一类Fredholm-Volterra型积分方程的数值求解

一类卷积型Volterra积分方程解的存在性和吸引性张艳艳;简伟刚【摘要】根据非紧性测度和吸引性的定义,利用经典的Shauder不动点原理,对如下一类带有卷积型的Volterra积分方程:u(t)=p(t)+g(t,u(t))∫t0 a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+(1)进行了研究,其中a∈L1loc(R+)是标量核,函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件,得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2017(035)006【总页数】4页(P848-851)【关键词】Volterra积分方程;非紧性测度;Shauder不动点原理;一致局部吸引性【作者】张艳艳;简伟刚【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,330022,南昌;豫章师范学院自然科学系,330103,南昌【正文语种】中文u(t)=p(t)+g(t,u(t))a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+进行了研究，其中是标量核，函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件，得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解。

早在1985年，Deimling在文献[1]中研究了二次积分方程形如:x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t∈[0,1]的解的存在性和渐近稳定性。

2003年，Banas在文献[2]中将方程(2)中的t∈[0.1]的推广到了t≥0。

x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t≥0并研究了其解的存在性和渐近稳定性。

同年，Banas和Rzepka在文献[3]中给出了一致局部吸引性和渐近稳定性的概念一致。

在2008年，Banas和O′Regan在文献[4]中研究了包含式(3)在内的二次Volterra积分方程:x(t)=p(t)+ds,t≥0的解的存在性和吸引性。

在式(4)的基础上，本文将主要研究a(t)=·且0<α<1的情况。

一类含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式黄春妙;王五生【摘要】建立一类新的含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式,式中非线性函数没有要求单调性.为了给出未知函数的估计,采用单调化技巧,构造单调化序列,使得后一项比前一项具有更强的单调性.利用分析技巧,给出不等式中未知函数的估计.其结果可以用来研究相应类型的微分积分方程.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)003【总页数】6页(P382-387)【关键词】Volterra-Fredholm型积分不等式;求最大运算;迭代积分;分析技巧【作者】黄春妙;王五生【作者单位】河池学院数学与统计学院,广西宜州546300;河池学院数学与统计学院,广西宜州546300【正文语种】中文【中图分类】O175.5Gronwall－Bellman不等式［1－2］是研究微分方程、积分方程解的存在性、有界性、稳定性、唯一性和不变流型等定性性质的重要工具.在过去几十年，数学工作者出于各种研究目的建立了大量既有用又有趣的积分不等式(参见文献［3－16］及其参考文献).B.G.Pachpatte［3］为了研究Volterra－Fredholm型积分方程解的性质，建立了具有时滞的线性Volterra－Fredholm型积分不等式Q.Ma等［5］研究了具有时滞的非线性Volterra－Fredholm型积分不等式A.Golev等［6］讨论了具有最大运算的初值问题为了研究这个问题解的性质，需要建立一种具有最大运算的积分不等式作为研究它的工具.最近，J.Henderson等［7］研究了下面的具有最大运算的积分不等式Y.Yan［8］进一步研究了下面的较为复杂的具有最大运算的积分不等式本文受文献［5，8］的启发，讨论了一个新的具有最大运算的时滞非线性多重积分不等式式中k、h是正常数.(4)式没有要求φi(i=1，2，3)具有单调性，为了给出未知函数的估计，文中首先采用了单调化技巧，构造单调化序列，使得后一项比前一项具有更强的单调性.即利用非单调函数φi(z)构造出单调函数wi(z)，并且w2(z)/w1(z)，w3(z)/ w1(z)，w3(z)/w2(z)也都是单调函数.然后利用变量替换技巧、不等式放大技巧、微分积分技巧、逆函数技巧、常量与变量的辩证关系，给出了不等式中未知函数的估计.最后利用不等式的研究结果给出了具有最大运算的Volterra－Fredholm时滞积分方程解的估计.约定R表示实数集合，R+=［0，+∞)，I=［t0，T］;C(M，S)和C1(M，S)分别表示定义于集合M，取值于集合S的所有连续函数的集合和所有连续可微函数的集合.α'(t)表示函数α(t)的导函数.定理1假设fi(t)，hi(t)∈C(I，R+)，i=1，2，3.假设α∈C1(I，I)是不减函数，且满足对任意t∈I有α(t)≤t;φ、φi都是R+上的函数，φ是严格增函数，且满足φ(t)=∞，对任意t＞0，φi(t)＞0.如果是严格增函数.假设H2(u)=0在［k，∞)上有一个解c.如果u(t)满足不等式(4)，那么u(t)有估计式其中－(i=1，2，3)和分别是Wi和H2的逆函数.证明令u(t):=φ(v(t))，则v(t)=φ－1(u (t)).由(4)式推出根据(10)～(12)式，可以看出wi(i=1，2，3)是连续、非负、单调不减函数，且满足关系式还满足wi+1(s)/wi(s)，i=1，2也是单调不减函数，即文献［14］中定义的比较单调性从(7)～(9)式看出函数Wi(i=1，2，3)是严格增函数，它们的逆函数存在，也是连续的增函数.由(10)～(12)和(13)式推出令z1(t)表示不等式(15)的右端，则它是区间I上正的不减函数.由不等式(15)得到求函数z1(t)的导函数，利用(16)式得不等式(18)两边同除w1(z1(t))得到先把不等式(19)中的t替换成τ，然后不等式(19)两边从t0到t进行积分，得到T1是任意选取的，W1由(7)式定义.令z2(t)表示不等式(20)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(20)式推出求函数z2(t)的导函数，利用(21)式和函数z2、W－11、w2/w1、w3/w1的单调性以及函数α的性质得到不等式(23)两边同除得到由(24)式推出令z3(t)表示不等式(25)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(25)式看出求z3(t)的导数，利用(26)式得对任意t∈［t0，T1］都有不等式(28)两边同除w3(W－11(W－12(z3(t))))/ w2(W－11(W－12(z3(t))))得积分不等式(29)两边得综合(21)、(26)和(30)式得到把(22)和(27)式代入(31)式得到由于T1是任意选择的，故由(32)式可以得到另一方面，由(17)式和z1的定义有由(33)和(34)式推出即根据H2的定义和定理1的假设，由(35)式得到由于定理假设H2是增函数，从上式看出z1(t0)＜c.把z1(t0)＜c代入(32)式，利用关系式(16)得到所求的估计式(6).现在考虑时滞Volterra－Fredholm型积分方程推论1假设β(t)∈C1(I，I)是严格增加的函数，且满足β(t)≤t.假设|x0|，h是正常数，x∈C(I，R).假设F1∈C(I×R2，R)，F2∈C(I×R，R)满足下列条件其中，f1(s)、h1(s)、h2(s)、φ1(s)和φ2(s)满足定理1的要求.假设函数是严格增函数，H3(t)=0有解c＞|x0|.如果x(t)是方程(36)和(37)在I上的解，那么有方程解的模的估计式其中，W1、W2、和与1中的定义相同.证明利用条件(38)和(39)，由方程(36)和(37)推出由于(42)式具有不等式(4)的形式，且满足定理1中的相应条件，利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估计式(41).【相关文献】［1］GRONWALL T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations［J］.Ann Math，1919，20:292－296.［2］BELLMAN R.The stability of solutions of linear differential equations［J］.Duke Math J，1943，10:643－647.［3］PACHPATTE B G.Explicit bound on a retarded integral inequality［J］.Math Inequal Appl，2004，7:7－11.［4］AGARWAL R P，DENG S，ZHANG W.Generalization of a retarded Gronwall－like inequality and its applications［J］.Appl Math Comput，2005，165:599－612.［5］MA Q，PECARIC J.Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra－Fredholm type integral inequalities［J］.Nonlinear Anal，2008，69:393－407.［6］GOLEV A，HRISTOVA S G，RAHNEV A.An algorithm for approximate solving of differential equations with maxima［J］.Comput Math Appl，2010，60(10):2771－2778. ［7］HENDERSON J，HRISTOVA S G.Nonlinear integral inequalities involving maxima of unknown scalar functions［J］.Math Comput Model，2011，53:871－882.［8］YAN Y.Nonlinear Gronwall－Bellman type integral inequalities with maxima［J］.Math Inequal Appl，2013，16(3):911－928.［9］吴宇，邓圣福.一类弱奇性Volterra积分不等式的推广［J］.四川大学学报(自然科学版)，2004，41(3):472－479.［10］吴宇.关于一类弱奇性Volterra积分不等式的注记［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2008，31(5):534－537.［11］周俊.关于一个积分不等式组的讨论［J］.四川大学学报(自然科学版)，2009，46(1):21－25. ［12］王五生，李自尊.一类新的非线性时滞积分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(2): 180－183.［13］侯宗毅，王五生.非线性三变量差分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2015，38(4):514－517.［14］PINTO M.Integral inequalities of Bihari－type and applications［J］.Funkcial Ekvac，1990，33:387－430.［15］王胜军，窦井波.Greiner算子在R2n+1上的Poin caré不等式及Hardy－Sobolev不等式［J］.广西师范大学学报(自然科学版)，2012，30(1):29－34.［16］黄裕建.Pachpatte离散不等式的一个推广［J］.重庆师范大学学报(自然科学版)，2013，30(4):99－103.。

Volterra 积分方程的蒙特卡罗数值求解方法洪志敏;闫在在【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2016(036)002【摘要】本文讨论了第一类、第二类以及具有奇异核的Volterra积分方程的数值解问题。

利用重要抽样蒙特卡罗随机模拟方法获得积分方程解的近似计算结果。

通过对文献中算例的实现表明文中所提方法扩展了Volterra型积分方程的数值求解方法。

%In this paper, a numerical algorithm is concerned for solving approximate solutions of Volterra linear integral equations of the first kind, second kind and even singular type with the random sampling. By using important sampling Monte Carlo method, we obtain the approximation solution of integral equations. The present method of this article can provide a reliable choice for the initial solution of integral equations.【总页数】12页(P425-436)【作者】洪志敏;闫在在【作者单位】内蒙古工业大学理学院，内蒙古呼和浩特 010051;内蒙古工业大学理学院，内蒙古呼和浩特 010051【正文语种】中文【中图分类】O175.5【相关文献】1.利用蒙特卡罗方法与拟蒙特卡罗方法计算定积分 [J], 韩俊林;任薇2.数值求解一类高阶线性Volterra积分微分方程的Tau方法 [J], 张阳3.一类Fredholm-Volterra型积分方程的数值求解 [J], 闵涛;晏立刚;陈星4.线性Legendre多小波求解第一类Volterra积分方程数值解 [J], 韩惠丽;朱莉5.基于块脉冲函数求解第一类Volterra积分方程的数值分析 [J], 张宇佳;张婷婷;梁慧因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。