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§2.8 二维连续型随机变量例一参见课本第107页例1！ 补充：求)(X Y P ≤.解：联合密度函数：⎩⎨⎧>>=+−other y x e y x f y x ,00,0,2),()2(，()3122),()(03202=−===≤∫∫∫∫∫∞+−−≤∞+−−dx e edy e dx e dxdy y x f X Y P x xxy x y x .例二设二维随机变量),(Y X 的分布函数为：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=y x y x F arctan 22arctan 21),(2πππ，试求：（1）),(Y X 的概率密度),(y x f ；（2）),(Y X 的两个边缘概率密度； （3）)10,20(<<<<Y X P .解：（1）222211421),(),(yx y x y x F y x f +⋅+⋅=∂∂∂=π； （2）222242111421),()(x dy y x dy y x f x f X +⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅+⋅==∫∫∞+∞−∞+∞−ππ， 222211111421),()(y dx y x dx y x f y f Y +⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅+⋅==∫∫∞+∞−∞+∞−ππ； （3）16111421)10,20(102222=++=<<<<∫∫dy y dx x Y X P π，或者：)10,20(<<<<Y X P161164166166169)0,0()1,0()0,2()1,2(=+−−=+−−=F F F F . 例三平面上的区域A 如图所示（图参见课件），),(Y X 服从区域A 上的均匀分布，试求),(Y X 的 联合概率密度及两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y . 解：（1）区域A 的面积为：61)(102=−∫dx x x ， 由均匀分布的定义知联合概率密度为：⎩⎨⎧∉∈=Ay x A y x y x f ),(,0),(,6),(；（2）当10<<x 时，)(66),()(22x x dy dy y x f x f x xX −===∫∫∞+∞−，即⎩⎨⎧<<−=otherx x x x f X ,010,)(6)(2；（3）当10<<y 时，)(66),()(y y dx dx y x f y f y yY −===∫∫∞+∞−，即⎪⎩⎪⎨⎧<<−=othery y y y f Y ,010,)(6)(.例四设),(Y X 的概率密度是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<=−−other y x ye e y xf yy x,0,0,),( 试求：)|1(y Y X P =>. 解：当0>y 时，y yyxY e dx ye e dx y xf y f −∞+−−∞+∞−===∫∫),()(， 从而当0,0>>y x 时，y e e ye e yf y x f y x f y xyy yx Y −−−−===)(),()|(， 所求概率：yyxedx yedx y x f y Y X P 111)|()|1(−∞+−∞+====>∫∫.例五设),(Y X 的概率密度是⎩⎨⎧>>=+−other y x xe y x f y x ,00,0,),()( 试问：X 与Y 是否独立？ 解：当0>x 时，x y x X xe dy xe dy y x f x f −∞++−∞+∞−===∫∫)(),()(，即⎩⎨⎧≤>=−0,00,)(x x xe x f x X ，当0>y 时，yy x Y edx xe y f −∞++−==∫)()(，即⎩⎨⎧≤>=−0,00,)(y y e y f y Y ，从而)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=，故X 与Y 独立。
,.第七讲连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量 及其概率密度1=2,.)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)事实上}.{e ee )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到f (x )的图形:,.dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,de 22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u ttπσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}.（2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。
连续型随机变量的分布(一)连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为lo2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。
1)??f(x)M0??2)? j f(x)dx = \3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj)特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件)因此PQWXWb)二P(a<X<b)= P($WX<b) = P($<XW b)=F(b)-F(a)4)若f(0在点x处连续，则F\x) = /(x).分布函数性质i)0WF(x)Wl；ii)F(-oo)二0,F(+8)二1；iii)当xWx2时,Fg)WFg)；(单调性)注：iv)与离散型随机变量不同,易知 <P(—x) = 1-0(x) o0(X )即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X 〜N(0, 1),查表计算:(1) P(XW ； (2) P(X>； (3) P(|X|<.解⑴ P(XW 二①二(2) P(X> =1- P(XW =1-①= (3)P(|X|< =P<X< 二①-①=20-1二2X 二引理 若 X~N(〃,R),则 Z =兰二上 ~ N(0,l).<y证z=d 的分布函数为CTY _[(1-呼 P{Z <x) = P{-—<x} = P{X < “ + bx} =2/ dt ,by/lrrcr —性质：1•曲线关于x=“对称，这表明对于任意h>0有 P///-h<X<//}= P///<X <// + //}. 2.当x = “时，/(x)取到最大值：f (”)=丄(2)标准正态分布特别地，当“ = 0,b = 1时，称X 服从标准正态分布, 记为X 〜N(0.1)・相应的概率密度函数和分布函数分别记为>/2/rs=叫 lAz!卜①| 耳卜①(0.3)-①( — 0.5) = 0.6179 — [1-①(0.5)]= 0.6179-1+0.6915 = 0.3094.例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克，设每 包重量X (以克计)是随机变量,X~N(500, 25),求：(1)随机抽查一包，其重量大于510克的概率；(2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对 值在8克之内的概率；(3)求常数C,使每包的重量小于C 的概率为。
随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。
理解和掌握随机变量及其分布对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解相关知识点。
一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点对应到一个实数。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
例如，抛一枚硬币，出现正面记为 1，出现反面记为 0，这里定义的变量就是一个离散型随机变量。
二、离散型随机变量及其分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。
常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
例题 1：一批产品的次品率为 01，从中有放回地抽取 10 次，每次取一件，求抽到次品数 X 的概率分布。
解：这是一个二项分布问题，其中 n ＝ 10，p ＝ 01。
P(X ＝ k) ＝ C(10, k) × 01^k × 09^（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10知识点：二项分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) ，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。
例题 2：某商店每月销售某种商品的数量服从泊松分布，平均每月销售 5 件。
求每月销售 3 件的概率。
解：设每月销售的商品数量为 X，λ ＝ 5P(X ＝ 3) ＝（e^（－5) × 5^3) ／ 3!知识点：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ) × λ^k)／ k! ，其中λ 是平均发生的次数。
三、连续型随机变量及其分布连续型随机变量的取值是连续的区间。
常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布等。
例题 3：设随机变量 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，求 X 的概率密度函数。
解：概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a) ，a ≤ x ≤ b ；f(x) ＝ 0 ，其他。
连续型随机变量的分布（一）连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于任意的实数 x，有F ( x)xf(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量，的概率密度函数，简称概率密度。
注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。
2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。
1) f( x)≥ 0+f ( x) dx = 12) ò-x23)P{x1 < X ? x2}òx1f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 )特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0.（但 { X=x} 并不一定是不可能事件）因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X<b)= P( a≤ X<b) = P( a< X ≤b)=F(b)-F( a)4）若 f(x)在点 x 处连续，则 F (x) f (x).分布函数性质i) 0≤x)F(≤1；ii)F(- ∞ )=0,F(+∞ )=1；ⅲ) 当 x1≤x2时， F(x1) ≤ F(x2)；（单调性）iv)F(x)是连续函数注： iv) 与离散型随机变量不同，离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。
例1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+B arctanx,求（ 1）系数 A， B（2）P(-1<X<1)；（3）密度函数f( x)分析：主要是应用分布函数的性质。
解（ 1）由 F(- ∞)=0,F(+ ∞)=1得A B0A122解之，得1A B1B211（ 2）由 (1)知 F(x)=arctan x,2基本内容备注故得 P （ -1<X<1 ）=F(1)-F(-1) = 1 +1arctan1- (1 + 1arctan(- 1))2p 2 p=1 p - 1(- p) = 1p 4 p 4 2￠1 (- ?x < +)(3) f(x) = F ( x) =p(1+ x 2 )ì - 3x? , x > 0, 例 2设随机变量 X 的概率密度为?ke试确定常数 f (x) = í?x ￡0,?0,k ，并求其分布函数F(x)和 P{X>0.1}.+f (x) dx = 1得解： 由ò-+ ? f (x) dx =f ( x)dx +f (x)dx =+ke - 3x dx = k / 3 = 1,蝌-?òk = 3.ì- 3x>?, x 0,f (x) =?3eí?x ￡ 0.?0,当 x ￡ 0 时， F (x )x0dtx当 x > 0 时， F (x) =蝌-0dt +3e - 3t dt = 1- e - 3 xì- 3x>? -e, x 0,于是，?1F(x) = í?x ￡0.?0,P{X > 0.1} = 1- P{X ? 1}1- F (1)= 1-(1- e - 0.3 ) = e - 0.3 = 0.7408.（二）正态分布（ 1）设随机变量 X 的概率密度函数为1(x) 2f(x)e2 2,x ,2其中 , ( 0) 为常数，则称X 为服从参数为, 的正 态分布，记作X ~N(,2). 其图象为（右图） 。
其中： 称为位置参数，f (x) 的图形关于 x对称， 影响 f (x)的最大值及曲线的形状。
分布函数为基 本 内 容备 注x1 (t)2F (x)e 2 2dt 。
2性质：1.曲线关于 x对称，这表明对于任意h 0 有 P{ -hX } P{Xh}.2.当 x时， f ( x)取到最大值： f(1 .)2（ 2）标准正态分布特别地，当0, 1 时，称 X 服从标准正态分布，记为 X ~ N (0,1). 相应的概率密度函数和分布函数分别记为1 x 21 t 2(x)2 ，xe (x)e 2dt.22π易知( x) 1 (x) 。
(x) 即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例 3 设随机变量 X~N(0,1) ，查表计算：(1) P(X ≤ 2.5)； (2) P(X>2.5) ； (3) P(|X|<2.5).解 (1) P(X ≤ 2.5) = Φ(2.5) =0.993790(2) P(X>2.5) =1- P(X ≤ 2.5) =1- Φ(2.5) =0.006210 (3)P(|X|<2.5) =P(-2.5<X<2.5) = Φ (2.5)- Φ (-2.5) =2 Φ (2.5)-1=2×0.993790-1 =0.987580引理若 X~N( , 2),则 ZX ~ N (0,1).X -证Z 的分布函数为X1(t ) 2P{ Z x}P{ x}P{ Xx}x 22e 2dt ，令t1 xu 2Xu ，得e 2du( x)，可知 Z~ N (0,1).2基 本 内 容备 注于是，若 X ~ N(, 2 )，则它的分布函数 F (x) 可写成：F (x) P{ X x}P{Xx}(x).对于任意区间(x 1 ,x 2 ]，，有P{x 1 X x 2}P{x1X x 2}(x2)(x1).注： 可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
例如，设 X~N(1,4) ，则P{0 X 1.6}P{1 X 1 1.6 1}2 2 21.6 10 1(0.3)(0.5) 0.6179 [1(0.5)]220.6179 1 0.6915 0.3094.例 4 设某商店出售的白糖每包的标准全是500 克 ,设每包重量X( 以克计 )是随机变量 ,X~N(500,25), 求 :(1) 随机抽查一包 , 其重量大于 510 克的概率 ; (2) 随机抽查一包 , 其重量与标准重量之差的绝对值在8 克之内的概率 ;(3) 求常数 C,使每包的重量小于 C 的概率为 0.05。
解 : (1)P{ X510} 1 P{ X510} 1(510500)51(2) 1 0.9772 0.0228 (2) P{| X500 | 8}P{492 X508}508500 492 500()(5)5(1.6) ( 1.6) 2 (1.6) 1 2 0.9452-1 0.8904(3) 求常数 C ，使之满足 P{X<C}=0.05, 即C-500() 0.055由于 ( 1.645)0.05, 即C-5001.645, 得 C491.775.5例 5 某重点大学招收研究生 800 人，按考试成绩从高分至低分依次录取。
设报考该大学的考生共 3000 人，且考试成绩服从正态分布， 已知这些考生中成绩在 600 分以上的有 200 人，重点线（ 500 分）以下的 2075 人 , 问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？分析设学生考试成绩 X~N(,2) ，首先应求出及2之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解设学生成绩 X~N(,2)，由题设知应有P( X600) 200 0.06673000P( X500)2075 0.69173000从而得 1 ( 600) 0.0667,( 500 ) 0.6917即 (600) 0.9333 以及( 500)0.69176001.5450查表得解之得5001000.5故知， X~N( 450,1002 )又设该大学实录线为a ，由题设知：P( Xa)800 0.2667 即 1( a 450) 0.26673000100于是可得(a450 ) 0.7333100查表得a 450 0.623, 解之得 a512.3.100即是说该大学的实录线约为512 分。
（三） 对数正态分布定义： 若随机变量 X 的概率密度函数为1 (ln x )2f ( x)2 x e22其中，，0 为常数，则称X 服从参数为和的对数正态分布，记作X ~LN( ,2).对数正态分布的分布函数为x F ( x)1(ln t)2e 22dt x 0 2t若X ~LN( , 2),则P{ x1 X x2}(ln x2ln x1))(（四） Weibull 分布定义：若随机变量X 的概率密度函数为m (x ( x)mf ( x))m 1 e x0x其中， m,,0 为常数，则称X 服从参数为m, ,的 Weibull 分布，记作X ~ W (m, ,).Weibull 分布的分布函数为x m(t )m( x )mF (x))m 1e dt 1 e( x)(tm ——形状参数——位置参数——尺度参数Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：介绍了连续型随机变量的概念 , 连续型随机变量概率密度函数的概念及其性质 . 介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。
