讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布(2020年10月整理).pdf
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第七讲
连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布
3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布
设连续型随机变量X 具有概率密度
)5.4(,,
0,,1
)(⎪⎩⎪
⎨⎧<<−=其它b x a a
b x f
则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
X 的分布函数为
)6.4(.
,
1,,
,,0)(⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤−−<=b x b x a a b a x a x x F
（2）指数分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)7.4(,
,
0,0,e
1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=−其它x x f x θ
θ
其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.
容易得到X 的分布函数为
)8.4(.
,
0,0,1)(/⎩⎨
⎧>−=−其它x e x F x θ
如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有
第二章 随机变量及其分布
§4 连续型随机变量 及其概率密度
O
x f (x )1
2
3
123=1/3=1=2
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上
}.
{e e
e
)(1)(1}{}{}
{)}
(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===−+−=>+>=
>>⋂+>=>+>−−+−θ
θθ
性质(4.9)称为无记忆性.
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)
10.4(,,e
21)(2
22)(∞<<−∞=
−−
x x f x σμσ
π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为
μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).
显然f(x)≥0, 下面来证明
1d )(=⎰
+∞
∞
−x x f
令t x =−σμ/)(, 得到
dx e
dx e
t x 2
2)(22
22121−
∞
+∞
−−−
∞
+∞
−⎰
⎰
=
π
σ
πσμ
.
1d 21d 21
)
11.4(π
2d d e
,,
d d ,d e
2
2)(20
2
22
/)(2
2
/2
2
22
222==
====⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰∞
∞
−−
∞
∞
−−−∞
−
+∞∞−+∞
∞
−+−∞∞
−−x e
x e r r I u t e
I t I t x r u t t π
σ
πθσμπ
于是
得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:
f (x )的图形:
O
x
f (x )
=5
=5
0.266
0.3990.798
x O
f (x )
1.5
1
0.5
（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有
P{μ-h .π21 )(σ μ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。在x=μσ±处曲线有拐点。曲线以Ox 轴为渐近线。 X 的分布函数为 )12.4(,d e π21)(2 22)(⎰ ∞ −−− = x t t x F σ μσ 特别:当μ=0, σ= 1时称X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用ϕ(x)和 Φ(x)表示, 即有 ) 14.4(.d e π 21)() 13.4(,21 )(2 /2/22⎰∞ −−−=Φ= x t x t x e x π ϕ 易知 Φ(-x)=1-Φ(x) (4.15) 人们已经编制了Φ(x)的函数表, 可供查用(见附表2). 引理 若X~N(μ,2σ), 则)1,0(~N X Z σ μ −= 1F (x )0.5 x O 证明：的分布函数为σ μ −= X Z 得 令,, d e π21} {}{2 22)(u t t x X P x X P x Z P x t =−= +≤=⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧≤−=≤⎰ +∞ −−− σ μ σσμσμσμσμ ),(d e π 21 }{2 /2x u x Z P x u Φ== ≤⎰ ∞ −− 由此知Z~N(0,1). 若X~N(μ,2σ), 则它的分布函数F(x)可写成: ) ( )16.4(}{} {)(σ μ σ μ σ μ −Φ=−≤ −=≤=x x X P x X P x F 则对于任意区间(x1,x2], 有 )17.4(. }{122121⎪⎭ ⎫ ⎝⎛−Φ−⎪⎭⎫ ⎝⎛−Φ=⎭ ⎬ ⎫ ⎩⎨⎧−≤−<−=≤<σμσμσμσμσμx x x X x P x X x P 例如, 设X~N(1,4), 查表得 . 3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{=+−=Φ−−=−Φ−Φ=⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛−Φ−⎪⎭⎫ ⎝⎛−Φ=≤ 设X~N(μ,2σ), 由Φ(x)的函数表还能得到: P{σμ− 3223 68.26%95.44%99.74%