微分方程的积分因子求解法

一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪;赵临龙【摘要】对于一阶线性常微分方程P(x+y)dx+Q(x,y)dy=0,给出2种只依赖和xayb和(xa+yb)形式的积分因子存在的充分必要条件,有助于积分因子的求解.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】3页(P53-54,65)【关键词】常微分方程;积分因子;通解【作者】刘海浪;赵临龙【作者单位】安康学院,数学系,陕西,安康725000;安康学院,数学系,陕西,安康725000【正文语种】中文【中图分类】教科文艺第30 卷2010 年第 2 期3 月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30No.2Mar.2010文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪，赵临龙（安康学院数学系，陕西安康 725000 ）摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6 ，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．关键词：常微分方程；积分因子；通解中图分类号： 0175.1文献标识码： A doi:10.3969/j.issn.1007-9831.2010.02.015 1引言及预备知识对于一阶微分方程P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x，y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ，恰当微分方程，即存在函数 v(x， y) ，使 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)且称不取零值 u(x， )， ) 为方程 (1) 的积分因子． (1)则称方程 (1) 为一阶 (2)一旦找到方程 (1) 的积分因子，就很容易求得式 (2) 的原函数 v （五） ' ），从而 v （工，），） =c 是方程 (1)的通解，引理‘ 11 设 P(x ，珐 Q( 工， y)， u(x， y) 在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，则函数 u(x， y) 为 (1) 的积分因子的充分必要条件是a “c3PaQ “ (3) Q尝一 P 考匆舐式(3)是一个以 u(x， )，）为未知数函数的一阶线性偏微分函数，通常情况下，要想通过具体求解方程 (3)而求得积分因子 u(x， y) 是比较困难的，但某些特殊情况下，不难求得 (3) 的一个特解 u(x， )， ) ，而作为积分因子，文献[1] 给出了结论：方程 (1) 有只与工有关的积分因子“（工）： e 』妒(J)出的充分必要条件是（茜一号） Q-1=cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子u(y)=ei(p(y)dy 的充分必要条件是号一罢 ] （一P ）一 = 妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，当微分方程不存在只与工或 y 有关的积分因子，用此方法无法求解．本文给出 2 种只依赖 xoy6 和 xa+y6形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因子的求解．收稿日期： 2009-10-11基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03; 2009AKXYDXS06)；安康学院重点扶持学科《基础数学》建设项目（ AZX20107 ）；安康学院重点项目( 2(X)8akxy029)作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail: 通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@第30卷 2010年第2期 3月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30 No.2 Mar.文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．引言及预备知识对于一阶微分方程 P(x ，y)dx+ Q(x ，y)dy=0若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x， y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ， u(x, y)P(x, y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)的通解，引理‘11设P(x ，珐Q( 工，y)，u(x，y)在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，a“ c3PaQ Q尝一P考匆舐式茜号Q-1= cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子 u(y)=ei(p(y)dy 的充分罢]一P=妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03;作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail:通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@高师理科学刊第30 卷2主要结果及证明定理 1方程 (1) 有一个只依赖 xoy6 形式的积分因子的充分必要条件是若 _ （茜一 oaQ]（等一等 ] 。

在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。

积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。

对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。

积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。

3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。

4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。

5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。

6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。

7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。

通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。

积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。

需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。

在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。

微分方程的求解方法与应用案例分享微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。

微分方程的求解方法多种多样，本文将介绍常见的几种求解方法，并结合实际应用案例进行分享。

一、常微分方程的求解方法1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。

首先将方程中的变量分离，然后进行积分得到结果。

例如，对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以将其化简为dy/g(y)=f(x)dx，再对两边同时进行积分即可得到解析解。

2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的方程。

通过令v=y/x，将方程转化为dv/dx=F(v)-v/x，再进行变量分离和积分即可求解。

3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程。

通过乘以一个积分因子，可以将方程化为d(μy)/dx=μq(x)，再对两边同时积分得到解析解。

4. 变量替换法变量替换法是一种常用的求解微分方程的方法。

通过引入新的变量替换原方程中的变量，可以将方程化为更简单的形式。

例如，对于形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来进行变量替换，从而简化求解过程。

二、微分方程的应用案例分享1. 放射性衰变问题放射性衰变是微分方程在物理学中的一个重要应用。

以放射性核素的衰变为例，其衰变速率与核素的数量成正比，可以用微分方程dy/dt=-ky来描述，其中y表示核素的数量，t表示时间，k为比例常数。

通过求解这个微分方程，可以得到核素的衰变规律，进而预测未来的衰变情况。

2. 振动问题微分方程在工程学中的应用也非常广泛，例如振动问题。

以简谐振动为例，可以通过微分方程m(d²x/dt²)+kx=0来描述，其中m为质量，k为弹性系数。

通过求解这个微分方程，可以得到振动的解析解，进而研究振动的频率、幅度等特性。

3. 生物种群模型微分方程在生态学中的应用也非常重要，例如生物种群模型。

用积分因子法解常微分方程摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1 恰当微分方程1.1 常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程2(),2d y dy b cy f t dt dt++= （1.1） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭++= （1.2） 就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量. 1.2 恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.3） 这里假设(,)M x y dx ，(,)N x y dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y += （1.4） 则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),u x y c = （1.5） 这里c 是任意常数.定理1[2] 设函数(,)M x y dx 和(,)N x y dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).M x y N x y x y∂∂=∂∂ （1.6） 1.3 恰当微分方程的解法方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式 方法2 不定积分法：利用关系式：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=由此，函数(,)u x y 应适合方程组(,),(,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂对(,)u M x y x∂=∂关于x 积分得 (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)u M N dx y dx y N x y y y xϕϕ∂∂∂=+=+=∂∂∂⎰⎰ 通过对方程'()(,)N dx y N x y xϕ∂+=∂⎰ 关于y 积分，解出()y ϕ，从而可得(,)()u M x y dx y ϕ=+⎰的表达式，令 (,)()M x y dx y c ϕ+=⎰即得方程的通解. 如果对(,)u N x y x∂=∂关于y 积分，同理可得方程的通解为 (,)()N x y dx x c ψ+=⎰其中()x ψ可类似于()y ϕ求解的方法得到.方法3 公式法：方程的通解为000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 或 000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 其中c 是任意常数[3].例1 求2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解解 这里2,2M x y N x y =+=-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 1,1,M N yx∂∂==∂∂ 因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法） 现在求u ，使它同时满足如下两个方程：2u x y x∂=+∂， （1）2u x y y ∂=-∂. （2） 由（1）对x 积分，得到31()3u x xy y ϕ=++， （3） 将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得()2ud y x x y y dy ϕ∂=+=-∂，于是()2,d y y dy ϕ=-积分后得2(),y y ϕ=-将()y ϕ代入（3），得到321.3u x xy y =+-因此，方程的通解为321,3x xy y c +-=这里c 是任意常数.方法2 （公式法） 取00(,)(0,0)x y =因此00(,)(,)(,)xy u x y M x y dx N x y dy=+⎰⎰200()(2)x yx y dx x y dy =++-⎰⎰321()003x y x xy y =+- 3213x xy y =+- 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.方法3（凑微分法） 将方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即32103d x dxy dy +-= 或者写成321()03d x xy y +-= 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。

微分方程的积分因子求解法常微分方程的积分因子求解法内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词：全微分方程，积分因子。

—、基本知识定义1、1对于形如M(x. y)dx + N(x. y)dy = 0 (l x 1)的微分方程，如果方程的左端恰就是X , y的一个可微函数(7(x,y)的全微分，即d U(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 1 s 1)为全微分方程、易知上述全微分方程的通解为U^y) = C, (C为任意常数).定理k 1 (全微分方程的判别法)设M(x,y),N(x,y)在x*平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则(1、1)就是全微分方程的充要条件为OM (x, y) = 6N(x, y) (1 2) dy dx证明见参考文献［1］、定义1、2对于微分方程(1、1),如果存在可微函数“(a),使得方程“(x, y) M (x, y)clx + “(x, y)N(x, y)dy = 0 (1、3)就是全微分方翟则称“(x, y)为微分方程(1、1)的积分因子、定理1、2 可微函数“(x,y)为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为Ng y ）別】"（"）_ M （X y ） 6 In “g ）二 6M （x, y ） _ 4V （x,y ）dx ， dy dy dx证明:由定理1.1得/心y ）为微分方程（1、1）的积分因子的充要条件为0（“ （俎刃N （x 』））ax展开即得:上 证毕Ng 严小-M （3）沁也」竺』一空y （料）.dxdy I dy dx 丿式整理即得（1.4）注1、1 若“（3）工0,则（1、3）与（1、1）同解。

所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1. 3 ）的通解即可，而（1、3 ）就是全微分方程，故关键在于求积分因子“（X, y ）。

为了求解积分因子A （x,y ）z 必须求解方程（1、4）。

常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。

简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。

接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。

一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。

齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。

一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。

2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。

当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。

常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。

二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。

对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。

2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。

原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。

一阶常微分方程若干求解技巧1. 可分离变量法：如果方程可以写成dy/dx=g(x)h(y)，则可以将方程分离为两个变量的方程，然后进行分别积分得到解。

2. 齐次方程法：如果方程dy/dx=f(x,y)可以写成dy/dx=g(x,y)，其中g(x,y)是齐次函数，则可以进行变量代换y=ux，将方程转化为关于u和x的可分离变量方程。

3. 全微分法：如果方程可以写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，其中M(x,y)和N(x,y)是关于x和y的已知函数，则可以判断M(x,y)和N(x,y)的一阶偏导数是否相等，如果相等，则方程为全微分方程，可以求出方程的解。

4. 高阶可降阶方程法：对于方程dy/dx=f(x,y)，可以进行变量代换u=y'，将方程转化为关于u和x的高阶方程，然后再进行求解。

5.变量替换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程，然后进行求解。

6. 恰当方程法：如果方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0满足∂M/∂y=∂N/∂x，则称该方程为恰当方程，可以使用求解恰当方程的方法求解。

7. 积分因子法：对于形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的方程，可以通过乘以适当的积分因子来使方程变为恰当方程，然后再进行求解。

8. 线性方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的线性方程，可以通过求解其特征方程来得到通解。

9. 变系数线性方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的非齐次线性方程，可以通过利用常数变易法来求解。

10.积分组合法：对于一些特殊形式的方程，可以通过将方程进行适当的积分组合，从而得到解的形式。

以上是一些常见的一阶常微分方程的解法技巧，不同的方程形式可能需要使用不同的解法。

熟练掌握这些技巧可以帮助我们更好地求解一阶常微分方程，解决实际问题。