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积分方程的基础概念解析1. 积分方程简介积分方程是一种数学方程，其中未知函数出现在积分号内。
积分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学和其他领域。
积分方程的一般形式为：K(x,y)+λf(x)=g(x)其中，K(x,y)是积分核，λ是参数，f(x)是未知函数，g(x)是已知函数。
2. 积分方程的分类积分方程根据积分核的不同，可以分为两类：•第一类积分方程：积分核只依赖于自变量x和y，与未知函数f(x)无关。
•第二类积分方程：积分核不仅依赖于自变量x和y，还依赖于未知函数f(x)。
3. 积分方程的求解方法积分方程的求解方法有很多种，常用的方法包括：•直接求解法：直接求解法是将积分方程化为一个代数方程或常微分方程，然后求解这个方程。
•迭代法：迭代法是一种数值求解方法，通过不断迭代来逼近积分方程的解。
•变分法：变分法是一种求解泛函极值的数学方法，也可以用来求解积分方程。
4. 积分方程的应用积分方程在物理学、工程学、经济学和其他领域有着广泛的应用，例如：•热传导问题：积分方程可以用来求解热传导方程。
•电磁学问题：积分方程可以用来求解电磁场方程。
•流体力学问题：积分方程可以用来求解流体力学方程。
•经济学问题：积分方程可以用来求解经济模型。
5. 积分方程的理论研究积分方程的理论研究是一个活跃的研究领域，目前已经取得了许多重要的进展。
积分方程的理论研究对积分方程的求解方法以及积分方程在各个领域的应用都有着重要的指导意义。
6. 结论积分方程是一种重要的数学方程，在物理学、工程学、经济学和其他领域有着广泛的应用。
积分方程的求解方法有很多种，常用的方法包括直接求解法、迭代法和变分法。
积分方程的理论研究是一个活跃的研究领域，目前已经取得了许多重要的进展。
积分号下含有未知函数的方程。
其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。
积分方程起源于物理问题。
牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。
1823年，N.H.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。
“积分方程”一词是 P.du B.雷蒙德于1888年首先提出的。
19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。
从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。
1899年，弗雷德霍姆在给他的老师（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程, (1)式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在区域0 ≤x，y≤1上连续的已知函数；ψ(x)是在区间0≤x≤1上连续的已知函数。
并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。
1900年，弗雷德霍姆在其论文中把（1）称为“积分方程”, 并初次建立了K（x,y）的行列式D(λ)和D（x,y,λ）,证明了它们都是λ的整函数, 以及当λ是D(λ)的一个零点时, 则(1)的齐次方程φ有不恒等于零的解。
1903年，他又指出，若行列式D(1)≠0,则有一个且只有一个函数φ(x)满足方程(1)(λ=1)，此时φ(x)可表为从此，积分方程理论的发展进入了一个新的时期。
以下形式的积分方程, (2), (3), (4)分别称为第一种、第二种、第三种弗雷德霍姆积分方程，其中K(x,y)是在区域α≤x、y≤b 上连续的已知函数,称为方程的核;A(x)、ψ(x)都是在区间α≤x≤b上连续的已知函数，φ(x)是未知函数，λ是参数。
第一、二种弗雷德霍姆积分方程是第三种弗雷德霍姆积分方程的特殊情形。
但是，第一种方程与第二种方程却有本质上的区别。
一元函数积分学总结引言积分是微积分学中的重要概念之一，它与微分一样具有重要的应用价值。
一元函数积分学是微积分学的核心内容之一，其研究对象是一元函数的积分与求解。
本文将总结一元函数积分学的基本概念、性质、计算方法以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用一元函数的积分学知识。
一元函数积分的基本概念一元函数积分的基本概念包括不定积分和定积分。
不定积分是指对一元函数进行积分，得到的结果是一个与变量x相关的函数表达式。
定积分是指对一元函数在一个区间内进行积分，得到的结果是一个数值。
不定积分的性质不定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以利用不定积分的基本公式进行积分运算。
此外，不定积分还具有相应的积分表，包括多种函数的不定积分表和常见函数的不定积分表。
定积分的性质定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以通过分割区间，将定积分转化为多个小区间上的定积分，从而进行计算。
定积分还具有保号性、中值定理等重要性质，这些性质在实际应用中起到了重要的作用。
一元函数积分的计算方法一元函数积分的计算方法主要包括换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等。
这些方法可以根据具体的积分问题选择合适的方法进行计算，从而简化计算过程。
换元积分法换元积分法是一种通过引入新的变量来进行积分的方法。
通过选择合适的换元公式，可以将原积分化简为简单的标准积分形式，从而进行计算。
分部积分法分部积分法是一种通过对被积函数进行分部积分来进行积分的方法。
通过选择合适的分配律，可以将原积分转化为两个函数的乘积的积分形式，从而进行计算。
有理函数积分法有理函数积分法是一种通过将有理函数进行部分分式分解来进行积分的方法。
通过分解成简单的分式形式，可以利用不定积分的基本公式进行计算。
有理函数积分法适用于有理函数的积分，可以将复杂的积分问题化简为简单的有理函数积分。
一元函数积分的应用一元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
积分方程知识点总结归纳一、积分方程的基本概念1. 积分方程的定义：积分方程是指自变量的函数与其导数之间的关系式，其中未知函数出现在积分式中。
2. 积分方程的类型：积分方程可以分为线性积分方程、非线性积分方程、微分-积分方程等多种类型。
3. 积分方程的一般形式：积分方程的一般形式可以表示为\[ \int{f(x,y,y')dx}=F(x,y,y')+C \]其中\(f(x,y,y')\)为给定函数，\(F(x,y,y')\)为未知函数，C为常数。
二、积分方程的解法1. 积分法：对积分方程进行积分，求解未知函数。
2. 变量代换法：通过合适的变量代换，将积分方程转化为更简单的形式进行求解。
3. 分离变量法：针对特定类型的积分方程，可以将方程中的变量分离在不同的方程中进行求解。
4. 特殊积分方程的解法：对于某些特殊形式的积分方程，如可分离变量、齐次积分等形式，可以采用特殊的解法进行求解。
三、积分方程的实际应用1. 物理问题：在物理学中，经常会遇到某些量的变化关系可以用积分方程描述，如经典力学、电磁学等。
2. 生物学问题：在生物学中，很多生物的生长、繁殖等过程可以用积分方程进行描述和分析。
3. 工程问题：在工程领域中，很多实际问题也可以转化为积分方程求解，如弹性力学、流体力学等。
4. 经济问题：在经济学中，也有很多问题可以用积分方程进行描述和求解，如经济增长模型、资源分配等。
四、积分方程的应用举例1. 弹簧振子问题：弹簧振子的运动可以用积分方程进行描述和求解，求得弹簧振子的位移和速度随时间的变化规律。
2. 人口增长问题：人口增长可以用积分方程进行描述，求解不同增长率下的人口变化规律。
3. 水桶倒水问题：水桶倒水的速度和水位变化可以用积分方程进行描述，求解不同倒水速率下的水位变化规律。
4. 物体自由落体问题：物体自由落体的速度和位移变化可以用积分方程进行描述，求解物体的运动规律。
计算机应用基础积分方程及应用常用文档在当今数字化的时代，计算机应用已经深入到我们生活和工作的方方面面。
其中，积分方程作为数学领域的一个重要分支，在计算机应用中也有着广泛而重要的应用。
本文将为您介绍计算机应用基础中的积分方程及其常见应用，帮助您更好地理解这一重要的数学工具。
一、积分方程的基本概念积分方程是指含有未知函数的积分式的方程。
它与微分方程一样，是数学物理方程中的重要类型。
积分方程可以分为线性积分方程和非线性积分方程。
线性积分方程又可以进一步分为第一类弗雷德霍姆积分方程、第二类弗雷德霍姆积分方程和沃尔泰拉积分方程。
第一类弗雷德霍姆积分方程的形式为：＼＼int_{a}＾｛b} K(x, t) ＼varphi(t) dt ＝ f(x)＼其中＼（K(x, t)＼）称为积分核，＼（＼varphi(t)＼）是未知函数，＼（f(x)＼）是已知函数。
第二类弗雷德霍姆积分方程的形式为：＼＼varphi(x) ＋＼lambda ＼int_{a}＾｛b} K(x, t) ＼varphi(t) dt ＝ f(x)＼沃尔泰拉积分方程与弗雷德霍姆积分方程的区别在于积分区间是可变的。
二、积分方程的求解方法求解积分方程的方法多种多样，常见的有数值解法和解析解法。
数值解法包括有限差分法、有限元法和蒙特卡罗方法等。
有限差分法是将积分方程转化为差分方程，通过迭代求解。
有限元法则是将求解区域划分为有限个单元，通过求解单元上的方程来逼近原方程的解。
蒙特卡罗方法则是基于随机抽样的思想来求解积分方程。
解析解法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
傅里叶变换法将积分方程在频域中进行求解，然后通过逆变换得到时域的解。
拉普拉斯变换法则是将积分方程在复频域中求解。
三、积分方程在计算机应用中的常见应用1、图像处理在图像处理中，积分方程常用于图像去噪、图像恢复和图像分割等方面。
例如，在图像去噪中，可以通过建立积分方程来描述图像的噪声模型，然后求解方程得到去噪后的图像。
微积分中的积分变换和积分方程理论在微积分中，积分变换和积分方程理论是重要的概念和工具。
它们在解决实际问题、计算函数积分以及解决微分方程等方面具有广泛的应用。
本文将着重介绍微积分中的积分变换以及积分方程理论的基本概念和应用。
一、积分变换1.1 定义和概念积分变换是微积分中的重要概念，它可以将函数从一个域转换到另一个域。
常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等。
通过对函数进行积分变换，我们可以将原函数变换成一个新的函数，从而简化问题的处理和求解。
1.2 拉普拉斯变换1.2.1 定义和性质拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的方法，它在信号处理和控制理论中具有广泛的应用。
拉普拉斯变换可以将函数转换成一个复变量的函数，从而简化函数的运算和分析。
1.2.2 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在电路分析、信号传输和控制系统等领域中有着重要的应用。
通过将函数进行拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转换成代数方程，进而求解系统的零极点和稳定性等问题。
1.3 傅里叶变换1.3.1 定义和性质傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的积分变换方法。
它在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
傅里叶变换可以将函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，从而分析函数的频谱特性。
1.3.2 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理、图像处理和通信系统等领域中具有重要的应用。
通过将函数进行傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特性、降噪和滤波等问题。
1.4 Z变换1.4.1 定义和性质Z变换是一种对离散函数进行积分变换的方法，它在数字信号处理和控制系统中有着重要的应用。
Z变换可以将差分方程转换成代数方程，从而求解离散系统的稳定性和频率响应等问题。
1.4.2 Z变换的应用Z变换在数字滤波、离散控制和数字信号处理等领域中具有广泛的应用。
通过对离散函数进行Z变换，我们可以分析系统的稳定性、频率响应和滤波效果等问题。
二、积分方程理论2.1 定义和概念积分方程是微积分中的重要概念，它是包含未知函数和积分的方程。
大一高数笔记第一章知识点在大一的高数课程中，第一章通常是引入微积分的基本概念和方法。
这一章的知识点对于整个高数学习过程非常重要，因此在这里我将分享一些我认为最关键的内容。
一、函数的概念和性质函数是数学中一个非常基本的概念。
在第一章中，我们首先学习了函数的定义和性质。
函数描述了一种变量之间的关系，通常用一个字母来表示，例如f(x)。
函数可以有不同的表示形式，比如显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
函数的性质有很多，其中最重要的是定义域、值域和图像。
定义域是指函数可取的自变量的值的范围，值域是指函数的所有可能的取值，而图像是函数在坐标系上的表示。
理解了这些性质，我们就可以更好地掌握函数的本质和特点。
二、数列的概念和分类数列是函数的一种特殊形式，它描述了一系列数字的排列。
数列也有不同的分类，最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指每一项与前一项的差值都相等的数列，这个差值称为公差。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an= a1 + (n-1)d。
等比数列则是指每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an = a1 * r^(n-1)。
掌握了这两种数列的性质和求和公式，我们可以更好地解决实际问题中的数学计算。
三、极限的定义和性质极限是微积分中的核心概念，也是我们学习高数的重要环节。
在第一章中，我们首次接触了极限的概念和相关的性质。
极限描述了函数在无限接近某一点时的行为。
一个函数f(x)在x趋近某一值a时，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x) = L。
在计算极限时，我们要关注函数的局部行为和整体趋势。
常见的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法等。
掌握这些计算方法，对于我们理解函数的性质和推导数学公式非常有帮助。
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
积分学基础知识讲解一、积分的引入在微积分中，积分是求曲线下面的面积的方法。
我们可以将曲线上的点坐标进行连接，形成许多小矩形，然后求得这些小矩形的面积之和即可得到曲线下面的面积。
二、定积分的定义定积分是一种特殊类型的积分，用于计算已知函数在给定区间内的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分为n个小区间，并在每个小区间选取一个点ξi。
则定积分的定义可以表示为：∫[a, b]f(x)dx = limΔx→0 Σf(ξi)Δxi其中Σf(ξi)Δxi表示对每个小区间中的函数值乘以小区间长度的总和，Δx为小区间的长度。
三、定积分的计算定积分的计算可以通过不同的方法进行，如：几何法、分割法和换元法等。
1. 几何法几何法是通过计算图形的面积来求解定积分。
将函数f(x)与x轴所围成的图形划分为多个几何图形，如三角形、矩形等，然后计算各个几何图形的面积之和即可得到定积分的值。
2. 分割法分割法是将积分区间[a, b]分为n个小区间，然后利用求和的方式逼近定积分。
对于每个小区间，可以选择左端点、右端点或者区间中点作为代表点，然后计算各个小区间代表点所对应的函数值乘以小区间长度的总和即可得到定积分的数值。
3. 换元法换元法是通过引入新的变量来简化定积分的计算。
根据变量替换的不同，可以有几种常见的换元法，如：代入法、分部积分法和三角代换法等。
四、不定积分的定义不定积分是积分的逆运算，表示通过求导运算求得原始函数（或称为原函数）。
不定积分的定义可以表示为：∫f(x)dx = F(x) + C其中F(x)是函数f(x)的原函数，C为常数。
五、不定积分的计算不定积分的计算可以通过反向思考定积分的计算过程来进行。
1. 基本积分法基本积分法是指通过查表或者记忆求得常见函数的不定积分。
常见的函数积分包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
2. 分部积分法分部积分法是一种通过对积分进行适当分解，然后运用积分的性质来简化积分计算的方法。
第一篇积分方程第一章方程的导出和基本概念§1.1 方程的导出许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述，而求解常微分方程和偏微分方程的定解问题常常可转化为求解积分方程的问题。
下面举几个典型的问题作为例子，扼要地阐明导出积分方程的方法以及微分方程与积分方程之间的联系。
例1 ：弹性弦负荷问题一根轻且软的弹性弦，长为1,两端固定，如图所示，静止时与x轴重合, 弦内张力为T0 .今在其上加以强度为(x)的负荷.设在任一点M (横坐标为x)弦的位移y(x)已知.试确定(x),图i.i解：在任一点x 处取微小的一段弦d ,则作用于其上的重力为()d ,记之为F0,则这一重力F0必引起弦的形变，记处位移为S,则：T o sin i T o sin 2 F0,因为T o (x),所以1, 2 14 s •Ssin 1tan 1— ,sin 2S s所以T o - T o -一F0,得S P o (^^T o I•Ip记P 0引起的x 处位移为y (x), 则0 x 时,P)(l )T o Ix 1时‘七l1x,0 T o I I xT o I， 则 y (x) G(x, )P o ,y (x) G(x, ) ( )d对从o 到I 求积分, *y y (x) P)(l x)T o I记：G(x,)x x I.y(x) 0 G(x, ) ( )d .这就是负荷(X)满足的方程，是一个积分方程.例2 商场库存配送问题.商场销售某商品时,必须保持一定的库存总量A ,商场进货进入该商品后所进货物在时刻t 尚未售出概率为k(t).问商场应以什么样的速度(t )进货以保持稳定的库存量A.解开始营业时，库存为A,随后以速度(t)进货,考虑时刻t时的库存在任一小区间, d ] [0,t],d 时刻内进货为()d .到时刻t为止，这些货还剩k(t ) ( )d .所以时刻t 时,商品还剩：tAk(t) 0k(t ) ( )d .故tA Ak(t) 0k(t ) ( )d .例3 AbeI问题(等时线问题)一质点在重力作用下，在铅直平面自由地沿某曲线光滑地下滑，定此曲线的形状，以使此点从任一高度h 开始下滑到达x轴所用的时间为已知值f(h).图1.2y 解设此点落到任一高度，则 1mv 2mg(h y). 2v J2g(h y).记为过y 点的曲线的切线与x 轴夹 ddy J2g(h y) sindt v2g(h y) sindt 总hi 从0 h积分显然,定出曲线上任一点切线与 x 轴的夹角即相当于定出曲线.上式 可看成求曲线方程的积分方程 例4人口问题.记(y) 1 si(y) v2g(h y)dy f(h).设初始时人口总数为n0. f (t) 为生存函数,表示t 0 时出生的人到时刻t时的生存率，如图1.3所示.由于小孩出生,人口增加,设小孩出生率为(t). 此出生率与当时总人口数n(t)成正比，即(t) k n(t).取[0,t]任一微元区间[ ，d ] .则在此时段出生小孩为k n( ) d •到时刻t时，还存在的为f (t ) [k n( ) d ].故由于出生，到t时为止增加的人口为：t0 f(t ) k n( ) d .t 0时人口n o到时刻t还存在的为f (t)坯,得tn(t) n0 f(t) k 0 f(t ) n( )d例5偏微分方程的边值问题在寻求偏微分方程定解问题的解时，常常也可将方程和边界条 件包含在积分方程内，把解边值问 题化为求解积分方程问题。
积分方程知识点总结一、积分方程的基本概念1. 积分方程的定义积分方程是指未知函数与它的一个或多个导数及积分的关系式。
通常情况下，积分方程可以表示为\[ \int_{a}^{x}K(x,t) f(t)dt = F(x) \]其中，K(x,t)为已知函数，f(t)为待求函数，F(x)为已知函数。
2. 积分方程的分类积分方程可以分为线性积分方程、非线性积分方程和延拓方程等多种类型。
其中，线性积分方程是指未知函数的线性组合等于已知函数；非线性积分方程是指未知函数和它的导数之间存在非线性关系；延拓方程是指未知函数在某一区间上的值与其在另一区间上的值存在关联。
3. 积分方程的解的存在唯一性对于一般的积分方程，其解的存在唯一性需要根据具体的条件来确定。
通常情况下，需要利用积分方程的综合性质和特殊的解法来判断解的存在唯一性。
二、积分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是求解一阶可分离变量型积分方程的基本方法，它是把未知函数分离成两个单独的变量，以便分别对两边积分。
2. 微分递归法微分递归法是求解线性微分方程组的一种常用方法，通过对方程组中的每个方程进行积分处理，并得到求解微分方程组的通解。
3. 变量替换法变量替换法是求解积分方程中的非线性积分方程的一种有效方法。
通过合理的变量替换和积分变换，将原方程化为更简单的形式，以便求解。
4. 直接积分法直接积分法是对一般的积分方程进行积分操作，从而得到待求函数的解。
通常情况下，需要利用积分方程的特定性质和解法来进行积分计算。
5. 应用方法积分方程的解法还包括了数种特定的应用方法，如变分法、特征函数法等。
三、积分方程的应用1. 物理学在物理学中，积分方程常常用于描述物理现象和定律。
比如，热传导方程、扩散方程、波动方程等均可以用积分方程来描述。
2. 工程学在工程学中，积分方程常常用于解决各种相关问题。
比如，在电路中，可以利用积分方程来描述电流和电势之间的关系；在控制系统中，也可以利用积分方程来描述系统的动态特性。
一元积分学的概念与计算一、考试内容原函数、不定积分、定积分、反常积分的概念 基本积分公式 牛一莱 (N 一L)公式 积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数的积分 定积分的对称奇偶性 分段函数的积分 积分变限函数（一）原函数存在与可积条件[,]a b 上的连续函数()f x 必有原函数()(),[,]xa F x f t dt C x ab =+∈⎰，且在[,]a b 上可积；(,)a b 内的连续函数()f x 必有原函数()F x ，但在(,)a b 内不一定可积，如a 或b 为暇点； 无界区间内的连续函数()f x 必有原函数()F x ，但在无界区间内不一定可积；定义在区间I 内的函数()f x ，若存在第一类间断点或暇点，必无原函数，但也许可积，如定义在[,]a b 上的函数()f x 存在有限个第一类间断点，则在[,]a b 上可积. （二）微积分基本关系()()()()dF x f x dx f x dx F x C =⇔=+⎰，()(),()(),d f x dx f x dx df x f x C ==+⎰⎰ ()f x 在[,]a b 上连续，则()(),xa f x dx f t dt C =+⎰⎰()[()],b b a af x dx f x dx =⎰⎰()()()(())'()(())()(),(())'()()u g x bg b ag a f g x g x dx f g x dg x f u du f g x g x dx f u du ====⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()(),()()[()()]()()b bbaaa u x dv x u x v x v x du x u x dv x u x v x v x du x =-=-⎰⎰⎰⎰，'()()(),''()'()(),[()](),axaaxf x dx xf x f x dx xf x dx xf x f x C f t dt dx xf x dx =-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()lim()()lim (),()lim ()a b x bb bxaaaaaax x ax bf x dx f t dt f x dx f t dt f x dx f t dt +-+∞→+∞→→===⎰⎰⎰⎰⎰⎰为瑕点为瑕点，.（三）基本函数的不定积分11,1111,ln ,,ln ,1x C x dx dx ax b C C ax b a x C μμμμμ+⎧+≠-⎪+==++=⎨+⎪+=-⎩⎰⎰22222111111,arctan ,ln ,()()2x x a dx C dx C dx C ax b a ax b x a a a x a a x a-=-+=+=++++-+⎰⎰⎰ln(,arcsin ,,ln kx b kx bx a dx x C C a dx C a k a ++=++=+=+⎰(sin cos )cos sin ,(sec tan )ln sec tan ln sec ,x x dx x x C x x dx x x x C ±=-±++=+++⎰⎰(csc cot )ln csc cot ln csc ,(tan cot )ln tan x x dx x x x C x x dx x C -=-+++=+⎰⎰;2222sin 2sin 2(sin cos )()(),(sec tan )tan (tan ),2424x x x x x x dx C x x dx x x x C +=-+++-=--+⎰⎰22(csc cot )cot (cot ),(tan sec cot csc )sec csc ,x x dx x x x C x x x x dx x x C -=-++++=-+⎰⎰ln (ln 1),arcsin arcsin ,arctan arctan ln ,xdx x x C xdx x x C xdx x x C =-+==+⎰⎰⎰120222()12()()()/,/,()/,/,sin ()/,sin ()/.ln sin n n n n n n P x n n n n n P x P x P x dx dx dx a dx P x dx arc P x dx x x >>>>>±±±======⎰⎰⎰⎰⎰⎰（四）重要函数的不定积分术22331,,,()npx q px qx rdx dx dxax bx c x a x ax b+++++++⎰⎰⎰用拆、凑，[2[,]()(),,()mttm nf tf bp aq dt f dxat p--⎰⎰⎰为最小公倍sin tan secsec,,(0),x a x a x a ax a af dx f dx f dx aθθθθ===>=-<-=>==⎰⎰⎰sin cos,tan sec,m n m nmx xdx x xdx nm n⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰谁奇凑谁奇凑切割同奇凑低凑割方同偶降次偶奇分部tantan2221,(sin,cos),()sin,sin cosxtt x tmndx f x x dx P x axdxa xb x===+==⎰⎰⎰⎰分部消幂, (),(),(sin)kx ba t tkx b kx b kx bn nf a dx P x a dx P x a dx+=+++===⎰⎰⎰⎰分部分部消幂移项，,ln ln ()ln,(ln(,sin ln, n n nx t x tP x xdx P x x dx xdxμμ======⎰⎰⎰⎰分部降次化简分部分部移项分部降次，arcsinarctan()arcsin,()arctan,x t tn nxP x xdx P x xdxμμθ====⎰⎰⎰分部（五）基本函数的定积分与反常积分0011ln,01,,,,11a ab b ap pa a abp pab dx dxdx b a dx ax x xp pab>>+∞⎧<>>⎧⎧⎪=-=⎨⎨⎨≥≤⎩⎩⎪≤⎩==⎰⎰⎰⎰收敛收敛发散发散发散，22222000112,(0),4adx dx a x a x a aππ+∞+∞-∞====> ++⎰⎰⎰⎰2110000,(01,)00a akx b n kx b xk ka dx x a dx a e dxk k>>+∞+∞+∞++--∞<<⎧⎧<<⎨⎨≥≥⎩⎩==⎰⎰⎰收敛收敛反之，发散发散110011ln,ln(1)!,n nx xdx xdx nμμμμ⎧≥⎪+==-⎨⎪<⎩⎰⎰-发散22001342,253sin cos(2),1331,2422n nn nnn nxdx xdx nn nnn nπππ--⎧⎪⎪-==≥⎨--⎪⎪-⎩⎰⎰为奇数为偶数22200000 (sin,cos)(cos,sin),(sin)(sin)(sin),2f x x dx f x x dx xf x dx f x dx f x dxπππππππ===⎰⎰⎰⎰⎰()()()()00()()()()0,()()[()()]2(),()()()f xa T Ta a a f x f x Taf xa nT Tf x f x Tf x dx f x dxf xf x dx f x f x dxf x dx f xf x dx n f x dx+=+ -=+⎧=⎧⎪⎪⎪=+-=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰可积可积连奇，.连偶二、典型例题1、计算下列不定积分（拆、凑结合） （1）C x x x dxx dx dx x x x +++-=++-=---⎰⎰⎰)1ln()3ln(213232132.或C x x x x x x d dx x x x ++-+--=---+---=⎰⎰13ln 21)32ln(232)1()1(23222232222. （2）2322=+2ln(1x C =-++.（3）655555111ln 43(34)3453420x dx dx dx x C x x x x -----==-=-+++++⎰⎰⎰. 或555555511(34)[]5(34)2034dx dx d x x x x x +==-++⎰⎰⎰551ln 2034x C x =++.（4）42423366261111arctan arctan 111313x x x x dx dx dx dx x x C x x x x +-++==+=++++++⎰⎰⎰⎰. （5）⎰⎰⎰+--+-++=+22224)2()1()1(21)2()1()1(2111x x x x d x x x x d dx xC x x xx x x +-+++-+=21arctan422121ln 82. （6）32225311sin cos (1cos )cos cos cos cos 53x xdx x xd x x x C =--=-+⎰⎰.（7）⎰⎰⎰++-=-=dx x x dx x xdx )24cos 12cos 21(41)22cos 1(sin 24C x x x ++-=4sin 3212sin 4183. （8）C x x xd xdx x dx xx +===⎰⎰⎰432353tan 41tan tan sec tan cos sin . 或⎰+-=-=C x x x xd x 242sec 21sec 41sec sec )1(sec .或2cos 355cos 1cos () cos u x x d x u u du x=---==-⎰⎰. （9）3424sin cos 1sec sec ln csc cot sin cos cos cos sin 3dx xdx d x dx x x x x C x x x x x =-+=-+-+⎰⎰⎰⎰ 或44cos 242424cos (1) (1cos )cos (1)(1)u x d x du u u du x x u u u u=-+==-=----⎰⎰⎰. （10）222tan sin 2cos tan 2dx d x C x x x ==+++⎰⎰.例2、计算下列不定积分（换） （1）⎰⎰⎰⎰+-+-=+=+=1)1(6162336t dt dt t t dt t t x x dxt x 最小公倍代换 1111323662236ln 1236ln 1t t t t C x x x x C =-+-++=-+-++.（2）23(1)2t dx t C C x =+=-⎰. （3）sec (0,)121sec (0,)2cos sin cos sin x t t x x x t t tdt t C C dx C tdt t C C ππ=∈><-=-∈⎧⎫==+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+⎨⎬⎪⎪=-=-++⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎰⎰. 或C x x C x x C t C x x C t dt t t t t tx +-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=+-=+-==--=<>=⎰111111222022021. （4）tan2222tan12212cos 121x t x xdxdt C t x t t ππ=-<<=⋅==+-++++⎰⎰. （5）⎰+1x e dxC e e C t t dt t x x t e t x x +++-+=++-=-=⎰=+-=1111ln 11ln 11221)1ln(2.例3、计算下列不定积分（分）（1）⎰⎰⎰+=+=)tan 21tan 41(tan )tan (tan sec tan 2434x x xd x d x x x xdx x x ⎰⎰--+=xdx x xd x x x 2224tan 41tan tan 41)tan 21tan 41(C x x x x x x ++--+=41tan 41tan 121)2(tan tan 41322. （2）22ln(1)xt t dt +⎰2C =.（3）21(1)11x x xxe e dx xe d C x x x =-=++++⎰⎰.（4）C x xdx x x x x xd dx x x ++-=+-=-=⎰⎰⎰)1(ln 2112ln 1ln 21ln 23223. （5）sin 222(arcsin )sin sin 2cos x tx dx t d t tt td t ===+⎰⎰⎰C x x x x C t t t t t +--+=+-+=21arcsin 2)(arcsin sin 2cos 2sin 222.（6）sin ln sin ln cos ln sin ln cos ln sin ln x dx x x xdx x x x x xdx =-=--⎰⎰⎰，移项得sin ln (sin ln cos ln )2xdx x x x C =-+⎰.例4、计算下列定积分（换(含对称奇偶性)）（1）设)(x f 在].[a a -内的连续函数，则2[()()]2aaf x f x a dx a =-+=⎰.（2）dx e x e x dx e x I x x x ⎰⎰--+++=+=2066226)1sin 1sin (1sin πππ 6205sin 32xdx π==⎰. （3）⎰⎰⎰-+=+-=+=-=ππππππ002323023cos 1sin cos 1sin )(cos 1sin I du uu du u u u dx x x x I u x ，得22I ππ=-. （4）⎰⎰+=+=-=202222)(cot 1)(tan 1πππx dx x dx I ux 20124dx ππ=+=⎰.（5）934222112x u I dx -=+====⎰⎰⎰.例5（1）2[]nnx dx C =⎰（,2n Z n +∈≥且）. （2）∑⎰∑⎰⎰-=-=+=+=+====1201)1(0sin )(sin sin n n n n k u x k k n n n udu k u dx x x dx x x I πππππππ.（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=202sin )(ππx x x x f ，求⎰=x dt t f x F 0)()(.解：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<-≤=⎰⎰⎰212cos 12sin 2sin 2sin )(20020πππππππx x x x tdt x tdt x tdt x F x. （4）求⎰+=dx x x x I }1,2max{)(.解： 22(1)(1)22111212()1(1)1122I I x x x C x xdx x I x C x x x Cx x dx x xx -=⎧⎧+≥+≥⎧≥⎪⎪⎪⎪===+⎨⎨⎨++<+<⎪⎪⎪+<⎩⎩⎪⎩⎰⎰. 例6、反常积分（1）下列哪个积分发散（D ）A ⎰10s i n dx xx B13x ed x -+∞⎰C⎰-1211dx x D⎰-∞-11dx x（2）212d ππθ+∞==⎰⎰.（3）12211111()[ln ln 2(1)12x dx dx x x x x +∞+∞+∞=-==++⎰⎰. （4）3212=+=⎰ln(22π++.三、微积分综合计算例1、设125ln )2(444-+=+x x x f 且)1ln()]([+=x x f ϕ，求⎰dx x )(ϕ .解：⎰+-+=⇒-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=C x x dx x x x x x x f x x x f )1ln(73)(143)()1ln()]([312ln)(ϕϕϕ. 例2、 已知：⎩⎨⎧>≤<='1101)(ln x x xx f ，且,0)0(=f 求).(x f解：令x u ln =，则⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤<='0011101)(u u e e e e u f uu u u⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤++====+=+0010)(0)0()0(012121u u e uu u c e c u u f uf f c c u，故⎩⎨⎧>≤-=01)(x x e xx f x. 例3、已知)(x f 一个原函数为x x ln )sin 1(+，求⎰'dx x f x )(.解：⎰⎰+-=='C x f x xf x xdf dx x f x )()()()(C x x x x x x c x x dx x f x x x f ++-++⎰=++='+=ln )sin 1(ln cos sin 1ln )sin 1()(]ln )sin 1[()(.例4、试导出⎰+=dx ax x I n n 22的递推式.解：⎰⎰+-+=--dx a x x adx a x xI n n n 22222222212211---+-=⎰n n I a dx a x n 22221111------+=n n n I a I n n a x x ∴ 222211----+=n n n I a nn n a x x I )2(≥n .例5、求极限 xx dtxt xx 2sin )sin(lim2302⎰→.[解]原式=2203201sin lim (2)=x u xt x u dx x x x =→⎰=540602024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=⎰=12112lim 440=→x x x .例6、设 ⎰-=x t dt e x f 02)(, 求 ⎰10)(dx xx f . [解] 原式=⎰1)2()(x d x f11100()2()1x x x dx e dx e --'-=-=-⎰⎰.例7、已知01)(≥<⎩⎨⎧-=x x xx f ，讨论⎰-=x dt t f x F 1)()(在0=x 处的连续性和可导性.解：120101(1)00()=1001(1)2xxx dx x x F x x x x dx xdx --⎧--⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎨>>-+⎪⎪-+⎩⎩⎰⎰⎰ 1)0()0()0(-===-+F F F ∴)(x F 在1=x 处连续， 又(0)0,F +'=_(0)1F '=-∴其在0=x 处不可导.例8、设20π≤≤x ，求⎰=x dt t x f 2sin 0arcsin )(+dt t x ⎰2cos 0arccos .解：两边求导得'()sin 2sin 20f x x x x x =-=，所以c x f =)(（c 为常数） 又因为当0=x 时，⎰⎰=-==1010341arccos )(dt tt dt t x f 所以 34)(=x f .例9、若)(x f 满足211)()(x dt t f x xf x++=⎰，（1≥x ），求)(x f . 解：方程两边对x 求导，得 21)(x x x f x +=' 解得)1ln()(2x x x f ++=又2)(=x f ，故 2)1ln()(2+++=x x x f .例10、设)(x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的单调、可导函数，且t t t t t t t t f x x f d cos sin sin cos d )(0)(01⎰⎰+-=-， 其中1-f 是f 的反函数，求)(x f .解： 等式dt tt t t t dt t f x f x cos sin sin cos )()(001+-=⎰⎰-两端对x 求导得 x x x x x x f x f f cos sin sin cos )()]([1+-='-，即 xx xx x f cos sin sin cos )(+-='解得()ln(sin cos )f x x x C =++，而,0)0(=f 则0C =，故)cos ln(sin )(x x x f +=.例11、设)(x F 为)(x f 的原函数，当0≥x 时，有x x F x f 2s i n )()(2=⋅，且0)(,1)0(≥=x F F ，试求)(x f .解：因⎰⎰='xdx dx x F x F 2sin )()(2即C x x dx x x F 214sin 812124cos 1)(212+-=-=⎰由1)0(=F 知21=C ， 0)(≥x F ， 144sin )(+-=x x x F ，44sin 44cos 1)(+--=x x xx f . 例12、设)(x f 在]2,0[π上连续，并满足⎰+=202)(cos )(πdt t f x x x f ，求)(x f .解：令⎰=20)(πdt t f C ，故C x x x f +=c o s )(2，则C dt C t t C 224)cos (2202πππ+-=+=⎰， 解得 )2(282ππ--=C ，故 )2(28cos )(22ππ--+=x x x f .例13、设0[()''()]sin 5f x f x xdx π+=⎰，2)(=πf ，求)0(f .解：''()sin sin ['()]'()cos f x xdx xd f x f x xdx πππ==-⎰⎰⎰⎰⎰--=-=πππ0sin )()()0()]([cos xdx x f f f x f xd因为[()''()]sin 5f x f x xdx π+=⎰，所以5)()0(=-πf f 而2)(=πf ，故7)0(=f .例14、已知π=⎰+∞∞--dx e x 2, 计算 ⎰+∞---122dx xe xx.[解] ⎰+∞---122dx xe xx =⎰⎰+∞-+∞-+-+-+-+⋅11)1(2)1()1()1(2122x d e e x d ee x x=⎰⎰+∞-+∞--⋅0022221dt e e dt e e t t (令1+=x t ) (12e =-.四、课后练习1、求下列不定积分①2C=；②=2arcsin2xC++；③5=C；④Cxxxxdx++=++⎰2221arctan1)12(；⑤⎰+=Cxdxxxcos2costan；⑥24sin cosdxx x=⎰31tan2tan cot3x x x C+-+；⑦sin22sindxx x=+⎰211tan ln tan8242x xC++；⑧⎰+-+-=-Cxxxxdxxx1ln1ln)1(ln2；⑨⎰+=+Cxedxxe xx tan)1(tan222⑩arctan322(1)xxedxx+⎰arctan x2、若⎩⎨⎧>≤+=1211)(xxxxxf，则()f x dx=⎰2212112xx c xx c x⎧++≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩.3、2max(1,)x dx=⎰331121332133x c xxc xxc x⎧⎪+-≤≤⎪⎪++>⎨⎪⎪-+<-⎪⎩.4、计算下列定积分①323)1(1234π=-⎰dxxx；②ndxπ=⎰；③401ln21cos284xdxxπ=-+⎰；④23)32ln(12ln2-+=-⎰-dxe x；⑤a=⎰2a；⑥2sin1cosx xdxxπ+=+⎰2π⑦1ln(x dx⎰⎰----=+111)21(2)(edxexx x；⑨1211(1)(1)xdxe x-=++⎰4π；⑩2005220052005coscos sinxdxx xπ=+⎰4π.5、11()11xxxf xxe⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，则2(1)f x dx-=⎰ln(1)e+.6、设2232,102(),01(1)xxx x xf xxexe⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪+⎩，则32111,1022()21ln,01112xxx xx x xf t dte xxe e-⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪---≤≤⎪++⎩⎰.7、计算下列反常积分①⎰∞+--=+022ln )1(dx e xe x x；②32)7(2π=-+⎰+∞x x dx ；③⎰+∞-+=+12314e e e dx x x π； ④2ln 214arctan 12+=⎰+∞πdx x x ；⑤1ln 2=⎰+∞e x x dx ；⑥41)2(1022π=--⎰x x xdx . 8、设2ln )1(222-=-x x x f 且x x f ln )]([=ϕ，求()x dx ϕ=⎰C x x ++-)1ln(2.9、设)(x f 有一个原函数x x sin ，则14)(10-='⎰πdx x f x .10、设)(x f 、)(x g 在0],[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且有A x f x f =-+)()(①求证：⎰⎰=-aaadx x g A dx x g x f 0)()()(；②利用①的结论计算⎰-22arctan sin ππdx e x x .[2π ] 11、设)(x f 可导，且⎰-==-xn n n dt t x f t x F f 01)()(,0)0(，求20()limnx F x x →='(0)2f n. 12、设)(x f 有连续的导数,0)0(=f ,0)0(≠'f , dt t f t x x F x)()()(022⎰-=当0→x 时，)(x F '与k x 是同阶无穷小，则k =313、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰000cos 11)cos 1(2)(022x x x dt t x x x x f x ，讨论)(x f 在0=x 处的可导性。
数学中的积分方程积分方程是数学中重要而有趣的概念，它在不同领域的数学和应用中都有广泛的应用。
本文将介绍积分方程的定义、性质以及一些经典的应用领域。
一、积分方程的定义与形式积分方程是指方程中含有一个或多个未知函数的积分表达式。
一般来说，积分方程的形式可以表示为：f(x) = g(x) + λ∫[a,b] K(x,t) f(t) dt其中，f(x)是未知函数，g(x)是已知函数，λ是参数，K(x,t)是已知函数。
二、积分方程的类型根据积分方程中未知函数和积分变量的关系，积分方程可以分为几种类型：1. 调和积分方程：其中未知函数为调和函数，即满足拉普拉斯方程的函数。
调和积分方程在物理、工程等领域有广泛的应用。
2. 特殊函数积分方程：这类积分方程中的未知函数具有特殊函数特点，如Bessel函数、Legendre函数等。
这些特殊函数积分方程的解具有重要的数学和物理意义。
3. 直接积分方程：这类积分方程直接含有未知函数的积分项，常见的有Abel积分方程、Fredholm积分方程等。
这些方程的解可以通过迭代法或其他数值方法求解。
4. 间接积分方程：这类积分方程的未知函数出现在方程的内部，而不是直接作为积分变量。
这类方程的求解方法多种多样，常见的有Volterra积分方程、Hilbert积分方程等。
三、积分方程的性质积分方程具有许多有趣的性质，其中一些性质如下：1. 线性性质：积分方程是线性的，即满足线性叠加原理。
如果f1(x)和f2(x)是积分方程的解，那么f(x) = αf1(x) + βf2(x)也是积分方程的解，其中α和β是任意常数。
2. 解的存在性：对于一些特定的积分方程，解的存在性是有保证的。
例如，对于某些特殊函数积分方程，其有解的存在性得到了严格证明。
3. 解的唯一性：对于一些特殊形式的积分方程，解的唯一性也是可以保证的。
这些方程的解在一定的条件下是唯一的。
四、积分方程的应用积分方程在数学和应用中有广泛的应用，下面介绍几个经典的应用领域：1. 物理学中的应用：积分方程在电磁场、流体力学等领域中有着广泛的应用。
一元积分学的概念与计算一、考试内容原函数、不定积分、定积分、反常积分的概念 基本积分公式 牛一莱 (N 一L)公式 积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数的积分 定积分的对称奇偶性 分段函数的积分 积分变限函数（一）原函数存在与可积条件[,]a b 上的连续函数()f x 必有原函数()(),[,]x aF x f t dt C x a b =+∈⎰，且在[,]a b 上可积；(,)a b 内的连续函数()f x 必有原函数()F x ，但在(,)a b 内不一定可积，如a 或b 为暇点；无界区间内的连续函数()f x 必有原函数()F x ，但在无界区间内不一定可积；定义在区间I 内的函数()f x ，若存在第一类间断点或暇点，必无原函数，但也许可积，如定义在[,]a b 上的函数()f x 存在有限个第一类间断点，则在[,]a b 上可积.（二）微积分基本关系()()()()dF x f x dx f x dx F x C =⇔=+⎰，()(),()(),d f x dx f x dx df x f x C ==+⎰⎰()f x 在[,]a b 上连续，则()(),x af x dx f t dt C =+⎰⎰()[()],b ba af x dx f x dx =⎰⎰()()()(())'()(())()(),(())'()()u g x b g b ag a f g x g x dx f g x dg x f u du f g x g x dxf u du ====⎰⎰⎰⎰⎰，()()()()()(),()()[()()]()()b b b aaa u x dv x u x v x v x du x u x dv x u x v x v x du x =-=-⎰⎰⎰⎰，'()()(),''()'()(),[()](),axaaxf x dx xf x f x dx xf x dx xf x f x C f t dt dx xf x dx =-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()lim()()lim (),()lim ()a b xbb b x aaaaaax x ax bf x dx f t dt f x dxf t dt f x dx f t dt +-+∞→+∞→→===⎰⎰⎰⎰⎰⎰为瑕点为瑕点，.（三）基本函数的不定积分11,1111,ln ,,ln ,1x C x dx dx ax b C C ax b a x C μμμμμ+⎧+≠-⎪+==++=⎨+⎪+=-⎩⎰⎰⎰22222111111,arctan,ln,()()2x x a dx C dx C dx C ax b a ax b x aaax aax a -=-+=+=++++-+⎰⎰⎰ln(,arcsin,,ln kx bkx bx ax C C adx C ak a++=++=+=+⎰⎰⎰(sin cos )cos sin ,(sec tan )ln sec tan ln sec ,x x dx x x C x x dx x x x C ±=-±++=+++⎰⎰(csc cot )lncsc cot ln csc ,(tan cot )ln tan x x dx x x x C x x dx x C -=-+++=+⎰⎰; 2222sin 2sin 2(sin cos )()(),(sec tan )tan (tan ),2424x x x x x x dx C x x dx x x x C +=-+++-=--+⎰⎰22(csc cot )cot (cot ),(tan sec cot csc )sec csc ,x x dx x x x C x x x x dx x x C -=-++++=-+⎰⎰ln (ln 1),arcsin arcsin ,arctan arctan ln ,xdx x x C xdx x x C xdx x x C =-+=-=+⎰⎰⎰12222()12()()()/,/,()/,/,sin ()/,sin ()/.ln sin n n n n n n P x n n n n n P x P x P x dx dx dx adx P x dx arc P x dx xx>>>>>±±±======⎰⎰⎰⎰⎰⎰重要函数的不定积分术22331,,,()npx q px q px qx rdx dx dxax bx c x a x ax b++++++++⎰⎰⎰⎰用拆、凑，[2[,]()(),,()mttm nf tf bp aq dt f dxat p--⎰⎰⎰为最小公倍sin tan secsec,,(0),x a x a x a ax a af dx f dx f dx aθθθθ===>=-<-=>==⎰⎰⎰sin cos,tan sec,m n m nmx xdx x xdx nm n⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰谁奇凑谁奇凑切割同奇凑低凑割方同偶降次偶奇分部tantan2221,(sin,cos),()sin,sin sin cosxtt x tmndx f x x dx P x axdxa xb x===+==⎰⎰⎰⎰分部消幂, (),(),(sin)kx ba t tkx b kx b kx bn nf a dx P x a dx P x a dx+=+++===⎰⎰⎰⎰分部分部消幂移项，,ln ln ()ln,()ln ln(,sin ln, n n nx t x tP x xdx P x x dx xdxμμ====+==⎰⎰⎰⎰分部降次化简分部分部移项分部降次，arcsinarctan()arcsin,()arctan,arcsinx t tn nxP x xdx P x xdxμμθ====⎰⎰⎰分部（四）基本函数的定积分与反常积分0011ln,01,,,,11a ab b ap pa a abp pab dx dxdx b a dx ax x xp pab>>+∞⎧<>>⎧⎧⎪=-=⎨⎨⎨≥≤⎩⎩⎪≤⎩==⎰⎰⎰⎰收敛收敛发散发散发散，22222000112,(0),4a adx dx a x a x a aππ+∞+∞-∞====> ++⎰⎰⎰⎰2110000,(01,)00a akx b n kx b xk ka dx x a dx a e dxk k>>+∞+∞+∞++--∞<<⎧⎧<<⎨⎨≥≥⎩⎩==⎰⎰⎰收敛收敛反之，发散发散110011ln,ln(1)!,n nx xdx xdx nμμμμ⎧≥⎪+==-⎨⎪<⎩⎰⎰-发散1sin xdxx⎰为定积分22001342,253sin cos(2),1331,2422n nn nnn nxdx xdx nn nnn nπππ--⎧⎪⎪-==≥⎨--⎪⎪-⎩⎰⎰为奇数为偶数22200000 (sin,cos)(cos,sin),(sin)(sin)(sin),2f x x dx f x x dx xf x dx f x dx f x dxπππππππ===⎰⎰⎰⎰⎰()()()()00()()()()0,()()[()()]2(),()()()f xa T Ta a a f x f x Taf xa nT Tf x f x Tf x dx f x dxf xf x dx f x f x dxf x dx f xf x dx n f x dx+=+ -=+⎧=⎧⎪⎪⎪=+-=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰可积可积连奇，.连偶二、典型例题1、计算下列不定积分（拆、凑结合） （1）C x x x dxx dx dx x x x +++-=++-=---⎰⎰⎰)1ln()3ln(213232132.或C x x x x x x d dx x xx ++-+--=---+---=⎰⎰13ln21)32ln(232)1()1(23222232222.（2）⎰2322=+⎰⎰2ln(1x C =-++.（3）655555111ln 43(34)3453420xdxdx dx xC x x xx-----==-=-+++++⎰⎰⎰.或555555511(34)[]5(34)2034dxdx d x xx xx +==-++⎰⎰⎰551ln2034xC x =++.（4）42423366261111arctan arctan 111313x x x xdxdxdx dx x x C xxxx+-++==+=++++++⎰⎰⎰⎰.（5）⎰⎰⎰+--+-++=+22224)2()1()1(21)2()1()1(2111xx xx d xx xx d dx xC xx x x xx +-+++-+=21arctan422121ln 82.（6）32225311sin cos (1cos )cos cos cos cos 53x xdx x xd x x x C =--=-+⎰⎰. （7）⎰⎰⎰++-=-=dx xx dx xxdx )24cos 12cos 21(41)22cos 1(sin24C x x x ++-=4sin 3212sin 4183.（8）C x x xd xdx x dx xx+===⎰⎰⎰432353tan41tan tansec tancos sin.或⎰+-=-=C x x x xd x 242sec21sec 41sec sec )1(sec.或2cos 355cos 1cos () cos u xx d x u udu x=---==-⎰⎰.（9）3424sin cos 1sec sec ln csc cot sin cos cos cos sin 3dxxdx d x dxx x x x C x xxxx=-+=-+-+⎰⎰⎰⎰或44cos 242424cos (1) (1cos)cos (1)(1)u xd xdu u u du x xuuu u=-+==-=----⎰⎰⎰.（10）222tan 1tan sin 2cos tan2dxd xx C x xx ==++⎰⎰.例2、计算下列不定积分（换） （1）⎰⎰⎰⎰+-+-=+=+=1)1(6162336t dtdt t t dt t txx dx tx 最小公倍代换1111323662236ln 1236ln 1t t t t C x x x x C =-+-++=-+-++.（2）23(1)2t dxt C C x =+=--⎰⎰.（3）sec (0,)121sec (0,)2cos sin cos sin x t t x x x t t tdt t C C x C xtdt t C C x ππ=∈><-=-∈⎧⎫==+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪=-=-+=+⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎰⎰⎰.或C xx Cx x C t C xx C t dt t t t t tx +-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=+-=+-==--=<>=⎰11111122202221.（4）tan2222tan12212cos 121x t x xdx dt C t xttππ=-<<=⋅==+-++++⎰⎰⎰.（5）⎰+1xe dxC e e C t t dt t xxt e t x x+++-+=++-=-=⎰=+-=1111ln11ln11221)1ln(2.例3、计算下列不定积分（分）（1）⎰⎰⎰+=+=)tan21tan 41(tan )tan (tan sectan 2434x x xd x d x x x xdx x x⎰⎰--+=xdx x xd x x x 2224tan 41tan tan41)tan21tan 41(C x x x x x x ++--+=41tan 41tan121)2(tan tan41322.（2）22ln(1)xtxet dt +⎰⎰24arctanC =-.（3）21(1)11x xxxeedx xe dC x x x=-=++++⎰⎰.（4）C x xdx xxx xxddx xx ++-=+-=-=⎰⎰⎰)1(ln 2112ln 1ln 21ln 23223.（5）sin 222(arc sin )sin sin 2cos x tx dx t d t t t td t ===+⎰⎰⎰C x xx x C t t t t t +--+=+-+=21arcsin 2)(arcsin sin 2cos 2sin 222.（6）sin ln sin ln cos ln sin ln cos ln sin ln x dx x x xdx x x x x xdx =-=--⎰⎰⎰，移项得sin ln (sin ln cos ln )2xdx x x x C =-+⎰.例4、计算下列定积分（换(含对称奇偶性)）（1）设)(x f 在].[a a -内的连续函数，则2[()()]2aa f x f x a dx a =-+=⎰.（2）121101(2t x t π=---=+==⎰⎰⎰（3）6662202sin sin sin ()111xxxx x x dx dx eeeπππ--=++++⎰⎰625sin 32xdx π==⎰.（4）⎰⎰⎰-+=+-=+=-=ππππππ0232323cos 1sin cos 1sin )(cos 1sin I du uu du u u u dxxxx I ux ，得22I ππ=-.（5）22221(cot )x udxx πππ=-=+⎰⎰20124dx ππ==⎰.（6）9344222112x u dx -=+===⎰⎰⎰.例5、分段函数的积分（1）20[]nn x dx C =⎰（,2n Z n +∈≥且）.（2）∑⎰∑⎰⎰-=-=+=+=+====121)1(0sin )(sin sin n n n n k u x k kn n n udu k u dx x x dx x x I πππππππ.（3）求⎰+=dx x x x I }1,2max{)(.解： 22(1)(1)22211121()2121(1)1I I xdx x x C x x x I x C x x Cx x xx x dx x -=⎧≥⎧⎧+≥+≥⎪===+⎨⎨⎨++<+<+<⎩⎩⎪⎩⎰⎰.（4）已知sin 2()02x x f x x ππ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ ，求⎰=xdt t f x F 0)()(.解：20020sin 21cos 2()sin 212sin 2xtdt x xx F x tdtx x tdt x πππππππ-⎧≤-⎪⎧-<⎪⎪=<=⎨⎨≥⎪⎩⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰.例6、设4488(tan ),(tan )I x x dx J x x dx ππππ==⎰⎰，则有---------------------（C ）（A ）ln 28I J π<<<（B ）ln 28J I π<<<（C ）ln 28I J π<<< (D)ln 28I J π<<<注：max {,sin }tan 1tan min {18(tan )}x x x x x x x x ππ≤≤≤≤≤，这类题需考虑积分不等式，若出现对称区间，注意对称奇偶性；若出现不同区间，注意换元. 例7、反常积分：（1）21sec 2x td ππθ+∞==⎰⎰（或令1x t=）.（2）12211111()[lnln 2(1)12xdx dx x x x x +∞+∞+∞=-==++⎰⎰.（3）31321211==⎰⎰⎰ln(22π++.三、微积分综合计算例1、求xx dtxt xx 2sin )sin(lim232⎰→223201sin lim(2)=x u xtx u dxx x x =→⎰=546224sin 2lim4sin lim2xx x xdu u x xx →→=⎰=112.例2、设444(2)ln [(52)(1)]f x x x +=+-且)1ln()]([+=x x f ϕ，求⎰dx x )(ϕ . 提示：()(34)(1)()37ln(1)x x x x dx x x C ϕϕ=+-⇒=+-+⎰. 例3、已知sec x x是函数)(x f 的一个原函数, 求dx x f x ⎰')(3．解 ：由题意有2sec sec (tan 1)()()x x x x f x xx-'==则原式32()3()x f x x f x dx =-⎰()32()3sec x f x x d x x =-⎰32sec ()3(2sec )x x f x x xdx x=-⋅-⎰=sec (tan 4)6ln sec tan x x x x x x C -+++.例4、设21()tf x dt -=, 求 ⎰1)(dx xx f .[解] 原式=⎰10)2()(x d x f=2111000()2()1x x x dx e dx e --'-=-=-⎰⎰.例5、设0[()''()]sin 5f x f x xdx π+=⎰，2)(=πf ，求(0)f =3.提示：0''()sin sin ['()]'()cos cos [()]f x xdx xd f x f x xdx xd f x ππππ==-=-⎰⎰⎰⎰.例6、已知 π=⎰+∞∞--dx ex2, 计算 221x xxedx +∞---=⎰(12e -.提示：原式=⎰⎰+∞-+∞--⋅022221dt ee dtee tt(令1+=x t ).例7、已知001)(≥<⎩⎨⎧-=x x xx f ，讨论⎰-=xdt t f x F 1)()(在0=x 处的连续性和可导性.解：12010(1)010()=0120(1)xxdx x x x F x x x x dx xdx --⎧-≤--≤⎧⎪=⎨⎨>-+>⎩⎪-+⎩⎰⎰⎰ 显然)(x F 在0x =处连续；而因(0)0,F +'='(0)1F -=-，则其在0=x 处不可导.注：若()y f x =在[,]a b 上除x c =处外连续，当x c =为其第一类间断点，则()()x cF x f t d t =⎰必连续，但在x c =处未必可导（微），因'()(),'()()F c f c F c f c -+-+==.提示：令+(),()(),f x x c f x f c x c+>⎧=⎨=⎩， ()lim [()]lim ()()x c x c x cF c f t dt x f t f c ++++++→→'===⎰. 例8、求2221()()xtf x x t edt -=-⎰的单调区间与极值.提示：令221()20xtf x x edt -'==⎰，得驻点0,1x =±，由列表法易得，()f x 的单调增区间为(10)(1)-+∞，，，，其单调减区间为(1)(01)-∞-，，，极小值为(1)0f ±=，极大值为211(0)(1)2tf tedt e --==-⎰.例9、设02x π≤≤，求⎰=xdt t x f 2sin 0arcsin)(+dt t x⎰2cos 0arccos .解：两边求导得'()sin 2sin 20f x x x x x =-=，所以c x f =)(（c 为常数） 又因为当0=x时，1022()arccos cos 4uf x ud u ππ==⎰⎰，则 ()4f x π=.例10、 已知：⎩⎨⎧>≤<='1101)(ln x x xx f ，且,0)0(=f 求).(x f解：令x u ln =，则⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤<='0011101)(u u ee e e uf uuuu⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤++====+=+00100)(0)0()0(012121u u e u u u c e c u u f uf f c c u，故⎩⎨⎧>≤-=001)(x x e xx f x.例11、若)(x f 满足211)()(x dt t f x xf x++=⎰，（1≥x ），求)(x f . 解：方程两边对x 求导，得 21)(xx x f x +=' 解得)1ln()(2x x x f ++= 又2)(=x f ，故 2)1ln()(2+++=x x x f .例12、设)(x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的单调、可导函数，且t tt t t tt t fx x f d cos sin sin cos d )(0)(01⎰⎰+-=-，其中1-f是f 的反函数，求)(x f .解： 等式dt tt tt tdt t fx f xcos sin sin cos )()(01+-=⎰⎰-两端对x 求导得x x xx xx f x f fcos sin sin cos )()]([1+-='-，即 xx xx x f cos sin sin cos )(+-='解得()ln(sin cos )f x x x C =++，而,0)0(=f 则0C =，故)cos ln(sin )(x x x f +=.例13、设)(x F 为)(x f 的原函数，当0≥x 时，有x x F x f 2s i n )()(2=⋅，且0)(,1)0(≥=x F F ，试求)(x f . 解：因⎰⎰='xdx dx x F x F 2sin)()(2即C x x dx xx F 214sin 812124cos 1)(212+-=-=⎰由1)0(=F 知21=C ， 0)(≥x F ， 144sin )(+-=x x x F ， 44sin 44cos 1)(+--=x x x x f .例14、若121()lim ()()1,1x f x f x f x dx x→=+-+求0lim ()x f x →与10()f x dx ⎰.解：令1lim (),()x f x a f x dx b →==⎰，则2()11a f x x=++2lim[1]11x a a a b x→=+-=+-+，12(1)1a b dx x=++⎰()14a b π=+-由上述两式解之得0lim ()(8),x f x a ππ→==-10()1f x dx b ==⎰.例15、设⎰+=dx ax xI nn 22，求证：22(1)n n n nI n a I x--+-=)2(≥n .提示：⎰⎰+-+=--dx ax xadx a x x I n n n 22222222212211---+-=⎰n n I a dxa x n .四、课后练习1、求下列不定积分（①---⑧属（A）;⑨----⑩属（B））①2arcsin2C=+⎰；②=⎰2arcsin2xC++；③5x dx=⎰C；④Cxxxxdx++=++⎰2221arctan1)12(；⑤⎰+=Cxdxxxcos2costan；⑥24sin cosdxx x=⎰31tan2tan cot3x x x C+-+；⑦sin22sindxx x=+⎰211tan ln tan8242x xC++；⑧⎰2ln(2C=++；⑨⎰+=+Cxedxxe xx tan)1(tan222⑩arctan322(1)xxedxx=+⎰arctan xC+.2（A）、若⎩⎨⎧>≤+=1211)(xxxxxf，则()f x dx=⎰2221121x x C xx C x⎧++≤⎪⎨++>⎪⎩.3（A）、2max(1,)x dx=⎰3311(2)31(2)31x C xx C xx C x+-≤≤⎧⎪++>⎨⎪-+<-⎩.4、计算下列定积分（①---⑩属（A）;⑾----⒀属（B））①14323(1)32x x dxπ-=⎰；②41ln21cos284xdxxπ=-+⎰；③ndxπ=⎰；④2311=xx e dx-⎰12e；⑤23)32ln(12ln2-+=-⎰-dxe x⑥1arctan=⎰12；⑦1ln(x dx+=⎰ln2-⎰----=+111)21(2)(edxexx x；⑨2coscos sinnn nxdxx xπ=+⎰4π；⑩1(1)0()1(1)0xx xf xe x+≥⎧=⎨+<⎩，则2(1)f x d x-=⎰l n(1)e+；⑾2sin1cosx xdxxπ+=+⎰2π；⑿1211(1)(1)xdxe x-=++⎰4π；⒀21=⎰21416π+.5（A）、设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin)(πππxxxxf，则()()xF x f t dt=⎰在π=x处（Ｂ）（Ａ）不连续（Ｂ）连续但不可导（Ｃ）'()0Fπ=（Ｄ）'()2Fπ=6（A）、若211(sin)cos(sin)(sin)a b x dx A x a b x B a b x dx---+=+++⎰⎰成立，则有---（A）(A) aA bB=(B) aB bA=(C) 1aA bB-=(D) 1aB bA+=7（A）、设2sin(=1,2,3)kxkeI e xdx k=⎰，则有（Ａ）（Ａ）123<<I I I（Ｂ）213<<I I I（Ｃ）312<<I I I（Ｄ）321<<I I I8（A）、设111222111(1)tan,(1)tan,(1)tanM x xdx N x x dx P x x dx---=+=+=+⎰⎰⎰，则-----（D）(A) MPN<<(B) NPM<<(C) PMN<<(D) M N P<<9（A ）、设44ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则有---------------（B ） （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << (D) K J I << 10（A ）、设函数()341()(1)f x x x x x +=++，则()2f x dx =⎰ln 32.11（A ）、设)(x f 有一个原函数sin x x ，则10()41xf x dx π'=-⎰. 12（B ）、设)(x D 是x 到离x 最近的整数之间的距离，则=⎰dx x D )(1014.13（B ）、设(1)13[]n n n n a xdx +-=⎰, 则lim =n n na →∞132(1)1e -+-.14（B ）、设)(x f 、)(x g 在0],[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且有A x f x f =-+)()(①求证：⎰⎰=-aaadx x g A dx x g x f 0)()()(；②求22sin arctan =xx e dx ππ-⎰2π.15（A ）、设)(x f 可导，且⎰-==-xnn n dt t x f tx F f 01)()(,0)0(，求20()limnx F x x→='(0)2f n.16（B ）、设22232,10()(1),01x x x x x f x xe e x -⎧+-≤<=⎨+≤≤⎩，则321(1)2,10()21ln ,01112x x xx x x x f t dt e x x e e -⎧+--≤<⎪=⎨--≤≤⎪++⎩⎰. 17（B ）、设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，则其极大，小值为(262)6+.18（A ）、设'()()F x f x =，且(0)0F =,()()sin 2F x f x x =，则56|()|f x dx ππ=⎰1.19（A ）、设1()[ln(1)]x f x t dt =+⎰，则1[(f x dx =⎰ 4ln 282π-+-．20（A ）、 设0()[sin ()]xf x t t dt π=-⎰，计算2)(0=⎰πdx x f .21（A ）、若121()(1)()f x x f x dx -=++，则1()(4)f x dx ππ=-⎰.22（A ）、设⎰⎰++=2312)()()(dx x f x dx x f x x x f ，则()f x =2338x x x +-.23（B ）、设21()[ln )](0),()(1)ln 2xf x t t dt x f x f x x =+>+=⎰ 则24（A ）、设()x f 连续，()()C xxdt t f t dt t f xx+++=⎰⎰98181612，则()fx =152x，C =19-．25（A ）、设)(x f 连续，且2(2)arctan 2xtf x t dt x-=⎰，若1)1(=f ，求21()f x dx =⎰34 .26（A ）、求连续函数)(x f ，使它满足x x x f dt tx f sin )()(1+=⎰ .（cos sin x x x C -+）.27（A ）、设函数11(1),1()1(ln),x x ef x x x x e αα-+⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，且反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则α∈(02)，. 28、计算下列反常积分（①---⑥属（A ））①32)7(2π=-+⎰+∞x x dx ；②⎰+∞-+=+12314e e e dx x x π；③41)2(1022π=--⎰x x xdx ； ④211arctan ln 242xxdx π+∞-=+⎰；⑤21ln (1)x d x x +∞=+⎰ln 2；⑥⎰∞+--=+022ln )1(dx exe xx .。
初中数学百科课外知识：积分方程想要学习进步，就要不停地对所学的知识勤加练习，因此查字典数学网为大伙儿整理初中数学百科课外知识，供大伙儿参考。
积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。
许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。
积分方程是近代数学的一个重要分支。
数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都能够归结为积分方程问题。
正是因为这种双向联系和深入的特点，积分方程论得到了迅速地进展，成为包括众多研究方向的数学分支。
简介(图)积分方程积分方程理论的进展，始终与数学物理问题的研究紧密相联，它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。
通常认为，最早自觉应用积分方程并求出解的是阿贝尔(Abel)，他在1823年研究质点力学问题时引出阿贝尔方程。
此前，拉普拉斯(Laplace)於1782年在数学物理中研究拉普拉斯变换的逆变换以及傅里叶(Fourier)於1811年研究傅里叶变换的反演问题实际上差不多上解第一类积分方程。
随着运算技术的进展，作为工程运算的重要基础之一，积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。
现在，“物理问题变得越来越复杂，积分方程变得越来越有用”。
积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、运算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。
甚至它的形成和进展是专门多重要数学思想和概念的最初来源和模型。
例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一样线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。
积分方程论中许多思想和方法，例如，关於第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论和奇特积分方程的诺特(Noether)理论以及逐次靠近方法，本身确实是数学中经典而优美的理论和方法之一。
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宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
第一篇积分方程第一章方程的导出和基本概念§1.1 方程的导出许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述，而求解常微分方程和偏微分方程的定解问题常常可转化为求解积分方程的问题。
下面举几个典型的问题作为例子，扼要地阐明导出积分方程的方法以及微分方程与积分方程之间的联系。
例1：弹性弦负荷问题一根轻且软的弹性弦,长为l,两端固定,如图所示,静止时与x轴重合,弦内张力为T.今在其上加以强度为()x ϕ的负荷.设在任一点M (横坐标为x )()x ϕ,且设解：在任一点x ξ=处取微小的一段弦d ξ,则作用于其上的重力为()d ϕξξ,记之为0P ,则这一重力0P 必引起弦的形变,记ξ处位移为S ,则：01020sin sin T T P θθ+=,因为0()T x ϕ>>,所以12,1θθ<<112sin tan ,sin .SS l θθθξξ⇒≈=≈- 所以000S S T T P l ξξ⋅+⋅=-, 得00()P l S T lξξ-=⋅. 记0P 引起的x 处位移为*()y x ,则0x ξ≤≤时, 由y S x ξ*=得 *00()()P l Sy x x x T l ξξ-=⋅=⋅⋅; 当x l ξ≤≤时，y S l x l ξ*=-- , ⇒ 00()()P l x y x T lξ*-=⋅⋅; 记：00,0(,),.l x x T l G x l x x l T lξξξξξ-⎧⋅≤≤⎪⎪=⎨-⎪⋅≤≤⎪⎩则 0()(,)y x G x P ξ*=, ()(,)()y x G x d ξϕξξ*=，对ξ从0l 到求积分,⇒0()(,)()ly x G x d ξϕξξ=⎰. 这就是负荷()x ϕ满足的方程,是一个积分方程.例2 商场库存配送问题.商场销售某商品时,必须保持一定的库存总量A ,商场进货进入该商品后所进货物在时刻t 尚未售出概率为()k t .问商场应以什么样的速度()t ϕ进货以保持稳定的库存量A . 解 开始营业时,库存为A ,随后以速度()t ϕ进货,考虑时刻t 时的库存在任一小区间[,][0,],d t d ττττ+⊂时刻内进货为().d ϕττ到时刻t 为止,这些货还剩()()k t d τϕττ-.所以时刻t 时,商品还剩：0()()().tAk t k t d τϕττ+-⎰ 故0()()().tA Ak t k t d τϕττ=+-⎰ 例3 Abel 问题(等时线问题)一质点在重力作用下,在铅直平面自由地沿某曲线光滑地下滑,定此曲线的形状,以使此点从任一高度h 开始下滑到达x 轴所用的时间为已知值()f h .图1.2解 设此点落到任一高度y ，21()2mv mg h y =-则. v ⇒=记β为过y 点的曲线的切线与x 轴夹角.⇒sin dy dtβ=⋅.⇒dy dt =记1()sin y ϕβ=. ().y dt dy ϕ⇒=0h -从积分0()().h y f h ϕ⇒=⎰ 显然,定出曲线上任一点切线与x 轴的夹角即相当于定出曲线.上式可看成求曲线方程的积分方程. 例4 人口问题.设初始时人口总数为0n .()f t 为生存函数,表示0t =时出生的人到时刻t 时的生存率,如图1.3所示.由于小孩出生,人口增加,设小孩出生率为()t γ.此出生率与当时总人口数()n t 成正比,即()()t k n t γ=⋅.取[0,]t 任一微元区间[,]d τττ+.则在此时段出生小孩为().k n d ττ⋅⋅到时刻t 时,还存在的为()[()]f t k n d τττ-⋅⋅⋅.故由于出生,到t 时为止增加的人口为：0()()tf t k n d τττ-⋅⋅⋅⎰.0t =时人口0n 到时刻t 还存在的为0()f t n ⋅,得00()()()().tn t n f t k f t n d τττ=+-⋅⎰例5 偏微分方程的边值问题在寻求偏微分方程定解问题的解时，常常也可将方程和边界条件包含在积分方程内，把解边值问题化为求解积分方程问题。
例如，偏微分方程2222220,(,,)u u u u x y z x y zλ∂∂∂+++=∈Ω∂∂∂ 及其边界条件|0.u ∂Ω=可以转化为等价的积分方程(,)()u G P Q u Q d λΩ=Ω⎰⎰⎰，其中d Ω为体积微元，(,)G P Q 是Green 函数。
§1.2.基本概念.积分方程的分类定义1.1 在积分号下出现未知函数的方程称为积分方程.（或者含有未知函数的积分的等式，称为积分方程）通常,含未知函数的积分方程一般形式为：()()(,)(())(),b aa x x K x t F t dt f x ϕλϕ=+⎰ [,]x ab ∈， (1.1) 其中(),(),(,)f x a x K x t 为已知函数,()x ϕ为未知函数,,a b 为积分上、下限,()f x 称为自由项,(,)K x t 称为积分核,λ为参数,F 为ϕ的已知函数.若F 为线性的,称(1.1)为线性积分方程,否则称为非线性方程.本课程主要研究线性方程,其一般形式为：()()a x x ϕ(,)()()ba K x t t dt f x λϕ=+⎰, [,]x ab ∈, (1.2) 按方程形式分,可分为第一类和第二类.如未知函数()x ϕ仅出现在积分号内,称为第一类方程,例如(,)()()0ba K x t t dt f x λϕ+=⎰ ； 否则称为第二类积分方程，例如()(,)()()bax K x t t dt f x ϕλϕ=+⎰.如积分上、下限均为常数,称为Fredholm 方程,否则称之为Volterra 方程，例如，当式（1.1）中的()0f x ≡时,称为齐次方程.§1.3 常微分方程转化成积分方程 通常,常微分方程的初值问题可以转化为Volterra 方程,边值问题可以转化成为Fredholm 方程. 例 一阶常微分方程0()(,),(0).dy x f x y dx y c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (1.3.1) 对(1.3.1)两边积分,得00()(,()).xy x c f s y s ds -=⎰若f 关于y 为线性,则为线性Volterra 方程,否则为非线性Volterra 方程.类似地,n 阶常微分方程()(1)(1)000101(,,,,),(),(),,().n n n n y f x y y y y x c y x c y x c ---'⎧=⋅⋅⋅⎪⎨'==⋅⋅⋅=⎪⎩可化为等价的Volterra 方程. 下面我们具体来将n 阶线性常微分方程化为Volterra 方程.()(1)1(1)011()()(),(0),(0),,(0).n n n n n y a x ya x y F x y c y c y c ---⎧++⋅⋅⋅+=⎪⎨'==⋅⋅⋅=⎪⎩ (1.3.2) 首先证明公式：121121()n xt t t n n x x x x dt dt dt f t dt ---⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰()011()()1!x n x x t f t dt n -=--⎰. 用归纳法,当1n =时，显然成立； 设n k =时，成立；则1n k =+时,210011()k xt t t k k x x x x dt dt dt f t dt -⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰11()()(1)!k xt k k k x x dt t t f t dt k -=--⎰⎰. 积分区域如图所示,交换积分顺序,得 右边011()()(1)!x x k k k x tdt t t f t dt k -=--⎰⎰1()()!xk x x t f t dt k =-⎰. 证毕. 利用分部积分法11()xt x x dt f t dt⎰⎰1011()(())xt x x x t f t dt dt '=-+⎰⎰11101[()()]t t x t x x x t f t dt ===-+⎰111()()x x x t f t dt --+⎰0111()()xx x t f t dt =-⎰()()x x x t f t dt =-⎰，利用分部积分法，可得 定理 1 设(),()[,],nf xg x C a b ∈且()()()0,()0,1,2,,1,i i f a g b i n ===-L则有()()()bn afx g x dx ⎰()(1)()()bnn af xg x dx =-⎰，特别地()()(),()(1)!,n n ng x b x g x n =-=-()()()!()bbn a afx g x dx n f x dx =⎰⎰，()1()()()!bb n n aaf x dx b x f x dx n =-⎰⎰.定理2 设()[,],f x C a b ∈则有2211()xx aa dx f x dx ⎰⎰222()(),x ax x f x dx =-⎰323211()xx x aaadx dx f x dx ⎰⎰⎰23331()(),2!xa x x f x dx =-⎰ L L2111()nxx x n n aaadx dx f x dx -⎰⎰⎰L11()()(1)!x n n n n ax x f x dx n -=--⎰. 事实上， 令 2111()()nx x n n aaF x dx f x dx -=⎰⎰L，(1)()()n n n F x f x -=，利用定理1 ，得2111()nxx x n n aaadx dx f x dx -⎰⎰⎰L()xn n aF x dx =⎰1(1)1()()(1)!x n n n n n a x x F x dx n --=--⎰11()()(1)!x n n n n ax x f x dx n -=--⎰ 。
或直接利用泰勒公式的积分余项表示公式即得.利用上述公式,我们来具体将两个常微分方程转化成积分方程. 例1.3.11201()()()(0),(0).y a x y a x y F x y c y c '''++=⎧⎨'==⎩ 解：设10()()xy x y t dt c ϕϕ'''=⇒=+⎰ ,再积分之得，11100()()xt y x dt t dt c x c ϕ=++⎰⎰100()().xx t t dt c x c ϕ=-++⎰代回方程容易得到等价的Volterra 方程.()(,)()()xx K x t t dt f x ϕϕ=+⎰,其中12(,)[()()]K x t a x a x x t =-+-， 111202()()()()()f x F x c a x c xa x c a x =---.例1.3.2 20,1(0),(0)(0) 1.2y xy y y y '''-=⎧⎪⎨'''===⎪⎩解：记().y x ϕ'''=''0()1xy t dt ϕ⇒=+⎰,()()1,xy x t t dt x ϕ'=-++⎰22011()().222xx y x t t dt x ϕ=-+++⎰232()()()2.xx x x t t dt x x x ϕϕ⇒=-+++⎰常微分方程的边值问题可以转化成Fredholm 方程.例1.3.3 01(,),(0),(0).y f x y y y y y ''=⎧⎨'==⎩解：对方程两端从0x 到积分两次得到1200()(,())x y x c x c d f t y t dt μμ=++⎰⎰120()(,())xc x c x t f t y t dt =++-⎰其中12,c c 是任意常数，它们可由初始条件或其它条件确定，现在由初始条件，可得2011,c y c y ==。
