线性变换与二阶矩阵 复习课件 PPT

1 矩阵称为切变变换矩阵．以 0
k 把平面上的点(x， 1
y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位， 当 ky>0 时沿 x 轴正方向移动， 当 ky<0 时沿 x 轴负方向移动，当 ky＝0 时原地不动．
【基础自测】
1 －1 对应的变换作用下得到的点的坐 1． 点 A(3， －6)在矩阵 1 0 2
a11 a21
a12 b11 b12 a22b21 b22 a11×b12＋a12×b22 . a21×b12＋a22×b22
a11×b11＋a12×b21 ＝ a ×b ＋a ×b 21 11 22 21
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由 AB＝AC 不一定能推出 B＝C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数 相等时才能进行乘法运算．
a11 (2)二阶矩阵 a21 a11×x0＋a12×y0 a ×x ＋a ×y . 21 0 22 0
x0 a11 a12 x0 a12 与列向量 和乘法规则： ＝ a22 y0 a21 a22y0
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵， 其乘法法则如下：
1 M1＝ 0 1 0 ，M2＝ 0 1 0 0 ，M3＝ 0 0
0 确定的投影变换．需要注意 1
的是投影变换是映射，但不是一一映射． (6)由矩阵
1 M＝ 0
k 1 或 1 k
0 确定的变换称为切变变换，对应的 1
1 k 为例，矩阵 1 0
第 1节
线性变换与二阶矩阵
【知识梳理】 1．矩阵的相关概念 (1)由 4 个数
a a，b，c，d 排成的正方形数表 c

������'-������ 1
11
∴ ������'-������ = - 3 , ∴ ������'-������ = - 3 ������' + 3 ������,
������' = 3������'.
������' = 3������'.
13
1
∴
������'
=
10 3
������
+
10 9
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型四
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应 的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它 的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应 点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型三
伸缩变换

【例
3】在直角坐标系
xOy
内,将每个点的横坐标变为原来的
1 2
,
纵坐标变为原来的 2 倍, 求点������(1,2)在该变换作用下的像������′.
分析:可根据伸缩变换的坐标变换公式或对应的矩阵求解.
解:设点 M 在该变换作用下的像为 M'(x',y'),
答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六

二阶矩阵的逆
总结词
二阶矩阵的逆是一个特殊的矩阵，它与原矩阵相乘等于单位矩阵。
详细描述
二阶矩阵的逆是一个重要的概念，它是一个与原矩阵互为逆元的特殊矩阵。如果一个二阶矩阵与其逆矩阵相乘等 于单位矩阵，则这个逆矩阵是存在的。求逆矩阵的方法有多种，如高斯消元法、伴随矩阵法等。在某些情况下， 如行列式值为零时，矩阵可能没有逆矩阵。
平移矩阵与平移操作
• 平移矩阵：平移矩阵也是二阶矩阵的一种，用于 表示平移操作。其一般形式为
平移矩阵与平移操作
```
| 0 1 ty |
| 1 0 tx |
平移矩阵与平移操作
```
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方
平移操作：平移操作是指通过平移矩阵
向上的平移距离。
对向量进行变换，使向量在指定的方向
03
线性变换与二阶矩阵的关系
线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的一种重要概念，它描述了一个向量空间 中的向量通过一个线性映射变为另一个向量空间的过程。在 矩阵表示中，线性变换可以用一个矩阵来表示，该矩阵的行 和列分别对应于输入和输出空间的基向量。
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，例如矩阵乘法对 应于线性变换的复合，矩阵的转置对应于线性变换的共轭， 以及矩阵的逆对应于线性变换的逆。
二阶矩阵与线性变换的转换
二阶矩阵是数学中一种常见的矩阵类型，它由四个数字组成，可以用来表示一个 线性变换。通过选择适当的基向量，可以将一个线性变换转换为二阶矩阵，反之 亦然。
二阶矩阵与线性变换的转换关系是线性的，即对于任意两个线性变换A和B，以及任 意标量k，有kA=AkB=BkA。
二阶矩阵在几何变换中的应用
通过矩阵变换，可以改变向量的长度、方向和位置，从而实现二维空间中的几何变 换。

－ 1 于 y 轴对称对应的矩阵为 A＝ 0
0 1 0 A＝_______ 1 .
0 ，关于 y＝ 1
x 对称对应的矩阵为
0 (3)伸缩变换对应的二阶矩阵 ，表示 k2 k1 倍，纵坐标 将每个点的横坐标变为原来的 ____ k2 倍，k1，k2 均为非零常数． 变为原来的____ (4)投影变换： 关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩 1 0 0 . 阵为 A＝________ 0 (5)沿与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位的切变变
1 k 0 1 . 换为________
k 1 A＝ 0
3．线性变换的基本性质 λx x λy (1)设向量 α＝ ，则 λα＝______. y x1＋ x2 x x 1 2 y1＋ y2 . (2)设向量 α＝ ，β＝ ，则 α＋β＝_______ y1 y2 (3)A 是一个二阶矩阵，α、β 是平面上的任意两 个向量，λ 是一个任意实数，则 A(λα)＝_____ λAα ， Aα＋Aβ . A(α＋β)＝__________ (4) 二阶矩阵对应的变换 ( 线性变换 ) 把平面上的
2 且 MN＝ － 2
0 . 0 (1)求实数 a，b，c，d 的值； 用下的像的方程．
1 M＝ b
c a 2 ， N ＝ ， 1 0 d
(2)求直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作
解析：
方法一：
c＋ 0＝ 2， 2＋ ad＝ 0， (1)由题设得 bc＋ 0＝－ 2， 2b＋ d＝ 0. a＝－1， b＝－1， 解得 c＝ 2， d＝ 2.
所以 a＝1， c＝0.
由
1 2 a＋ b 2 M ＝ 得， ＝ ，所以 1 2 c＋ d 2 1 M＝ 0 1 2 M ＝ 0

2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 V，W2 V，且都是子空间，则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F） W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
W1W2 W1＋W2
和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R}
运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点：
一. 集合与映射 1. 集合 2. 集合：作为整体看的一堆东西. 3. 集合的元素：组成集合的事物.
设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示：(1 ) 列举法
2
(2) 特征性质法 Maa具有的性质
例如 P ( x ,y )x 2 y 1
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)

������ = 2������ + 1,
从而有 ������-������ = ������ + 1, ������ + ������ = -������,
������ = 2������ + 1,
解得
a=-1,b=-1,c=
1 5
,
������
=
−
25.
反思两个矩阵相等,它们相应位置的对应元素分别相等.
(二)变换、矩阵的相等
1.理解并掌握变换相等与二阶矩阵相等的概念. 2.会利用变换、矩阵的相等解决简单问题.
12
1.变换相等 一般地,设σ,ρ是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果对 平面内的任意一点P,都有σ(P)=ρ(P),则称这两个线性变换相等,简 记为σ=ρ. 知识拓展根据与α角终边相同的角为2kπ+α(k∈Z),它们的三角函 数值一定相等,可知旋转变换Rα一定与旋转变换R2kπ+α(k∈Z)相等, 即有Rα=R2kπ+α.
cos������
=
cos
π 12
,
sin������
=
sin
π 12
,
∴α=
π 12
+
2������π,
������∈Z.
题型一 题型二 题型三
反思对于两个相等的旋转变换 Rα 与 Rβ,其二阶矩阵
������������������α -������������������α
������������������β -������������������β
A.−
2π 3
B.
4π 3
C.
−
4π 3
D.

4.运用旋转矩阵，求直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
解：旋转矩阵 直线2x＋y－1＝0上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0′，y0′)，
直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线
方程是
2x 2 y 2 x 2 y 1 0,
2
2
矩阵． 2.二阶矩阵与二元一次方程组 (1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意
义．
(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组． (3)理解线性方程组解的存在性、唯一性．
解线性 方程组， 如求逆 矩阵， 另外特 征值与
3.变换的不变量
特征向
(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向 量的求
量的意义．
解：(1)由题设条件， 变换：
即有 解得
代入曲线C的方程为y′2－x′2＝2， 所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线C′ 的方程是y2－x2＝2. (2)由(1)知，只需求曲线y2－x2＝2的焦点及渐近线，由于a2 ＝b2＝2，故c＝2，又焦点在y轴上，从而其焦点为(0,2)，(0， －2)，渐近线方程为y＝±x.
1．旋转变换
直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋
转α角的旋转变换的坐标变换公式是
对应的二阶矩阵为
．
2．反射变换 平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P′的线 性变换叫做关于直线l的反射．
3．伸缩变换 在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数， 这样的几何变换为伸缩变换．
解：(MN)α＝ M(Nα)＝ 所以(MN)α＝M(Nα)． 又因为MN＝
NM＝

=
5 14
,
3
������2 + 1
5
答案:2
1234 5
-2 3
4
1.矩阵 A=
与向量������ =
的乘积为( )
2 -4
-1
-10
14
A.
B.
16
-18
-11
12
4 5
ab 解析:矩阵与向量的乘积法则为
-2 3 所以Aα=
cd
4
-11
=
.
2 -4 -1
12
答案:C
x
y
y
123
名师点拨二阶矩阵与平面向量的乘法实现了用二阶矩阵和平面 向量的乘积表示线性变换的目的,可以用二阶矩阵求出平面内的任 意一点在线性变换作用下的像的坐标.
123
【做一做 3】
线性变换
������' = ������ + 2������, ������' = 3������ + 4������
ax + by
=
,
y
cx + dy
1234 5
10
2.曲线 y= ������(������≥0)在矩阵
0 -1 对应的变换作用下所得的曲线方程为( ) A.y= ������(������≥0) B.y=− ������(������≥0) C.y=x2(x≥0) D.y=-x2(x≥0)
1234 5
-1 × 3 + 4 × 2
5
Bα=
=
=
.
35 2
3×3+5×2
19
10
反思与单位矩阵
相乘,向量 α 保持不变.

称为二阶单位矩阵, 记为E2. 0 1
名师点拨1.矩阵通常用大写的英文字母A,B,C…表示. 2.零矩阵和单位矩阵是常用的两个矩阵.
1
2
3
4
5
6
7
8
【做一做3】 在下列矩阵中,二阶单位矩阵是( 0 0 0 1 1 0 1 1
)
A. 0 0
B. 1 0
C. 0 1
D. 1 1
解析:由二阶单位矩阵的定义知,选C. 答案:C
1
2
3
4
5
6
7
8
名师点拨1.(x,y)为平面内任意一点的坐标,(x',y')是旋转后的相应 点的坐标. 2.α角可正可负,α为正角说明按逆时针方向旋转|α|,α为负角说明 是按顺时针方向旋转|α|. -1 0
3.特别地,当 α=180° 时,对应的二阶矩阵为 0 -1
.
1
2
3
4
5
6
7
8
【做一做 4】 在直角坐标系 xOy 内,将点 P(-1,3)绕原点按逆时 针方向旋转
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型六
解析:方法一:∵AA'与直线 y=kx 垂直, 又 kAA'= 18 = −2, ∴ ������ = .
5
-5-3
1
-2
1 2
方法二:AA'的中点应在直线 y=kx 上, 又 AA'的中点坐标(x,y)满足 代入 y=kx,得 k= 答案:B
反思只要明确了点A、点A'与直线y=kx的关系,此类题可灵活求 解,在点A、点A'及直线l中可知二求一.
0
1

o
p' x
例3 如图，在直角坐标系xoy内,过任意一点P作x轴的垂线，垂足为点P',
我们称点P'为点P在x轴上的（正）投影.如果一个变换把直角坐标系内的每
一点变成它在x轴上的（正）投影，那么称这个变换为关于x轴的（正）
投影变换.
设在关于 x轴的（正）投影变换的 作用下，点 P(x, y)变成点P（' x', y'),
例2 在直角坐标系xoy内，将每一点的纵坐标变为
原来的2倍，横坐标保持不变. (1)试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵； （2）求点A(1,1)在该伸缩变换作用下的像A'.
解：（1）设在这个伸缩变换作用下，直角坐标系xoy内的
任意一点P(x, y)变成点P' (x', y' ),则x' x, y' 2 y.
因此，所求的坐标变换公式为xy''
x, 2 y.
从而，对应的二阶矩阵为10 02；
(2)将点A(1,1)的坐标代入坐标变换公 式，得
x' 1,
y
'
2 (1)
2.
从而A'的坐标为 (1,2).
一般地，在直角坐标系xoy内，将每个点的纵坐标变为原来 的k倍(k是非零常数),横坐标保持不变的线性变换，其变换公式是
0 -1
1 0
.
因此，这两个旋转变换的坐标变换公式及对应的二阶
矩阵是分别相同的.这时我们称这两个旋转变换相等.
一般地，设，是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果 对平面内的任意一点P，都有 (P) (P),则称这两个线性变换 相等，简记为 .
设，所对应的二阶矩阵分别为A