人教版数学高一古典概率模型中的巧思妙解

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它涉及到对已知的随机试验的多种可能结果和其对应概率的求解。

在高中数学必修三中，古典概型的解题技巧是学生必须掌握的一部分内容。

下面将介绍几种常见的古典概型解题技巧。

1. 直接计数法直接计数法是指通过对试验结果的数量进行计数，从而求解概率。

该方法一般适用于试验结果较少且容易确定的情况。

有5个小球，其中2个红色，3个蓝色，求从中任意抽取2个小球，抽到两个红色小球的概率。

按照直接计数法，我们可以将这个问题转化为从5个小球中抽取2个小球的问题，同时我们知道其中2个小球是红色的。

我们可以计算红色小球和非红色小球的组合数，然后除以所有小球的组合数来求解概率。

2. 互补事件法互补事件法是指通过求解事件的互补事件概率来求解事件的概率。

互补事件是指与事件A互补的事件，即事件A不发生的事件。

对于互补事件，其概率加上事件的概率必然等于1。

有一个盒子中有3个红球和2个蓝球，从中任意抽取一个球，求抽到一个红球的概率。

按照互补事件法，我们可以将该事件的互补事件定义为抽到一个蓝球的事件。

我们可以先求解抽到一个蓝球的概率，然后用1减去该概率来求解抽到一个红球的概率。

3. 排列组合法排列组合法是指通过排列组合的知识来求解概率。

它适用于试验结果较多且不易直接计数的情况。

有8个字母a，b，c，d，e，f，g，h，从中任意抽取3个字母，求抽取的三个字母都是元音字母的概率。

按照排列组合法，我们可以先计算所有情况的数量，即从8个字母中任意抽取3个字母的组合数，然后计算抽取的三个字母都是元音字母的情况数量，并将其除以所有情况的数量来求解概率。

4. 事件的分解法通过掌握以上几种古典概型解题技巧，可以帮助高中数学学生更好地理解和应用古典概型，在解决实际问题时能够灵活运用这些技巧，提高解题能力。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中非常重要的一个知识点，同时也是考试中经常出现的题型。

古典概型是指在某个事件中，样本空间中的每个元素都有相同的概率出现。

在古典概型题中，常见的几种问题包括排列、组合、分配等，不同类型的问题需要使用不同的解题技巧。

下面我们将介绍一些古典概型问题的解题技巧。

一、排列问题的解题技巧排列是指n个不同元素按照一定顺序取出r个，这个过程叫做排列。

对于排列问题，我们可以使用以下几种解题技巧：1. 直接计算法：当n和r较小的时候，我们可以直接利用排列的定义来进行计算。

有5张纸牌，要从中取出3张纸牌进行排列，共有5*4*3=60种排列方法。

2. 公式法：当n和r较大的时候，直接计算可能会比较麻烦，可以使用排列的公式进行计算。

排列的计算公式为Anr=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

3. 分类讨论法：有些排列问题并不是直接套用公式就能解决的，这时我们可以采用分类讨论的方法。

从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行排列，可以分为以A开头的排列、以B开头的排列、以C开头的排列和以D开头的排列四种情况来进行讨论计算。

3. 排列与组合的关系：有时候我们需要求解组合问题，但是可以先通过排列问题进行计算，再通过排列与组合的关系进行转化。

从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行组合，可以先求出排列的个数，再通过排列与组合的关系计算出组合的个数。

1. 划分法：当分配的元素数目是不受限制的时候，我们可以使用划分法进行计算。

划分法是指将n个不同的元素分成r份，每份可以有0个或者多个元素，然后按照不同的划分方法进行计算。

2. 公式法：有些分配问题可以通过公式进行计算，例如将n件商品分给r个人，每个人可以得到不同数目的商品，可以使用分配的公式进行计算。

3. 排列组合法：有些分配问题可以通过排列组合的方法进行计算，例如将n个人分配到r个小组中，可以先通过排列计算出所有可能的分配情况，再通过组合计算出符合条件的分配情况。

古典概率模型中的巧思妙解发表时间：2011-08-18T21:00:24.437Z 来源：《学习方法报教研周刊》2011年47期作者：胡斌[导读] 多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握.云南永善一中古典概型在高考试题中具有一定的灵活性、机动性，一般对随机事件的考察，常常结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1. 甲、乙二人参加法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，问：甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？解：甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90.基本解法：利用分类计数原理只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30. 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24+24+30/90=.巧思：基本解法利用的是分类计数原理，从正面入手，考虑情况比较多，“正难则反”，不妨换个角度，考虑其反面即利用其对立事件反而会简单明了.妙解：利用对立事件事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件. 事件“甲、乙二人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12；故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1-=1-=.例2. 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品，如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率？解：基本解法：这种抽取可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P（B）=≈0.467.巧思：对于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误，上面就是按无顺序抽样进行的，那有顺序抽样是否会简单一些呢？妙解：把上面的抽样看作是不放回有顺序抽样可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B为“3件是正品”，则事件B包含的事件总数为8×7×6=336，所以P（B）=≈0.467. 农村中学信息技术与数学学科整合的误区及对策。

高考数学复习点拨：古典概型问题的求解技巧古典概型问题的求解技巧山东尹征曹贤波解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数n与事件A中包含的结果数m，而这往往会遇到计算搭配个数的困难.因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧.一、直接列举把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解.例1 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率.（1）取出的两球都是白球；（2）取出的两球一个是白球，另一个是红球.分析：首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解.解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为：；（2）从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共８个. ∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为：．二、巧用图表由于古典概型问题中基本事件个数有限，故通过图表可以形象，直观地解决这类问题.例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求摸出2个黑球的概率. 分析：运用集合中的Ｖenn图直观分析.解：如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果.Ｕ的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果. 因此，摸出2个黑球的概率是：．三、逆向思维对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率. 分析：直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷.解：至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点.因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为：．至少有一个5点或6点的概率为．四、活用对称性例4 有A，B，C，D，E共5人站成一排，A在B的右边（A，B可以不相邻）的概率是多少？解析：由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是．。

一道古典概型题的多种解法山东省枣庄市第二中学（277400）牛爱玲古典概型是一种重要的概率模型，它具有两个明显的特征：一是试验结果的有限性，二是每个结果出现的等可能性. 求解古典概型问题要按下面的3个步骤进行：1. 阅读题意，判断问题类型. 为此弄清三个问题：第一，该试验的结果是否为等可能事件；第二，该试验的基本事件共有多少个；第三，事件A是什么.2. 设出事件A（或B、C等），分别求出基本事件的个数n和所求事件A中所包含的基本事件的个数 m. 如果基本事件的个数比较少，可用列举法将基本事件一一列出，然后再求m、n.这是一个形象、直观的方法，但列举时应按某种规律列举，做到不重不漏.3. 利用公式 P（A）=，求出事件A的概率.【例题】同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.【思考与分析】由于抛一枚质地均匀的骰子，哪个点朝上是等可能的，所以该试验的结果是等可能事件. 又因为结果是有限的，故为古典概型.解法1：（直接法）同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：由表可知，该试验共有36个不同的结果，其中事件A：“至少含有一个5点或6点”的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率为P（A）=.解法2：（间接法）事件A：“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点和6点”.从表中可知，没有5点和6点的结果共有 16种，没有5点和6点的概率为.所以至少有一个5点或6点的概率是P（A）=解法3：（分解法）记事件A=“含有点数5的”，事件B=“含有点数6的”，显然A、B不是互斥事件，所以至少有一个5点或6点的概率是P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）【小结】本题用了三种方法，一是直接法即列表法，二是间接法，即利用对立事件的概率公式P（A）=1－P（A）求解，三是转化为几个事件的和，利用概率的加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）求解.。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。

下面将介绍几种解题技巧。

一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。

1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。

例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。

2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。

例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。

二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。

例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。

2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。

例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。

3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。

例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。

4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。

例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。

5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。

例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。

1. 从n个人中随机选出m个人的概率。

解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。

3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。

解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。

四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。

2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中的一个重要内容，通常包括排列、组合和分组的相关知识。

在解题过程中，我们可以采用一些技巧来辅助理解和解决问题。

1. 计数原则在解决排列和组合问题时，经常会用到计数原则。

计数原则是指如果一个实验有m种可能的结果，第二个实验有n种可能的结果，则这两个实验连在一起共有m*n种可能的结果。

在古典概型中，我们可以利用计数原则来简化复杂的问题，将问题逐步分解为几个简单的实验，然后再将它们的结果相乘得到最终的结果。

2. 排列的解题技巧排列是指从n个不同元素中取出r个元素，按一定的顺序排成一列的不同排列数。

在解决排列问题时，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定这些选择的元素有多少种排列方式。

对于排成一排的问题，我们可以先确定有多少种不同的元素可以选择，然后再确定这些元素可以排列的方式，最后相乘得到总的排列数。

3. 组合的解题技巧组合是指从n个不同的元素中取出r个元素的不同组合数。

在解决组合问题时，我们可以利用减法原则来简化问题。

减法原则指的是，如果一个实验包含有m种结果，并且有n种结果不合法，那么合法的结果数等于m-n。

在组合问题中，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定其中有多少种不合法的选择方式，最后用减法原则得到合法的结果数。

4. 分组的解题技巧分组是指将n个不同的元素分成r组的不同分组方式。

在解决分组问题时，我们可以利用排列和组合的知识来辅助理解。

分组问题可以看成是先将n个元素排成一列，然后再在这些元素之间加上r-1个隔板，最后将其中的分组方式看成是在这些元素和隔板中选择r-1个位置，并且将这些位置放上隔板。

这样就可以用组合数来求出分组的方式。

5. 确定权重在古典概型的问题中，有时候我们需要确定每个元素的权重，并且根据权重来求出最终的结果。

确定权重通常可以通过分情况讨论、排列组合的知识和实际问题的特点来得到。

通过确定权重，我们可以简化问题，并且找到最优的解决方式。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧概率论是数学中的一个重要分支，而“古典概型”是其中的基础概念之一。

在高中课程中，学生需要学习古典概型的概念、基本公式及其在实际问题中的应用。

本文将介绍一些古典概型的解题技巧，供学生参考。

一、古典概型的定义和公式古典概型是指试验所有可能的结果都是等可能发生的概率问题。

具体来说，古典概型要求试验的结果具有以下两个特点：1.试验的所有结果都是确定的；2.试验的每个结果发生的可能性相等。

对于一个具有n个等可能结果的试验，其中发生某一事件A的可能性为：P(A)=m/n其中m为事件A包含的有利结果数。

这个公式是古典概型的基础公式。

二、解题技巧1.画出样本空间对于一个古典概型问题，首要任务是确定样本空间。

样本空间是指试验中可能发生的所有结果的集合。

一个简单的技巧是画出样本空间的图形。

例如，在一次抛硬币的试验中，样本空间为{正面，反面}，可以通过画出一张抛硬币的图像来形象地表示出来。

2.确定事件A一旦确定了样本空间，就需要确定事件A。

事件A是指样本空间中发生某种结果的集合。

它通常是通过一些自然语言描述的。

在确定事件A时，需要明确其含义，确定其范围和有价值的信息。

3.计算概率一旦确定了事件A和样本空间，就可以使用古典概型的基础公式计算概率。

需要包括以下步骤：2.计算事件A的有利结果数；例如，在一次掷骰子的试验中，样本空间为{1，2，3，4，5，6}，事件A是小于等于4的结果，有利结果数为4，因此：4.注意问题描述的精确性在解题过程中，需要注意问题描述的精确性。

有些问题并不是古典概型问题，而是其他概率问题，如条件概率、贝叶斯公式等。

因此，在解题时需要仔细阅读问题，理解问题所涉及的概念和知识点。

5.利用公式简化计算根据古典概型的基础公式，可以利用数学计算和逻辑推理来简化计算，例如通过分式的化简和比例的运用等。

同时，需要注意计算中的精度和舍入误差。

6.灵活应用法则古典概型涉及到的概率基本概念和公式被广泛应用于各个领域和实际问题中。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的一种概型，适用于试验的结果只有有限个、且每个结果发生的概率相等的情形。

在高中数学必修三中，我们学习了古典概型的基本概念和计算方法。

本文将介绍几种在解古典概型问题时常用的技巧。

一、加法原理在一些试验中，我们需要统计的实验结果并不是唯一的，而是可以通过不同的方法得到。

此时，可以使用加法原理求解。

加法原理的基本思想是：如果两个事件A、B互不干扰，即A事件的发生与B事件的发生无关，那么A、B两事件至少发生一个的概率等于两事件的概率之和，即P(A或B)=P(A)+P(B)。

例如，有6只红球和4只蓝球，从中任取一球，求取到的是红球或蓝球的概率。

此题实验结果可以是取到红球或蓝球，因此可以使用加法原理求解：P(红球或蓝球)=P(红球)+P(蓝球)=6/10+4/10=1。

需要注意的是，加法原理只适用于互不干扰的事件，如果A事件的发生与B事件的发生相关，则需要使用另外一种原理进行计算。

在一些试验中，我们需要统计若干个事件共同出现的概率。

此时，可以使用乘法原理进行计算。

乘法原理的基本思想是：如果试验中包含m个步骤，每个步骤有n1,n2,...,nm种不同的可能结果，且每个步骤的结果与其他步骤的结果无关，那么所有步骤的结果组合起来的总方案数为n1×n2×...×nm。

例如，从4个人中任选3位代表参加会议，求选出的代表组合中，甲、乙两人都参加的概率。

此题实验结果包括三个步骤：第一步，任选一名代表；第二步，从剩下的人中任选一名代表；第三步，从剩下的人中任选一名代表。

每个步骤的结果都对下一个步骤的结果没有影响，因此可以使用乘法原理求解：P(甲、乙都参加)=选甲的概率×选乙的概率×选第三人的概率=1/4×1/3×2/2=1/6。

三、排列组合在一些试验中，我们需要计算的实验结果具有一定的排列顺序或组合顺序，此时需要使用排列组合知识。