第4章 正弦稳态电路分析--例题√【例4.1】已知两个同频正弦电流分别为()A 3314cos 2101π+=t i ，()A 65314cos 2222π-=t i 。
求（1）21i i +；（2）dt di 1；（3）⎰dt i 2。
【解】 （1）设()i t I i i i ψω+=+=cos 221，其相量为i I I ψ∠=∙（待求），可得：()()()()A54.170314cos 224.14A54.17014.24A 34.205.14 A1105.19A j8.665 A15022A 601021︒-=︒-∠=--=--++=︒-∠+︒∠=+=∙∙t i j j I I I（2）求dtdi 1可直接用时域形式求解，也可以用相量求解()()︒+︒+=︒+⨯-=9060314cos 23140 60314sin 3142101t t dt di用相量形式求解，设dt di 1的相量为K K ψ∠，则有 )9060(31406010314K 1K ︒+︒∠=︒∠⨯==∠∙j I j ωψ两者结果相同。
（3）⎰dt i 2的相量为︒∠=︒∠︒-∠=∙12007.0903********ωj I【例4.2】 图4-9所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表A 1的读数为5 A ，电流表A 2的读数为20 A ，电流表A 3的读数为25 A 。
求电流表A 和A 4的读数。
图4-9 例4.2图【解】 图中各交流电流表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模（有效值）。
显然，如果选择并联支路的电压相量为参考相量，即令V 0︒∠=∙S S U U ，根据元件的VCR 就能很方便地确定这些并联支路中电流的相量。
它们分别为：A 25 ,A 20 ,A 05321j I j I I =-=︒∠= 根据KCL ，有：()A095A 5A 457.07A 55324321︒∠==+=︒∠=+=++=j I I I j I I I I 所求电流表的读数为：表A ：7.07 A ；表A 4：5 A【例4.3】 RLC 串联电路如图4-12所示，其中R ＝15Ω，L ＝12mH ，C ＝5μF ，端电压u ＝1002cos （5000t ）V 。
试求：电路中的电流i （瞬时表达式）和各元件的电压相量。
Cj ω1___∙∙∙图4-12 例4.3题图【解】 用相量法求解时，可先写出已知相量和设定待求相量，本例已知L R U U I V U、、， 0100∠=∙和∙CU 为待求相量，如图所示。
然后计算各部分阻抗：A A Z U I j Z Z Z Z j CjZ j L j Z eq c L R eqcL R ︒-∠=︒∠︒∠==Ω︒∠=Ω+=++=Ω-=-=Ω==Ω=13.53413.5325010013.5325)2015(4016015Z ωω 各元件电压相量为：V I Cj U V I L j U V I R U CLR︒-∠=-=︒∠==︒-∠==13.143160187.3624013.5360 ωω正弦电流i 为A t i )13.535000cos(24︒-=注意：本例中有U U U U C L >>，。
（思考：如果本例的电源频率可变，则等效阻抗)(Z ωj eq 会不会变为容性阻抗或电阻性阻抗？）【例4.4】 画出例4.3电路（图4-12所示电路）的相量图。
【解】 该电路为串联电路，可以相对于电流相量I 为参考，根据CL R U U U U ++=，画出电压相量组成的多边形。
画法如下。
由于串联电路中每个元件流过同一电流I ，所以可以先画出电流I 的相量，然后再根据各个元件上电压电流关系画出各自的电压相量，最后根据KVL ，画出端口电压U的相量，如图4-13所示。
各相量位置 相量相加（平移叠加） 图4-13 例题4.3题相量图【例4.5】 图4-14所示电路中的独立电源全部都是同频正弦量，试列出该电路结点电压方程和回路方程。
∙s U ∙_5∙U图4-14 例4.5题图【解】 如图取参考结点，则该电路的结点1、结点2电压方程为:533243133311231321)()(s s n n s s n n I U Y U Y Y U Y U Y U Y U Y U Y Y Y ∙∙∙∙∙∙∙∙+-=++-+=-++对于回路电流方程，如取顺时针方向的回路电流为21l l I I ∙∙、和3l I ∙（见图）为电路变量，则有：53354243342432121221210)()()(s l l l s l l l s l l I I U I Z Z I Z U I Z I Z Z Z I Z U I Z I Z Z ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙-==+++--=-+++-=-+【例4.6】 图4-15所示电路中，已知()V t u s ︒+=60314cos 2200，电流表A 的读数为2A ，电压表V 1、V 2的读数均为200V 。
求参数R 、L 、C ，并作出该电路的相量图。
图4-15 例4.6题图【解】 根据题意可设：V U s︒∠=60200 （已知），i I φ∠=2 A ，11200φ∠=U V ，22200φ∠=U V ，根据图4-15电路，可列写如下电压、电流关系和电路方程： ()()()i i L j R IUZ IU C j KVL φφωφφωφφ-∠=+==-∠==-∠+∠=︒∠1112221100100120020060200 依次求解上列方程，取一组合理解为：HL R F C i 159.06.8685.3190012021=Ω==︒=︒=︒=μφφφ运用相量图：已知：V U s ︒∠=60200 ，且U 1=U 2=200V ，21U U U s +=，所以三个电压的相量一定构成一个正三角形（有两个可能的正三角形）。
由于C Z Z Z +=1，流过同一电流，但电压幅值相等，所以有：C Z Z Z ==1，三个阻抗也一定构成一个正三角形。
取一个合理的可能，如图4-16所示。
1Z图4-16，例4.6题的相量图 根据该相量图可得：⎪⎩⎪⎨⎧Ω+=Ω︒∠=Ω-=Ω︒-∠=Ω-=Ω︒-∠=506.8630100506.8630100100901001j Z j Z j Z C ， 所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Ω=Ω=Ω=50,10016.86L C R ωω 得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⨯=H L F C 159.03145085.313141001μ√【例4.7】 图4-17（a ）中正弦电压50Hz 380==f V U s ，，电容可调，当F C μ95.80=时电流表A 的读数最小，其值为2.59A 。
求图中电流表A 1的读数。
1s U ∙(a)（b ）图4-17 例4.7题图【解】 方法一：当I 最小时，表示电路的输入导纳最小（或者阻抗最大），有 111L j R C j Y ωω++=当C 变化时，只改变Y 的虚部，导纳最小意味着虚部为零，∙∙I U s 与同相位。
设V 0380︒∠=∙s U ，则︒∠=∙059.2I ，而A j U C j I s C 66.9==∙∙ω，设，111φ∠=∙I I 则根据KCL 有1166.9059.2φ∠+=︒∠I j所以： ⎩⎨⎧=-=59.2cos 66.9sin 1111φφI I解得：AA I 10cos /59.27559.266.9arctan 111==︒-=⎪⎭⎫⎝⎛-=φφ 故电流表1A 的读数为10A 。
根据以上数据，还可以求得参数1R 和L 1，即 Ω︒∠==∙∙753811I U Z s故： Ω=84.91RmH H L 9.11631471.361==方法二：运用相量图：由于是感性支路，1I 始终滞后s U 一个角度，C I 始终超前sU 90°，所以可先定性画出电路的相量图，如图4-17（b ）。
当电容C 变化时，电流1I 始终不变，只改变C I 的大小。
由于C I I I +=1，所以，三个电流相量组成一个三角形。
由相量图可看出，只有C I 变化到使得I 和sU 平行且重合时，电流I 才最小。
此时，I 和sU 同相位，三个电流相量组成直角三角形。
此时，A CU I s C 66.93801095.803146=⨯⨯⨯==-ω， I =2.59 A所以电流表A 1的读数为：A 1066.959.222221=+=+=CI I I【例4.8】 图4-20电路是测量电感线圈参数R 、L 的实验电路，已知电压表的读数为50V ，电流表的读数为1A ，功率表的读数为30W ，电源的频率f =50Hz 。
试求R 、L 的值。
图4-20 例4.8题图【解】 根据图中3个表的读数，可以先求出线圈的阻抗：Ω==+=∠=50IUZ Lj R Z Z ωϕ由 ︒=⎪⎭⎫⎝⎛==13.5330arccos 30cos UI UI ϕϕ得： 解得：m HL R j Z 12716.314404030)4030(13.5350===Ω=Ω+=Ω︒∠=ω另外一种方法是利用功率表的读数表示电阻吸收的有功功率，即 302==R I P得： Ω=30R 而()，22Z L R ω+= 故可求得Ω=Ω-=40305022L ω，所以 mH ωL 1273144040===。
【例4.9】 求例4-8电路中线圈吸收的复功率S 。
【解】 根据电压、电流相量就可以计算复功率。
令A I V U︒-∠=︒∠=13.531050 ，则， 有 S VA j A V I U)4030(13.53 1050*+=︒∠⋅︒∠== 或者 VA j Z I S )4030(2+==。
可见线圈吸收有功功率30W ，吸收无功功率40Var 。
【例4.10】 图4-21（a ）所示电路，外加50HZ 、380V 的正弦电压，感性负载吸收的功率kW P 201=，功率因数6.01=λ。
若要使电路的功率因数提高到9.0=λ，求在负载的两端应并联的电容值（图中虚线所示）。
图4-21 例4.10题图【解】方法一并联电容C 不会影响支路1的复功率（设为S ），因为1∙∙I U 和都没有改变。
但是并联电容后，电容发出的无功功率“补偿”了电感L 吸收的无功功率，减少了电源提供的无功功率，从而提高了电路的功率因数。
并联电容C 前后补偿无功功率的关系如图4-10（b ）所示。
设并联电容电路吸收的复功率为S 。
电容吸收的复功率为C S ，则有并联电容前有：kVAj jQ P S k P Q kW P )67.2620(var 67.26tan 2013.53cos 1111111111+=+====︒==ϕϕϕλ，，并联电容后要求︒±===84.259.0cos 9.0ϕϕλ，，即，而有功功率没有变，故kVAj jQ P S k P Q )69.920(var69.9tan 11±=+=±==ϕ故电容的复功率var)36.36var(98.16j 1k j k S S S C--=-=或显然取较小的电容为好，ωC U Y U I U S CCCCC C22===** ,故有()uF F C 49.3743803141098.1623=⨯⨯=方法一中，并联电容前后的复功率中，有功功率并没有变化，变化的只是无功功率，所以也可以只计算将功率因数补偿到0.9时需要电容提供的无功功率来计算电容值。
