苏教版高中数学必修一-高一上学期期末抽测答案.docx

2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题1．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20172．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕλ=，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的频移为()98.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h3．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞4．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．5．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac > C ．1ac =D ．01ac <<6．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．387．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16-B ．16C ．8aD ．816a -8．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．函数2log xy x x=的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．10．设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B =∅，则a 的取值范围为（ ） A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤11．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则()R MC N =（ ）A ．{|1}<x xB ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -≤<12．从含有3个元素的集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（ ） A ．310B ．112C ．4564D ．38二、填空题13．已知函数()2f x x ax b =++的两个零点为1x ，2x ，且满足1202x x <<<，记()()f x x R ∈的最小值为m ，则m 的取值范围是______.14．函数212,0()12,02x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(2)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为__________15．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.16．函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为_______. 17．函数()()02f x x =-的定义域为______.18．已知函数()225f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，且对任意的1x 、[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则实数a 的取值范围是________.19．全集{U x x =是不大于20的素数}，若{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=，{}2,17A B ⋃=，则集合A =___________.20．已知集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有_______个.三、解答题21．对于函数()y g x =，若0x R ∃∈，使00()g x mx =成立，则称0x 为()g x 关于参数m的不动点.设函数2()(1)1f x ax b x b =+++-(0)a ≠（1）当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若b R ∀∈，函数()f x 恒有关于参数1的两个不动点，求a 的取值范围；（3）当1,2a b ==时，函数()f x 在(]0,2x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围.22．已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数（1）判断函数2()1((0,))f x x x x =+-∈+∞是否为闭函数？并说明理由；（2）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数； （3）若0)y k k =+<是闭函数，求实数k 的取值范围23．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间.24．求函数()log 23=-2-3y x x 的定义域、值域和单调区间.25．已知函数()f x 对一切x ，y 都有()()()212f x y f y x x y +-=+++成立，且()10f =．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若[]1,0x ∈-，函数()()11242f x xx m g x m -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，是否存在实数m 使得函数()g x 的最小值为14，若存在，求m 的值；若不存在的，请说明理由． 26．已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}16B x x x =->. （1）求AB ；（2）若{}11C x m x m =-<<+，()()R C AC B ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.2．C解析：C 【分析】先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值．【详解】解：3sin ϕ-==98.7210∴⨯=，即8.72=340148.009v ∴=≈米/小时340/km h ≈，故该时刻高铁的速度约为340/km h ． 故选：C ． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．3．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0， 13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．4．A解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤，由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.6．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．7．A解析：A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：当2x a =+时，()()44f x g x a ==--， 当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+， 因为min ()44f x a =--，所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．8．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确；③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误； 综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．9．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．C解析：C 【分析】解集绝对值不等式求得,A B ，结合A B =∅求得a 的取值范围.【详解】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞， 由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+. 当0a ≤时，B =∅，AB =∅，符合题意.当0a >时，由于A B =∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤.综上所述，a 的取值范围是1a ≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得,M N ，再求得()R M C N .【详解】由210x ->解得11x -<<，由10x +>解得1x >-.所以{}|1R C N x x =≤-，故()R MC N ={|1}<x x ，故选A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合补集和并集的运算，属于基础题.12．D解析：D 【分析】含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个，根据古典概型即可计算. 【详解】因为含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个， 所以38P =,故选D. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，古典概型，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据二次方程根的分布得出满足的关系在坐标系中作出这个关系式表示的平面区域求出的最小值平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围【详解】由题意即在直角坐标系中作出此不等式组表示的平面区域如图 解析：()1,0-【分析】根据二次方程根的分布得出,a b 满足的关系，在坐标系O ab -中作出这个关系式表示的平面区域，求出()f x 的最小值，平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围． 【详解】由题意240(0)0(2)420022a b f b f a b a ⎧->⎪=>⎪⎪⎨=++>⎪⎪<-<⎪⎩，即240040420a b b a a b ⎧->⎪>⎪⎨-<<⎪⎪++>⎩，在直角坐标系O ab -中作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分（不含边界），()f x的最小值为2 4 az b=-，作出曲线24ab-=，它正好是图象阴影部分的一个曲边边界，把这个曲线向下平移，24az b=-在减小，当它在阴影部分边界时，0z=，当它过点(2,0)-时，1z=-，所以(1,0)z∈-．故答案为：(1,0)-．【点睛】本题考查二次方程根的分布，考查非线性平面区域的非线性规划问题（仿照简单的线性规划处理方法），解题时根据二次方程根的分布求出条件，再求出最小值的表达式，然后仿照简单的线性规划问题求解，考查了学生的创新意识．14．【分析】要使方程恰有三个实数解则函数的图像恰有三个交点再分别作出函数的图像观察图像的交点个数即可求解【详解】依题意画出的图像如图：直线过定点由图像可知函数的图像与的图像相切时函数的图像恰有两个交点下解析：(0,43)-【分析】要使方程()()f xg x=恰有三个实数解，则函数()f x，()g x的图像恰有三个交点，再分别作出函数()f x，()g x的图像，观察图像的交点个数即可求解.【详解】依题意，画出212,0()12,02x xf xx x x⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图像，如图：直线()(2)g x k x =-过定点()2,0，由图像可知， 函数()g x 的图像与()()212,02f x x x x =+<的图像相切时， 函数()f x ，()g x 的图像恰有两个交点， 下面利用导数法求该切线的斜率， 设切点为()00,P x y ，由()()2,0f x x x '=+<，得()20000012222x x k f x x x +'==+=-， 化简得：200480x x --=，解得0223x =-0223x =+,要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数()f x ，()g x 的图像恰有三个交点， 结合图像可知()002232423k f x '<<=-=- 所以实数k 的取值范围为(0,423)-. 故答案为：(0,43)- 【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题.15．【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：【点睛】本题解析：52【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f m m==又01m <<，所以12m =， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以21522m n +=+=. 故答案为：52【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.16．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解. 【详解】由22530x x -->，解得 12x <-或 3x >， 所以函数()213log 253y x x =--的定义域为{1|2x x <-或 }3x >，因为2253t x x =--在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，13log y t =在()0,∞+递减， 所以函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法： 对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数； 若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．17．且【分析】由中根式内部的代数式大于等于00指数幂的底数不为0联立不等式组求解【详解】由解得且x≠2∴函数的定义域是】且即答案为】且【点睛】本题考查函数的定义域及其求法是基础题解析：{|1x x ≥-且}2x ≠ 【分析】由中根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，联立不等式组求解． 【详解】 由1020x x +≥⎧⎨-≠⎩ ，解得1x ≥-且x≠2．∴函数()()02f x x =-的定义域是】{|1x x ≥-且}2x ≠．即答案为】{|1x x ≥-且}2x ≠ 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．18．【分析】根据二次函数的单调性求得求得函数在区间上的最大值和最小值由题意可得出可得出关于实数的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】二次函数的图象开口向上对称轴为直线由于函数在上是减函数则则所以函数在 解析：[]2,3【分析】根据二次函数()y f x =的单调性求得2a ≥，求得函数()y f x =在区间[]1,1a +上的最大值和最小值，由题意可得出()()max min 4f x f x -≤，可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】二次函数()225f x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线x a =，由于函数()225f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，则2a ≥，则()1,1a a ∈+，所以，函数()y f x =在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],1a a +上单调递增， 所以，()()2min 5f x f a a ==-，又()162f a =-，()216f a a +=-，则()()()211220f f a a a a a -+=-=-≥，()()max 162f x f a ∴==-，对任意的1x 、[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则()()()()22max min 625214f x f x a a a a -=---=-+≤，即2230a a --≤，解得13a -≤≤， 又2a ≥，则23a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]2,3.故答案为：[]2,3. 【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数值，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】本题首先可根据素数的定义得出然后根据题意绘出韦恩图最后根据韦恩图即可得出结果【详解】因为全集是不大于的素数所以因为所以因为所以可绘出韦恩图如图所示：由韦恩图可知故答案为：【点睛】本题考查根据 解析：{}3,5,11,13【分析】本题首先可根据素数的定义得出{}2,3,5,7,11,13,17,19U =，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果. 【详解】因为全集{U x x =是不大于20的素数}，所以{}2,3,5,7,11,13,17,19U =， 因为{}2,17A B ⋃=，所以{}3,5,7,11,13,19AB =，因为{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=， 所以可绘出韦恩图，如图所示：由韦恩图可知，{}3,5,11,13A =， 故答案为：{}3,5,11,13. 【点睛】本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.20．2【分析】由题意首先确定集合ABC 的关系然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数【详解】由条件可知：则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数共个事实上满足题意的集合C 为：或故答案为2【点睛解析：2 【分析】由题意首先确定集合ABC 的关系，然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数. 【详解】由条件A C B C ⋂=⋃可知：()()()()B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃=⋂⊆，则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数，共122=个. 事实上，满足题意的集合C 为：{}1,2C =或{}1,2,3C =. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查集合的包含关系，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）1-和4；（2）01a <<；（3）1152m <. 【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求； （2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）方法一：问题转化为()2310x m x +-+=在(]0,2上有两个不同解，再利用二次函数的图象列式可得．方法二，当1a =，2b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,2]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求． 【详解】（1）当1,3a b ==-时，2()24f x x x =--令()f x x =，可得224x x x --=即2340x x --= 解得4x =或1x =-当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点为1-和4（2）依题意得，b R ∀∈，关于x 的方程210ax bx b ++-=都有两个不等实数根从而有21Δ4(1)0b a b =-->对b R ∀∈都成立即关于b 的不等式2440b ab a -+>对b R ∀∈都成立故有22Δ(4)160a a =--<解得01a <<（3）依题意，得方程231x x mx ++=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数解 法一：即2(3)10x m x +-+=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根(*) 令2()(3)1h x x m x =+-+，要使(*)成立2(0)10(2)112011Δ(3)40523022h h m m m m =>⎧⎪=-⎪⎪⎨=-->⇒<⎪⎪-<<⎪⎩法二：即13m x x=++在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根 令1()3F x x x=++ 则直线y m =与函数()((0,2]y F x x =∈的图象有两个不同交点 由于函数1()3F x x x=++在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增 且11(1)5,(2)2F F ==，结合函数()y F x =的图象可知1152m<. 【点睛】思路点睛：本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些． 22．（1）见解析；(2)见解析；（3）1(,0)4- 【分析】（1）可判断函数f （x ）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[﹣1，1]；（3）由y k =0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，从而有a k b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩x k =+用二次方程根的分布知识可得k 的限制条件； 【详解】（1）函数f （x ）在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数． （2）先证y ＝﹣x 3符合条件①：对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，且x 1＜x 2，有331221y y x x -=-＝()()22212121x x x x x x -++＝()222121113024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴y 1＞y 2，故y ＝﹣x 3是R 上的减函数．又因为y ＝﹣x 3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]．所以函数y ＝﹣x 3（x ∈[﹣1，1]）为闭函数； （3）易知y k =+是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则有a k b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩故a ，b是x k =+22(21)00x k x k x x k ⎧-++=⎪⎨⎪⎩有两个不等非负实根；设x 1，x 2为方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0的二根，则2212212(21)4021000k k x x k x x k k ⎧∆=+->⎪+=+>⎪⎨=⎪⎪<⎩，解得：104-<<k ∴k 的取值范围：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值，属于中档题． 23．（1）32x x ⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】（1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可；（2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.【详解】解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3xy =在R 上单调递增,所以()2221xx -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x ⎧⎨⎩或}1x <-（2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞,设245u x x =--,35log y u =,因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间,因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增, 所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞ 【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间. 24．定义域为(,1)(3,)-∞-+∞，函数值域为R ，减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞．【分析】结合对数函数性质求解． 【详解】由2230x x -->得1x <-或3x >，∴定义域为(,1)(3,)-∞-+∞．由2230x x -->得y R ∈，函数值域为R ，223y x x =--在(,1)-∞-上递减，在(3,)+∞上递增，∴()log 23=-2-3y x x 的减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞． 【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，掌握对数函数的性质是解题关键． 25．（1）()2f x x x =+；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）令1y =，根据题设条件和()10f =，得到()()132f x x x +=++，再结合换元法，即可求得函数的解析式；（2）由（1）得()1112442x x m g x m -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()()21124y h t t m t m ==+--，其中[]1,2t ∈，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，函数()f x 满足()()()212f x y f y x x y +-=+++成立， 令1y =，可得()()()1132f x f x x +-=⋅++， 因为()10f =，所以()()132f x x x +=++令1t x =+，则1x t =-，可得()()()221312f t t t t t =-+-+=+ 所以函数()f x 的解析式为()2f x x x =+.（2）由（1），可得()2111(1)()241124242x x xx xx m m g x m m +⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为[]1,0x ∈-，所以[]1,2t ∈， 设函数()()21124y h t t m t m ==+--，[]1,2t ∈， 由函数()y h t =的开口向上，且对称轴()21t m =--， ①当()211m --≤，即12m ≥时，函数()y h t =在区间[]1,2上单调递增， 当1t =时，函数取得最小值，最小值为()min 314y h m ==--， 令3144m --=，解答1m =-，不符合题意（舍去）； ②当()212m --≥，即0m ≤时，函数()y h t =在(]1,2单调递减， 当2t =时，函数取得最小值，最小值为()min 1214y h ==-≠，无解； ③当()1212m <--<，即102m <<时， 当2(1)x m =--时，函数取得最小值，最小值为()2min 221y h m m =-+=--， 令2114m --=，此时方程无解， 综上可得，不存在实数m 使得()g x 的最小值14． 【点睛】研究二次函数的最值问题的求解方法和策略：二次函数的最值问题常见类型：（1）轴定区间定的最值；（2）轴动区间定的最值；（3）轴定区间动的最值；影响二次函数的闭区间上的最值的要素和求法：（1）最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论求解. 26．（1）{|1x x <或3}x >；（2）[]1,0-. 【分析】（1）化简集合A ，B ，根据并集运算即可. （2）计算()R A C B ，根据()()R C A C B ⊆，建立不等式求解即可.【详解】（1）由10x ->得，函数()()lg 1f x x =-的定义域{}1A x x =<260x x -->，即()()320x x -+>， 解得{}32B x x x =><-或 A B ∴={|1x x <或3}x >， （2）{}23R C B x x =-≤≤， (){}21R A C B x x ∴⋂=-≤< {}21C x x ⊆-≤<， 则121011m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩， 故实数m 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，补集、交集的运算，子集的概念，属于中档题.。

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一高一上学期期末数学模拟试卷（一）一、填空题1．（3分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是．2．（3分）函数f（x）=的定义域为．3．（3分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=．4．（3分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．5．（3分）已知，，则tan（2α﹣β）=．6．（3分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．7．（3分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．8．（3分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=．9．（3分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为．10．（3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=．11．（3分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为．12．（3分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b 的值为．13．（3分）给出下列命题：①函数y=cos（x+）是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；⑤函数y=sin（2x+）的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为．14．（3分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是．二、解答题：15．（14分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．18．（16分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？19．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．20．（16分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．高一上学期期末数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是4．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用任意角的三角函数的定义，求出它的正切值，即可得到a的值．解答：解：由题意可知：tan120°=，所以a=4故答案为：4点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（0，2）∪（2，3]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分母不为0，偶次方非负，对数的真数为正数，得到不等式组，求解即可．解答：解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]．所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]．故答案为：（0，2）∪（2，3]．点评：本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．3．（3分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=2．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数零点的判定定理即可得出．解答：解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx+2x﹣6的零点x0∈（2，3）．∴满足k≤x0的最大整数k=2．故答案为2．点评：熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．4．（3分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：按照函数的图象平移的原则，左加右减、上加下减的方法，解出函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），求出函数解析式．解答：解：函数的图象向右平移个单位，得到函数=，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是：．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象的变换，注意左加右减，上加下减的原则，注意x的系数，考查计算能力．5．（3分）已知，，则tan（2α﹣β）=1．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知的等式的左边的分子利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可得到tanα的值，然后把所求的式子中的角2α﹣β变为α+（α﹣β），利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入即可求出值．解答：解：由==2tanα=1，解得tanα=，又tan（α﹣β）=，则tan（2α﹣β）=tan[α+（α﹣β）]===1．故答案为：1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．6．（3分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简已知条件可得cos（﹣α）=＜，再由α∈（0，），可得﹣＜﹣α＜﹣，故sin（﹣α）=，要求的式子即sin（﹣α）﹣sinα，利用和差化积公式求出它的值．解答：解：∵cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），∴cos（α﹣）=﹣cos（α﹣+π）=﹣cos （α﹣）=，cos（α﹣）=．∴cos（﹣α）=＜．再由α∈（0，），可得﹣α＞（舍去），或﹣＜﹣α＜﹣，∴sin（﹣α）=．cos（α+）﹣sinα=sin（﹣α）﹣sinα=2cos sin=sin（﹣α）=．故答案为：．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式、和差化积公式的应用，求出sin（﹣α）=，是解题的难点．7．（3分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω的最大值．解答：解：∵f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查求正弦函数的单调性，属于基础题．8．（3分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=m．考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：换元法可得y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]，结合m＞2和函数的单调性可得当t=1时，函数取最大值，代入计算可得．解答：解：由三角函数的知识可得f（θ）=sin2θ+mcosθ=﹣cos2θ+mcosθ+1，令cosθ=t，则t∈[﹣1，1]可得函数化为y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]配方可得y=，可知关于t的函数图象为开口向下，对称轴为t=的抛物线一段，又m＞2，故，故函数在[﹣1，1]单调递增，故g（m）=﹣12+m×1+1=m故答案为：m点评：本题考查二次函数的区间最值，利用三角函数的关系换元是解决问题的关键，属中档题．9．（3分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为﹣1．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，y=log a在区间（a，1）上是增函数，利用函数在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），可得log a=1，即可求出实数a的值．解答：解：由题意，y=log a在区间（a，1）上是增函数，∵函数在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），∴log a=1，∴=a，∴a2+2a﹣1=0，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查对数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．10．（3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=﹣9．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；转化思想．分析：先根据已知条件把转化为f（﹣3）；再结合奇函数以及x＞0时，f（x）=1+2x即可得到结论．解答：解：因为：log8=﹣3；∴=f（﹣3）；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（1+23）=﹣9．故答案为：﹣9．点评：本题主要考察函数的奇偶性性质的应用．属于基础题目．11．（3分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为和8．考点：函数与方程的综合运用；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，可以确定2+m和2﹣m应该在两段函数上各一个，对2+m和2﹣m 分类讨论，确定相应的解析式，列出方程，求解即可得到实数m的值．解答：解：∵，∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴2﹣m和2+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，①当2﹣m≤2，且2+m＞2，即m＞0时，∴f（2﹣m）=3（2﹣m）﹣m=6﹣4m，f（2+m）=﹣（2+m）﹣2m=﹣2﹣3m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴6﹣4m=﹣2﹣3m，∴m=8，；②当2﹣m＞2，且2+m≤2，即m＜0时，∴f（2﹣m）=﹣（2﹣m）﹣2m=﹣2﹣m，f（2+m）=3（2+m）﹣m=6+2m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴﹣2﹣m=6+2m，∴m=．综合①②，可得实数m的值为和8．故答案为：和8．点评：本题考查了分段函数的解析式及其应用，考查了分段函数的取值问题，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．同时考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．12．（3分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b 的值为1．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：首先把函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）转化为顶点式g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，从而确定函数的对称轴方程x=1，又因为a＞0，所以x∈[1，+∞）为单调递增函数，函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，所以g（2）=1，g（3）=4，进一步建立方程组求的结果．解答：解：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b转化为：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a∴函数的对称轴方程x=1，∵a＞0，∴x∈[1，+∞）为单调递增函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，∴即解得∴a+b=1故答案为：1点评：本题重点考查的知识点：二次函数的顶点式与一般式的互化，单调性在函数值中的应用，及相关的运算问题．13．（3分）给出下列命题：①函数y=cos（x+）是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；⑤函数y=sin（2x+）的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：利用诱导公式化简判断①；化积后求出sinx+cosx的最值判断②；举例判断③；分别求解三角函数值判断④⑤．解答：解：对于①，∵y=cos（x+）=﹣sin，∴函数y=cos（x+）是奇函数，命题①正确；对于②，∵sinx+cosx=，∴不存在实数x，使sinx+cosx=2，命题②错误；对于③，α=60°，β=390°是第一象限角且α＜β，tanα＞tanβ，命题③错误；对于④，当x=时，y=sin（2x+）=，∴x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；对于⑤，当x=时，y=sin（2x+）=．∴x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴，命题⑤错误．∴正确命题的序号为①④．故答案为：①④．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．14．（3分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是6．考点：函数的最值及其几何意义．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：画出3个函数：y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，取3个图象中下方的部分，可得函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．解答：解：∵min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，∴画出3个函数：y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，取3个图象中下方的部分，可得函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}的图象：观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故答案为：6．点评：本题考查了函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．二、解答题：15．（14分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由于cos=x．可解得x=，r=2，由三角函数的定义，即可求出sinα+的值．（2）由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，可解得cosβ=，由α，β∈（0，π），从而可求α，β的值．解答：解：（1）（满分14分）∵P（x，﹣）（x≠0），∴点P到原点的距离r=又cosα=x．∴cos=x．∵x≠0，∴x=，∴r=2…（6分）当x=时，P点坐标为（，﹣），由三角函数的定义，有sin α=﹣，，∴sinα+=﹣﹣=﹣；…（10分）当x=﹣时，同样可求得sin α+=…（14分）．（2）∵sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），∴由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，∴两边平方后相加可得：1=2，可解得cosβ=∵α，β∈（0，π），∴可解得：，β=或，β=．点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数的定义，解题时要注意讨论，不要丢值，属于基本知识的考察．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数的基本关系由sinx求出cosx，从而求得f（x）的值．（2）根据x的范围，求得角x﹣的范围，可得sin（x﹣）的范围，利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式，利用二次函数的性质求的h（x）的值域．（3）根据向量平移得到g（x）的解析式，要使g（x）是偶函数，即要，求得a的解析式，通过|的解析式可得当k=﹣1时，最小．解答：解：（1）∵，∴，==．（2）∵，∴，，=．（3）设，所以，要使g（x）是偶函数，即要，即，，当k=﹣1时，最小，此时，b=0，即向量的坐标为．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，判断g（x）是偶函数的条件，是解题的难点．18．（16分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：（1）函数y=f（x）=出租自行车的总收入﹣管理费；当x≤6时，全部租出；当6＜x≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．解答：解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．当6＜x≤20时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115=﹣3x2+68x﹣115综上可知（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x﹣115是增函数，∴当x=6时，y max=185元．当6＜x≤20，x∈N时，y=﹣3x2+68x﹣115=，∴当x=11时，y max=270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．点评：本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，是基础题．19．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）当a＞1时，f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据f（1）=，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．解答：解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．20．（16分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）当，由方程f（x）=1，可得sinxcosx+sinx+cosx=1．令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，方程可化为t2+2t﹣3=0，解得t=1，即sinx+cosx=1，即，由此求得x的值的集合．（2）由题意可得t的取值范围是，g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，的最大值．直线是抛物线m（t）的对称轴，可分a＞0、a=0、a＜0三种情况，分别求得g（a）．解答：解：（1）由于当，方程f（x）=1，即，即，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以方程（1）可化为t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以sinx+cosx=1，即，解得所求x的集合为．…7分（2）令，∴t的取值范围是．由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，的最大值，…9分∵直线是抛物线m（t）=at2+t﹣a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）==．…11分②当a=0时，m（t）=t，，有g（a）=；…12分③当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即时，g（a）=，…13分若，即时，g（a）==．…15分综上所述，有．…16分．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．80,11⎛⎫⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫⎪⎝⎭3．函数2cos ()x xx xf x e e-=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（ ）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．115．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（ ） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144696．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（ ）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减 7．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A ．116B ．132 C ．164D ．11288．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（ ） A ．13或2 B ．2或3C ．12或2 D ．13或3 9．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)y x =-的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃10．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅．若{}3,4=UAB ，则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个11．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥12．已知集合22{|,N ,N}A t t m n m n = =+ ∈ ∈，且x A ∈，y A ，则下列结论中正确的是（ ） A ．x y A +∈ B ．x y A -∈ C ．xy A ∈D ．xA y∈ 二、填空题13．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．级数全月应纳税所得额税率1不超过3000元的部分3%2超过3000元至12000元的部分10%3超过12000元至25000元的部分20%⋯⋯⋯某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元. 14．已知函数()3cosf x x x=-，若不等式()12f xkx b kx b+≤≤+对一切实数x恒成立，则21b b-的最小值为__________.15．若函数()()20.2log1f x kx kx=-+的定义域是R，则实数k的取值范围是______. 16．设函数122,1()1log,1x xf xx x-⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x≤的x的取值范围是_______________. 17．已知对于任意实数x，函数f（x）都满足f（x）+2f（2-x）=x，则f（x）的解析式为______．18．设奇函数()f x的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x∈时，()f x的图象如图，则不等式()0xf x<的解集是___________.19．已知集合{}2A,4a a=-，33,,2||baB aa⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，且A B=，则a b+=______。

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数是人.2.阅读伪代码，若使这个算法执行结果是－5，则a的初始值x是 .3.在等差数列中,，则= ．4.某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示．若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则体重小于60 kg的高三男生人数为．5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为分.6.如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120 m，则河的宽度为 m.7.= ．8.过点且与直线斜率相等的直线方程为．9.直线在两坐标轴上的截距之和为．10.已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于．11.若，则的最小值为．12.若数列满足，则．13.若实数满足，则的最大值是．14.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.二、解答题1.已知函数，(1) 若的解集是，求实数的值；(2) 若且恒成立，求实数的取值范围.2.已知，（1）求的值；（2）求的值.3.青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了7名评委，如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，流程图用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值)，试根据所给条件回答下列问题：(1) 根据茎叶图，选手乙的成绩中，众数是多少？选手甲的成绩中，中位数是多少？(2) 在流程图(如图所示)中，用k表示评委人数，用a表示选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值)．横线①、②处应填什么？(3) 根据流程图，甲、乙的成绩分别是多少？4.若等比数列的前n项和，（1）求实数的值；（2）求数列的前n项和.5.已知分别是中角的对边，且，⑴求角的大小；⑵若，求的值.6.设数列的前项和为，已知（，为常数），，，（1）求数列的通项公式；（2）求所有满足等式成立的正整数，.江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数是人.【答案】690【解析】由样本容量为200，女生抽了85人，则男生抽了115人，因为分层抽样是按比例抽样，故该校男生人数为.【考点】分层抽样概念的理解与数据统计的基本能力.2.阅读伪代码，若使这个算法执行结果是－5，则a的初始值x是 .【答案】-1【解析】由s的初始值为0，a的初始值为x，i的初始值为1,且i的步长为2即每次增加2，第一次：,第二次：，第三次：，第四次：，第五次：，此时输出s，令,得.【考点】直到型循环语句.3.在等差数列中,，则= ．【答案】45【解析】由等差数列的基本性质可知，所以，又.【考点】等差数列基本性质，等差数列前n项和公式的应用.4.某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示．若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则体重小于60 kg的高三男生人数为．【答案】180【解析】由后两个小组对应的矩形的面积和为0.25，则前三个矩形的面积和为1-0.25=0.75，即前三组的频率总和为0.75，设其比例系数为k，则，解得，则前两组的频率为：，故体重小于60 kg的高三男生人数为.【考点】频率分布直方图的基本知识：每组面积为本组的频率，总面积为1等，及运算能力的考查.5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为分.【答案】2【解析】设班级总人数为n人，得3分的是人，得2分的是人，得1分的是人，得0分的是人，故班级平均分.【考点】数据的平均数公式及数据的基本处理能力.6.如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120 m，则河的宽度为 m.【答案】60(－1)【解析】在三角形ABC中，由正弦定理有，即，解得：，设河的宽度为hm，即点C到边AB的距离为hm，根据三角形面积相等有,解得：.【考点】正弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦公式.7.= ．【答案】【解析】=.【考点】两角和的余弦公式，诱导公式.8.过点且与直线斜率相等的直线方程为．【答案】【解析】易知直线的斜率，由直线的点斜式方程可知所求直线为，即为.【考点】直线的点斜式方程.9.直线在两坐标轴上的截距之和为．【答案】【解析】对直线令，得即为纵截距，令，得即为横截距，故所求在两坐标轴上的截距之和为.【考点】截距的概念与求法.10.已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于．【答案】2【解析】由=，所以，故.【考点】等差数列前n项和公式，等差数列基本性质，本题也可以用基本量法解决.11.若，则的最小值为．【答案】【解析】解法一：如图, 可看成（0，0）到直线上的点的距离的平方，而的最小值就是原点到直线的距离的平方，此时，其平方即为.解法二：由得，代入中，则=，易知的最小值为.【考点】数形结合思想，点到直线的距离公式，二次函数.12.若数列满足，则．【答案】【解析】由题的递推关系可知,,……，，前述各式左右分别相乘，有，且，可得.【考点】数列特殊的递推关系的理解，累乘法.13.若实数满足，则的最大值是．【答案】【解析】如图，依题可看成，即原点与可行域内（包括边界）各点连线的斜率，的最大值就是连接O，A两点直线的斜率，易求得，此时即为所求.【考点】线性规划基本知识，数形结合思想.14.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.二、解答题1.已知函数，(1) 若的解集是，求实数的值；(2) 若且恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）易知是方程的两个根，即可联立含的方程组求解；（2）由构建的关系，而恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的图像可知只需即可.试题解析：(1) 由题意得：且是方程的两个根，所以：，解得；⑵由，而恒成立 , 即: 恒成立，所以且,解得，此为所求的的取值范围.【考点】 1，二次不等式与二次函数；二次方程的联系；2，蕴含方程的思想，化归与转化的思想.2.已知，（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用求解；（2）由，只需求出与的三角函数值即可求解，同时要注意角的范围的限制.试题解析：⑴由条件：得，⑵因为，所以，又因为，所以，又，所以，所以.【考点】1，二倍角的余弦公式；2，两角和与差的正余弦公式，角的变换，同时考查化归思想.3.青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了7名评委，如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，流程图用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值)，试根据所给条件回答下列问题：(1) 根据茎叶图，选手乙的成绩中，众数是多少？选手甲的成绩中，中位数是多少？(2) 在流程图(如图所示)中，用k表示评委人数，用a表示选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值)．横线①、②处应填什么？(3) 根据流程图，甲、乙的成绩分别是多少？【答案】(1) 84，85；(2) ①，②；(3) 84.2，85.【解析】（1）由众数与中位数概念易得，但要注意茎叶图所含的数据是什么，对于中位数的求法要先把这组数据从大到小或从小到大排列，当数据个数为奇数时，中位数为最中间一个数，当数据个数为偶数个时，中位数为最中间两个数的平均值，（2）由于满足条件要跳出循环结构，k的值是用来控制数据个数，所以①中要填，去掉一个最大数据与一个最小数据再求平均值，所以②中填，（3）由流程图可知a的值即去掉一个最大数据与一个最小数据再求平均值，因此易得甲与乙的成绩.试题解析：(1) 选手乙的成绩为79,84,84,84,86,87,93，众数为84，选手甲的成绩为75,78,84,85,86,88,92，中位数为85；(2) ①；②；(3) ，.【考点】1，众数，中位数的概念；2，茎叶图及程序框图的理解，数据处理能力.4.若等比数列的前n项和，（1）求实数的值；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据与的关系：求解，要注意讨论，同时渗透方程思想；（2）要注意到数列通项公式为等差乘等比，求其前n项和用错位相减法，要掌握其操作过程.试题解析：⑴当n=1时，，当时，，则；⑵，则①，②，②-①得：．【考点】与的关系：，错位相减法求特殊数列前n项和.5.已知分别是中角的对边，且，⑴求角的大小；⑵若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理的变式代入原式的两边可得边的关系，再用余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理的变式代入左右两边，化为角的关系求解.此两小题充分考查了正弦定理边化角，角化边的功能.试题解析：（1）由已知条件及正弦定理，得：，则，根据余弦定理的推论，得，又，所以.（2）因为，由正弦定理，得，且，所以有，整理得：，从而得：.【考点】1，正弦定理，余弦定理及其变；2，三角变换基本公式，如两角差的正弦公式，商数关系.6.设数列的前项和为，已知（，为常数），，，（1）求数列的通项公式；（2）求所有满足等式成立的正整数，.【答案】（1）（）；（2）.【解析】（1）由取n=1，及，，可求得，再由构造两个关系相减求得与关系，进而知道为等比数列，从而可求得通项公式；（2）由（1），得，代入，同时注意变形技巧，易得n与m的关系，注意到，为正整数，以m为分类标准进行讨论，进而求得n与m的值.试题解析：（1）由题意，得，求得．所以，①当时，②①－②，得（），又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故的通项公式为（）.（2）由（1），得，由，两边倒数，且有，因此得，化简得，即，即．（*）因为，所以，所以，因为，所以或或.当时，由（*）得，所以无正整数解；当时，由（*）得，所以无正整数解；当时，由（*）得，所以.综上可知，存在符合条件的正整数.【考点】1，与的关系：；2，等比数列通项公式，前n项和公式；3，分类讨论思想.。

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.______________.2.已知集合，，且，则实数的值是．3.函数的定义域为 .4.已知向量，且，则．5.等比数列中，，则的前4项和为 .6.已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD = 2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C - ABD的体积为．7.已知，是不重合的两条直线，，是不重合的两个平面．下列命题：①若⊥，⊥，则∥；②若⊥，⊥，则∥；③若∥，⊥，则⊥；④若∥，，则∥．其中所有真命题的序号是．8.已知为锐角,则 .9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在上的最小值为．10.设函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式的的取值范围是．11.在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则·的值为．12.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是_______．13.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.14.设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，则数列的公比为．二、解答题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．2.如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．(1)求证：//平面；(2)若平面平面，，求证：．3.在数列中，，．（1）设．证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．4.已知，函数.⑴若不等式对任意恒成立，求实数的最值范围；⑵若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值.5.某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．（1）将五边形的面积表示为的函数；（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．6.函数.（1）若，函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，若对任意恒成立，求的取值范围．江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.______________.【答案】.【解析】.【考点】1.诱导公式；2.两角差的余弦公式.2.已知集合，，且，则实数的值是．【答案】.【解析】∵，，∴.【考点】集合间的关系.3.函数的定义域为 .【答案】.【解析】∵，∴，∴函数的定义域为.【考点】函数的定义域.4.已知向量，且，则．【答案】.【解析】∵，∴，，又∵，∴.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量共线的坐标表示.5.等比数列中，，则的前4项和为 .【答案】.【解析】∵等比数列，∴，∴前项和.【考点】等比数列基本量的计算.6.已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD = 2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C - ABD的体积为．【答案】.【解析】如图，由题意可得，，∴平面，而，∴.【考点】空间几何体的体积.7.已知，是不重合的两条直线，，是不重合的两个平面．下列命题：①若⊥，⊥，则∥；②若⊥，⊥，则∥；③若∥，⊥，则⊥；④若∥，，则∥．其中所有真命题的序号是．【答案】②.【解析】①：有可能，还有可能，∴①错误；②：垂直于同一直线的两不同平面平行，∴②正确；③：根据条件，可能在内，可能，也有可能与斜交，∴③错误；④：与也有可能相交，∴④错误；故只有②是真命题.【考点】空间中直线与平面的位置关系.8.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在上的最小值为．【答案】.【解析】∵，∴将其图像向右平移个单位长度后得到的函数为，∴当时，，∴在的最小值为.【考点】三角函数的图像和性质.10.设函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式的的取值范围是．【答案】.【解析】∵是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，∴在上单调递减，故不等式等价于或，∴的取值范围是.【考点】1.偶函数的性质；2.对数的性质.11.在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则·的值为．【答案】.【解析】如图，过作于，易得∽，∴，∴，，∴.【考点】平面向量数量积.12.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是_______．【答案】.【解析】由题意得：的图像与轴有交点方程有解，∴，∵，∴，∴的取值范围是.【考点】1.函数零点的概念；2.指数函数的性质.13.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.14.设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，则数列的公比为．【答案】.【解析】由题意，设等比数列的公差为，∵是等比数列，∴，又∵，∴或，若：则不合题意，舍去，若，则，，化简得，经检验，由，故舍去，∴.【考点】等差数列与等比数列的通项公式.二、解答题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先可将条件中变形为，再利用正弦定理进行边角互化可得，再由中，可将等式继续化简为，从而；（2）由（1）及条件可得是等腰三角形，从而，再由边上的中线=，若设，则，可考虑在中采用余弦定理，即有，从而可进一步求得的面积：.试题解析：（1）∵，∴，由正弦定理得， 2分即， 4分∵，∴，∴，又∵，∴，∴； 7分（2）由（1）知，∴，， 8分设，则，又∵在中，由余弦定理：得即， 12分故. 14分【考点】1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形.2.如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．(1)求证：//平面；(2)若平面平面，，求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）题中条件出现了两个中点，故可考虑利用三角形中位线得到线线平行从而得到线面平行：即有，平面，平面，平面；（2）由题中条件平面平面，故可首先由面面垂直得到线面垂直，因此在平面内过点作，垂足为，则有平面，结合条件，可得平面，从而.试题解析：（1）在中，∵、分别是、的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面； 6分（2）如图，在平面内过点作，垂足为．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面， 8分又∵平面，∴， 10分又∵，，平面，平面，∴平面， 12分∵平面，∴． 14分【考点】1.线面平行的证明；2.线线垂直的证明.3.在数列中，，．（1）设．证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，②-①得.试题解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴则是为首项为公差的等差数列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.【考点】1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.4.已知，函数.⑴若不等式对任意恒成立，求实数的最值范围；⑵若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，若不等式对任意恒成立，参编分离后即可得：，从而问题等价于求使对于任意恒成立的的范围，而，当且仅当时，“=”成立，故实数的取值范围是；（2）由题意可得为二次函数，其对称轴为，因此当时，可得其值域应为，从而结合条件的定义域和值域都是可得关于的方程组，即可解得.试题解析：（1）∵，∴可变形为：，而，当且仅当时，“=”成立，∴要使不等式对任意恒成立，只需，即实数的取值范围是；（2）∵，∴其图像对称轴为，根据二次函数的图像，可知在上单调递减，∴当时，其值域为，又由的值域是，∴.【考点】1.恒成立问题的处理方法；2.二次函数的值域.5.某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．（1）将五边形的面积表示为的函数；（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）；（2）当时，到的市民健身广场面积最大，最大面积为.【解析】（1）根据题意分析可考虑作，垂足为，从而可将五边形的面积转化为梯形与矩形的面积之和，由∽结合条件，可将梯形的上底，下底与高以及矩形的长和宽都用含的代数式表示出来，从而可得：，再由，可得；（2）由（1）及条件可知，问题就等价于求函数在上的最大值，而将其变形后可得：，当且仅当时，“=”成立，从而当时，到的市民健身广场面积最大，最大面积为.试题解析：（1）如图，作，垂足为，∵，∴，又由∽，∴，∵，∴， 2分过作交于，则，所以， 7分由于与重合时，适合条件，故； 8分（2）由（1）得：， 10分∴当且仅当，即时，取得最大值， 13分即当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为． 14分【考点】1.函数的运用；2.基本不等式求最值.6.函数.（1）若，函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，若对任意恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得，当时，在区间上是单调递增函数等价于对于任意的，（不妨），恒成立，从而将问题转化为在恒成立，即有，在上恒成立，而的，，且，故有，因此分析可得要使恒成立，只需，即有实数的取值范围是；（2）由题意分析可得问题等价于在上，，从而可将问题转化为在上，求二次函数的最大值与最小值，因此需要对二次函数的对称轴分以下四种情况讨论：①当，即；②当，即；③当，即；④当，即，结合二次函数的图像和性质，可分别得到在以上四种情况下的最大值与最小值，从而可得实数的取值范围是.试题解析：（1）时，，任设，， ..2分，∵函数在上是单调递增函数，∴恒有，..........3分∴恒有，即恒有， .4分当时，，∴，∴，即实数的取值范围是 ..6分（2）当时，对任意有恒成立等价于在上的最大值与最小值之差 ..7分当，即时，在上单调递增，∴，，∴，与题设矛盾； ..9分当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，，∴恒成立，即有， ..11分当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，，∴恒成立，∴； .13分当，即时，在上单调递减，∴，，∴，与题设矛盾， .15分综上所述，实数的取值范围是． 16分【考点】1.恒成立问题的处理方法；2.二次函数的值域；3.分类讨论的数学思想.。

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第一学期期末模拟考试（1）高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案写在答题纸上相应题号后的横线上）1．已知数集M={2x ，}1，则实数x 的取值范围为．2．设点A （x ，y ）是300o 角终边上异于原点的一点，则yx的值为． 3．幂函数()f x 的图象经过点(3,3)，则()f x 的解析式是. 4．方程x x 24lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k =． 5．求值：1425sincos()=34ππ+-． 6．已知向量(1,1),(1,2)a b =-=，且(2)//()a b a b λ+-，则=λ_________． 7．函数=y x1ln的图像先作关于x 轴对称得到图像1C ， 再将1C 向右平移一个单位得到图像2C ，则2C 的解析式为． 8．已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为cm 2． 9．函数y ＝13log (2)x -的定义域为.10．若1a =,2b =,若()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为．11．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，2x y =4x y =（第12题图）若cos ,(0)()=2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪⎨⎪≤<⎩，则15()4f π-=. 12．如图，过原点O 的直线与函数y=x 2的图像交与A 、B 两点， 过B 作y 轴的垂线交函数y=x 4的图像于点C ，若AC 平行于y 轴， 则点A 的坐标为．13．定义在区间] ,[22-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若 (1) ()g m g m -<，则实数m 的取值范围是．14．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，则)()(PD PB BD AP +⋅+ 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．答案和过程写在答题纸上相应位置） 15．（本小题14分）已知集合{}|234,A x x x =<-<≤或{}2|2150B x x x =--≤．求：（1）A B ；（2）若{}|C x x a =≥，且B C B =，求a 的范围．16．（本小题14分）sin α，cos α为方程012442=-+-m mx x 的两个实根，(,0)2πα∈-，求m 及α的值.17．（本小题15分）1211πx已知函数()12(1)x x f x a a a 2=-->. （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为7-，求a 的值.18．（本小题15分）已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如下图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间；（3）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个125π不同的实数根，求实数m 的取值范围.19．（本小题16分）已知△OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP P B λ=，点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=. (1)求实数λ的值与点P 的坐标； (2)求点Q 的坐标；(3)若R 为线段OQ 上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.20．（本小题16分）已知函数|21|1()x a f x e -+=，||12(),,16x a f x ex R a -+=∈≤≤。

徐州2014～2015学年度第一学期期末抽测高二年级数学（文）试题参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．直线013=+-y x 的倾斜角=α ▲ ． 2．命题“01,2≥-∈∀x R x ”的否定为 ▲ ．3．正三棱锥的底面边长为2，高为1，则此三棱锥的体积为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为)0,2(-的抛物线的标准方程为 ▲ ．5．双曲线19422=-y x 的渐近线方程为 ▲ ． 6．若直线02:1=-+y x l 与直线07:2=+-y ax l 平行，则=a ▲ ．7． 圆0222:221=-+++y x y x C 与圆0626:222=++-+y x y x C 的公切线有且只有 ▲ 条.8．已知γβα,,是不同的平面，n m ,是不同的直线，给出下列4个命题： ①若,,γβγα⊥⊥则;//βα ②若,,γββα⊥⊥则;γα⊥ ③若,,βαα⊥⊥m 则β//m ；④若,,αα⊥⊥n m 则.//n m 则其中真命题的个数为 ▲ 个． 9．函数,cos 2sin )(xxx f -=则)0('f 的值为 ▲ ．10．已知点),1,5(-M 则它关于直线06:=-+y x l 的对称点的坐标为 ▲ ．11．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点A 为右顶点，点B 为上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为c 530（其中c 为半焦距），则椭圆的离心率e 为 ▲ ．12．若直线kx y =是曲线x x x y +-=23的切线，则k 的值为 ▲ ．13．已知关于x 的不等式m x x --≤22至少有一个负数解，则实数m 的最小值为▲ ．14．在周长为6的△ABO 中，,60︒=∠ABO 点P 在边AB 上，OA PH ⊥于H （点H在边OA 上），且,27,23==OP PH 则边OA 的长为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设:p 实数x 满足2x £或3x >；:q 实数x 满足3a x a <<，其中0a >. (1)若1a =，且p q Ù为真，求实数x 的取值范围； （2）若p Ø是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，F E ,分别是C A B A 11,的中点，点D 在11C B 上.11C B D A ⊥求证：（1）//EF 平面;ABC（2）平面⊥CD A 1平面.11C C BB 17. （本小题满分14分）△ABC 的三个顶点分别为)0,1(A ，)2,3(),4,1(C B ，直线l 经过点).4,0(D（1） 证明：△ABC 是等腰三角形；（2） 求△ABC 外接圆M 的方程；（3） 若直线l 与圆M 相交于Q P ,两点，且,32=PQ 求直线l 的方程. 18. （本小题满分16分） 如图，在半径为3m 的41圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料,OABC 其中点B 在圆弧上，点C A ,在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长xm AB =，圆柱的体积为3Vm .ABCE F1A1B1CDBC（1） 写出体积V 关于x 的函数关系式，并指出定义域；（2） 当x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V 最大？最大体积是多少？ 19. （本小题满分16分）如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右准线l 的方程为,334=x 焦距为32. （1） 求椭圆C 的方程；（2） 过定点)0,1(B 作直线l 与椭圆C 交于点Q P ,（异面椭圆C 的左、右顶点21,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点.M① 若),2,4(M 试求点Q P ,的坐标； ② 求证：点M 始终在一条直线上.20.（本小题满分16分） 已知函数ln )(),()1()(2x a x g R k kx e x x f x=∈--=（1） 当1=a 时，求)(x xg y =的单调区间；（2） 若对],1[e x ∈∀，都有x a x x g )2()(2++-≥成立，求a 的取值范围； （3） 当]1,43(∈k 时，求)(x f 在],0[k 上的最大值.2014—2015学年度第一学期期末抽测高二数学（文）试题参考答案一、填空题：1．60︒ 2．x ∃∈R ，210x -< 3．33 4．28y x =- 5．32y x =± 6．1-7．3 8．1 9．1 10．)1,7( 11．33 12．1或34 13．94- 14二、解答题:二、解答题:15．⑴当1a =时，不等式3a x a <<为13x <<，即q 为真时，实数x 的范围是13x <<，……………………………………………………2分若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以2,3,13,x x x >⎧⎨<<⎩或≤ ……………………………………5分即12x <≤，所以实数x 的范围是12x <≤．…………………………………………7分第19题图⑵p ⌝： 23x <≤，………………………………………………………………………9分又q ：3a x a <<，由p ⌝是q 的充分不必要条件，有]()(2,3,3a a ≠⊂，即2,33,a a ⎧⎨>⎩≤……12分 得12a <≤．所以实数a 的取值范围为(1,2]．…………………………………………14分 16．⑴因为,E F 分别是11,A B AC 的中点，所以EF BC P ，……………………………2分 因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以EF P 平面ABC ．…………………7分 ⑵因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥平面111A B C ，因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11BB A D ⊥．……………………………………………10分 又因为11A D B C ⊥，111BB B C B =I ，1BB ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1A D ⊥平面11BB C C ． 因为1A D ⊂平面1A CD ，所以平面1ACD ⊥平面11BB C C ．……………………………14分 17．⑴因为(1,0)A ，(1,4)B ，(3,2)C ，所以1AC k =，1BC k =-，所以CA CB ⊥，又CA CB ==，所以ABC △是等腰直角三角形， ………………3分 ⑵由⑴可知，M e 的圆心是AB 的中点，所以(1,2)M ，半径为2，所以M e 的方程为22(1)(2)4x y -+-=．………………………………………………6分 ⑶因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，1=．……………………………………………………8分①当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为0x =，与圆心(1,2)M 的距离为1，满足条件； 10分 ②当直线l 的斜率存在时，设l ：4y kx =+， 因为圆心到直线4y kx =+1=，解得34k =-，此时直线l 的方程为34160x y +-=．综上可知，直线l 的方程为0x =或34160x y +-=．…………………………………14分18．⑴连结OB ，因为AB x=，所以OA =，设圆柱底面半径为r ，2r π，即22249r x π=-，所以23229944x x x V r x x --=π=π⋅⋅=ππ，其中03x <<.……………6分 ⑵由29304x V -'==π及03x<<，得x =8分列表如下： (12)分 所以当x =V .答：当x 为m 时，做出的圆柱形罐子体积最大，3m .……………16分19．⑴由22222a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．…………………2分⑵①因为()12,0A -，()22,0A ，()4,2M ，所以1MA 的方程为1(2)3y x =+，代入2244x y +=，22144[(2)]03x x -+=+，即4(2)[(2)(2)]09x x x -=+++，因为12A x =-，所以1013P x =，则1213P y =，所以点P 的坐标为1012(,)1313．……………6分同理可得点Q 的坐标为64(,)55-．…………………………………………………………8分②设点()00,M x y ，由题意，02x ≠±．因为()12,0A -，()22,0A ， 所以直线1MA 的方程为00(2)2y y x x =++，代入2244x y +=，得220044[(2)]02yx x x -+=++， 即2204(2)[(2)(2)]0(2)y x x x x -=++++，因为12A x =-， 所以2022002220002082(2)4(2)24241(2)P y x x x y x y x -+==-++(+)++，则0022004(2)(2)4P x y y x y +=++，故点P 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y +-+++++．……………………………………………………10分 同理可得点Q 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y ---+-+--+．………………………12分 因为P ，Q ，B 三点共线，所以PB QB k k =，11Q PP Q y y x x =--． 所以()()0000222200002200222200004(2)4(2)(2)4(2)44(2)422121(2)424x y x y x y x y x x x y x y +--++-+=--+----++++，即000022220000(2)(2)(2)123(2)4x y x y x y x y +--=+---+， 由题意，00y ≠，所以002222000022(2)123(2)4x x x y x y +-=+---． 即2222000000003(2)(2)4(2)(2)(2)12(2)x x x y x x x y +--+=-+--．所以22000(4)(1)04x x y -+-=，则040x -=或220014x y +=．若220014x y +=，则点M 在椭圆上，P ，Q ，M 为同一点，不合题意．故04x =，即点M 始终在定直线4x =上．…16分20．⑴1a =时，ln y x x =，ln 1y x '=+，令0y '>，得ln 1x >- ，解得1ex >． 所以函数ln y x x =的单调增区间为1(,)e+∞．…………………………………………………2分⑵由题意 2ln (2)a x x a x -++≥对1e x ≤≤恒成立，因为1e x ≤≤时，ln 0x x ->， 所以22ln x x a x x --≤对1e x ≤≤恒成立．记22()ln x xh x x x-=-，因为[]2(1)2(1ln )()0(ln )x x x h x x x -+-'=-≥对1e x ≤≤恒成立，当且仅当1x =时()0h x '=，所以)(x h 在[]1,e 上是增函数，所以[]min ()(1)1h x h ==-，因此1a -≤．……………………………………………………6分 ⑶ 因为()e (1)e 2(e 2)x x x f x x kx x k '=+--=-，由()0f x '=，得ln2x k =或0x =（舍）． 可证ln 1x x -≤对任意0x >恒成立，所以ln221k k -≤，因为1k ≤，所以21k k -≤，由于等号不能同时成立，所以ln2k k <，于是0ln2k k <<． 当k x 2ln 0<<时，()0f x '<，()f x 在(0,ln 2)k 上是单调减函数； 当k x k <<)2ln(时，()0f x '>，()f x 在(ln 2,)k k 上是单调增函数．所以[]{}{}3max ()max (0),()max 1,(1)e k f x f f k k k ==---，………………………………8分 记3()(1)e 1xp x x x =--+，01x ≤≤，以下证明当01x ≤≤时，()0p x ≥．2()e 3(e 3)x x p x x x x x '=-=-，记()e 3x r x x =-，()e 30x r x '=-<对10<<x 恒成立，所以()r x 在[]1,0上单调减函数，(0)10r =>，(1)20r =-<，所以0(0,1)x ∃∈，使00e 30x x -=，当00x x <<时，()0p x '>，()p x 在0(0,)x 上是单调增函数；当10<<x x 时，()0p x '<，()p x 在0(,1)x 上是单调减函数．又(0)(1)0p p ==，所以()0p x ≥对01x <≤恒成立，即3(1)e 1x x x ---≥对01x <≤恒成立，所以[]3max ()(1)e k f x k k =--．………………16分。

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，则 .2.函数的最小正周期为 .3.幂函数的定义域为 .4.平面直角坐标系中，角的终边上有一点P，则实数的值为 .5.已知，把按从小到大的顺序用“”连接起来： .6.半径为，圆心角为的扇形面积为.7.函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .8.已知，，若的夹角为，则 .9.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为 .10.如图，平行四边形中，是边上一点，为与的交点，且，若，，则用表示 .11.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .12.将函数的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，则函数的值域为 .13.已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .14.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .二、解答题1.已知，且是第一象限角．（1）求的值；（2）求的值.2.已知，，当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？3.已知函数（其中）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）求方程的解集．4.已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；（3）解不等式：．5.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量的关系允许近似的满足：（其中为关税的税率，且，为市场价格，、为正常数），当时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求、的值；（2）若市场需求量为，它近似满足．当时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值．6.已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知全集，则 .【答案】【解析】求就是求补集，也就是在全集中去掉原集合中的元素的集合，去掉剩下所以，解这类问题，一需明确全集范围，二是将结果写成集合形式.【考点】补集.2.函数的最小正周期为 .【答案】【解析】由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.【考点】三角函数的周期计算.3.幂函数的定义域为 .【答案】【解析】因为所以定义域为.求函数定义域、值域，及解不等式时，需明确最后结果应是解集的形式.列不等式时要分清是否含有等号,这是解题的易错点. 幂函数的定义域，不仅看值的正负，而且看的奇偶.【考点】幂函数的定义域.4.平面直角坐标系中，角的终边上有一点P，则实数的值为 .【答案】1【解析】由三角函数定义知，若角的终边过异于原点的点则因此.由三角函数定义求三角函数值是一种本质方法，在高考解答题中也时有出现.本题易错点在于要由确定点在第一象限，所以【考点】三角函数定义.5.已知，把按从小到大的顺序用“”连接起来： .【答案】【解析】多个数比较大小，一般先进行分类.因为，所以最小，只需比较大小即可. 是两种不同形式，一个是对数值，另一个是三角函数值，比较它们大小需借助第三量进行传递，第三量选择为数1，即【考点】比较大小.6.半径为，圆心角为的扇形面积为.【答案】【解析】因为扇形面积为，所以本题在运用公式求面积时需将圆心角化为弧度，这是与初中的扇形面积公式的区别.【考点】扇形面积.7.函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .【答案】（2,0）【解析】求函数过定点问题可有两个思路，一是几何方法，从函数图像出发，找出定点，因为对数函数过定点，所以过定点（2,0），这是因为函数向右平移一个单位就得到，二是代数方法，从函数解析式出发，研究什么点的取值与无关，由知当取1，即取2时，恒等于0，即点（2,0）恒在函数上.【考点】函数过定点问题，函数图像变换.8.已知，，若的夹角为，则 .【答案】【解析】因为，，的夹角为，所以而求向量的模，一般先求其平方.【考点】向量数量积.9.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】令，则由得实数的取值范围为，本题可结合二次函数图像理解，也可从零点存在定理理解.二次函数在有一个根，在有另一根，而时，恒大于零，所以【考点】实根分布，二次函数图像，零点存在定理.10.如图，平行四边形中，是边上一点，为与的交点，且，若，，则用表示 .【答案】【解析】若,这就是向量定比分点公式.由向量定比分点公式得【考点】向量定比分点公式，向量三角形法则.11.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】不等式恒成立通常用分离变量法.由不等式得，而当时，所以.用分离变量法解不等式恒成立问题时，一要注意方向，是取最大值，还是最小值；二是注意等号是否取到.【考点】不等式恒成立.12.将函数的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，则函数的值域为 .【答案】【解析】由知，.由得，所以函数的值域为.求值域时需结合三角函数图像取最大与最小.【考点】三角函数图像与性质13.已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .【答案】【解析】若三点共线，则,反之也成立.由得三点共线且. 等于【考点】向量共线，基本不等式.14.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .【答案】【解析】设，令，则由题意得：，即；再令，则由题意得：，即，，∵函数为上的单调函数，解得：，即.【考点】函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和.二、解答题1.已知，且是第一象限角．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用同角三角函数关系中平方关系：得再由是第一象限角，舍去负值，得（2）先根据诱导公式将式子统一成一个角：，再利用同角三角函数关系解出值.试题解析：（1）∵ α是第一象限角∴∵∴cosα＝＝ 5分（2）∵ 7分∴＝tanα＋ 14分【考点】诱导公式，同角三角函数关系.2.已知，，当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？【答案】（1）；（2）,方向相反.【解析】（1）向量，则；（2）向量，则.向量方向决定于系数正负.试题解析：， 4分（1）由，得：，解得：． 8分（2）由，得，解得：， 12分此时，所以它们方向相反． 14分【考点】向量平行与垂直关系.3.已知函数（其中）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）求方程的解集．【答案】(1) ,(2),(3)或.【解析】（1）由图求三角函数解析式，关键从图中找出有效信息.从最值可得振幅A，从平衡点(或零点)到最值可求周期，要注意是四分之一周期，代最值点可求初相，注意初相取值范围，（2）根据所求解析式求单调增区间，也可直接从图像写出增区间，如从最小到最大就为一个增区间，(3) 根据所求解析式求零点，也可直接从图像写出根，如就为一个根，为下一个根.试题解析：（1）由图知，， 1分周期， 3分又，，，． 6分（2） 8分∴函数的单调增区间为： 11分（3）∵∴， 13分∴，∴方程的解集为． 15分或观察图象并结合三角函数的周期性写出解集为：或，也得分．结果不以集合形式表达扣1分．【考点】根据图像求三角函数解析式，求三角函数增区间，求三角函数零点.4.已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；（3）解不等式：．【答案】（1），（2）详见解析，（3）或.【解析】（1）求函数的解析式,只需确定的值即可，由函数且的图象经过点，得，再由得，（2）用函数单调性的定义证明单调性，一设上的任意两个值，二作差，三因式分解确定符号，（3）解不等式，一可代入解析式，转化为解对数不等式，需注意不等号方向及真数大于零隐含条件，二利用函数单调性，去“”，注意定义域.试题解析：（1），解得：∵且∴； 3分（2）设、为上的任意两个值，且，则6分，在区间上单调递减． 8分（3）方法（一）：由，解得：，即函数的定义域为； 10分先研究函数在上的单调性．可运用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减，证明过程略．或设、为上的任意两个值，且，由（2）得：，即在区间上单调递减． 12分再利用函数的单调性解不等式：且在上为单调减函数．， 13分即，解得：． 15分方法（二）： 10分由得：或；由得：，13分． 15分【考点】函数解析式，函数单调性定义，解不等式.5.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量的关系允许近似的满足：（其中为关税的税率，且，为市场价格，、为正常数），当时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求、的值；（2）若市场需求量为，它近似满足．当时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值．【答案】（1），（2）.【解析】（1）求、的值，需列两个独立条件，利用图象过两点：，得方程组，注意隐含条件可避开讨论，（2）由“市场平衡价格”含义得出与的函数关系式，这是一个二次函数，结合定义域可求出的最小值.试题解析：（1）由图象知函数图象过：，，， 2分得， 4分解得：； 6分（2）当时，，即， 8分化简得： 10分令，，设，对称轴为，所以，当时，取到最大值：，即，解得：，即税率的最小值为． 15分答：税率的最小值为． 16分【考点】函数解析式，函数最值.6.已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数，（2），(3)【解析】（1）函数奇偶性的判定，一要判定定义域是否关于原点对称，二要判定与是否相等或相反，（2）函数是分段函数，每一段都是二次函数的一部分，因此研究单调性，必须研究它们的对称轴，从图像可观察得到实数满足的条件：，(3)研究方程根的个数，通常从图像上研究，结合（2）可研究出函数图像.分三种情况研究，一是上单调增函数，二是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增，三是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增.试题解析：（1）函数为奇函数．[来当时，，，∴∴函数为奇函数； 3分（2），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，即时，函数在上是增函数； 7分（3）方程的解即为方程的解．①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； 9分②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调增∴∴； 12分③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴，设∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调减∴∴； 15分综上：． 16分【考点】函数奇偶性，函数单调性，函数与方程.。

苏教版高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角的终边经过点，则x的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．﹣42．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝，BC＝，则C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x4．（5分）函数y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[]C．[0，]D．[]5．（5分）函数y＝|sin x|+|cos x|，x∈R的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S＝．若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为（）A．B．2C．D．47．（5分）△ABC的内角A，C的对边分别为a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则a的取值范围为（）A．B．C．（1，2）D．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝e x，则f（1）等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C210．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．211．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或12．（5分）设a＝log0.12，b＝log302，则（）A．2ab＞a+b＞ab B．2ab＜a+b＜abC．ab＜a+b＜ab D．ab＞a+b＞ab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝．14．（5分）若三角形的一内角θ满足，则＝．15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列命题：①若a2+b2＜c2，则C＞；②若ab＞c2，则C＞；③若a3+b3＝c3，则C＜；④若2ab＞（a+b）c，则C＞；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＜．其中正确的是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；（2）设g（x）＝f（x）+8sin2x，求g（x）≤7的解集．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若，求△ABC周长l的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）当λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝0有解，求实数λ的取值范围．21．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处上山至景点C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发1min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为10m/min，山路AC长为1260m，经测量得，．（参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？22．（12分）如图，边长为2的等边三角形ABC中，O是BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．（1）在图①中，∠DOE＝120°，试将AD，AE分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD+AE为定值；（2）在图②中，∠DOE＝60°，问此时AD+AE是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD+AE 的取值范围．苏教版高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角的终边经过点，则x的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．﹣4【解答】解：∵已知角的终边经过点，∴tan＝tan＝﹣tan＝﹣＝，则x＝﹣2，故选：C．2．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝，BC＝，则C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理得：，∴，∴，又∵a＞b，∴A＞B，且0＜B＜π，∴B＝300，∴C＝1800﹣A﹣B＝900，故选：D．3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x【解答】解：f（x）＝|x|，f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1≠2（x+1）＝2f（x），故不满足条件；f（x）＝﹣x，f（2x）＝﹣2x＝2（﹣x）＝2f（x），故满足条件；故选：C．4．（5分）函数y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[]C．[0，]D．[]【解答】解：y＝2sin（）＝﹣2sin（2x﹣），求y＝2sin（）的递增区间，等价于求y＝2sin（2x﹣）的递减区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k＝0时，≤x≤，即函数y＝2sin（2x﹣）的递减区间为[]，则函数y＝2sin（），x∈[0，π]的单调递增区间为[]，故选：B．5．（5分）函数y＝|sin x|+|cos x|，x∈R的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x≤时，f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当≤x≤π时，f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），当π≤x≤时，f（x）＝﹣sin x﹣cos x＝﹣sin（x+），当≤x≤2π时，f（x）＝﹣sin x+cos x＝﹣sin（x﹣），则对应的图象为D，故选：D．6．（5分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S＝．若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为（）A．B．2C．D．4【解答】解：∵c2sin A＝4sin C，∴ac2＝4c，∴ac＝4，又∵B＝，∴，∴a2+c2﹣b2＝ac＝4，则S＝＝，故选：A．7．（5分）△ABC的内角A，C的对边分别为a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则a的取值范围为（）A．B．C．（1，2）D．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：，可得：sin A＝a，由题意得：当A∈（45°，135°）且A≠90°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜a＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝e x，则f（1）等于（）A．B．C．D．【解答】解：数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，由f（x）+g（x）＝e x，f（1）+g（1）＝ef（﹣1）+g（﹣1）＝﹣f（1）+g（1）＝，联立解上面方程组，得f（1）＝，故选：C．9．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2【解答】解：对于A，，对于B，，对于C，，对于D，，，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．11．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin （β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos （β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos （α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos （β﹣α）﹣sin2αsin （β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝． 又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A ．12．（5分）设a ＝log 0.12，b ＝log 302，则（ ） A ．2ab ＞a +b ＞ab B ．2ab ＜a +b ＜ab C ．ab ＜a +b ＜abD ．ab ＞a +b ＞ab【解答】解：a ＝log 0.12，b ＝log 302，则2ab ﹣（a +b ）＝2﹣（﹣lg 2+）＝﹣lg 2（﹣1+）＝﹣lg 2•＜0，∴2ab ＜a +b ．ab ﹣（a +b ）＝﹣（﹣lg 2+）＝﹣lg 2（﹣1+）＝﹣lg 2•＞0，∴ab＞a +b ．a +b ﹣a b ＝（﹣lg 2+）﹣×＝lg 2（﹣1++）＝lg 2•＜0，∴a+b＜ab．∴2ab＜a+b＜ab．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝．【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOC＝β，由题意可得tanα＝，tanβ＝，故tan（α+β）＝＝＝1，因为，，故α+β∈（0，π），所以α+β＝．故答案为：14．（5分）若三角形的一内角θ满足，则＝．【解答】解：由，可得sinθ+cosθ＝，两边同时平方可得，1+2sinθcosθ＝即2sinθcosθ＝﹣因为θ∈（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，解可得sinθ＝，cosθ＝﹣则＝＝．故答案为：15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝﹣．【解答】解：由题意可得m＝＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列命题：①若a2+b2＜c2，则C＞；②若ab＞c2，则C＞；③若a3+b3＝c3，则C＜；④若2ab＞（a+b）c，则C＞；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＜．其中正确的是①③⑤．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：①由余弦定理得，＜0，则C＞，即①正确；②，则0＜C＜，即②错误；③因为a3+b3＝c3，所以c最大，所以＜，即有a2+b2＞c2，则C＜，即③正确；④不妨取a＝b＝2，c＝1，满足2ab＞（a+b）c，此时，所以C＜，即④错误；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则，由②中的推导可知，0＜C＜，即⑤正确．故答案为：①③⑤．三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式，得．又因为2x+5y＝20，所以，xy≤10，当且仅当，即时，等号成立．此时xy的最大值为10．所以u＝lgx+lgy＝lgxy≤1g10＝1．所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx+lgy的最大值为1；（2）因为x＞0，y＞0，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．不等式恒成立，只要，解得．所以m的取值范围是．18．（12分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；（2）设g（x）＝f（x）+8sin2x，求g（x）≤7的解集．【解答】解：（1）由图可得A＝2，＝•，所以T＝π，所以ω＝2．当时，f（x）＝2，可得，因为，所以．所以函数f（x）的解析式为，令 2x﹣＝kπ+，k∈Z，则x＝+，所以函数f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）＝＝＝．g（x）≤7，即为，所以，.．所以，g（x）≤7的解集为．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若，求△ABC周长l的取值范围．【解答】解：（1）由题设，及正弦定理得，，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝π，可得，故．因为，故，所以，因为b2＝ac，又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，所以a2+c2﹣ac＝ac，即（a﹣c）2＝0，所以a＝c，故，所以△ABC是等边三角形；（2）解法一：△ABC的周长．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，，故（a+c）2≤24，，所以，当且仅当时，等号成立．又在△ABC中a+c＞b，所以，所以△ABC周长l的取值范围为．解法二：因为，，由正弦定理，得，所以△ABC的周长＝＝＝，因为，所以，，．所以△ABC周长l的取值范围为．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）当λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝0有解，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1），设，得g（t）＝3t2﹣2λt+8，，当时，，，所以，g（t）max＝g（2）＝14，所以函数f（x）的值域为；（2）方程f（x）＝0有解等价于函数g（t）＝3t2﹣2λt+8在上有零点，也即在上有解，而函数在上的值域为；所以实数λ的取值范围为．21．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处上山至景点C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发1min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为10m/min，山路AC长为1260m，经测量得，．（参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，由，，可得，，所以，由正弦定理得，；（2）设乙出发tmin，甲、乙的距离为d，由余弦定理得，，即d2＝500（13t2﹣2t+5），因为，即0≤t≤5，所以当时，d取得最小值，所以当乙出发了后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）由正弦定理得，乙从B出发时，甲已经走了50（1+5+1）＝350m，还需走910m才能到达C，设乙步行的速度为vm/min，则，所以，解得，即49.1≤v≤68.4，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在[49.1，68.4]范围内．22．（12分）如图，边长为2的等边三角形ABC中，O是BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．（1）在图①中，∠DOE＝120°，试将AD，AE分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD+AE为定值；（2）在图②中，∠DOE＝60°，问此时AD+AE是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD+AE 的取值范围．【解答】解：（1）由∠DOE＝120°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝60°﹣θ，∠CEO ＝60°+θ，在△BOD和△COE中，分别应用正弦定理可得，，，故，，所以，，θ∈（0，60°）．从而＝＝＝，从而AD+AE＝3为定值；（2）当∠DOE＝60°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝120°﹣θ，∠CEO＝θ，在△BOD和△COE中，分别应用正弦定理可得，，，故，，所以，，θ∈（30°，90°），，θ∈（30°，90°）．令，θ∈（30°，90°），下面先求y的取值范围：解法一：＝＝＝＝＝＝，由于θ∈（30°，90°），2θ﹣30°∈（30°，150°），2sin（2θ﹣30°）+1∈（2，3]，所以，因此；解法二：，设，则，＝，由θ∈（30°，90°），，，，又在上单调递减，在（1，2）上单调递增，而当或2时，，当u＝1时，y＝2，所以，因此．。