第四章 正弦稳态相量分析(1)

第4章 正弦稳态电路分析--例题√【例4.1】已知两个同频正弦电流分别为()A 3314cos 2101π+=t i ，()A 65314cos 2222π-=t i 。

求（1）21i i +；（2）dt di 1；（3）⎰dt i 2。

【解】 （1）设()i t I i i i ψω+=+=cos 221，其相量为i I I ψ∠=∙（待求），可得：()()()()A54.170314cos 224.14A54.17014.24A 34.205.14 A1105.19A j8.665 A15022A 601021︒-=︒-∠=--=--++=︒-∠+︒∠=+=∙∙t i j j I I I（2）求dtdi 1可直接用时域形式求解，也可以用相量求解()()︒+︒+=︒+⨯-=9060314cos 23140 60314sin 3142101t t dt di用相量形式求解，设dt di 1的相量为K K ψ∠，则有 )9060(31406010314K 1K ︒+︒∠=︒∠⨯==∠∙j I j ωψ两者结果相同。

（3）⎰dt i 2的相量为︒∠=︒∠︒-∠=∙12007.0903********ωj I【例4.2】 图4-9所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表A 1的读数为5 A ，电流表A 2的读数为20 A ，电流表A 3的读数为25 A 。

求电流表A 和A 4的读数。

图4-9 例4.2图【解】 图中各交流电流表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模（有效值）。

显然，如果选择并联支路的电压相量为参考相量，即令V 0︒∠=∙S S U U ，根据元件的VCR 就能很方便地确定这些并联支路中电流的相量。

它们分别为：A 25 ,A 20 ,A 05321j I j I I =-=︒∠= 根据KCL ，有：()A095A 5A 457.07A 55324321︒∠==+=︒∠=+=++=j I I I j I I I I 所求电流表的读数为：表A ：7.07 A ；表A 4：5 A【例4.3】 RLC 串联电路如图4-12所示，其中R ＝15Ω，L ＝12mH ，C ＝5μF ，端电压u ＝1002cos （5000t ）V 。

图 10-23
这个公式称为n个阻抗串联时的分压公式。当两个阻
抗串联时的分压公式为
读者可以看出以上几个公式与n个电阻串联时得到的
公式相类似。
例10-11 已知图10-24(a)所示电路的u(t)=10 2 cos2t V, R=2, L=2H, C=0.25F。试用相量方法计算电路
中的i(t), uR(t), uL(t),uC(t)。
§10-5 正弦稳态的相量分析
在前两节中，已经推导出反映两类约束关系 的KCL、KVL和二端元件VCR的相量形式，它们
是用相量法分析正弦稳态电路的基本依据。本节
先介绍相量法分析正弦稳态电路的基本方法和主
要步骤，然后再用相量法分析阻抗串并联电路。
一、相量法分析正弦稳态的主要步骤
(一) 画出电路的相量模型 根据电路时域模型画出电路相量模型的方法是 1. 将时域模型中各正弦电压电流，用相应的相量表示， 并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，按照下 式计算出相应的电压电流相量。
下关系
图 10-25
以上计算结果表明n个导纳并联组成的单口网络，等 效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即
图 10-25
得到n个导纳并联的电压相量与纳中的电流相量与端口电流相量的关系为
图 10-25
这个公式称为n个导纳并联时的分流公式。常用的两
个阻抗并联时的分流公式为
相同，根据相量形式的基尔霍夫电压定律和欧姆定律得到
以下关系
图 10-23
图 10-23
以上计算结果表明n个阻抗串联组成的单口网络，就 端口特性来说，等效于一个阻抗，其等效阻抗值等于各串 联阻抗之和，即
图 10-23
n个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的关系为

•
U ab
•
Va
I sa Gaa
1
jX L 1
jX C 1
j5
j4 155.3 155.38 V
1 1 1
R jX L jX C
5 j5 j4
因为 •
•
•
•
•
•
U ab I1 . jX L U s1 I 2 .( jXC ) U s2 I 3 .R
则
•
•
•
I1
U s1 V a
1000
0
•
•
10090 I 3 .5 I 2 .( j4) 0 对以上方程求解得：
•
I1 49.94 74.98 A，
•
I 2 54.23139.4 A，
•
I 3 31.06 155.38 A。
（2）运用节点电位法求解
设b点为参考点，由弥尔曼定理可得
•
•
•
U s1 U s2
1000 10090
1．功率因数
由图5-54所示的功率三角形可知 cos P
S
式中 cos 称为功率因数，用 表示，即 cos ，而φ称为
功率因数角。功率因数表征了电能的利用率，当视在功率一定时，功 率因数越大，用电设备的有功功率越大，无功功率越小，电能利用率 越高。
2．提高功率因数的一般方法 实际应用中，功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载
5-52所示。
设 u＝ 2U sin(t ) ， i＝ 2I sint ，则该无源网络的瞬时
功率为 p ui＝ 2U sin(t ). 2I sint
＝2UI sin(t ).sint ＝UI cos UI cos(2t )

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（2）容性网络
I
R
+
U
j XC
-
U Z R j X C Z Z I 1 容性网络： X C C 0 tg 1 X C 0 Z R
Y G2 B2
B Y arctan G
Y
B
Y

2
Y
G
导纳三角形
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对同一二端网络，阻抗和导纳互为倒数：
1 1 Z ,Y Y Z
1 Z Y Y Z
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Y Y Y Y cosY j Y sin Y G jB
式中： R Re Z Z cos Z —导纳的电导分量
X Im Z Z sin Z —导纳的电纳分量
G R G2 B2 即 X B 2 2 G B
Z Y
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8.1.4 阻抗和导纳的串、并联
1. 阻抗的串联
I Z1
Z2
U
Zn
I
+ U -
2. 导纳的并联
I
I
Y1 Y2 Yn
+ U -
+ U -
Y