苏教版数学高一必修3素材 2.4线性相关中的巧思妙解

2.4 线性回归方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较． 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系．3．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种． 3．线性回归方程系数公式能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑i ＝1n x i y i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n y i n ∑i ＝1nx 2i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x .1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． ①③④ [②⑤为确定关系不是相关关系．]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．③ [散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]3．工人工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1 000元时，工资为130元； ②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元； ④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．② [回归直线斜率为80，所以x 每增加1，y ^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元)1944405253销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．15 [x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)．]变量间相关关系的判断【例1】 在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________． ①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”．1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]散点图的画法及应用学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解] 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．2．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解] 不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：思路点拨：描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解] 作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．线性回归方程的求法及应用【例3】 某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据．广告支出x /万元 1 2 3 4 销售收入y /万元12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程y ^＝bx ＋a ，并解释b 的意义； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 思路点拨：画散点图→列表处理数据→计算x ，y ，n ∑i ＝14x 2i ，∑i ＝14x i y i →计算b →计算a →线性回归方程→销售收入[解] (1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a ，B ．序号 xyx 2y 2xy1 1 12 1 144 12 2 2 28 4 784 563 3 42 9 1 764 126 4 4 56 16 3 136 224 ∑10138305 828418于是x ＝52，y ＝692，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝5 828，∑i ＝14x i y i ＝418，代入公式得，b ＝∑i ＝14x i y i －4xy∑i ＝14x 2i －4x 2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 对x 的回归直线方程为y ^＝735x －2，其中回归系数b ＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ^＝735×9－2＝129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元． 1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数x ，y ；第二步，求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i ；第三步，计算b ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x ；第四步，写出线性回归方程y ^＝bx ＋A ．2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．提醒：(1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a ，b 的计算公式，计算出a ，b ，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．(2)为了方便，常制表对应算出x i y i ，x 2i ，以便于求和．(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2∑ ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2，a ＝y －－b t . 思路点拨：(1)利用相关系数的大小――→确定y 与t 的线性相关程度 (2)求出回归方程→利用方程进行估计[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑ 7i ＝1 (t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念．2．本节课要掌握以下几类问题 (1)准确区分相关关系与函数关系．(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系． (3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④D [由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号有( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④B [由正、负相关性的定义知①④一定不正确．]3．某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________．y ^＝0.7x ＋0.35 [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∴a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)思路点拨：按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．[解] (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。

重点列表：重点 名称重要指数 重点1 相关关系的判断 ★★★★ 重点2 线性回归方程有关概念 ★★★ 重点3散点图★★★★重点详解：1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________．(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________.※ (3)相关系数r ＝∑∑∑===----nj jn i ini iiy yx x y y x x 12121)()())((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝∑=--ni i ix y12)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，.(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y axn xy x n yx x x y y x x b ni ini ii n i i ni i i【答案】1．相关关系 非确定性2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法重点1：相关关系的判断 【要点解读】在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系【例题】下列变量之间的关系不是．．相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量解：由函数关系和相关关系的定义可知，A中Δ＝b2－4ac，因为a，c是已知常数，b为自变量，所以给定一个b的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b之间是一种确定的关系，是函数关系．B，C，D中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A.【评析】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的．重点2：线性回归方程有关概念【要点解读】样本中心点一定在回归直线上【考向1】样本中心点【例题】为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的试验数据中，变量x的平均值都等于s，变量y的平均值都等于t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有直线l1∥l2D．直线l1和l2必定重合【评析】回归方程一定通过样本点的中心(，y)；中心相同的样本点的回归方程不一定相同．【考向2】线性回归直线的理解【例题】由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到回归直线方程ax byˆˆˆ+=，那么下面说法错误．．的是( )A．直线ax byˆˆˆ+=必经过点(，y)B．直线ax byˆˆˆ+=至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点C．直线ax byˆˆˆ+=的斜率＝∑∑==--niiniiix nxy x nyx1221D ．直线a x b y ˆˆˆ+=和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑=+-ni ii a x b y 12)]ˆˆ([是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的重点3：散点图 【要点解读】根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型 【考向1】正相关与负相关【例题】(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1图2A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故选C.【评析】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关．(2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)： 施化肥量15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)将上述数据制成散点图；(Ⅱ)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 解：(Ⅰ)散点图如下：(Ⅱ)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长，不会一直随化肥施用量的增加而增长．【评析】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图，散点图可以直观地观察两个变量间的关系．【考向2】散点图的画法及相关关系识别【例题】(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量x与y的关系依次为________(正相关记作①；负相关记作②；不相关记作③)．(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm，℃)，并作了统计：年平均气温12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05年降748 542 507 813 574 701 432雨量(Ⅰ)试画出散点图；(Ⅱ)判断两个变量是否具有线性相关关系．解：(Ⅰ)作出散点图如图所示．(Ⅱ)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系．难点列表：求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)求系数b ^：公式有两种形式，b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，根据题目具体情况灵活选用；(3)求a ^：a ^＝y －－b ^x －； (4)写出回归直线方程．说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求b ^.难点1：求回归方程及用回归方程进行估计 【要点解读】(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值．(3)用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细小心，分层进行(最好列出表格)，避免因计算而产生错误． 【考向1】求线性回归方程【例题】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)散点图如下：(2)由系数公式可知，＝4.5，y＝3.5，＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以线性回归方程为yˆ＝0.7x＋0.35.(3)x＝100时，yˆ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．【评析】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，y，∑=niiiyx1，∑=niix12;(3)代入公式求，再利用xbyaˆˆ-=求，（4）写出回归方程.【考向2】利用线性回归方程进行预测【例题】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得∑=101iix=80, ∑=101iiy=20,∑=101iiiyx=184,∑=1012iix=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝∑∑==--niiniiix nxy x nyx1221，xbya-=，其中，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.解：(1)由题意知n＝10，＝1n ∑=ni ix 1＝8010＝8， y ＝1n ∑=ni i y 1＝2010＝2，又∑=ni ix12- n 2 =720 -10×82=80，∑=ni ii y x 1-n y x ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y －b ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 难点2：非线性相关转化为线性相关 【要点解读】通过观察散点图，分析其函数模型，然后转化成线性相关 【考向1】非线性相关转化为线性相关【例题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝解题指导] 切入点：回归分析中对散点图的理解，回归方程的求法和应用；关键点：通过换元把非线性回归方程转化为线性回归方程求解．解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．c ^＝y －d^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【趁热打铁】1．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( ) A ．点分布在从左下角到右上角的区域B ．散点图在某方形区域内C ．散点图在某圆形区域内D ．点分布在从左上角到右下角的区域2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线通过近似表示两者关系来估计总体的均值C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 3．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究． 其中正确的命题为( )A ．①③④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 35．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x 10 20 30 40 50 加工时间y (min)62&758189A ．67B ．68C ．69D ．706．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 17．某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，得到售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表：yˆ＝－3.2x ＋a ，则a ＝______．8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.9．假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：已知∑=512i ix=90，∑=51i ii y x ＝112.3.(1)求，y ；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？10．某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人； (2)随机抽取8位同学的数学、物理分数对应如表：性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．第四章1解：正确的只有D选项．故选D.2解：任两个变量均可作出散点图，从散点图上看有相关关系的才具有分析的价值，无相关关系的则作不出什么结论．故选C.4解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r2<r4<0<r3<r1，故选A.5解：＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，由于y^＝0.67x＋54.9必过点(，y)，∴y＝0.67×30＋54.9＝75，因此图表中的模糊数据为75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.故选B.6解：对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，故r2＜0＜r1.故选C.7解：价格的平均数＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数y＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由yˆ＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝y－b＝8＋3.2×10＝40.故填40.8解：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高的对应数据可列表如下：父亲的身高(x) 173 170 176儿子的身高(y) 170 176 182＝173，y＝176，∴＝∑∑==---3121)())((iiiiixxyyxx＝3×6（－3）2＋32＝1，＝y－＝176－173＝3.∴回归直线方程为yˆ＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．故填185.10解：(1)按性别比例分层抽样，应选男生15×840＝3(人)，选女生25×840＝5(人)．(2)以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标作散点图如图所示．从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩线性正相关．设y 与x 的线性回归方程是yˆ＝bx ＋a ，根据所给的数据，可以计算出≈0.65，≈34.5， 所以y 与x 的回归方程是yˆ＝0.65x ＋34.5.。

2.3.2两个变量的线性相关 导学案知识储备：1、根据下列条件，写出y 关于x 的函数关系式 (1)一次函数经过点()()2,3,1,0N M (2)一次函数斜率为21，经过点()3,2 (3)二次函数的顶点是()2,1-，经过原点(4)指数函数经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1(5)对数函数经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2课内探究：课内探究一：两个变量的关系 根据下列给出的x 和y 的对应关系作图 【例1】问题一：x ，y 具有的关系是什么？【例2】某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：x 1 3 5 7 9 11y24681012气温/0C26 18 13 10 41-杯数202434385064【例3】假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：问题二：例2和例3的两个变量具有怎样的关系？教师寄语：我们把类似于例2和例3这样的两个变量之间的关系叫做 这样的图叫做问题三：例2和例3哪个是正相关？哪个是负相关？问题四：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?课内探究二：回归直线方程问题一：=bˆ=a ˆ 问题二：回归直线方程的定义：问题三：bˆ叫做；这种求回归直线方程的方法叫做 【例4】假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料： （1）求线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？Step1：完成上表；Step2：计算=bˆ=a ˆ 回归直线方程为：估计使用年限为10年时的维修费用。

当堂检测：1、在回归直线方程中，b 表示 ( ) A ．当x 增加一个单位时，y 增加a 的数量 B ．当y 增加一个单位时，x 增加b 的数量 C ．当x 增加一个单位时，y 的平均增加量 D ．当y 增加一个单位时，x 的平均增加量2、回归方程为 1.515y x =-，则( ) A. 1.515y x =- B.15是回归系数a C.1.5是回归系数a D.10x =时0y =3、工人月工资y (元)与劳动生产率x (千元)变化的回归直线方程为ˆ5080yx =+，下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1000元时，工资为130元B.劳动生产率提高1000元时，则工资平均提高80元C.劳动生产率提高1000元时，则工资平均提高130元D.当月工资为210元时，劳动生产率为2000元 4、有关线性回归的说法中，不正确的是( ) A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程 5、 回归直线方程必定过( )A.()0,0点B.(),0x 点C.()0,y 点D.(),x y 点6、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?说明：将本题整理在错题本上。

§2.4 线性回归方程学习目标 1. 了解相关关系、线性相关的概念.2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系.3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．知识点一 变量之间的两类关系知识点二 散点图1．散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形叫散点图．2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱． 知识点三 最小平方法及线性回归方程思考 若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？ 答案 应该使散点整体上最接近这条直线． 梳理 线性回归方程：能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程． 最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，用最小平方法求得线性回归方程的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑n i ＝1xi y i －(∑n i ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑n i ＝1x 2i －(∑ni ＝1x i )2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑n i ＝1x i y i－n x y ∑n i ＝1x 2i－n x2＝∑ni ＝1(x i－x )(y i－y )∑n i ＝1(x i－x )2，a ＝y －b x .1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是具有随机性的两个变量之间的关系．( √ ) 2．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可以是伴随关系．( √ ) 3．回归直线一定过样本点中心(x ，y )．( √ )4．根据线性回归方程公式，任给一组数据，均可以求出线性回归方程，并可以预报．( × )类型一 变量之间相关关系的判断例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ (1)正方形边长与面积之间的关系； (2)作文水平与课外阅读量之间的关系； (3)人的身高与年龄之间的关系； (4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．解 两变量之间的关系有：函数关系与带有随机性的相关关系．(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．反思与感悟 如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么． 跟踪训练1 有下列关系：①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号)答案①③④类型二散点图及应用例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：判断它们是否具有线性相关关系．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．反思与感悟(1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．答案③解析散点图①中的点无规则的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中的点分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是在一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③. 类型三 线性回归方程的求法及应用例3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．解 在直角坐标系中画出数据的散点图如图：直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系． 从而计算相应的数据之和：∑i ＝18x i ＝1 031，∑i ＝18y i ＝71.6，∑i ＝18x 2i ＝137 835，∑i ＝18x i y i ＝9 611.7.将它们代入公式计算得b ≈0.077 4，a ≈－1.024 1， 所以，所求线性回归方程为y ^＝0.077 4x －1.024 1.反思与感悟 对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若呈直线形，再依系数a ，b 的计算公式，算出a ，b .求a ，b 时，先计算平均数x ，y ；接着计算x i 与y i 的积，然后求∑x i y i 及∑x 2i ；最后将结果代入公式求b ；用a ＝y －b x 求a . 跟踪训练3 下表数据是退水温度x (℃)对黄酮延长性y (%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的，且对于给定的变量x ，y ，其方差与x 无关．(1)画出散点图；(2)指出x ，y 是否线性相关；(3)若线性相关，求y 关于x 的线性回归方程； (4)估计退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况． 解 (1)散点图如图：(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与x 线性相关． (3)列出下表并用科学计算器进行有关计算．于是可得b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502≈0.058 9， a ＝y －b x ＝57－0.058 9×550＝24.605. 因此所求的线性回归方程为y ^＝0.058 9x ＋24.605. (4)将x ＝1 000代入线性回归方程得 y ^＝0.058 9×1 000＋24.605＝83.505，即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.505%.1．如图所示的五组数据(x ，y )中，去掉__________后，剩下的4组数据相关性增强．答案 (4,10)解析 去除(4,10)后，其余四点大致分布在一条直线附近，相关性增强．2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小平方法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是________． ①体重y 与身高x 具有函数间的关系； ②回归直线过(x ，y )点；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可判定其体重必为58.79 kg. 答案 ①④解析 体重与身高的关系不确定，不是函数关系．当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg. 3．已知x 与y 之间的一组数据：若y 与x 线性相关，则y 与x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a 必过________． 答案 (1.5,4) 解析 ∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4， ∴线性回归方程必过点(1.5,4)．4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的线性回归方程为y ^＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178 cm ，他的体重应该在________kg 左右． 答案 69.96解析 用线性回归方程对身高为178 cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时， y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元． 答案 65.5解析 由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ，a ＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5.1．求样本数据的回归方程，可按下列步骤进行： 第一步 计算平均数x ，y . 第二步 求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i .第三步 计算b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .第四步 写出回归方程y ^＝bx ＋a .2．回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．3．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．一、填空题1．下列两个变量中具有相关关系的是________．(填写相应的序号) ①球的半径与体积； ②角的弧度数和它的正弦值； ③单产为常数时，土地面积和总产量； ④日照时间与水稻的亩产量． 答案 ④解析 球的半径r 与体积V 存在着函数关系V ＝43πr 3 ；角的弧度数α和它的正弦值y 存在着函数关系y ＝sin α；单产为常数a 公斤/亩，土地面积x (亩)和总产量y (公斤)之间也存在着函数关系y ＝ax ；日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应填④. 2．下列有关线性回归方程的说法，不正确的是________．(填序号)①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系； ②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线． 答案 ④解析 只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线． 3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是________．(填序号)①劳动生产率为1千元时，工资为50元； ②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元； ③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元； ④劳动生产率为1千元时，工资为90元． 答案 ③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为y ^＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.4．如图所示，表示两个变量不具有相关关系的有________．答案 ①④解析 ①是确定性函数关系；④中的点的分布没有任何规律可言，故x ，y 不具有相关关系． 5．若对某个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行调查统计得y 与x 具有相关关系，且线性回归方程为y ^＝0.7x ＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费额为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________． 答案 87.5%解析 设该地区人均工资收入为x ，则y ＝0.7x ＋2.1， 当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 6．期中考试后，某校高一(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分． 答案 20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.7．给出两组数据x ，y 的对应值如下表，若已知x ，y 是线性相关的，且线性回归方程：y ^＝a ＋bx ，经计算知：b ＝－1.4，则a 为________．答案 17.4解析 x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.8．某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元． 答案 12.1解析 将x ＝15代入y ^＝0.8x ＋0.1，得y ^＝12.1.9．在一定的限度范围内，若施化肥量x (单位：kg /公顷)与水稻产量y (单位：kg/公顷)的线性回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80kg /公顷时，预计水稻产量为______ kg/公顷． 答案 650解析 把x ＝80代入线性回归方程y ^＝5x ＋250， 得y ^＝650.10．某男数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 答案 185解析 根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：x ＝173，y ＝176，∴b ＝∑i ＝13(x i －x )(y i －y )∑i ＝13(x i －x )2＝3×6(－3)2＋32＝1， a ＝y －b x ＝176－173＝3，∴线性回归方程为y ^＝x ＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．11．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：h)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h 篮球的投篮命中率为________． 答案 0.5 0.53解析 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5，x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3.由公式，得b ＝0.01，从而a ＝y －b x ＝0.5－0.01×3＝0.47. 所以线性回归方程为y ^＝0.47＋0.01x . 所以当x ＝6时，y ^＝0.47＋0.01×6＝0.53. 二、解答题12．某商店统计了近6个月某商品的进价x 与售价y (单位：元)，对应数据如下：求y 对x 的线性回归方程．(结果保留三位小数) 解 ∵x ＝3＋5＋2＋8＋9＋126＝6.5，y ＝4＋6＋3＋9＋12＋146＝8，∑i ＝16x 2i ＝327，∑i ＝16x i y i ＝396，∴b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2≈1.143，a ＝y －b x ≈0.571，∴线性回归方程为y ^＝1.143x ＋0.571.13．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．(结果保留四位小数) 解 (1)数据对应的散点图如图所示．(2)x ＝15∑i ＝15x i ＝109，y ＝15∑i ＝15y i ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.设所求回归方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝15x i y i－5x y∑i ＝15x 2i －5x2≈0.196 2，a ＝y －b x ＝23.2－109×0.196 2≈1.814 2， 故所求回归方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. 回归直线见(1)图．(3)由(2)可知，当x ＝150时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)． 三、探究与拓展14．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程y ^＝bx ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是________． ①b >b ′，a >a ′；②b >b ′，a <a ′； ③b <b ′，a >a ′；④b <b ′，a <a ′. 答案 ③解析 由已知得，b ′＝2，a ′＝－2.由公式b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2求得，b ＝57，a ＝y －b x ＝136－57×72＝－13， ∴b <b ′，a >a ′.15．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y 关于x 的回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 解 (1)散点图如图所示．(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， ∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (3)现在生产100吨甲产品用煤 y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴90－70.35＝19.65(吨标准煤)．∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．。

线性相关中的巧思妙解线性相关题型在高考试题中具有计算复杂运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握.例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ）A.（2，2）点B.（1.5，0）点C.（1，2）点D.（1.5，4）点基本解法: （1）设所求的直线方程为yˆ=bx +a ，其中a 、b 是待定系数。

（2）计算平均数x ，y ；（3）求a ，b ；（4）写出回归直线方程。

（5）验证A.B C D 那些点所求直线上.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.,)())((1221121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y1，a 为回归方程的斜率，b 为截距。

对于本题4,5.1==y x ,所以b =2,a=1, yˆ=2x +1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x ,妙解：x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y14,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可.例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示：2003年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？基本解法: 利用回归分析x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合．设回归直线方程为bx a y +=ˆ，则由相关数据计算得：5.199711==∑=n i i x n x ，25.254011==∑=ni i y n y ，7.94)(1221=--=∑∑==n i i n i i i x n xy x n y x b ，186623-=-=x b y a ， 所以回归直线方程为x y7.94186623ˆ+-=，从而 ⨯+⨯-=7.944186623总y 11676)2003200220012000(≈+++（人），即为所求．巧思：由于求解先性回归方程时公式难记运算量又大,容易出错,我们还可以从新发病的增长率入手1996年到1997年新发病的增长率为 (2491-2400)/2400≈3.792％； 1997年到1998年新发病的增长率为 (2586-2491)/2491≈3.814％； 1998年到1999年新发病的增长率为 (2684-2586)/2586≈3.790％．由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，妙解： 由上面的巧思中的分析可知，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，即2684(1+3.799％)+2684(1+3.799％)2+2684(1+3.799％)3+2684(1+3.799％)4，不难算得约等于11795（人）．。

《数学巧学巧解大全》《高中数学巧学巧解大全》目录第一部分高中数学活题巧解方法总论第一篇数学具体解题方法代入法直接法定义法参数法交轨法几何法弦中点轨迹求法比较法基本不等式法综合法分析法放缩法反证法换元法构造法数学归纳法配方法判别式法序轴标根法向量平行法向量垂直法同一法累加法累乘法倒序相加法分组法公式法错位相减法裂项法迭代法角的变换法公式的变形及逆用法降幂法升幂法“1”的代换法引入辅助角法三角函数线法构造对偶式法构造三角形法估算法待定系数法特殊优先法先选后排法捆绑法插空法间接法筛选法（排除法）数形结合法特殊值法回代法（验证法）特殊图形法分类法运算转换法结构转换法割补转换法导数法象限分析法补集法距离法变更主元法差异分析法反例法阅读理解法信息迁移法类比联想法抽象概括法逻辑推理法等价转化法根的分布法分离参数法抽签法随机数表法第二篇数学思想方法函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想化归转化思想整体思想第三篇数学逻辑方法比较法综合法分析法反证法归纳法抽象与概括类比法第二部分部分难点巧学一、看清“身份”始作答——分清集合的代表元素是解决集合问题的关键二、集合对实数说：你能运算，我也能！——集合的运算（交、并、补、子等）三、巧用集合知识确定充分、必要条件四、活用德摩根定律，巧解集合问题五、“补集”帮你突破——巧用“补集思想”解题六、在等与不等中实现等价转化——融函数、方程和不等式为一体七、逻辑趣题欣赏八、多角度、全方位理解概念——谈对映射概念的掌握九、函数问题的灵魂——定义域十、函数表达式的“不求”艺术十一、奇、偶函数定义的变式应用十二、巧记图象、轻松解题十三、特殊化思想十四、逆推思想十五、构造思想十六、分类思想十七、转化与化归思想十八、向量不同于数量、向量的数量积是数量十九、定比分点公式中应注意λ的含义二十、平移公式中的新旧坐标要分清二十一、解斜三解形问题，须掌握三角关系式二十二、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用二十三、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用二十四、“抓两头，看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法二十五、巧用均值不等式的变形式解证不等式x郑重声明依照《中华人民共和国著作权法》，本书版权所有，任何人或单位都不得仿冒《高中理科巧学巧解大全》从事图书出版活动，不得擅自抄袭本书的研究成果，不得盗版及销售盗版图书，一旦发现，将违法图书寄往中华人民共和国新闻出版总署和工商行政管理总局，并将采取法律手段，使侵权者必将受到法律的严惩！一套好书，一片好光盘，可以送一个孩子上好大学！ 花158元买一套《大全》，高考多考80分你赚了多少？多考150分你又赚了多少？划得来啊！有付出，必有回报，你一定会考上理想大学！金榜题名！ 2009年10月18日 库锡桃写第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y=，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

有关关系1．有关关系定义：假如两个变量中一个变量的取值一准时，另一个变量的取值带有必定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做有关关系．两类特别的有关关系：假如散点图中点的散布是从________角到________角的地区，那么这两个变量的有关关系称为正有关，假如散点图中点的散布是从 ________角到________角的地区，那么这两个变量的有关关系称为负有关．答案：随机左下右上左上右下两个变量间的关系分为三类：一类是确立性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间的确存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这类关系就是有关关系，比如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为有关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．2．线性有关(1)定义：假如两个变量散点图中点的散布从整体上看大概在一条________邻近，我们就称这两个变量之间拥有线性有关关系，这条直线叫做_________．(2)最小二乘法：求线性回归直线方程^^^y＝b x＋a时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，此中a，b的值由以下公式给出：答案：直线回归直线距离的平方和3.^^此中，b 是回归方程的________，a 是回归方程在 y 轴上的________．答案：y-bx ?斜率 截距线性回归剖析波及大批的计算，形成操作上的一个难点，能够利用计算机特别方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．所以在学习过程中，要重视信息技术的应用．1练习：1.列变量之间的关系不是有关关系的是()A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是鉴别式＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田施肥量和粮食亩产量2.现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，数据以下：学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩能否拥有有关关系．[分析] (1)在A中，若b确立，则a，b，c都是常数，＝b2－4ac也就独一确这了，所以，这二者之间是确立性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．应选 A.(2)两次数学考试成绩散点图以下图，由散点图能够看出两个变量的对应点集中在一条直线的四周，拥有正有关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩拥有有关关系．3.有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均公民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的小孩年数目，以下表：人均GDP/万元1086431患白血病的小孩数/人351312207175132180(1)画出散点图，并判断这两个变量能否拥有线性有关关系；2(2)经过计算可知这两个变量的回归直线方程为＝ ＋，若是一个城市的 人均GDP 为12万元，那么能够断言，这个城市患白血病的小孩必定超出 380人，请问这个断言能否正确？[分析](1)依据表中数据画散点图，以下图，从图能够看出，在6个点中，固然第一个点离这条直线较远，但其他5个点大概散布在这条直线的邻近， 所以这两个变量拥有线性有关关系．(2)上述断言是错误的，将^^x ＝12代入y ＝＋得y ＝×12＋＝＞380，可是对该城市人均GDP 为12万元的状况下所作的一个估计，该城市患白血病的小孩可能超出380人，也可能低于380人．4.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：单价x(元) 89销量y(件)90 8483807568^^^^(1)＝b，此中b ＝－20.求回归直线方程y x ＋a(2) 估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？(收益＝销售收入－成本)[答案]1 (1)因为x ＝(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝，61y ＝6(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.^^ ^所以a ＝y －bx ＝80＋20×＝250，进而回归直线方程为 y ＝－20x ＋250.(2)设工厂获取的收益为L 元，依题意得22L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x ＋330x －1000＝－20(x －8.25)＋361.25.故当单价定为 元时，工厂可获取最大收益．35.已知变量x 与y 正有关，且由观察数据算得样本的均匀数x ＝，y ＝，则由观察的数据得线性回归方程可能为()^ ＝＋^＝2x －A.y^^＝－2x ＋＝－＋[答案] A[分析]^ ^^∵y＝bx ＋a ，正有关则b ＞0，∴清除C ，D.∵过中点心(x ，y)＝(3,3.5)，∴选A.6．为了考察两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15 次试验，而且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试 验数据中，变量 x 和y 的数据的均匀值都相等，且分别是s 和t ，那么以下说法中正确的是()A ．直线l 1、l 2必定有公共点(s ，t)B ．直线l 1、l 2订交，但交点不必定是 (s ，t)C ．必有直线l 1∥l 2D ．l 1、l 2必然重合 [答案]A^^ ^[分析] 线性回归直线方程为＝bx ＋a ，而a ＝y －bx ，即a ＝t －bs ，t ＝bs ＋a ，y所以(s ，t)在回归直线上，直线 l 1、l 2必定有公共点(s ，t)．7.检查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 拥有线性有关关系，并由检查数据获取 y 对x 的回归直^1万元，年饮食支线方程：y ＝＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增添 出均匀增添________万元．[答案][分析]^因为y ＝＋知，当x 增添1万元时，年饮食支出y 增添万元．48．某单位为认识用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当日气温，并制作了比较表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864^^^^由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，展望当气温为－4℃时，用电量约为________度．[答案]68[分析]x＝18＋13＋10－1＝10，y＝24＋34＋38＋64＝40，因为回归方程必定44过点(x，y)，^^^^所以y＝bx＋a，则a＝y－bx＝40＋2×10＝60.^^则y＝－2x＋60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.9．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有以下对应数据(单位：百万元)x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？[分析] (1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如以下图所示：(2)从图中能够发现广告费支出与销售金额之间拥有有关关系，而且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大概散布在某条直线的邻近，即x与y成正有关关系．5能力提高一、选择题1．依据以下样本数据获取的回归方程为^＝bx＋a，则() y345678－－－A.a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞0[答案]A[分析]因为x增大y减小知b＜0，又x＝3时y＞0，∴a＞0，应选A.2．某产品的广告花费x与销售额y的统计数据以下表：广告花费x(万元)4235销售额y(万元)49263954依据上表可得回归方程^^^^6万元时销y＝b中的b为，据此模型预告广告花费为x＋a售额为()A．万元B．万元C．万元D．万元[答案]B[研究]由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，而后联合该方程对x＝6时的销售额作出估计．[分析]样本点的中心是^^(3.5,42)，则a＝y－bx＝42－×＝，所以线性回^^归方程是y＝＋，把x＝6代入得y＝65.5.4．某学生课外活动兴趣小组对两个有关变量采集到5组数据以下表：x1020304050y62▲758189由最小二乘法求得回归方程为^y＝＋，现发现表中有一个数据模糊不清，请推测该数据的值为()A．60B．62 C．68D．[答案]C[分析]由题意可得x＝30，代入回归方程得y＝75.6设看不清处的数为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.[评论]表中所给的数据只反应x与y的线性关系，并不是函数关系，因此不可以直接代入线性方程求预告值^(x，y，应依据线性回归方程性质，即线性回归方程经过中心点y)求解．二、填空题5．2010年4月初，广东部分地域流行手足口病，党和政府采纳坚决举措，防治结合，很快使病情获取控制．下表是某同学记录的2010年4月1日到2010年4月12日每日广州手足口病治愈出院者数据，依据这些数据绘制散点图如图.日期123456人数100109115118121134日期789101112人数141152168175186203以下说法：①依据此散点图，能够判断日期与人数拥有线性有关关系；②依据此散点图，能够判断日期与人数且有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超出这12天内北京市治愈出院人数的20%.此中正确的个数是________．[答案] 26．改革开放 30年以来，我国高等教育事业快速发展，对某省1990～2000年考大学升学百分比按城市、县镇、乡村进行统计，将1990～2000年挨次编号为0～10，回归剖析以后获取每年考入大学的百分比y与年份x的关系为：^城市：y＝＋；^县镇：y＝＋；^乡村：y＝＋1.80.依据以上回归直线方程，城市、县镇、乡村三个组中，________的大学入学率增添7最快．按相同的增添速度，可展望2010年，乡村考入大学的百分比为 ________%.[答案]城市[研究]增添速度可依据回归直线的斜率来判断，斜率大的增添速度快，斜率小的增添速度慢．[分析]经过题目中所供给的回归方程可判断，城市的大学入学率增添最快；2010年乡村考入大学的百分比为×20＋＝10.2.11.某市民用水拟推行阶梯水价，每人用水量中不超出w立方米的部分按4元/立方米收费，高出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机检查了10000位居民，获取了他们某月的用水量数据，整理获取以下频次散布直方图：（I）假如w为整数，那么依据此次检查，为使80%以上居民在该月的用水价钱为4元/立方米，w起码定为多少？（II）假定同组中的每个数据用该组区间的右端点值取代，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.8II）由用水量的频次散布直方图及题意，得居民该月用水花费的数据分组与频次散布表：组号12345678分组2,44,66,88,1010,1212,1717,2222,27频次依据题意，该市居民该月的人均水费估计为：4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 27（元）．考点：频次散布直方图求频次，频次散布直方图求均匀数的估计值.12.某企业计划购置1台机器,该种机器使用三年后即被裁减.机器有一易损部件,在购进机器时,能够额外购置这类部件作为备件,每个200元.在机器使用时期,假如备件不足再购置,则每个500元.现需决议在购置机器时应同时购置几个易损部件,为此采集并整理了100台这类机器在三年使用期内改换的易损部件数,得下边柱状图：9频数2420161060161718192021改换的易损部件数记x表示1台机器在三年使用期内需改换的易损部件数,y表示1台机器在购置易损部件上所需的花费（单位：元）,n表示购机的同时购置的易损部件数.（I）若n=19,求y与x的函数分析式；（II）若要求“需改换的易损部件数不大于n”的频次不小于0.5,求n的最小值；（III）假定这100台机器在购机的同时每台都购置19个易损部件,或每台都购置20个易损部件,分别计算这100台机器在购置易损部件上所需花费的均匀数,以此作为决议依照,购置1台机器的同时应购置19个仍是20个易损部件？3800,x19,N)（II）19（III）19【答案】（I）y(x500x 5700,x19,（Ⅱ）由柱状图知,需改换的部件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购置19个易损部件,则这100台机器中有70台在购置易损部件上的花费为3800,20台的花费为4300,10台的花费为4800,所以这100台机器在10购置易损部件上所需花费的均匀数为1 (4000 90 4500 10) 4050.100比较两个均匀数可知,购置1台机器的同时应购置19个易损部件.13.以下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与t 的关系，请用有关系数加以说明；（II ）成立y对于t 的回归方程（系数精准到 ），展望2016年我国生活垃圾无害化处 理量． 附注：77y i t i y i参照数据：i1，i1 ，n7(y i y)2i1，7≈2.646.r(t it)(y i y)i1，nn(t i t)2(y i y)2参照公式：有关系数i1i1回归方程yab中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n(t it)(y i y)bi1，n(t it)2i1aybt ．【答案】（Ⅰ）原因看法析；（Ⅱ）亿吨．试题分析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参照数据得117t)27y)2(t i28(y it4，i1，i1，777(t i t)(y i y)t i y i t y i4 i1i1i1r2．因为y与t的有关系数近似为相当高，进而能够用线性回归模型拟合y与t的关系.，，说明y与t的线性有关12。

2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关整体设计教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．重点难点教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？推进新课新知探究提出问题（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断.讨论结果：（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.(2)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.①教学散点图出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：年龄23 27 38 41 45 49 50脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2年龄53 54 56 57 58 60 61脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例思路1例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案：②④例2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题. 思路2例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:（1）作出这些数据的散点图.(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?解：(1)散点图如下：(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.例2 案例分析：一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表.性别身高/cm 右手一拃长/cm 性别身高/cm 右手一拃长/cm女152 18.5 女153 16.0女156 16.0 女157 20.0女158 17.3 女159 20.0女160 15.0 女160 16.0女160 17.5 女160 17.5女160 19.0 女160 19.0女160 19.0 女160 19.5女161 16.1 女161 18.0女162 18.2 女162 18.5女163 20.0 女163 21.5女164 17.0 女164 18.5女164 19.0 女164 20.0女165 15.0 女165 16.0女165 17.5 女165 19.5女166 19.0 女167 19.0女167 19.0 女168 16.0男178 21.0 男178 22.5男178 24.0 男179 21.5男179 21.5 男179 23.0男180 22.5 男181 21.1男181 21.5 男181 23.0男182 18.5 男182 21.5男182 24.0 男183 21.2男185 25.0 男186 22.0男191 21.0 男191 23.0（1）根据上表中的数据,制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.从散点图上可以发现,身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线. 同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.同学3：多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出近似的直线,使得在直线两侧的点数尽可能一样多.同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm以上的；然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长,即（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线. 同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大的点为（179.2,21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）的直线.同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的.知能训练一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：零件数x（个）10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 y(min)画出散点图；关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？答案：（1）散点图如下：（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）115 110 80 135 105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系. 课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.作业习题2.3A组3、4(1).设计感想本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类,为下一节课作了铺垫,思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度和学习方法,树立时间观,培养勤奋、刻苦耐劳的精神.。

平行向量、共线向量、相等向量的识别与应用由于三者联系较为紧密，所以不少同学经常将三者混为一谈，给解题带来了一些不必要的麻烦，但如果我们能准确识别三者及其关系并应用其知识进行解题，也会给解题带来很大的方便，下面让我们来作一识别、比较和应用.1.平行向量①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.②表示方法：如果a 、b 、c 是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合)，则可记为////a b c .③注意点：任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量是平行向量. 2.共线向量①概念：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合.②含义：“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上.3.相等向量①概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.②识别依据：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等.如=a b ，就意味着||||=a b ，且a 与b 的方向相同.③理解拓展：由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，都可以用同一条有向线段表示，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.4. 平行向量、共线向量、相等向量三者的异同点 ①共线向量即为平行向量；②共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量. 5.共线向量、相等向量知识的应用 ①应用共线向量、相等向量的定义解题例1如图，两个全等的正三角形ABC ∆与'''A B C ∆，如图放置，使得D E F G H I 、、、、、分别是两个三角形各边的三等分点.设ABC ∆的边长为a ，在所有以'''A B C A B C D E F H I 、、、、、、、、、、中任意两点为端点，长度为13a 的向量中：(1)哪些向量与BF u u u r相等？ (2)与BF u u u r共线的向量有多少个？ (3)与BF u u u r模相等的向量有多少个？分析：由平面几何知识，两三角形对应边所在的直线都平行，向量的长度又全相等，所以只需考虑向量的方向即可判断向量是共线或是相等.解：(1)与BF u u u r相等的向量有： ' 'FG GC C D DI IB u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r 、、、、共5个. 'BC'AC(2)与BF u u u r共线的向量有11个. (3)与BF u u u r模相等的向量有35个.评注：向量共线只考虑向量的方向，向量的模相等只考虑向量的长度，向量相等既要考虑向量的方向又要考虑向量的长度.在考虑与BF u u u r 共线或模相等的时候，别漏了向量FB u u u r.②应用相等向量的意义解题例2利用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.分析：欲证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等，根据相等向量的意义，只需证一组对边对应的向量相等即可.已知：如图，四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于O ，且OA OC =，OD OB =.求证：四边形ABCD 为平行四边形.证明：设OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，则OC =-u u u r a ，OD =u u u r -b .∴AD OD OA =-=-u u u r u u u r u u u r -b a ，BC OC OB =-=-u u u r u u u r u u u r-a b . ∴AD BC =u u u r u u u r .∴AD 与BC 平行且相等.∴四边形ABCD 为平行四边形.评注：题目中涉及的向量较多时，可选取两个基本向量，然后将其他向量用这两个基本向量表示.③应用向量共线的充要条件解题 例3E 是ABCD Y 的对角线BD 的内分点，且E 内分BD 的比为2：3 ，直线CE 与AB 交于F ，求AF ：FB 的值.分析：利用向量共线的充要条件，采用待定系数法求解.解：设BA =u u u r a ，BC =u u u r b ，则BD =u u u r+a b .∵E 内分BD 的比为2：3，∴2235BE BD ==u u u r u u u r ()+a b .设BF BA λλ==u u u r u u u r a ，又BF FC CB ++=u u u r u u u r u u u r 0，BE EC CB ++=u u u r u u u r u u u r0，∴CF BF BC =-=u u u r u u u r u u u r λ-a b ，CE BE BC =-=u u u r u u u r u u u r 2355-a b .∵CF CE μ=u u u r u u u r ，∴23()55λμ-=-a b a b ，∴2,531,5λμμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴2,35.3λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23BF BA =u u u r u u u r.A∴BF：FA=2：1，即AF：FB=1：2.评注：利用向量的方法处理有关的分点问题，不需添加辅助线，只需找准封闭图形，利用向量共线的充要条件采用待定系数法即可求出.。

高中数学2.2 向量的线性运算教材梳理素材苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学2.2 向量的线性运算教材梳理素材苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学 2.2 向量的线性运算教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1。

向量的加法（1)向量加法的定义向量是否能进行运算？先看下面几个实例.①某人从A到B，再从B按原方向到C,则两次的位移和:ACAB=+。

〔如图2—2—1(1)〕BC(1) （2）图2—2-1②若上题改为从A到B,再从B按反方向到C，则两次的位移和：AC+。

〔如图2-2-1AB=BC（2)〕③某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和：AC+.〔如图2—2-2(1)〕AB=BC(1) （2)图2—2-2④船速为AB，水速为BC，则两速度和：AC+。

〔如图2-2-2(2）〕AB=BC上面四个实例虽然是物理学中求两个已知位移和位移的题目，实质上它们当中却包含着数学中的向量的加法运算.一般地，已知向量a和b，在平面内任取一点O,作OA=a，AB=b,则向量OB叫做a与b 的和,记作a+b。

即a+b=OB+.(如图2—2-3)OA=AB图2-2—3两个向量的和仍是一个向量。

求两个向量的和的运算叫做向量的加法。

上面根据向量的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.三角形法则有两个步骤:①以表示向量的第一个有向线段的终点作为表示第二个向量的有向线段的起点;②第一条有向线段的起点到第二条有向线段的终点的有向线段表示的向量为两个向量的和向量。

2019-2020年高一数学必修3 2-3-2 两个变量的线性相关教案一、教学目标重点: 了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程．难点：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想．知识点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.能力点：探究体会数形结合的方法及最小二乘法的数学思想.教育点：学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的方式完成一个完整的数学学习过程.自主探究点：自学例2.考试点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.易错易混点：如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高. 拓展点：事件、样本数据、回归直线方程三者关系．二、复习引入【设计意图】为本节课学生能够更好的建构新的知识做好充分的准备，对旧的知识进行简要的提问复习，为能够顺利的完成本节课的内容提供必要的基础．【设计说明】学生动手操作得出散点图回答．【设计意图】通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛．【设计说明】设计该问题，引导学生自己发现问题，鼓励学生大胆表达自己的看法，充分暴露思维过程．发现：图1很乱，两个变量没有相关关系；图2呈上升趋势，图中点的分布呈条状，所有点都落在某一直线的附近，这样由图2自然地引出线性相关、回归直线的概念，同时引入课题．引入：为此我们引入今天的课题-回归直线及其方程．【设计意图】循序渐进，符合学生的认知规律．三、探究新知(一)探索回归直线的概念1.回归直线的定义：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．【设计意图】培养自学能力和数学阅读能力．【设计说明】让学生阅读教材，通过阅读教材学习线性相关，回归直线，回归方程的概念，并分析概念中应注意的问题．注意：概念的前提是点的分布在一条直线附近．(二)探索回归直线的找法结合引例—年龄与体内脂肪含量相关性的散点图观察，思考以下问题．问题1.对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？【设计意图】让学生通过观察、分析，自己发现回归直线的条数只有一条，从而培养学生观察、分析问题的能力．问题2.回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？【设计意图】让学生分析两者的关系，教师引导学生发现两者整体上最接近，以进一步培养学生观察、分析问题的能力．问题3.那么在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？【设计意图】让学生动手操作画回归直线，建立回归思想，以分解难点、突破难点，培养学生的动手操作能力．问题4.如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性．那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢？对于求回归直线方程，你有哪些想法？【设计意图】充分暴露学生的思维过程, 通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛,培养学生动脑思考问题的能力．【设计说明】结合教材，学生会出现以下方案．方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测出此时的斜率和截距，就是回归方程了．如图脂肪含量脂肪含量方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同．如图脂肪含量方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距，得回归方程．如图问题5.以上这些方法是不是真的可行？为什么？【设计意图】结合以上三个方案让学生画图，然后教师引导学生讨论、交流方案的可行性，体会回归直线的特征．【设计说明】教师先展示学生画图情况，学生说明理由；然后教师总结回归直线的特征：整体上看散点图中的点到此直线的距离最小．问题6.如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小”？【设计意图】这样设疑符合学生的认知规律，增强了学生的求知欲．【问题刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？【设计意图】几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．【设计说明】假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，，，．当自变量取时，可以得到，它与实际收集到的之间的偏差（如图）是．问题8.教师启发学生比较下列三个模型，哪个模型比较可行？模型一：最小模型二：最小模型三：最小【设计意图】先向学生说明的意义，体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程的过程，提高学生分析问题的能力；培养学生的动手操作能力．【设计说明】教师指出：模型一中可能有正有负，互相抵消怎么办？学生一般会想到加绝对值．模型二中去绝对值非常困难（可以提问，让学生思考），是否有其它的方法，同时可以类比方差的处理方法，引导学生思考．师生一起分析后，得出用模型三来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便．(三) 利用最小二乘法推导回归系数公式问题9.通过对上述问题的分析，我们知道可以用Q =最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标确定时，a ，b 等于多少，Q 能取到最小值呢？【设计意图】体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n 个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想．【设计说明】我们采用n 个偏差的平方和Q =2221122()()()n n y bx a y bx a y bx a --+--++--表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q =．通过化简，得到的其实是关于a 、b 的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a 、b ，使Q 取到最小值．教师指出：(1)在此基础上，视Q 为b 的二次函数时，根据有关数学原理分析，可求出使Q 为最小值时的b 的值的线性回归方程系数公式： 1122211()(),().n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎛--- == -- =-⎝∑∑∑∑这样，回归方程的斜率为，截距为，即回归方程为．(2)称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得．最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．四、理解新知例1.进一步探究引例—年龄与体内脂肪含量【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性．【设计说明】可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：、、、、、六个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．而后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成，得出回归直线方程为：．(2)利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程．【设计意图】让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握利用计算器求回归直线的操作方法．得出回归直线方程为：．【设计说明】学生独立运用计算器求回归直线方程，对于不会操作的学生，教师给予必要的指导．继续思考下列问题：问题1.请同学们从表格中选取年龄x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系．如：x=50时，得出估计值为28.3772，而实际值为28.2，有偏差为什么？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确只是的一个估计值，将x值带入后肯定有误差．问题2.试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量，并说明结果的含义．【设计意图】进一步理解线性回归方程的真正意义与作用．【设计说明】学生代入计算得20.883．教师进一步提问：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.883%？学生思考回答：不能，只能说他体内的脂肪含量在20.90%附近的可能性比较大．问题3.同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？【设计意图】明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念．【设计说明】教师说明回归直线方程由数据唯一决定，提供的数据不同，回归直线方程当然不同，同时回归直线方程又能反映数据的本质．理解回归系数公式思考1.线性回归方程为何不记为？你能说明对于确定的，根据计算出的的意义吗？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确只是的一个估计值．【设计说明】学生思考，教师帮助学生理解线性回归方程的意义与作用．思考2.这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求的值，你会按怎样的顺序求呢？【设计意图】公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．【设计说明】由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求时，必须要有条理，先求什么，再求什么．比如，我们可以按照、、、、、顺序来求，再代入公式．五、运用新知例2.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：1、画出散点图；2、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；3、求回归方程；4、如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。