈9.6，所以b =9.64.8=2.0，a =y −b t =3.28−2.0×0.14=3，故a =3，b =2；（2）（i ）由题意知，X 的可能取值为2，3，4，P(X =2)=C 52C 52C 52=110，P(X =3)=C 53C 31C 21C 52C 52=610=35，P(X =4)=C 54C 42C 52C 52=310， 其分布列为：E(X)=2×110+3×35+4×310=165；（ii）当第一轮为A时，若第二轮为B，则甲胜，若第二轮为A，则乙胜，所以P1=35×25=625；当第一轮为B时，若第二轮为A，则最终甲胜的概率为25P1，若第二轮为B，则最终甲胜的概率为25P2，所以P2=25P1+25P2=625+25P2，则P2=425；由全概率公式知：甲胜的概率P=P1+P2=2 5．21．（12分）已知O为坐标原点，点P在椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，C1的左、右焦点F1，F2恰为双曲线C2：x2−4y23=1的左、右顶点，C1的离心率e=12．（1）求C1的标准方程；（2）若直线l与C1相交于A，B两点，AB中点W在曲线C3：(x2+4y23)2=x2−4y23上．探究直线AB与双曲线C2的位置关系．解：（1）因为椭圆C1的左、右焦点F1，F2恰为双曲线C2：x2−4y23=1的左、右顶点，所以F1（﹣1，0），F2（1，0），此时a2﹣b2＝1，①因为椭圆C1的离心率e=1 2，所以ca=√a2−b2√a2=12，②联立①②，解得a=2，b=√3，则C1的标准方程为x24+y23=1；（2）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的方程为y＝kx+m，联立{y=kx+mx24+y23=1，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由韦达定理得x1+x2=−8km3+4k2，因为W为AB的中点，所以x1+x22=−4km3+4k2，y1+y22=k(x1+x2)+2m2=3m3+4k2，不妨设W（x0，y0），此时x0=−4km3+4k2，y0=3m3+4k2，所以x 02=16k 2m 2(3+4k 2)2，y 02=9m 2(3+4k 2)2， 则x 02+4y 023=m 2(12+16k 2)(3+4k 2)2=4m 23+4k 2， 同理得x 02−4y 023=m 2(16k 2−12)(3+4k 2)2=4m 2(4k 2−3)(3+4k 2)2， 因为W 在曲线C 3：(x 2+4y 23)2=x 2−4y 23上， 所以(4m 23+4k 2)2=4m 2(4k 2−3)(3+4k 2)2，解得4m 2＝4k 2﹣3， 联立{y =kx +m x 2−4y 23=1，消去y 并整理得（3﹣4k 2）x 2﹣8kmx ﹣4m 2﹣3＝0，此时Δ＝12（3+4m 2﹣4k 2）＝0， 则直线AB 与C 2相切； 若直线l 斜率不存在， 由对称性知W 在x 轴上， 因为W 在曲线C 3：(x 2+4y 23)2=x 2−4y 23， 所以W （±1，0）， 此时直线AB 与C 2相切， 综上得，直线AB 与C 2相切．22．（12分）在各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝16，a n +1a n ﹣1＝4a n 2（n ＞1）．（1）证明数列{a n+1a n}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =2+(2√log 2a n +1)⋅ln nn+1，记数列{b n }的前n 项和为S n ． （i ）求S n ；（ii ）证明：S n ＞−12．解：（1）证明：在各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝16，a n +1a n ﹣1＝4a n 2（n ＞1），由题意知a n+1a n=4a n a n−1(n ＞1)，因此数列{a n+1a n }是以a 2a 1=8为首项，以4为公比的等比数列，于是a n+1a n=22n+1，a n a n−1=22n−1(n ＞1)，a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅⋯⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=2(2n−1)+(2n−3)+⋯+1=2n2(n＞1)，又a1＝2适合上式，所以a n=2n2；（2）（i）若b n=2+(2√log2a n+1)⋅lnnn+1，记数列{b n}的前n项和为S n，则b n=2+(2n+1)lnnn+1=2+(2n−1)lnn−(2n+1)ln(n+1)+2lnn，所以S n＝2n+[0﹣5ln2+5ln2﹣7ln4+（2n﹣1）lnn﹣（2n+1）ln（n+1）+2lnn!]＝2n﹣（2n+1）ln（n+1）+2lnn!；证明：（ii）因为数列{−12(1n−1n+1)}的前n项和为−12((1−1n+1)−12，所以只需证明：b n=2+(2n+1)lnnn+1＞−12(1n−1n+1)，令x=nn+1∈(0，1)，只需证明lnx＞12(x−1x)，设函数f(x)=lnx−12(x−1x)，x∈（0，1），f′(x)=1x−12−12x2=−(x−1)22x2≤0，所以f（x）＞f（1）＝0，即lnx＞12(x−1x)成立，得证．。

2020~2021学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题 2021.01本试卷6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集R U =，集合2{R |60}A x x x =∈+−≥，集合{R |lg(1)0}B x x =∈−<，则R ()A B = ð（ ）A ．(1,2)−B ．(1,2)C ．(3,2)−D ．(3,1)−2．21sin 7022sin 10+°=−°（ ）A ．2B ．1−C ．1D ．123．“40,2x a x x ∀>≤++”的充要条件是（ ）A ．2a >B ．2a ≥C ．2a <D ．2a ≤4．《莱茵德纸草书》（Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93 个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．95．已知双曲线2222:1(0)cos sin 2x y πθθθΓ−<<的焦点到渐近线的距离等于12，则θ=（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．12πA ．cos 1()22x xx f x −+=+ B ．cos sin ()22x xx x xf x −+=+C ．cos sin ()22x xx x xf x −+=− D ．cos sin ()22x xx x xf x −+=+ 7．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下结论正确的是（ ）A ．若l α⊥，//αβ，则l β⊥B ．若//l α，//l β，则//αβC ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂D ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥8．某种芯片的良品率X 服从正态分布2N(0.95,0.01)，公司对科技改造团队的奖励方案如下： 若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片 奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元．则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元 A ．52.28B ．65.87C ．50.13D ．131.74附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N µσ，则()0.6826P µσξµσ−<<+=，(22)0.9544P µσξµσ−<<+=，(33)0.9974P µσξµσ−<<+=．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件可得，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，得成立；若，得【详解】若，得成立；反之，若，得故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.3．向量,a b r r 满足1a r =，b =r ，()(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C【解析】试题分析：设向量a r 与b r 的夹角为θ．∵()(2)a b a b +⊥-r rr r ，∴2222()(2)2211cos 0a b a b a b a b θ+⋅-=-+⋅=⨯-+=rrrrrrrr ，化为cos 0θ=，∵[0,]θπ∈，∴090θ=．故选C ． 【考点】平面向量数量积的运算． 4．已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32 C ．43D ．34【答案】C【解析】根据等差数列的性质先求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差，即可求出5a ． 【详解】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则73114d a a =+，即1142d =+，解得18d =． 则53111132244d a a =+=+=，解得343a =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5．已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出． 【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6．在ABC ∆中,2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ,20AE DE +=u u u r u u u r,若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,则( )A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【解析】依题可得，点D 为边BC 的中点，2AE DE =-u u u r u u u r，从而可得出1()6DE AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ， 1()2DB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ， 2133EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，从而可得出21,33x y ==-，即可得到2x y =-．【详解】如图所示：∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r， ∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=u u u r u u u r ，∴2AE DE =-u u u r u u u r ，∴11()36DE AD AB AC =-=-+u u u r u u u r u u ur u u u r ，又11()22DB CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．又EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴21,33x y ==-，即2x y =-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==u u u u r u u u u r ,(0m >),212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r ,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y x =C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出． 【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==u u u u r u u u u r 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r 可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 8．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】根据定义，可判断出()g x 为偶函数，根据其导数可得出，0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小． 【详解】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数． 因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题． 10．要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位 B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC【解析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到． 【详解】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确．故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题． 11．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD【解析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横②直角顶点A在1坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中③直角顶点A在x轴上，斜边在1点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横④直角顶点A在x轴上，斜边不在1坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．三、填空题13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB V 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．【答案】【解析】根据等腰直角三角形边长可求得弦长2AB =，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d ，根据垂径定理构造方程可求得结果. 【详解】AOB ∆Q 为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r === 2AB ∴=又圆O的圆心到直线距离d ==2AB ∴===，解得：a =故答案为【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为. 14．已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a+，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ． 【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+． 所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案为3． 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15．2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足573002TN N -=⋅(0N 表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:lg 20.3≈,lg 70.84≈,lg30.48≈) 【答案】126876 【解析】把5730T =代入573002TN N -=⋅，即可求出；再令3573072T ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出T 的范围． 【详解】 ∵573002TN N -=⋅，∴当5730T =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：3573072T ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7T ->， ∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2T -->=≈-，6876T ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876． 【点睛】本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题． 16．已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,3AC =,若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6π,则线段BC 长度的取值范围为______.【答案】7,13⎡⎤⎣⎦【解析】由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ，根据()222111111274BC BB B C C CB C =++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r，即可分别求出BC 的最小值与最大值． 【详解】如图所示：分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C=++u u u r u u u r u u u u r u u u u r， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C CBB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=u u u u r u u u r u u u u r ，BC 最小为= 当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=u u u u r u u u r u u u u r ，BC =．∴线段BC 长度的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．四、解答题17．已知()()2cos sin f x x x x =-+. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)π,32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)⎡-⎣. 【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 的解析式进行三角恒等变换，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，由sin y t =在4,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出22sin t -≤≤，从而求出()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围．【详解】(1)由题意，化简得())22cos sin 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期π ∵sin y x =的减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+．所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(2)因为∵,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，即有22sin t -≤≤所以，函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡-⎣． 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，周期公式的应用，整体代换法求正弦型函数的单调区间，以及换元法求三角函数在闭区间上的值域，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．18．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a=+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S . 【答案】(1)45;(2)152或92. 【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出． 【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c=由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析,12n n a -=;(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在． 【详解】(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈ 因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列． ∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+ ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n nn n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226xf x x =--(1x ≥)，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 20．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)5. 【解析】(1)按照题目定义，只要证明AB ⊥面11ACC A 即可，而由1A A AB ⊥，AB AC ⊥即可证出AB ⊥面11ACC A ；(2)先根据基本不等式求出当AB AC ==鳖膈1C ABC -体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角11C A B C --的余弦值． 【详解】(1)∵1A A ⊥底面ABC ，AB Ì面ABC ∴1A A AB ⊥又AB AC ⊥，1A A AC A =I ∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形 ∴四棱锥11B A ACC -为阳马．(2)∵AB AC ⊥，2BC =，∴224AB AC += 又∵1A A ⊥底面ABC ， ∴111132C ABC V C C AB AC -=⋅⋅⋅ 221123323AB AC AB AC +=⋅⋅≤⋅=当且仅当AB AC ==113C ABC V AB AC -=⋅⋅取最大值∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系)B，()C ，()10,0,2A)12A B =-uuu r，()BC =u u u r，()11AC =uuu u r设面1A BC 的一个法向量()1111,,n x y z =u r由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v得)1n =ur同理得()22,0,1n =u ur∴12121215cos ,5||||n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r二面角11C A B C --的余弦值为155．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．21．给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,22a b +C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率22,点(2在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】(1)根据题意列出222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出22a =，2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为2x =22x =-43MN =经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN 应为“卫星圆”的直径，即MN = 【详解】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b =所以椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN 为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．22．已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1) 设()()112cos g x f x x x'==-+，然后判断函数()g x '在(0,)π上的符号，得出()g x 的单调性，再利用零点存在定理判断()g x 在(0,)π上是否存在唯一零点即可；(2) 分(0,)x π∈，[),2x ππ∈，和[)2,x π∈+∞三种情况分别考虑()f x 的零点存在情况，从而得证．【详解】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+， 当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x '=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减， 又因为31103g ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证． (2) ①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增;当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减;所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20f ππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x'=-< 所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤<所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-< 所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题．。