任意四边形、梯形与相似模型(一).学生版

相似模型（一）（习题）➢ 例题示范例1：如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m ，在墙面上的影长CD 为2 m ．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m ．请帮助小明求出旗杆的高度．解：如图，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，则四边形BCDE 为矩形．由题意，BC =9.6，CD =2，∴BC =DE =9.6，CD =BE =2 由题意， 11.2AE ED ∴AE =8∴AB =AE +EB =8+2=10 ∴旗杆的高度为10 m ．➢ 巩固练习1. 如图，在锐角三角形ABC 中，高CD ，BE 相交于点H ，则图中与△CEH 相似（除△CEH 自身外）的三角形有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个DBAE HABD CEF第1题图第2题图2. 如图，E 是□ABCD 的边CD 上一点，连接AC ，BE 交于点F ．若DE :EC =1:2，则BF :EF =________．3. 如图，小明在A 的影长为2 m ，B 影长为8 m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD :CD =3:2，则AC :AB =（ ） A ．32B ．23CDDBCAGFEDC BA第4题图 第5题图5. 如图，已知□ABCD ，过点B 的直线依次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于点E ，F ，G ．若BE =5，EF =2，则FG 的长为_________．6. 如图，梯形ABCD 的中位线EF 分别交对角线BD ，AC 于点M ，N ，AD =1，BC =3，则EF =________，MN =________．CBNMF E D AA 时B 时A B DC E FG第6题图 第7题图7. 如图，D 是AB 的中点，AF ∥CE ，若CG :GA =3:1，BC =8，则AF =________． 8. 如图，P 是□ABCD 的对角线BD 上一点，一直线过点P 分别交BA ，BC 的延长线于点Q ，S ，交AD ，CD 于点R ，T ． 有下列结论：①△RQA ∽△RTD ；②PS PD PR PB ⋅=⋅； ③PQ PB PT PD=；④PQ PR PS PT ⋅=⋅.其中正确的是________. 9. 如图，在△ABC 中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为a ．求证：111AC BC a+=．FECDBAQR PS T CDBA10. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 上的点，若AF⊥BE ，垂足为F ．求证：∠BFD =∠C ．EFCDA11. 如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m ，留在墙上的影子高为1 m ，则旗杆的高度是_________．第11题图 第12题图12. 如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度为____________．13.如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB，B是CD的中点，且CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14 m，塔影长DE=36 m，小明和小华的身高都是1.6 m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为 4 m，2 m，那么塔高AB=_________．第13题图第14题图14.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m，则树高为_________．➢思考小结1.相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外，还需要满足一些其他特征，这些特征能够帮助我们快速验证模型．①平行线，往往配合对顶角相等（X型）、有公共角（A型）②一组角对应相等，往往配合对顶角相等（X型）、有公共角（A型）③多直角结构，往往利用互余关系得到角相等后，配合有公共角（母子型）2.影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法，这三种方法的实质都是构造三角形相似，在构造的时候，我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角．【参考答案】➢巩固练习1. C2.3:23. 4 m4. D5.21 26.2；17. 48.①②③④9.证明略10.证明略11.8 m12.(7 m13.20 m14.11.8 m。

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =任意四边形、梯形与相似模型【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 1】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．S 4S 3S 2S 1【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==⨯，所以1a =；那么211S a ==，42S a b =⨯=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根据梯形蝴蝶定理，()()22129S a b =+=+=．【答案】9【巩固】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．例题精讲任意四边形、梯形与相似模型3525OABCD【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab ==V V ，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===V V ，所以49DOC S =V (平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．【答案】144【巩固】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。

板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 1】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==⨯，所以1a =；那么211S a ==，42S a b =⨯=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根据梯形蝴蝶定理，()()22129S a b =+=+=．【答案】9【巩固】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．例题精讲任意四边形、梯形与相似模型3525OABCD【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab ==，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===，所以49DOC S =(平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．【答案】144【巩固】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。

总集篇·七种典型几何模型【七大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是难点03：总集篇·七种典型几何模型。

本部分内容以七种典型几何模型为主，其中包括一半模型、等高模型、等积变形模型、鸟头模型、蝴蝶模型、相似模型、燕尾模型等，绝大部分考点属于思维拓展内容，考点考题综合性极强，难度极大，建议作为小升初复习难点内容，再根据学生实际水平和总体掌握情况，选择部分考点进行讲解，一共划分为七个考点，欢迎使用。

【第二篇】目录导航篇【考点一】几何模型其一：一半模型 (2)【考点二】几何模型其二：等高模型 (3)【考点三】几何模型其三：等积变形 (5)【考点四】几何模型其四：鸟头模型 (9)【考点五】几何模型其五：蝴蝶模型（风筝模型或任意四边形模型） (11)【考点六】几何模型其六：相似模型 (13)【考点七】几何模型其七：燕尾模型 (15)【第三篇】知识总览篇【第四篇】典型例题篇【考点一】几何模型其一：一半模型。

【方法点拨】对于长方形来说，最简单的一半就是连接对角线，当然通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形。

【典型例题】如图，在长方形中有3块面积已经给出，求阴影部分的面积是( )。

A.10B.11C.12D.13【对应练习】如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积是25，三角形BQC的面积为35，则阴影部分面积为多少？【考点二】几何模型其二：等高模型。

【方法点拨】三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2。

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

（3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

梯形蝴蝶模型基本公式小学
梯形是只有一组对边平行的四边形。

平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

两腰相等的梯形叫等腰梯形。

梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。

在梯形中，相似图形，梯形蝴蝶定理是数学的概念，而数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
S1：S2=S3：S4或者S1*S3=S2*S4；
AO：0C=(S1+S2)：(S3+S4)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的而积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形蝴蝶模型：
1、梯形属于任意四边形，任意四边形的公式同样适用于梯形蝴
蝶模型。

2、梯形两翅膀的面积相等。

3、头尾两三角形属于沙漏模型，相似模型同样适用于梯形蝴蝶模型中头尾两三角形。

板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：O DCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDC BA76【例 2】 如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 3】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图）,绿色三角形面积占矩形面积的15％,黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？黄绿15%例题精讲任意四边形、梯形与相似模型【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC=？B【例 4】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13,且2AO=,3DO=,那么CO的长度是DO的长度的_________倍．OA DCBGHBCDAO【例 5】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．OGF E DCBA【例 6】如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为．【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积．D【例 7】 如图,边长为1的正方形ABCD 中,2BE EC =,CF FD =,求三角形AEG 的面积．ABCDEF GABCDEF G【例 8】 如图,长方形ABCD 中,:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,三角形DFG 的面积为2平方厘米,求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【例 9】 如图,已知正方形ABCD 的边长为10厘米,E 为AD 中点,F 为CE 中点,G 为BF 中点,求三角形BDG 的面积．【例 10】 如图,在ABC ∆中,已知M 、N 分别在边AC 、BC 上,BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1,则MNC ∆的面积是 ．OM NCBA【例 11】 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米,123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．4B A 543A A4B A 543A A【例 12】 如图,ABCD 是一个四边形,M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数,则四边形ABCD 的面积为 ．NM STDCBA A DN CTSM B【例 13】 已知ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE ,三角形ODE 的面积为6平方厘米。

五年下册奥数试题-图形-五大模型（一）姓名 得分【名师解析】一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型（共角定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如： 依次称之为A 字型鸟头、X 字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上。

则有：ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ⨯=⨯=⨯△△三、蝴蝶定理模型（风筝模型）（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）四、相似三角形模型（沙漏模型）五、燕尾定理模型【例题精讲】例1、三角形ABC 中，BD 是DC 的2倍，AE 是EC 的3倍。

三角形DEC 的面积为3平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？EAD C B练习、在下图中，已知CF=2DF ，DE=EA ，△BCF 的面积为2，四边形BFDE 的面积为4，求△ABE 的面积。

FE DCB A例2、(1)在下图中，2AB BD AC CE ，，如果29ADE S cm ，求ABC S ？E D C BA练习、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．DEAB C例3、正方形ABCD 边长为6 厘米，BC CF AC AE 3131==，．三角形DEF 的面积为多少平方厘米？BD练习、如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．SGFE D CB A例4、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩．问另一个长方形的面积是多少亩？练习、下图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影都分）长方形的面积。

板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關係(“蝴蝶定理”)：O DCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理為我們提供瞭解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構造模型，一方面可以使不規則四邊形的面積關係與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關係．【例 1】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那麼最大的一個三角形的面積是多少公頃？76EDCBA76【考點】任意四邊形模型 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面積比為()AE EB ⨯:()CE DE ⨯．同理有ADE ，BCE 的面積比為():()AE DE BE EC ⨯⨯．所以有ABES×CDE S =ADE S ×BCE S ，也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等於左右部分的面積之積． 即6ABES ⨯=7ADES⨯，所以有ABE 與ADE 的面積比為7:6，ABE S =7392167⨯=+公頃，ADES =6391867⨯=+公頃． 顯然，最大的三角形的面積為21公頃．【答案】21例題精講任意四邊形、梯形與相似模型【例 2】如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD ，被對角線AC 、BD 分成四個部分，△AOB 面積為1平方千米，△BOC 面積為2平方千米，△COD 的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6．92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？OCDBA【考點】任意四邊形模型 【難度】2星 【題型】解答 【關鍵字】小數報 【解析】 根據蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公園四邊形ABCD 的面積是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面積是7.5 6.920.58-=平方千米 【答案】0.58【例 3】一個矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15％，黃色三角形的面積是21平方釐米．問：矩形的面積是多少平方釐米？【考點】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵字】華杯賽，初賽，第7題【解析】 黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50％，而綠色三角形面積占矩形面積的15％，所以黃色三角形面積占矩形面積的50％－15％＝35％已知黃色三角形面積是21平方釐米，所以矩形面積等於21÷35％＝60(平方釐米)【答案】60【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形BGC 的面積；⑵:AG GC =？CB【考點】任意四邊形模型 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 ⑴根據蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯，那麼6BGC S =；⑵根據蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【答案】1:3【例 4】四邊形ABCD 的對角線AC 與BD 交於點O (如圖所示)．如果三角形ABD 的面積等於三角形BCD 的面積的13，且2AO =，3DO =，那麼CO 的長度是DO 的長度的_________倍．OADC BGH BCDA O【考點】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 在本題中，四邊形ABCD 為任意四邊形，對於這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠近，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形．看到題目中給出條件:1:3ABD BCD S S =，這可以向模型一蝴蝶定理靠近，於是得出一種解法．又觀察題目中給出的已知條件是面積的關係，轉化為邊的關係，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個仲介來改造這個”不良四邊形”，於是可以作AH 垂直BD 於H ，CG 垂直BD 於G ，面積比轉化為高之比．再應用結論：三角形高相同，則面積之比等於底邊之比，得出結果．請老師注意比較兩種解法，使學生體會到蝴蝶定理的優勢，從而主觀上願意掌握並使用蝴蝶定理解決問題．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥於H ，CG BD ⊥於G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【答案】2倍【例 5】如圖，平行四邊形ABCD 的對角線交於O 點，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面積；⑵求GCE △的面積．OGF EDC BA【考點】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ⑴根據題意可知，BCD △的面積為244616+++=，那麼BCO △和CDO ∆的面積都是1628÷=，所以OCF △的面積為844-=；⑵由於BCO △的面積為8，BOE △的面積為6，所以OCE △的面積為862-=， 根據蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==， 那麼11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+． 【答案】23【例 6】如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 ．【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空 【關鍵字】清華附中，入學測試題 【解析】 連接AD 、CD 、BC ．則可根據格點面積公式，可以得到ABC ∆的面積為：41122+-=，ACD ∆的面積為：331 3.52+-=，ABD ∆的面積為：42132+-=．所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以44123471111ABO ABD S S ∆∆=⨯=⨯=+．【答案】1211【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1，求三角形ABC 的面積．D【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答【解析】 因為:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=+510277DBC S ∆=⨯=． 【答案】107【例 7】如圖，邊長為1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面積．AB C D EFGAB CDEF G【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵字】人大附中考題 【解析】 連接EF ．因為2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCD ABCDS S S ∆=⨯⨯=．因為12AED ABCD S S ∆=，根據蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==， 所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCDS S S S S ∆∆∆===⨯=．所以1322 21477AGE AED AGD ABCD ABCDABCDS S S S S S ∆∆∆=-=-==，即三角形AEG 的面積是27．【答案】27【例 8】如圖，長方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面積為2平方釐米，求長方形ABCD 的面積．ABCD EF GABCD EF G【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 連接AE ，FE ．因為:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因為12AED ABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方釐米，所以12AFDS=平方釐米．因為16AFDABCD SS =长方形，所以長方形ABCD 的面積是72平方釐米． 【答案】72【例 9】如圖，已知正方形ABCD 的邊長為10釐米，E 為AD 中點，F 為CE 中點，G為BF 中點，求三角形BDG 的面積．B【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 設BD 與CE 的交點為O ，連接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BED BCD EO OC S S =，而14BED ABCD S S =，12BCD ABCD S S =，所以::1:2BEDBCDEO OC SS==，故13EO EC =．由於F 為CE 中點，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以1128BFD BED ABCD S S S ==，那麼1111010 6.2521616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯=（平方釐米）．【答案】6.25【例 10】 如圖，在ABC ∆中，已知M 、N 分別在邊AC 、BC 上，BM 與AN 相交於O ,若AOM∆、ABO ∆和BON ∆的面積分別是3、2、1，則MNC ∆的面積是 ．OM NCBA【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空 【解析】 這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解．根據蝴蝶定理得 31322AOM BON MON AOB S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===設MONS x ∆=，根據共邊定理我們可以得ANMABM MNCMBC S S S S ∆∆∆∆=，33322312x x++=++，解得22.5x =． 【答案】22.5【例 11】 正六邊形123456A A A A A A 的面積是2009平方釐米，123456B B B B B B 分別是正六邊形各邊的中點；那麼圖中陰影六邊形的面積是 平方釐米．4B A 6543A A4B A 543A A【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關鍵字】迎春杯，6年級。

学科培优数学“平面几何综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,包括直线型图形的五大模型以及圆与扇形方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

知识梳理直线型图形五大模型模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。

S1︰S2=a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图,三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2S4S3s2s1babs2s1S4S3s2s1ODCBA②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 三角形的相似问题2. 四边形中的蝴蝶定理3. 三角形中燕尾定理的运用【竞赛考点挖掘】1. 三角形或四边形中的部分面积求解2. 相似形的相关性质3. 多边形内角和4. 圆与圆弧的相关图形面积和周长求解hh H cb a CB Aac b HC BAF ED CBA例题精讲【试题来源】【题目】如图,长方形ABCD中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是_____.【试题来源】【题目】如下左图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D,CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l,那么三角形DEF的面积是_____.【试题来源】【题目】如图,三角形ABC的面积是1平方厘米,且BE=2EC,F是CD的中点．那么阴影部分的面积是( )平方厘米．【试题来源】【题目】如图,已知AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEF=____ABC三角形的面积三角形的面积【试题来源】【题目】如图,BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与梯形的一条腰DC平行,AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米,并且EC=25BC.求梯形ABCD的面积.【试题来源】【题目】如图,平行四边形的花池边长分别为60米与30米．小明和小华同时从A点出发,沿着平行四边形的边由A→B→C→D→A…顺序走下去．小明每分钟走50米,小华每分钟走20米,出发5分钟后小明走到E点,小华走到F点．连结AE、AF,则四边形AECF的面积与平行四边形ABCD的面积的比是______．【试题来源】【题目】图中正方形周长是20厘米.那么图形的总面积是_____平方厘米.习题演练【试题来源】【题目】如图中,阴影部分的面积是5．7平方厘米,三角形ABC的面积是____平方厘米.（π取3．14）15,那么阴影部分的面积是_____平方【题目】图中,已知圆心是○,半径r=9厘米,∠1=∠2=0厘米．π(≈3.14)【试题来源】【题目】图中阴影部分的面积是____平方厘米．(π≈3.14)【试题来源】【题目】图中两个阴影部分面积的和是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如右图,ABCD是正方形．E是BC边的中点,三角形ECF与三角形ADF面积一样大,那么三角形AEF(阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的百分之____.（结果保留小数点后两位）【试题来源】【题目】图中ABCD是直角梯形,其中,AD=12厘米,AB=8厘米,BC=15厘米．且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等．那么三角形EBF的面积是______平方厘米．【试题来源】【题目】正方形ABCD的面积是160平方厘米,连接这个正方形4条边的中点,又得到一个正方形EFGH．像这样重复几次后得到下图,图中涂黑色部分的面积是____平方厘米．【试题来源】【题目】如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A和B是两个正方形的重叠部分,C、D、E是空出的部分,每一部分都是矩形,它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5,那么这个长方形的长与宽之比是________．【试题来源】【题目】已知四边形ABCD是直角梯形,上底AD=8厘米,下底BC=10厘米,直角腰CD=6厘米,E是AD的中点,F是BC上的点,BF=23BC,G为DC上的点,三角形DEG的面积与三角形CFG的面积相等．那么,三角形ABG的面积是_____平方厘米．。