双向不等式的巧思妙解

数学巧思妙解活动感想数学是一门充满智慧和趣味的学科，它需要我们思维敏捷、逻辑清晰，同时也需要我们具备丰富的想象力和创造力。

在日常学习和生活中，我们经常会遇到一些让人头疼的数学难题，有时候我们会觉得数学很难，但是只要我们用心去思考，一定能够找到解题的方法。

数学巧思妙解活动正是为了激发学生对数学的兴趣和热爱而设计的，通过这个活动，我不仅收获了解题的技巧，还找到了乐趣，下面就来分享一下我的感想。

数学巧思妙解活动是一次集思广益的活动，对参与者的数学思维和解题能力提出了很高的要求。

在活动中，我们遇到了一些非常有难度的数学问题，有的是数学题，有的是数学游戏，有的是数学推理，每一道题都需要我们细心地去分析和思考，不仅需要我们具备扎实的数学基础，还需要我们灵活运用各种解题方法。

有时候，我们会用到一些在课堂上学不到的方法，比如巧妙地利用数学定理和公式，或者灵活地运用逻辑推理和数学思维，这些都让我受益匪浅。

在活动中，我发现了一些有趣的解题技巧，比如数学游戏中的“数学对抗战”，这个游戏需要我们根据给定的数字，通过加减乘除等运算符号，使得表达式的值等于给定的目标数字。

在游戏中，我发现了一种快速解题的方法，就是利用数学定理和公式，把目标数字拆分成一系列的数字，然后通过运算符号把这些数字组合起来，得到目标数字。

这种方法不仅让我解题更快，还可以锻炼我的思维能力和计算能力。

另外，在解题过程中，我还发现了一些有趣的规律和技巧，比如利用数学归纳法和递推关系，来描述一些数列的特点和规律，这些都给了我很大的启发。

除了解题技巧，数学巧思妙解活动还让我找到了解题的乐趣。

在活动中，我发现了一种解题的快感，当我成功解出一道难题时，我会感到一种成就感和满足感，这种感觉让我更加热爱数学，也让我更加努力地去学习和思考。

有时候，我会和同学一起合作解题，我们互相讨论和交流，通过不断地碰撞和思考，我们会找到更好的解题方法，这种合作解题的过程让我觉得很有趣，也让我受益匪浅。

b2b22 2 a·a 20 中 等 数 学一道数学奥林匹克问题的简解所以 ,2215°≤θ≤6715°.再作 DQ ⊥BC 于点 Q . 于是 ,S1BC ·DQ 夏 新 桥b = △CBD = 2 = DQ = 1 .(华南师大附中番禺学校 ,511442)a S △CAD 1 AC DP2DP tan θ题目 在 △ABC 中 , ∠ACB = 90°, AC =BC , D 是边 AB 上的一点 ,线段 CD 的垂直平分线分别交边 AC 、BC 于点 M 、N . 若 AD = a ,BD = b ( a 、b 是给定的正数) ,试求 CM 、CN的长度(用关于 a 、b 的最简式子表示) ,并确定 b 的取值范围[ 1 ] .2 - 1 ≤ b ≤ 2 + 1. a参考文献 :[1 ] 吴伟朝. 数学奥林匹克问题 ( 初 152) [J ] . 中等数学 ,2005 (4) .几道初中数学竞赛题的另解解 : 如图 1 , 设CM = DM = x , 作 DP ⊥AM 于点 P .则DP = a= A P ,2M P =a +b - x -2图 1=- x .王 毅(湖南省长沙市长郡中学 ,410002)题 1 是否存在正整数 a 、b ,使得等式a 3+ ( a + b ) 2+ b = b 3+ a + 2成立 ? 如果存在 ,求出 a 、b 的所有值 ; 如果不存在 ,请说明理由[ 1 ].解 :由原式得a 3+ ( a + b ) 2- a = b 3- b + 2 ,由 x 2=2+- x2,解出故 a ( a + 1) ( a - 1) + ( a + b ) 2CM = x =a 2+ b 2.a 2+ b 2= b ( b + 1) ( b - 1) + 2.已知 a 、b 为正整数 ,因此 ,a ( a + 1) ( a - 1) ,b ( b + 1) ( b - 1)同理可得 CN = y =.设 ∠ACD =θ,则 ∠BCD = 90°- θ. 当 BD = BC 时 ,θ= 2215°,点 N 与 B 重合; 当 AD = AC 时 ,θ= 6715°,点 M 与 A 重合.必能被 3 整除. 但 ( a + b ) 2除以 3 的余数不可能为 2 ,矛盾.所以 ,不存在这样的 a 、b 使原式成立. 题 2 已知实数 a 、b 、c 、d 互不相等 ,且a2a22 2 b故a 2b +c 782005 年第 12 期 21a +1 = b + 1 = c + 1 = d + 1 = x .将上式与已知等式相减得b c d aaabb试求 x 的值.b +c -a +b +c +a + c -a +b +c +(2003 ,全国初中数学联赛)c - c = 0.解 :由已知有a +b a + b + c111 1整理得b = x - a , d= x - c , b = x - c , d = x - a.a 2b2( x - a ) x - 1c= 1 , ( x - c ) x - 1a= 1.( b + c ) ( a + b + c ) + ( a + c ) ( a + b + c ) +c 2= 0 ,故 cx 2 - ( ac + 1) x + a - c = 0 ,ax 2- ( ac + 1) x + c - a = 0.两式相减得( a + b ) ( a + c + b )1 b 2即 a + b + c + a + c + a2b2c2= 0. ( c - a ) x 2= 2 ( c - a ) .又 c ≠a ,因此 , x 2= 2 , x = ± 2 .题 3 已知实数 a 、b 满足 a 3+ b 3+ 3 ab= 1. 求 a + b .(2004 ,全国初中数学联赛)解 :由题设可知a 3+ b 3+ ( - 1) 3- 3 ab ( - 1) = 0.由公式a 3+ b 3+ c 3- 3 abc= ( a + b + c ) ( a 2+ b 2+ c 2- ab - bc - ac ) ,故b +c +a + c +a +b = 0.参考文献 :[ 1 ] 刘康宁 ,党效文. 数学奥林匹克初中训练题(71) [J ] .中等数学 ,2004 (6) .一道数学题的另解熊 福 州(四川省泸县第二中学 ,646106)题目 求满足下列条件的最小正整数3 3 3n :对于 n 存在正整数 k ,使得 8< n < 7若 a + b + c- 3 abc = 0 , 则15 n + k13a +b +c = 0 或 a = b = c .于 是 , a + b + ( - 1) = 0 或 a = b = - 1. 故 a + b = 1 或 a + b = - 2. 题 4 若实数 a 、b 、c 满足a +b +c = 1 ,成立.文[ 1 ]对此题的几个错误解法进行了剖析 ,并给出了一个巧思妙解及依据. 其实 ,此题是二元不等式解集中求正整数解的问题.下面就用含参不等式的解法解此题.b +c a + c a + b解8 n 7a 2b 2c 2求 b + c + c + a + a + b 的值.(1999 ,长沙市初中数学竞赛)解 :构造恒等式a +b +c = 1.:在不等式15 < n + k < 13中 ,视 k 为未知数、n 为参数 ,解得 6 n < k < 7n ,即6 n < k < 6 n + n .7 7 56当( ) a + b + c a + b + c a + b + cn = 7 m m ∈N + 时 , 有c2 a + b则。

[典例](2012·江
苏高考)右图是一个
算法流程图，则输
出的k的值是
________．
[常规解法]第一步，当k＝1时，k2－5k＋4＝1－5＋4＝0；第二步，当k＝2时，k2－5k＋4＝4－10＋4＝－2＜0；第三步，当k＝3时，k2－5k＋4＝9－15＋4＝－2＜0；第四步，当k＝4时，k2－5k＋4＝16－20＋4＝0；第五步，当k＝5时，k2－5k＋4＝25－25＋4＞0，结束循环，输出k＝5.
[答案] 5
——————[高手支招]—————————————————————————1．在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量与累加变量．
2．读程序框图时，要注意循环终止的条件，如本题终止循环的条件为k2－5k＋4＞0，解此不等式即可确定输出的k值．
——————————————————————————————————————
[巧思妙解]由程序框图知k2－5k＋4＞0是决定循环是否终止的条件，
故解不等式k2－5k＋4＞0，
解得k＞4或k＜1(舍去)．
∴当k＝5时，满足k2－5k＋4＞0，故输出5.
针对训练
执行如图所示的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数P的最小值是()
A．7B．8
C．15 D．16
解析：选B依题意得，当输出的n＝5时，数列{2n－1}的前4项和开始不小于整数P，
注意到数列{2n－1}的前3项和等于1＋2＋4＝7，因此输入整数P的最小值是8.。

高三数学第一轮复习：4－5 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a ba b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论．3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b >⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。