有理数的乘方(讲义及答案).

《有理数的乘方》讲义一、有理数乘方的定义在数学中，乘方是一种运算，表示几个相同因数的积。

比如，2×2×2 可以写成 2³，其中 2 叫做底数，3 叫做指数，2³读作“2 的 3 次方”或“2 的 3 次幂”。

一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 a×a×······×a（n 个 a），记作aⁿ，读作“a 的 n 次方”。

乘方的结果叫做幂。

当指数为 2 时，通常读作“平方”；当指数为 3 时，通常读作“立方”。

二、有理数乘方的运算（一）正数的乘方正数的任何次幂都是正数。

例如，3²＝ 9，3³＝ 27 。

（二）负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

比如，（－2)³＝－8 ，（－2)²＝ 4 。

（三）零的乘方零的任何正整数次幂都是零。

即0ⁿ ＝ 0（n 为正整数）。

三、有理数乘方的运算规则（一）先确定幂的符号根据底数的正负以及指数的奇偶性来确定幂的符号。

（二）计算幂的绝对值将底数的绝对值相乘 n 次，得到幂的绝对值。

例如，计算（－3)⁴，先确定符号为正，然后计算 3×3×3×3 ＝ 81 ，所以（－3)⁴＝ 81 。

再比如，计算（－5)³，符号为负，5×5×5 ＝ 125 ，所以（－5)³＝－125 。

四、有理数乘方的应用（一）科学记数法把一个大于 10 的数表示成a×10ⁿ 的形式，其中1≤｜a|＜10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

例如，567000000 可以写成 567×10⁸。

（二）实际问题中的应用在很多实际问题中，如计算面积、体积、人口增长、细菌繁殖等，都会用到有理数的乘方。

比如，一个正方形的边长为 2 厘米，它的面积是 2×2 ＝ 2²＝ 4 平方厘米。

有理数的乘除与乘方一、课堂目标1．理解有理数的乘除运算法则，会用法则及运算律进行计算．2．理解有理数乘方的概念，会结合有理数的四则运算法则进行混合运算．二、知识引入小学我们学过正数和0之间的四则运算，比如我们会计算 、、、、、 等等这样的算式；进入初中，正负数的引入导致了数系的扩充、因此初中的计算要分为两部分——符号与绝对值——进行讨论，所有的运算都要先定符号、再定数值；当我们遇到正数与负数、负数与0的四则运算，比如 、 等等，该如何定号和定值呢？通过小学的学习我们知道可以理解为（即个相加），所以；也知道可以理解为的相反数；那么完成下面填空：=__________=__________；__________=__________；__________=__________．填完空你发现有理数乘法计算过程中有什么规律吗？三、知识讲解1. 有理数的乘法有理数乘法法则有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与 相乘，都得 ．【运算步骤】先确定积的符号，再求积的绝对值、即把两个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为 ．【推广】多个数相乘时，先确定积的符号：负因数有奇数个则积为负数、负因数有偶数个则积为正数，再求积的绝对值、即把每个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为．（简称：奇负偶正）经典例题1（1）（2）（3）（4）计算： ．． ．．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习11.．2.计算：．（1）（2）3.填空：．．4.（）有理数乘法运算律有理数乘法运算律（）乘法交换律：．（）乘法结合律：．（）乘法分配律：．【易错点津】（）乘法交换律和乘法结合律是指因数的位置交换、因数的结合，它们都包含自身符号．（）运用乘法分配律时，不要漏乘，并要注意符号，如．经典例题2（1）（2）1.计算：．．思路梳理知识点：1、2、3、2.运用简便方法计算：．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习21.计算：.2.计算： ．（1）3.计算：．4.．2. 有理数的除法倒数倒数：乘积是的两个数互为倒数．负倒数：乘积是的两个数互为负倒数．【注意】没有倒数和负倒数．【知识拓展】（）根据乘法法则中“同号得正”可知互为倒数的两个数符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（）倒数是本身的数只有和，没有倒数．（）的倒数可以用表示、负倒数可以用表示．经典例题3的倒数是 ，负倒数是 ．思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习3（1）（2）（3）（4）1.求倒数：的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．2.若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数 ；若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数互为 ．有理数的除法与小学学过的除法一样，有理数的除法和乘法也是互逆的；。

《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算丰富多彩。

前面我们已经学习了有理数的加法、减法、乘法和除法，今天，让我们一起来探索有理数运算中的另一个重要内容——有理数的乘方。

想象一下，一个正方形的边长是 2，它的面积是 4；如果边长变成 2 的 2 倍，也就是 4，面积就变成了 16。

那如果边长是 2 的 3 次、4 次呢？这就涉及到了乘方的概念。

二、乘方的定义乘方，简单来说，就是求几个相同因数的积的运算。

比如 2×2×2 可以写成 2³，读作“2 的 3 次方”或者“2 的 3 次幂”。

其中 2 叫做底数，3 叫做指数，而整个 2³叫做幂。

再举个例子，5×5×5×5 可以写成 5⁴，底数是 5，指数是 4。

乘方运算的结果叫做幂。

一个数可以看作这个数本身的一次方。

例如，5 可以写成 5¹，指数 1 通常省略不写。

三、乘方的符号法则在有理数的乘方运算中，符号的确定非常关键。

当底数是正数时，无论指数是多少，幂都是正数。

例如，3²＝ 9，3³＝ 27。

当底数是负数时，指数为偶数时，幂是正数；指数为奇数时，幂是负数。

比如，（－2)²＝ 4，（－2)³＝－8。

这是因为负数乘以负数等于正数，而负数乘以正数等于负数。

四、乘方的运算计算有理数的乘方，就是先确定符号，再进行数值计算。

例如，（－3)³，先确定符号，因为指数 3 是奇数，所以幂是负数。

然后计算数值，3³＝ 27，所以（－3)³＝－27。

再比如，（－2)⁴，指数 4 是偶数，所以幂是正数。

2⁴＝ 16，所以（－2)⁴＝ 16 。

五、乘方的应用有理数的乘方在实际生活中有很多应用。

比如在计算面积和体积时，如果边长或棱长是用乘方表示的，就需要用到乘方运算。

在计算机科学中，二进制的运算也常常涉及乘方。

《有理数的乘方》讲义一、引入在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的运算，加、减、乘、除是我们最熟悉的基本运算。

但还有一种运算，它能让数字以一种独特的方式展现出更强大的力量，那就是有理数的乘方。

想象一下，我们有一个数，不断地乘以它自己，这就是乘方的基本概念。

乘方在数学中有着广泛的应用，无论是在解决实际问题，还是在深入理解数学的本质方面，都起着重要的作用。

二、有理数乘方的定义有理数乘方是指将一个有理数乘以它自身若干次的运算。

一般地，aⁿ 表示 n 个 a 相乘，其中 a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂。

例如，2³表示 3 个 2 相乘，即 2×2×2 ＝ 8，这里 2 是底数，3 是指数，8 是幂。

再比如，（－3)⁴表示 4 个－3 相乘，即（－3)×（－3)×（－3)×（－3) ＝ 81，－3 是底数，4 是指数，81 是幂。

三、有理数乘方的运算规则1、正数的任何次幂都是正数。

比如 3²＝ 9，3³＝ 27 等。

2、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

例如，（－2)³＝－8，（－2)⁴＝ 16。

3、 0 的任何正整数次幂都是 0。

4、 1 的任何次幂都是 1，－1 的奇次幂是－1，－1 的偶次幂是 1。

四、有理数乘方的计算在计算有理数的乘方时，我们需要根据上述规则进行计算。

例 1：计算 5³5³＝ 5×5×5 ＝ 125例 2：计算（－4)²（－4)²＝（－4)×（－4) ＝ 16例 3：计算 0⁵0⁵＝ 0×0×0×0×0 ＝ 0五、有理数乘方在实际生活中的应用有理数乘方在很多实际问题中都有应用。

比如，在细胞分裂的问题中，如果一个细胞每分裂一次数量翻倍，那么经过 n 次分裂后细胞的总数就是2ⁿ 个。

有理数的乘方知识点以及分类练习【知识点1：有理数的乘方的概念和计算】1. 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在a n中，a叫做底数， n叫做指数．2. 有理数的乘方特点（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．3.符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如a n≥0．【知识点1：有理数的乘方的概念和计算 练习】1. 比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ） A ． 它们底数相同，指数也相同 B ． 它们底数相同，但指数不相同C ． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ． 虽然它们底数不同，但运算结果相同 2. 下列说法中，正确的是（ ）．A ．一个数的平方一定大于这个数B ．一个数的平方一定是正数C ．一个数的平方一定小于这个数D ．一个数的平方不可能是负数 3. 一个数的平方是它的倒数，那么这个数是（ ） A ．1B ．0C ．1或0D ．1或1-4. 计算()23-的结果是（ ） A ．9-B ．9C ．6-D ．65. 下列说法正确的是（ ） A ．-23的底数是2- B ．23读作：2的3次方 C ．27的指数是0 D ．负数的任何次幂都是负数6. ﹣12020＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2020D ．﹣20207. 对于式子（-2）3，下列说法不正确的是：（ ） A ．指数是3B ．底数是2-C ．幂为6-D ．表示3个2-相乘8. 下列各组数中，互为相反数的有（ ）①(2)--和|2|-- ②2(1)-和21- ③32和23 ④3(2)-和32- A ．④B ．①②C ．①②④D ．①③④9. 下列每对数中，相等的一对是（ ） A ．（-1）3和-13 B ．-（-1）2和12 C ．（-1）4和-14D ．-|-13|和-（-1）310. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．2与0.5B ．（-1）2与1C ．-1与（-1）2D ．2与|-2|11. 下列各组数中，结果相等的是（ ） A ．52与25 B ．﹣22与（﹣2）2 C ．﹣24与（﹣2）4 D ．（﹣1）2与（﹣1）2012. 下列运算中错误的是（ ） A ．（-2）4＝16 B ．233=827 C ．（-3）3＝-27 D ．（-1）104＝113. 式子−435的意义是（ ）．A ． 4与5商的立方的相反数B ．4的立方与5的商的相反数C ．4的立方的相反数除5D ．−45的立方 14. （﹣1）2016的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2016 D ．﹣2016 15. 下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n)，都有(m －n)2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3． A ．1 B ．2C ．3D ．016. 在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在235中底数是________，指数是________． 17. 计算：﹣（﹣3）2＝ ．18. -（-3）＝ ；-25＝ ；−(−13)3= ；225= ．19. -[-（-3）]3＝ .20. 已知a ＜2，且|a-2|＝4，则a 3的倒数的相反数是 ．【知识点：有理数的混合运算】 1.有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.在运算过程中注意运算律的运用．【知识点：有理数的混合运算 练习】 1. 计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．22. 计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ） A ．﹣2 B.2 C ．﹣22014D ． 220153. 若(a −1)2+|b −2|=0，则(a −b)2020的值是（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．20184. 1×2+2×3+3×4+…+99×100＝（ ） A ．223300B ．333300C ．443300D ．4333005. 计算(－2)2009＋3×(－2)2008的值为( ) A ．－22008B ．22008C ．(－2)2009D ．5×220086. 计算−32×(−13)2−（−2）3÷（−12）2的结果是（ ）． A ．-33 B ．-31 C ．31 D ．337. 如果()()01122=-++b a ，那么()2a b -的值为( ) ．A ．0B ．4C ．－4D ．28. 已知n 表示正整数，则 n n 1(1)(1)2+-+- 的结果是 （ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法确定，随n 的不同而不同9. 若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（ ）A ．2B ．3C ．2020D ．202110. 设三个互不相等的实数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，,bb a的形式，则20192020a b +的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．1D ．211. 如果有理数m 、n 满足m ≠0，且m ＋2n ＝0，则−(n m )2= ． 12. 看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有 个孙悟空． 13. 若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，则（a ＋b ）2＋a 2003＝ ． 14. 如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为 ．15. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x 的值为 ． 16. 计算：（1）4×（﹣12−34+2.5）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．17. 计算：（1）-14－（1－0.5）×13－[2－（-3）2]（2）（-2）4÷（-4）×（12）2－1218. 计算：（1）-81÷214-（-94）÷（-16） （2）-15-213+415÷（-3）×（-521）（3）（-2）3×214+（-32）2÷（-12）3 （4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)（5）（-1）5-[-3×（-23）2-113÷（-2）2]19.用简便方法计算：(1)（35−12−712）×（60×37−60×17+60×57）(2)[113×（1-14）2－（-112）2×316]×（-513）20.某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？a⨯的形式（其中a是整数数位只有一位的数，1.把一个大于10的数表示成10nl≤|a|＜10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如：42000000＝4.2×107.2.负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如：-3000＝-3×103；3.把一个数写成a×10n形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【知识点：科学计数法练习】1.国家统计局的相关数据显示，2018年我国国民生产总值(GDP)超过90万亿元，将这个数据用科学记数法表示为( )A．9×1013元B．9×1012元C．90×1012万元D．9×10142.据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×105人 B．7.6057×106人C．7.6057×107人 D．0.76057×107人3.计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1064.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是____________．5.用科学记数法表示：（1）3870000000；（2）3000亿；（3）-287.6.（1）___________（2）________（3）___________1.探索规律的一般方法：（1）从具体的，实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想；（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；（4）总结规律，大胆猜想，做出结论，并验证结论正确与否；S（5）在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。

有理数的乘方（讲义）➢ 课前预习1. 填空：边长为a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是a ×a ；边长为a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______；类似地，我们可以把2×2×2记作______，2×2×2×2记作______； 2×2×…×2×2（n 个2）记作_______．2. 根据第1题的内容，填空：22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；27=______；28=______；29=______；210=______．(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______；312⎛⎫-⎪⎝⎭=___________________=______． 3. 四则混合运算顺序：先算________，再算________；同级运算，从左向右进行；如果有括号，先算括号里面的．➢ 知识点睛1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____，______叫底数，____叫指数，读作_______________）．2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____；28=____；29=____；210=____．3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 4. 科学记数法的定义：__________________________________________________________________________________．5. 有理数混合运算顺序：先________，再________，最后________；同级运算，从左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．➢ 精讲精练1. 在74中，底数是_____，指数是_______；在513⎛⎫- ⎪⎝⎭中，底数是_____，指数是________． 2. 对比(-4)3和-43，下列说法正确的是（ ）A ．它们的底数相同，指数也相同B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 3. 下列计算正确的是（ ）A ．4381-=B ．2(6)36--=C ．23324-=-D ．3225125⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4. 下列各组数中，值相等的是（ ）A ．23与32B ．22-与2(2)-C ．2)3(-与2(3)--D ．232⨯与2)32(⨯ 5. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-3)2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（ ） A ．6 B ．8C ．-5D ．5 6. 一个数的平方是16，则这个数是（ ）A ．4B ．-4C ．±4D ．87. 若有理数(3)n -的值是正数，则n 必定是（ ）A ．正数B ．奇数C ．负数D ．偶数8. 下列各式一定成立的是（ ）A ．22()a a =-B ．33()a a =-C ．22a a -=-D ．33a a =-9. 计算：（1）2292343⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭；（2）322(2)0.54(2)-⨯-÷-；（3）3332(32)⨯--⨯； （4）235(4)48⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（5）3116(2)(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭；（6）3222011(2)492⎛⎫⨯---÷ ⎪⎝⎭；（7）22141220.532-÷-÷⨯-；（8）42110.5233⎡⎤-+(1-)⨯⨯-(-)⎣⎦；（9）243213(0.25)232⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（10）234100(1)(1)(1)(1)(1)-+-+-+-++-…．10. 2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34 200 000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34 200 000用科学记数法表示为__________．11. 2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42 000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42 000万千克可用科学记数法表示为___________千克．12. 下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？（1）我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约9.6×106平方千米，9.6×106的原数为__________________． （2）人体中约有2.5×1013个红细胞，则2.5×1013的原数是__________________________．13.乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：14.某自行车厂计划一周生产自行车1 400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（单位：辆；超产记为正，减产记为负）：（1可知，该厂本周实际生产自行车多少辆？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；不足部分每辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2a ；3a ；a a a ⨯⨯；32；42；2n2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 024(3)(3)(3)-⨯-⨯-；-27；111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；18- 3. 乘除；加减➢ 知识点睛1. 幂；a n ；a ；n ；a 的n 次方（或“a 的n 次幂”）2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 0244. 一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中1≤a <10，n 为正整数，这种记数方法叫做科学记数法 5. 乘方；乘除；加减➢ 精讲精练1. 7；4；13-；52. D3. C4. C5. D6. C7. D8. A9. （1）169-； （2）-8； （3）240；（4）-22； （5）122-； （6）314-； （7）718-；（8）136-；（9）132-； （10）0． 10. 3.42×107 11. 4.2×10812. （1）9 600 000；（2）25 000 000 000 000 13. 赚了，赚了2500元．14. （1）213辆；（2）1 408辆；（3）25辆；（4）84 600元．。

有理数的乘方（4种题型）【知识梳理】一、有理数的乘方1、求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。

a 叫底数，n 叫指数，na 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)。

2、乘方的意义：n a 表示n 个a 相乘。

n a n a a a a a =⨯⨯⨯⨯ 个 3、写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．4、n a 与－na 的区别．(1)n a 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．如：3)2(−底数是2−，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘． 3)2(−＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．32−底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．32−＝－(2×2×2)＝－8． 注：3)2(−与32−的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。

5、乘方运算的符号规律． (1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇次幂是负数．(3)负数的偶次幂是正数．(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．所以，任何数的偶次幂都是正数或0。

二、有理数的混合运算1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。

2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即a+−b−)(a−=+bab(，ba−−)=−三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【考点剖析】一．有理数的乘方（共11小题）1．（2022秋•南浔区期末）下列各组数中，运算结果相等的是（）A．（﹣5）3与﹣53B．23与32C．﹣22与（﹣2）2D．与【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可．【解答】解：A、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，故相等，符合题意；B、23＝8，32＝9，故不相等，不符合题意；C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故不相等，不符合题意；D、，，故不相等，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义．2．（2022秋•苍南县期中）把写成幂的形式是．【分析】根据有理数的乘方得出结论即可．【解答】解：＝（）5，故答案为：（）5．【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方计算是解题的关键．3．（2022秋•柯桥区月考）如果a，b，c是整数，且a c＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣3，﹣27）＝．【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．【解答】解：设（﹣3，﹣27）＝x，∵ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，∴（﹣3）x＝﹣27．∵（﹣3）3＝﹣27，∴x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．4．（2023•西湖区校级二模）﹣33＝（）A．﹣9B．9C．﹣27D．27【分析】运用乘方知识进行计算、求解．【解答】解：﹣33＝﹣27，故选：C．【点评】此题考查了实数的立方运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．5．（2022秋•青田县期末）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2＝0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出不等式，求出n的取值范围即可．【解答】解：∵折一次厚度变成这张纸的2倍，折两次厚度变成这张纸的22倍，折三次厚度变成这张纸的23倍，折n次厚度变成这张纸的2n倍，设对折n次后纸的厚度超过9mm，则0.09×2n＞9，解得2n＞100．而26＜100＜27．∴n为7．故选：C．【点评】本题考查从实际中寻找规律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．6．（2022秋•文成县期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．﹣3＝……①＝9÷1……②＝9……③错误步骤的序号：；正确解答：；【分析】根据有理的乘除法则及运算顺序进行判断，并计算便可．【解答】解：∵﹣32＝﹣9，∴步骤①错误；正确的解答如下：﹣3＝﹣9÷（﹣8）×＝﹣9×＝﹣．故答案为：①；﹣．【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟记运算法则与运算顺序．7．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝．【分析】根据有理数的乘方计算即可【解答】解：23＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义．8．（2020秋•义乌市校级月考）定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝．（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根据运算性质，填空：d（12）＝，d（）＝，d（）＝．【分析】（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；（2）由劳格数的运算性质可知，两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和；两数商的劳格数等于这两个数的劳格数的差，据此可解．【解答】解：（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）＝3；故答案为：3．（2）由劳格数的运算性质：若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，则d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，则d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，∴d（2）＝0.3，d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48−0.3＝0.66，故答案为：1.08，﹣0.12，0.66．【点评】本题考查了有理数的乘方，定义新运算，读懂题中的定义及运算法则是解题的关键．9．（2021秋•吴兴区期中）已知三个互不相等有理数a，b，c，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示为0，，b的形式，则a2020b2021值是．【分析】由有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．【解答】解：因为三个互不相等的有理数1，a，a+b分别与0，，b对应相等，为有理数，∴a≠0，a+b＝0，∴＝﹣1，b＝1，∴a＝﹣1，∴a2020b2021＝（﹣1）2020×12021＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了实数的运算，属于探索性题目，关键是根据已知条件求出未知数的值再计算．10．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）213+23+33＝36＝62＝（1+2+3）213+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2（1）13+23+33+ (103)（2）13+23+33+ (203)（3）13+23+33+…+n3＝（4）计算：113+123+133+…3的值．【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；（2）13+23+33+…+203＝44100；（3）13+23+33+…+n3＝；（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．11．（2020秋•萧山区期中）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…．回答下列三个问题：①验证：（2×）100＝，2100×（）100＝；②通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝；（a•b•c）n＝；③请应用上述性质计算：（﹣0.125）2019×22018×42017．【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．②通过猜想归纳解决此题．③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．【解答】解：①＝1100＝1，＝＝1．故答案为：1，1．②（a•b）n＝anbn，（a•b•c）n＝anbncn．故答案为：anbn，anbncn．③（﹣0.125）2019×22018×42017＝×22018×42017＝＝＝＝．【点评】本题主要考查有理数的乘法、积的乘方，熟练掌握有理数的乘法法则、积的乘方是解决本题的关键．二．非负数的性质：偶次方（共5小题）12．（2022秋•丽水期中）已知a，b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣5【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，故a+b＝﹣3+2＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．13．（2022秋•青田县期中）若|m+1|+（n﹣3）2＝0，则m n的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】利用非负数的性质求出m与n的值，代入所求式子计算即可得到结果．【解答】解：∵|m+1|+（n﹣3）2＝0，|m+1|≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，即m＝﹣1，n＝3，则mn＝（﹣1）3＝﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．14．（2021秋•兰山区校级月考）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则y x＝．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．15．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题．【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0．∴a＝2，b＝﹣1．∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．16．（2022秋•衢州期中）已知，则（ab）2022＝．【分析】根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出a、b的值然后代入代数式计算即可．【解答】解：∵，∴，b+2＝0，∴，b＝﹣2，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出a、b的值是解此类题的关键．三．科学记数法—表示较大的数（共9小题）17．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：4400000000＝4.4×109，故答案为：4.4×109．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．18．（2023•杭州）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）A．8.8×104B．8.08×104C．8.8×105D．8.08×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：80800＝8.08×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．19．（2023•路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（）A．0.22819×1010B．0.22819×1011C．2.2819×1010D．2.2819×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．20．（2023•郧阳区模拟）2022年5月10日凌晨，长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面390000米的高度，与空间站完成自主交会对接任务．390000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：390000＝3.9×105．故答案为：3.9×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a n的值．21．（2022秋•拱墅区月考）北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术．可根据不同项目分区域、分标准制冰．将数据12000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案为：1.2×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．22．（2023•余姚市二模）中国空间站2022年建成，轨道高度为400～450千米．“450千米”用科学记数法表示是（）A．4.5×105米B．0.45×107米C．45×105米D．4.5×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：“450千米”等于“450000米”，用科学记数法表示是4.5×105米．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．23．（2021秋•越城区校级月考）一次自然灾害导致大约20万人受困，急需准备一批帐篷和粮食进行援助．估计每顶帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0.4千克，共维持15天，那么有关部门需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？（结果用科学记数法表示）【分析】根据题意列式计算，并用科学记数法表示结果即可．【解答】解：根据题意得：20万＝200000，所以有关部门需要筹集200000÷10＝20000（顶）帐篷，即2×104顶帐篷；需要筹集200000×0.4×15＝1200000（千克）粮食，1200000千克＝1200吨即1200＝1.2×103吨粮食．a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．24．（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．答：行驶的路程为1.08×1012m．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．25．（2022秋•永嘉县校级月考）已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB ＝1024MB，1MB＝1024KB）【分析】根据题意列式求解，最后化成科学记数法．【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．四．科学记数法—原数（共1小题）26．（2021秋•平阳县期中）用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（）A．4315B．431.5C．43.15D．4.315【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数．【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，故选：A．【点评】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·七年级假期作业）()23−的相反数为（）A．3−B．3C．9−D．9【答案】C【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：()239−=，根据相反数的定义可知：9的相反数是9−．故选：C．【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（2022秋·浙江·七年级期末）32的意义是（ ） A ．2×3 B ．2＋3 C ．2＋2＋2 D ．2×2×2【答案】D【分析】根据幂的意义即可得出答案．【详解】解：，32222=⨯⨯故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握na 表示n 个a 相乘是解题的关键． 3．（2023·浙江·七年级假期作业）代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为（ ）A ．2n +B ．2nC ．2nD ．n2【答案】C【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.【详解】解：代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为2n； 故选：C.【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.【答案】C【分析】由相反数的定义和非负数的性质求出a 、b 的值，代入计算即可． 【详解】解：∵5a +与6b −互为相反数，560a b ∴++−=，50a ∴+=，60b −=，解得5a =−，6b =，202120212021()(56)11a b ∴+=−+==．故选C ．【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质，解题的关键是求出a 、b 的值．5．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）下列对于式子()23−的说法，错误的是（ ） A ．指数是2 B ．底数是3− C ．幂为3− D ．表示2个3−相乘【答案】C【分析】根据乘方的定义解答即可． 【详解】A ．指数是2，正确； B ．底数是3−，正确； C ．幂为9，故错误；D ．表示2个3−相乘，正确；． 故选C ．【点睛】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在na 中，它表示n 个a 相乘，其中a 叫做底数，n 叫做指数．6．（2023·浙江·七年级假期作业）观察下列等式：071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，…，根据其中的规律可得30122027777++++的结果的个位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【分析】由已知可得尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环，则30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同，即可求解．【详解】解：∵071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，…，∴尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环， ∵179320+++=，∴01237777+++的个位数字是0，又∵20244506÷=，∴30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同， ∴30122027777++++的结果的个位数字是0．故选：A ．【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 7．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个．经过3分钟，这种细胞由2个分裂成（ ）个． A ．102 B ．112 C ．122 D ．132【答案】C【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解． 【详解】解：∵3分钟3601215=⨯=⨯秒， ∴经过3分钟，这种细胞由2个分裂成122个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键． 8．（2023·浙江·七年级假期作业）已知n 为正整数，计算()()22111nn +−−−的结果是（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】D【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：()()22111112nn +−−−=+=，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 9．（2023·浙江·七年级假期作业）已知28.6274.3044=，若20.743044x =，则x 的值（ ） A ．86.2 B ．0.862 C ．0.862± D ．86.2±【答案】C【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x 的值．【详解】解：∵28.6273.96=，20.7396x =，∴220.862x =，则0.862x =±． 故选C ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．二、填空题10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：()3232−⨯−=_____． 【答案】72【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：()()32329872−⨯−=−⨯−=．故答案为：72．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．11．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）把22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式是____________. 【答案】52【分析】根据有理数的乘方的定义及幂的定义解答即可． 【详解】解：22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式为：52． 故答案为：52．【点睛】本题考查了有理数的乘方及幂的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．【分析】先根据()2320a b −++=求出a 和b 的值，再把a 和b 的值代入()2022a b +即可求解．【详解】解：∵()2320a b −++=，∴,a b −=+=3020，解得：3,2a b ==−，∴()()a b =−=+20222022132，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值与偶次幂的非负性，幂的运算，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键．【答案】 34 3 ﹣2764【分析】根据有理数的乘方的定义和意义，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数；na 表示n 个a 相乘，即可．【详解】∵在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数∴334⎛⎫− ⎪⎝⎭的底数是34，指数是3∵na 表示n 个a 相乘∴3332744464⎛⎫−⨯⨯=−⎪⎝⎭故答案为：34；3；﹣2764．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义和意义． 14．（2023·浙江·七年级假期作业）已知24m =，则m =______________． 【答案】2【分析】把4写成22即可求出m 的值．【详解】解：∵24m =且24=2，∴222m =，∴2m =， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成22是解答本题的关键．【答案】243【分析】根据题意可求出第一次截去全长的13，剩下213⨯米，第二次截去余下的13，剩下2123⨯，从而即可得出第五次截去余下的13，剩下532133224⨯=米．【详解】解：第一次截去全长的13，剩下1111332⎛⎫⨯−=⨯⎪⎝⎭米，第二次截去余下的13，剩下2911111133432⎛⎫⎛⎫⨯−⨯−=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭米，…第五次截去余下的13，剩下532133224⨯=米．故答案为：32 243．【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键．三、解答题【答案】(1)正(2)负(3)负(4)负【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可．【详解】（1）解：∵12(6)−的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数，∴12(6)−的结果为正；（2）解：∵9(0.0033)−的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数，∴9(0.0033)−的结果为负；（3）解：∵85−表示的是85的相反数，正数的任何次幂都是正数， 85的结果为正，所以85−的结果为负；（4）解：∵1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的结果为负．【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．【答案】(1)625(2)85−(3)0.027【分析】（1）4(5)−表示4个5−相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案；（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．【详解】（1）4(5)(5)(5)(5)(5)625−=−⨯−⨯−⨯−=；（2）322228555⨯⨯−=−=−； （3）[]3(0.3)(0.3)(0.3)(0.3)(0.027)0.027−−=−−⨯−⨯−=−−=．【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式： ①2(35)⨯与2235⨯；②2[(2)3]−⨯与222)3⨯(-；（2）根据以上计算结果想开去：3()ab 等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n 为正整数时， ()n ab 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求20202021(4)0.25−⨯的值． 【答案】（1）①225，225,2(35)⨯=2235⨯;②36，36，2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-，（2）33a b（3）见详解 （4）0.25．【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， ②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， （2）直接按（1）写结果即可，（3）利用乘方()nab 的意义写成n 个数相乘，利用交换律转化为n a aa 个与n b bb个乘积即可．（4）利用积的乘方的逆运算把202120200.250.250.25=⨯，然后20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.25−⨯⨯，再简便运算即可．【详解】（1）①2(35)⨯=152=225，2235⨯=9×25=225，2(35)⨯=2235⨯，②2[(2)3]−⨯=(-6)2=36， 222)3⨯(-=4×9=36， 2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-，（2）333()ab a b =（3）()()()()=n n n n n n ab ab ab ab a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个个个．（4）20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.2510.250.25−⨯⨯=⨯=．【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．【答案】(1)1，1；(2)ab ，anbn ，abc ，anbncn ；(3)﹣0.125【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．（2）根据有理数乘方的定义求出即可；（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为：1，1． （2）解：（ab ）n ＝anbn ，（abc ）n ＝anbncn ，故答案为：ab ，anbn ，abc ，（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘n a a a ⋅个，记为an ． 如322228⨯⨯==，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8(即2log 83=)．一般地，若n a b =(0a >且10a b ≠>，)，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b (即log a b n =)． 如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81(即3log 814=)．问题：(1)计算以下各对数的值：2log 4=_________，2log 16=_________，2log 64=_________．(2)通过观察（1），思考：2log 4、2log 16、2log 64之间满足怎样的关系式？(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log log a a M N +＝______（0a >且100a M N ≠>>，，）．(4)利用（3）的结论计算44log 2log 32+＝______．【答案】(1)2，4，6(2)222log 4log 16log 64+=(3)()log a MN(4)3【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：41664⨯=，222log 4log 16log 64+=； （3）由特殊到一般，得出结论：()log log log a a a M N MN +=（4）根据（3【详解】（1）解：(1)∵24624216264===，， ∴222log 42log 164log 646===，，，故答案为：2，4，6；（2）∵41664⨯=，2log 42=，2log 164=，2log 646=， ∴222log 4log 16log 64+=， 故答案为：222log 4log 16log 64+=；（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．则()log log log a a a M N MN +=， 故答案为：()log a MN ．（4）44log 2log 32+()4log 232=⨯4log 64=3=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键．【答案】(1)710，8a(2)m n a +(3)2023x ，31n y +(4)18【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．【详解】（1）257101010⨯=，358a a a ⨯=，故答案为710，8a ；（2）m n mn a a a ⨯=（m 、n 都是正整数），故答案为m n a +；（3）220201*********x x xx x ++=⋅=⋅，212131n n n n n y y y y ++++⋅==， 故答案为2023x ，31n y +；（4）∵3,6a b x x ==，∴3618a b a b x x x +=⋅=⨯=，故答案为18．【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． ，一般地，把n a a a aa a ÷÷÷个（a ≠02⎝⎭深入思考【答案】(1)12，8− (2)213，415，82 (3)21n a −(4)1−【分析】（1）（2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算；（3）根据（1）（2）得出规律21n a a −=ⓝ；（4）根据（3）的规律求解即可．【详解】（1）解：122222=÷÷=③， 1111118222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−÷−÷−÷−÷−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤， 故答案为：12，8−；（2）解：(3)−=④21(3)(3)(3)(3)3−÷−÷−÷−=， 4155555555÷÷÷=÷÷=⑥， 1111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−−−−−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝=÷⎭÷÷÷÷÷÷÷÷⎭⎝⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎭⑩82=； 故答案为：213，415，82；（3）解：21n a a a a a a −=÷÷⋯⋯÷=ⓝ， 故答案为：21n a −；（4）解：3242(16)2÷+−⨯④21248(16)2=÷+−⨯ 13(16)4=+−⨯34=−1=−．【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．。

有理数的乘方引入：棋盘上的数学古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋，献给了国王,国王从此迷上了下棋。

为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求.大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格.”“你真傻！就要这么一点米粒？!”国王哈哈大笑,大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！” 设计意图：通过创设故事和问题情境，吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。

猜想第64格的米粒是多少? 第1格： 1 第2格： 2 第3格： 4=2×2=22第4格: 8=2 ×2 ×2=23第5格: 16= 2 ×2 ×2 ×2=2463个2第64格=2×2×······×2=263【知识点二】乘方的意义乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方a ·a ·…·a =a na n读作a 的n 次幂（或a 的n 次方）. 其中a 是底数,n 是指数。

【例1】把下列各数写成乘方的形式（1） （—6）×（-6） ×（—6） （2）32323232⨯⨯⨯ （3）－2×2×2×2变式训练读出下列个数，并指出其中的底数和指数1） 在（－9）7中，底数是 ，指数是 ,读作 ，或读作 ; 2) 在83中,底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ；3) 在 中，底数是 ，指数是 ，读作 ;4) 在－24中,底数是 ，指数是 ；5）在 5 中，底数是 ,指数是 。

【知识点三】有理数乘方的运算法则:正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；【例2】计算 1） （-3）4 2) —34３) 4)５）（—1)11【例3】计算并对比= ___ = ______（-1)2n =____ （-1)2n-1=_____443⎪⎭⎫ ⎝⎛35.1443⎪⎭⎫ ⎝⎛-2)3(-23-【知识点四】科学记数法：科学记数法的的定义：我们把大于10的数记成a×10n 的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即1≤a〈10），n是正整数。

1.5.1有理数的乘方有理数乘方的概念题型一：有理数乘方的概念【例题1】（2021·河北唐山市·九年级二模）对于16n 叙述正确的是（ ） A ．n 个15n 相加 B ．16个n 相加 C ．n 个16相乘 D ．n 个16相加【答案】A 【分析】结合有理数的乘方把每一个选项都用含n 的代数式表示出来，即可选择． 【详解】选项A 可表示为1516n n n =； 选项B 可表示为1616n n =； 选项C 可表示为16n ； 选项D 可表示为1616n n =；知识点管理 归类探究 乘方概念：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ×a ×a ⋯×a ⏟ n 个，记作na ，读作a 的n 次方。

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

na读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂。

要点诠释：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。

故选A．【点睛】本题考查有理数的乘方，理解有理数幂的概念是解答本题的关键．变式训练【变式1-1】（2021·河北邯郸·九年级二模）313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是（）A．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．()()()1113-⨯-⨯-D．()1333-⨯⨯【答案】A【分析】直接根据乘方的意义解答即可．【详解】解：313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作a n，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n中，a叫做底数，n叫做指数．【变式1-2】（2020·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（）A．32-的底数是2-B．32读作：2的3次方C．27的指数是0D．负数的任何次幂都是负数【答案】B【分析】根据有理数乘方的定义解答．【详解】解：A、-23的底数是2，故本选项错误；B、23读作：2的3次方，故本选项正确；C、27的指数是1，故本选项错误；D 、负数的偶数次幂是正数，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，要知道，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数． 【变式1-3】（2019·浙江温州市·七年级期中）()43-底数是____，运算结果是____． 【答案】-3 81 【分析】根据有理数的乘方的定义和法则解答即可． 【详解】解：()43-的底数是3-， 运算结果是()43-=81， 故答案为：-3，81． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键．有理数乘方的符合问题题型二：有理数乘方的符合问题【例题2】（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）()20211-=（ ）A ．-1B ．1C ．-2021D ．2021【答案】A 【分析】由负数的奇次方是负数即可得出结果． 【详解】 解：()202111-=-，故选A ． 【点睛】负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

有理数的乘方及科学记数法是初中数学六年级下学期第1章第2节的内容，重点是掌握有理数的乘方运算及科学记数法的表示方法．熟练有理数的乘方运算对于下一讲学习有理数的混合运算将会很有帮助．1、 乘方（1）一般地，我们把n 个相同因数a 相乘，记作na，即nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．（2）定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在n a 中， a 叫做底数，n 叫做指数．n a 读作a 的n 次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）．（3）读法：n a 读作a 的n 次方，n a 看作运算结果时，读作a 的n 次幂．有理数的乘方及科学记数法内容分析知识结构模块一：有理数的乘方知识精讲n=．（n为正整数）（4）特别地：11n=，00（5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．2/ 18【例1】 23的底数是______，指数是______；434⎛⎫- ⎪⎝⎭的底数是______，指数是______；35-的底数是______，指数是______．【答案】3，2；34-，4；5，3．【解析】乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数． 【总结】本题主要考察乘方的定义．【例2】 平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______． 【答案】0和1，1-、0和1．【解析】在有理数中，平方等于它本身的数是0和1；立方等于它本身的数是1-、0和1． 【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例3】 计算：（1）23=______；（2）()23-=______；（3）23-=______；（4）()33-=______． 【答案】（1）9；（2）9；（3）-9；（4）-27． 【解析】负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数． 【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例4】 n 为正整数，则()21n-=______，()211n +-=______，()1n-=______．【答案】1；-1；-1（n 为奇数）或1（n 为偶数） 【解析】-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是它本身． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意分类讨论．【例5】 下列各对数中，数值相等的是（ ）例题解析A．25-与52-B．53-与()53-C．()22-与22-D．()223⨯与223⨯【答案】B．【解析】在n a中，a是底数，n是指数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例6】一个数的平方一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【答案】D．【解析】任何一个数的平方一定是非负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例7】计算：（1）232⎛⎫-=⎪⎝⎭______；（2）332⎛⎫--=⎪⎝⎭______；（3）3112⎛⎫-=⎪⎝⎭______；（4）41.5-=______；（5）332-=______；（6）()40.25-=______．【答案】（1）94；（2）278；（3）278-；（4）8116-；（5）272-；（6）1256．【解析】nn aa a a a a⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例8】如果一个有理数的平方等于()22-，那么这个有理数等于（）A．2-B．2 C．4 D．2或2-【答案】D．【解析】()22=4-，平方等于4的数是2或2-．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例9】平方等于164的数是______，立方等于164的数是______．4/ 18【答案】18±，14．【解析】根据乘方的定义，n n a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……，平方等于164的数是18±，立方等于164的数是14． 【总结】本题主要考察有理数的乘方和立方的特征．【例10】 下列代数式中，值一定是正数的是（ ） A ．2a B ．6x -+C ．()212a -+D ．42x -+【答案】C ．【解析】正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 【总结】本题主要考察有理数的乘方和立方．【例11】 若20a b ->，则b ______0；若20a b -<，则b ______0．（填“>”或“<”） 【答案】<；>．【解析】2200a a ≥∴-≤，，则当20a b ->时，0b <；当20a b -<时，0b >． 【总结】本题主要考察有理数的乘法和乘方．【例12】 如果22x x -=-，则x =______．【答案】0．【解析】222222000x x x x x x -≤-≥-=-∴-=-=，，，，即0x =． 【总结】本题主要考察有理数的乘方和绝对值．【例13】 把下列各组数的大小关系用“<”号连接：（1）()21.2，()31.2，()41.2可表示为_________________________；6 / 18（2）()20.2，()30.2，()40.2可表示为_________________________； （3）()21.2-，()31.2-，()41.2-可表示为_________________________； （4）()20.2-，()30.2-，()40.2-可表示为_________________________． 【答案】（1）()()()2341.2 1.2 1.2<<； （2）()()()4320.20.20.2<<； （3）()()()3241.2 1.2 1.2-<-<-； （4）()()()3420.20.20.2-<-<-．【解析】在n a 中，当01a <<时，n a 随n 的增大而减小，当1a >时，n a 随n 的增大而增大；当0a <时，先判断正负，再比较大小．【总结】本题主要考察有理数的乘方的大小比较，解答的关键是熟练掌握负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数．【例14】 计算：（1）()323⨯-；（2）()2332-⨯-； （3）()22121--⨯-；（4）()2163⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭．【答案】（1）54-； （2）108-； （3）3-； （4）54-． 【解析】（1）()()32322754⨯-=⨯-=-； （2）()2332274108-⨯-=-⨯=-； （3）()22121123--⨯-=--=-； （4）()21166695439⎛⎫-÷-=-÷=-⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除．【例15】 计算： （1）2322⨯；（2）()2322-⨯；（3）()3222⨯-；（4）()2322⨯-．【答案】（1）32；（2）32；（3）32-；（4）32-．【解析】nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘法计算，计算顺序先乘方再乘法，注意符号．【例16】 计算： （1）3322÷；（2）()3222-÷；（3）()2322÷-；（4）()3222÷-．【答案】（1）1；（2）2-；（3）2；（4）2-．【解析】（1）3322881÷=÷=； （2）()3222842-÷=-÷=-； （3）()2322842÷-=÷=； （4）()3222842÷-=-÷=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘法计算，计算顺序先乘方再除法．【例17】 计算：（1）()32414554⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭；（2）()()()23323102---÷-+⨯-．【答案】（1）59-；（2）1-．【解析】（1）()()3241455645594⎛⎫÷--÷-=---=- ⎪⎝⎭；（2）()()()233231024301---÷-+⨯-=-++=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除，注意符号．【例18】 计算：()()2232111344113264⎛⎫-+---⋅-÷- ⎪⎝⎭．【答案】114．8 / 18【解析】原式=()519911161610566444-+--⨯÷-=+-=．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除，注意符号．【例19】 某公司常用的A4打印纸的厚度约为0．1毫米，现将一张这样的纸连续对折9次，那么它有多厚？ 【答案】51.2毫米．【解析】∵一张纸的厚度大约是0．1毫米∴对折一次的厚度是10.12⨯毫米，对折两次的厚度是20.12⨯毫米……， ∴对折9次的厚度是90.1251.2⨯=（毫米）． 故答案为：51.2毫米．【总结】本题主要考察有理数的乘方运算法则，根据题意找出每次对折后纸片厚度的规律是解答此题的关键．【例20】 已知()2230a b -++=，则()3a b +=______． 【答案】1-．【解析】∵()22030a b -≥+≥，，根据题意得：2030a b -=+=，， ∴23a b ==-，， 则()()33231a b +=-=-． 【总结】本题主要考察有理数的乘方及非负数的和为零．【例21】 若234a ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()45b +互为相反数，则a =______，b =______．【答案】34，5-． 【解析】∵2304a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，()450b +≥，()24354a b ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴2304a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ()450b +=， 即354a b ==-，．【总结】本题主要考察有理数的乘方及相反数的概念．【例22】 已知x 的倒数是5，y 的相反数是2，求代数式221424x x y ⎛⎫++÷ ⎪⎝⎭的值．【答案】81400．【解析】由题意得：125x y ==-，，代入得：22142181181424425541004400x x y ⎛⎫⎛⎫++÷=++÷=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念．【例23】 323332235317340.544641843⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】274-． 【解析】原式=2725127172727166436464186464⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2725117166436418⎛⎫-⨯+-+ ⎪⎝⎭ =27259341664363636⎛⎫-⨯+-+ ⎪⎝⎭ =271664-⨯ =274-． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，分数的简便运算．模块二：科学记数法知识精讲10 / 181、 科学记数法把一个数写成10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是整数），这种形式的记数方法叫做科学记 数法．用科学记数法可以直观地表示一个数的整数的位数．如10n a ⨯（110a ≤<）有n + 1 个整数位数．【例24】 用科学记数法表示下列各数：（1）7013 =___________________； （2）123000000 =______________； （3）304500-=________________； （4）101010．1 =_______________； （5）490.04-=________________； （6）0．00036 =________________； （7）4924.7510⨯=______________； （8）50.003110⨯=_______________． 【答案】（1）37.01310⨯；（2）81.2310⨯；（3）53.04510-⨯；（4）51.01010110⨯； （5）24.900410-⨯； （6）43.610-⨯；（7）69.247510⨯；（8）23.110⨯．【解析】科学计数法的表示形式为10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是整数），a 与原数相比小数点移动几位，a 的绝对值就是几；原数绝对值小于1时，n 取负数，原数绝对值大于1时，n 取正数．【总结】本题主要考察科学计数法的意义及用科学计数法表示一个数的方法，关键是确定a 与n 的值．【例25】 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数：例题解析（1）3310⨯=________________；（2）41.3410⨯=________________；（3）53.01210-⨯=________________；（4）39.810-⨯=________________．【答案】（1）3000；（2）13400；（3）-301200；（4）-9800．【解析】将科学计数法10na⨯还原成原来的数时，当n>0时，这个数乘以10的几次方，就把这个数的小数点向右移动几位；当n<0时，这个数乘以10的几次方，就把这个数的小数点向左移动几位．【总结】本题主要考察科学计数法的应用．【例26】若53000 5.310n=⨯，则n的相反数的倒数是______．【答案】14 -．【解析】因为45300 5.310=⨯，所以n=4；4的相反数的倒数是14 -．【总结】本题主要考察科学计数法的应用及相反数、倒数的概念．【例27】（1）若一个数等于95.6210⨯，则这个数的整数位有______位；（2）若一个数等于50.00018510⨯，则这个数的整数位有______位．【答案】（1）10；（2）2．【解析】判断一个数的整数位时，将这个数化成原数再判断．【总结】本题主要考察科学计数法表示有理数．【例28】我国研制的“曙光300超级服务器”的峰值运算速度达到每秒403200000000次，它的峰值运算速度用科学记数法表示为（）A．120.403210⨯次/秒B．9403.210⨯米/秒C．114.03210⨯米/秒D．114.03210⨯次/秒【答案】D．【解析】用科学计数法表示大数时，10的指数n的值=整数位数-1．【总结】本题主要考察用科学计数法表示实际生活中的数．【例29】2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我12 / 18国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学记数法表示为______帕．【答案】84.58110⨯．【解析】科学计数法的表示形式为()10110na a ⨯≤<，所以4.581亿帕=84.58110⨯帕．【总结】本题主要考察用科学计数法表示实际生活中的数．【例30】 地球绕太阳公转的轨道半径约是149000000千米，则地球绕太阳公转一年经过的路程约为多少千米？ 【答案】89.357210⨯千米．【解析】因为地球围绕太阳公转一周的周期是一年，所以地球绕太阳公转一年经过的路程约为822 3.141490000009357200009.357210r π≈⨯⨯==⨯千米． 【总结】本题主要考察用科学计数法在实际生活中的应用．【习题1】 如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是______；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是______． 【答案】0和1-；1．【解析】如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是0和1-；如果一个数的平方是它 的倒数，那么这个数是1．【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念．随堂检测【习题2】如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个数是（）A．正数B．负数C．非负数D．任何有理数【答案】D．【解析】任何有理数的偶次幂都是非负数，正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【习题3】一个数的科学记数法是73.1410⨯，它的原数是______________．【答案】31400000．【解析】科学计数法中，指数n>0时，将小数点向右移动七位即可．【总结】本题主要考察科学计数法的定义．【习题4】计算：（1）323⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）323⎡⎤⎛⎫---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）334⎛⎫--⎪⎝⎭；（4）3113⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）()42--；（6）()21.375-．【答案】（1）827-；（2）827-；（3）274；（4）6427-；（5）16-；（6）12164．【解析】nn aa a a a a⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除．【习题5】70.062410⨯是______位数．【答案】6．【解析】判断一个数的整数位时，将这个数化成原数再判断．【总结】本题主要考察科学计数法表示数．14 / 18【习题6】 计算：（1）22512+；（2）()2183-÷-；（3）()()22233322---+--．【答案】（1）169； （2）2-； （3）22-． 【解析】（1）原式=25144169+=； （2）原式=1892-÷=-；（3）原式=994822--+-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除．【习题7】 我国国土面积约为960万平方千米，用科学记数法可表示为________平方千米，或者__________平方米． 【答案】69.610⨯，129.610⨯．【解析】960万平方米=69.610⨯平方千米， 因为1平方千米=6110⨯平方米，69.610⨯平方千米=129.610⨯平方米．【总结】本题主要考察科学计数法表示数及单位换算．【习题8】 如果把整数a 称为“旧数”，而将旧数先立方，再除以1000所得的数为“新数”，则 “旧数”15按照上述规则运算得到的“新数”为______． 【答案】278． 【解析】根据题意：新数=31000a ÷=1515152710008⨯⨯=．【总结】本题主要考察有理数的乘方，理解题意是关键．【习题9】 计算：44211318.13746⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】0.01．【解析】44211318.13746⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =4424781211210⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =44781812112100⨯⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=1100． 【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数的简便计算．【习题10】 计算：()()()323313821320.25⎡⎤--÷--+-⨯-÷⎣⎦． 【答案】43-．【解析】原式=()()27119842721843----+⨯-÷=-+-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数的简便计算，注意计算顺序，先乘方再乘除．【作业1】 计算：（1）43=______；（2）()35-=______；（3）512⎛⎫- ⎪⎝⎭=______；（4）211-=______；（5）235⎛⎫- ⎪⎝⎭=______；（6）235-=______．【答案】（1）81；（2）-125；（3）132-；（4）-121；（5）925；（6）95-． 【解析】nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【作业2】 一个数的平方是正数，则这个数的立方是（ ）A ．正数B ．负数C ．正数或负数D ．非负数【答案】C ．【解析】任何非零有理数的平方都是正数；所以这个数是正数或负数，即它的立方为正数或负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．课后作业16 / 18【作业3】 （1）30070000-=______710⨯；（2）5432000 =5．43210n ⨯，则n =______．【答案】（1） 3.007-；（2）6．【解析】用科学计数法表示绝对值大于10的数时，10的指数n 比原数的整数位数少1． 【总结】本题主要考察科学计数法表示大数．【作业4】 平方等于36的数是______，立方等于127-的数是______． 【答案】6或6-，13-．【解析】根据乘方的定义，nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……，平方等于36的数是6或6-，立方等于127-的数是13-． 【总结】本题主要考察有理数的乘方．【作业5】 ()()()()12233420162017-⨯-⨯-⨯⨯-=______．【答案】1．【解析】原式=()()()()1111-⨯-⨯-⨯⨯-…… （共2016个1-） =1．【总结】本题主要考察有理数的乘方，关键是找到规律．【作业6】 计算：（1）()33131--⨯-；（2）()2233-÷-； （3）()2233---；（4）222233⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）2；（2）1-；（3）18-；（4）89．【解析】（1）()33131132--⨯-=-+=； （2）()2233991-÷-=-÷=-；（3）()22339918---=--=-； （4）222244833399⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意先乘方再乘除．【作业7】 据统计，地球上每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，用科学技术法表示每天的排污量为______________千克． 【答案】131.22410⨯．【解析】8500000吨=8500000000千克=98.510⨯千克，故每天的排污量为：9138.5106024 1.22410⨯⨯⨯=⨯（千克）． 【总结】本题主要考察科学计数法表示数，注意单位换算．【作业8】 计算：()()33323332232238-⨯-÷+--．【答案】132819-． 【解析】原式=()()319823274182723827812781919⎛⎫-⨯-÷+-=-⨯+-=⨯-- ⎪⎝⎭321327281919=--=-． 【总结】本题主要考察有理数的乘方及混合运算．【作业9】 计算：()()26422543452854⎛⎫-⨯+-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭．【答案】164-．【解析】原式=654196259962516510108251644444⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯⨯+=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10154164--=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算．【作业10】 计算：18 / 18（1）10919999⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（2）()()502520.25-⨯-．【答案】（1）199；（2）1-． 【解析】（1）1099911111999919999999999⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()()2525502550251120.2524144⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算．。