11【提高】有理数的乘方及混合运算(培优课程讲义例题练习含答案)

2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第一章《有理数》1.5 有理数的乘方知识点1：有理数的乘方【典例分析01】（2021秋•延边州期末）一列数：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三个相邻数的和是﹣1701，则这三个数中最大的数是　．解：设最小的数为（﹣3）n，则（﹣3）n+（﹣3）n+1+（﹣3）n+2＝﹣1701，解得（﹣3）n＝﹣243＝（﹣3）5，所以这三个数分别是（﹣3）5，（﹣3）6，（﹣3）7．则这三个数中最大的数是（﹣3）6＝729．【变式训练1-1】（2019秋•济南期中）若﹣a2b＞0，且a＜0，则下列式子成立的是（ ）A．a2+ab＞0B．a+b＞0C．ab2＞0D．＞0解：∵﹣a2b＞0，且a＜0，∴b＜0，则A．a2+ab＞0，此选项正确；B．a+b＜0，此选项错误；C．ab2＜0，此选项错误；D．＜0，此选项错误；故选：A．【变式训练1-2】（2021秋•盱眙县期中）（﹣4）2015（﹣0.25）2016＝　﹣0.25　．解：（﹣4）2015（﹣0.25）2016＝[（﹣4）×（﹣0.25）]2015×（﹣0.25）＝12015×（﹣0.25）＝﹣0.25．故答案为：﹣0.25．【变式训练1-3】（2018秋•东台市月考）看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，他摇身一变，就变成了2个孙悟空；这2个摇身一变，各变成2个孙悟空，一共有4个孙悟空；这4个孙悟空再变，变成8个孙悟空…假设孙悟空一共变了80次．（1）一共有多少个孙悟空？（2）若已知地球重约5.9×1024kg，假设每个孙悟空的体重为50kg，请你列出算式来估计一下：这些孙悟空体重总和相当于地球重量的多少倍？（280≈1.2×1024）解：（1）：寻找悟空“裂变”的规律，我们发现悟空变了80次，一共有280个悟空；（2）∵280≈1.2×1024．∴280个悟空的重量约为50×280＝50×1.2×1024＝6×1025千克，那么280个悟空的重量总和应该是地球重量的（6×1025）÷（5.9×1024）≈10.2倍，即相当于10.2个地球的重量．答：（1）一共有280个悟空．（2）相当于10.2个地球重量．【变式训练1-4】（2017秋•宣州区校级期中）把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，，﹣（﹣2），0，﹣0.6363，﹣（﹣1）2007，1，﹣25%正数集合：{　﹣（﹣2），﹣（﹣1）2007，1　…}负数集合：{　﹣（﹣2）2，，﹣0.6363，﹣25%　…}整数集合：{　﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），0，﹣（﹣1）2007　…}分数集合：{　，﹣0.6363，1，﹣25%　…}．解：正数集合：{﹣（﹣2），﹣（﹣1）2007，1…}负数集合：{﹣（﹣2）2，，﹣0.6363，﹣25% …}整数集合：{﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），0，﹣（﹣1）2007 …}分数集合：{，﹣0.6363，1，﹣25% …}故答案为：{﹣（﹣2），﹣（﹣1）2007，1…}；{﹣（﹣2）2，，﹣0.6363，﹣25% …}；{﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），0，﹣（﹣1）2007 …}；{，﹣0.6363，1，﹣25% …}．知识点2：非负数的性质：偶次方【典例分析02】（2021秋•德州期中）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则（a+b）2015的值是（ ）A．1B．0C．2015D．﹣1解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，解得，a＝2，b＝﹣3，则（a+b）2015，＝﹣1，故选：D．【变式训练2-1】（2021秋•弋江区期末）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b＝　﹣1　．解：由题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，所以，a+b＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式训练2-2】（2021秋•洪江市期末）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，则b a＝ ．解：由题意得，a﹣2＝0，b+＝0，解得a＝2，b＝﹣，所以，b a＝（﹣）2＝．故答案为：．【变式训练2-3】（2018秋•南昌期中）若|a﹣1|+（b+2）2＝0，求5a﹣b的值．解：由题意得，a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2，所以，5a﹣b＝5×1﹣（﹣2）＝5+2＝7．知识点3：有理数的混合运算【典例分析03】（2021秋•阜新县校级期末）计算（1）12﹣（﹣6）+（﹣7）﹣15．（2）（﹣1）2﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1﹣）．解：（1）12﹣（﹣6）+（﹣7）﹣15＝12+6+（﹣7）+（﹣15）＝﹣4；（2）（﹣1）2﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1﹣）＝1﹣3÷（﹣3）×＝1+1×＝1+＝．【变式训练3-1】（2021秋•郧西县期末）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（ ）A．1B．C．D．2∵x△（1△3）＝2，x△（1×2﹣3）＝2，x△（﹣1）＝2，2x﹣（﹣1）＝2，2x+1＝2，∴x＝．【变式训练3-2】（2021秋•柯城区校级期中）如图①，在五环图案内，分别填写数字a，b，c，d，e，其中a，b，c表示三个连续偶数（a＜b＜c），d，e表示两个连续奇数（d＜e），且满足a+b+c＝d+e，如图②，2+4+6＝5+7．若b＝﹣12，则d2﹣e2的结果为（ ）A．﹣72B．72C．﹣56D．56解：∵a，b，c表示三个连续偶数，b＝﹣12，∴a＝﹣14，c＝﹣10，∴a+b+c＝﹣36，∵d，e表示两个连续奇数，∴d＝﹣19，e＝﹣17，∴d2﹣e2＝361﹣289＝72，则d2﹣e2的结果为72．故选：B．【变式训练3-3】（2021秋•安居区期末）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，则计算3※（﹣5）＝　﹣7　．解：3※（﹣5）＝3×（﹣5）+3﹣（﹣5）＝﹣15+3+5＝﹣7故答案为：﹣7．【变式训练3-4】（2021秋•巫溪县期末）我们规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣3）④＝ ，＝　﹣27　．（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于　这个数倒数的（n﹣2）次方　．（3）计算．解：（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝，＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣27．故答案为：；；﹣27；（2）一个非零有理数的圈n次方等于这个数倒数的（n﹣2）次方．故答案为：这个数倒数的（n﹣2）次方；（3）＝27×+（﹣48）÷8＝3+（﹣6）＝﹣3．故答案为：﹣3．知识点4：近似数和有效数字【典例分析04】（2021秋•江州区期中）近似数1.50精确到　百分　位．解：近似数1.50精确到百分位．故答案为：百分．【变式训练4-1】（2022•路南区二模）用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（ ）A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）C．0.061（精确到千分位）D．0.0605（精确到0.0001）解：A．0.06045精确到0.1为0.1，此选项正确，不符合题意；B．0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确，不符合题意；C．0.06045精确到千分位为0.060，此选项错误，符合题意；D．0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项正确，不符合题意；故选：C．【变式训练4-2】．（2020秋•北仑区期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（ ）A．5.275＜a＜5.285B．5.275≤a＜5.285C．5.275＜a≤5.285D．5.275≤a≤5.285解：∵a精确到百分位得到的近似数是5.28，∴5.275≤a＜5.285．故选：B．【变式训练4-3】（2013秋•宜宾县期中）用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数：（1）0.6328（精确到0.01）（2）7.9122（精确到个位）（3）130.96（精确到十分位）（4）46021（精确到百位）解：（1）0.6328（精确到0.01）≈0.63；（2）7.9122（精确到个位）≈8（3）130.96（精确到十分位）≈131.0（4）46021≈4.60×104．【变式训练4-4】（2008春•达县校级期中）向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.57s，已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离．（结果保留三个有效数字）解：×2.57×3×105＝3.855×105≈3.86×105（km）．答：地球和月球之间的距离约为3.86×105km．知识点5：科学记数法【典例分析05】（2021秋•渠县期末）根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨．将47 000 000用科学记数法表示为　4.7×107　．解：将47 000 000用科学记数法表示为4.7×107．故答案为：4.7×107．【变式训练5-1】149597870（ ）1.5×107．A．大于B．小于C．等于D．无法确定解：∵149597870有9位整数，1.5×107有8位整数，∴149597870＞1.5×107．故选：A．【变式训练5-2】（2022•瑞金市模拟）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为　8.2×106　．解：将8200000用科学记数法表示为8.2×106．故答案为：8.2×106．【变式训练5-3】（2021秋•岳麓区校级期中）在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100平方米，可以放置40个床位（一人一床位），为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5000平方米．要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）解：帐篷数：2.5×107÷40＝6.25×105；这些帐篷的占地面积：6.25×105×100＝6.25×107；需要广场的个数：6.25×107÷5000＝1.25×104．【变式训练5-4】（2017秋•广丰区期末）学校组织同学们去参观博物馆，在一块恐龙化石前，小明对小亮说：“这块化石距今已经230000001年了．”解说员听到后用略带嘲讽的口气对小明说：“小朋友！你比科学家厉害，知道得这么准确！”小明说：“我去年也参观了，去年是你说的，这块化石距今约230000000年了．”（1）用科学记数法表示230000000；（2）小明的说法正确吗？为什么？解：（1）230000000＝2.3×108，（2）小明的说法错误，因为解说员说的“这块化石距今已经230000001年”中的230000000是一个近似数，它的精确数位是千万位，增加的这一年是忽略不计的。

有理数的乘方运算1.乘方：一般地，我们有：n 个相同的因数a 相乘，即个n a a a a ⋅⋅，记作na 。

正数的任何次幂都是 ；负数的 是负数，负数的 是正数。

0的任何次幂都是0，两个数互为相反数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数。

2.有理数混合运算法则：①先乘方,再乘除,最后加减； ②同级运算,从左到右进行；③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行．注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。

3.科学记数法：一般地，把一个大于10的数记成a ×n 10的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1≤a<10），n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。

4.近似数：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

5.有效数字：这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

【例1】计算：(1)()()3322222+-+-- (2))2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+-（3）2239852411⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- （4）()3413312100.51644⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭【例2】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数。

(1)0.34082(精确到千分位)； (2)64.8 (精确到个位)；(3)1.504 (精确到0.01)； (4)0.0692 (保留2个有效数字)； (5)30542 (保留3个有效数字)。

【例3】当m 为何整数值时，代数式44-m 的值也是整数.【例4】为了求2008322221++++ 的值，可令S=2008322221++++ ，则2S=20094322222++++ ，因此2S-S=122009-，所以2008322221++++ =122009-仿照以上推理计算出2009325551++++ 的值是（ ）A.152009-B.152010- C.4152009- D.4152010-【例5】若a,b,c 为整数，且120132013=-+-ac b a ，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

有理数的运算（乘、除、乘方）教学目的：1、理解有理数的乘法法则；掌握异号两数的乘除运算的规律；2、会进行有理数的乘法、除法、乘方的运算，能灵活运用运算律进行简化运算。

教学重点：1、有理数的乘法、除法法则；2、熟练的进行有理数乘法、除法、乘方运算。

教学难点：若干个有理数相乘，积的符号的确定，乘方的符号确定。

有理数的乘法有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例1：计算(1) )3()5(-⨯-(2) 4)7(⨯-(3))109()35(-⨯-例题目的：掌握有理数的乘法法则。

有理数乘法法则的推广：(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负数的个数为奇数时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正。

(2)几个数相乘，有一个因数为0，积为0。

例2：(1))4()37(21-⨯-⨯ (2) )253()5.2()94(321-⨯-⨯-⨯例题目的：会算两个以上有理数的乘法，并能判定积的符号。

有理数乘法的运算律：在有理数运算中，乘法的交换律，结合律以及乘法对加法的分配律仍然成立。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用式子表示为a·b ＝b·a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用式子表示成(a·b)·c ＝a·(b·c)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘． 用字母表示成：a(b ＋c)＝a·b ＋a·c例3：计算：(1) 25.18)5.4(⨯⨯- (2) )]23()3[()2(-+-⨯-(3) )8(161571-⨯例题目的：掌握有理数乘法的运算律。

有理数的除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号向负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

倒数与负倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数，即若a ， b 互为倒数，则1=ab ；乘积为1-的两个有理数互为负倒数，即若b a ,互为负倒数，则1-=⋅b a法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a ÷b )0(1≠⋅=b ba 例4：1. 求下列各数的倒数，负倒数。

学生做题前请先回答以下问题问题1：有理数的混合运算顺序是什么？问题2：有理数的混合运算的处理思路是什么？问题3：与你的同伴玩“24点”游戏．有理数乘方及混合运算（混合运算）（北师版）一、单选题(共15道，每道6分)1.计算的结果是( )A.-8B.-5C.0D.3答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算2.计算的结果是( )A.17B.1C.9D.11答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算3.计算的结果是( )A.-2B.C.-6D.答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算4.计算的结果为( )A. B.-8C.-2D.答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算5.计算的结果是( )A.-2B.-3C.1D.-1答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算6.计算的结果是( )A.42B.-18C.-124D.-164答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算7.计算的结果是( )A.-480B.300C.480D.-3000答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算8.计算的结果为( )A.-147B.81C.-27D.9答案：C解题思路：故选C．9.计算的结果是( )A.6B.4C. D.答案：B解题思路：故选B.试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算10.计算的结果是( )A.0B.2C. D.-2答案：A解题思路：故选A．11.计算的结果是( )A.-9B.C.4D.9答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算12.计算的结果是( )A.-6B.C.6D.0答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算13.计算的结果为( )A.2B.-22C.42D.8答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算14.计算的结果是( )A.-2B.-3C.0D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算15.已知，则等于( )A.11B.21C.41D.31答案：B解题思路：观察，由已知的并结合让求解的式子特征，所以计算如下：故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算。

2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.11有理数的混合运算姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019秋•崂山区期末)用分配律计算(14−38−112)×(−43)，去括号后正确的是( )A ．−14×43−38−112 B ．−14×43−38×43−112×43 C ．−14×43+38×43−112×43D ．−14×43+38×43+112×43【分析】根据乘法分配律可以将括号去掉，本题得以解决，注意符号的变化． 【解析】(14−38−112)×(−43)=−14×43+38×43+112×43， 故选：D ．2．(2019秋•丰台区期末)在“﹣(﹣0.3)，−13+13，|﹣1|，(﹣2)2，﹣22”这5个算式中，运算结果为非负有理数的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】各式化简得到结果，即可作出判断．【解析】﹣(﹣0.3)＝0.3，是；−13+13=0，是；|﹣1|＝1，是；(﹣2)2＝4，是；﹣22＝﹣4，不是， 则运算结果为非负数有理数的个数是4， 故选：B ．3．(2020•碑林区校级模拟)下列算式中，计算结果是负数的是( ) A ．3×(﹣2)B ．|﹣1|C ．(﹣2)+7D ．(﹣1)2【分析】针对各个选项进行计算，根据计算的结果进行判断即可． 【解析】3×(﹣2)＝﹣6，|﹣1|＝1，(﹣2)+7＝5，(﹣1)2＝1， 故选：A ．4．(2019秋•宿州期末)计算(﹣1)2019+(﹣1)2020的结果是( ) A ．2B ．﹣1C ．0D ．1【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【解析】(﹣1)2019+(﹣1)2020 ＝﹣1+1 ＝0． 故选：C ．5．(2020•唐山一模)三位同学在计算：(14+16−12)×12，用了不同的方法：小小说：12的14，16，12分别是3，2和6，所以结果应该是3+2﹣6＝﹣1； 聪聪说：先计算括号里面的数，14+16−12=−112，再乘以12得到﹣1；明明说：利用分配律，把12与14，16，−12分别相乘得到结果是﹣1对于三个同学的计算方式，下面描述正确的是( ) A ．三个同学都用了运算律 B ．聪聪使用了加法结合律C ．明明使用了分配律D ．小小使用了乘法交换律【分析】根据题意和各个选项中的说法可以判断哪个选项中的描述是正确的，本题得以解决． 【解析】由题意可得，只有明明的方法是使用了乘法分配律，故选项C正确，选项A、B、D描述错误；故选：C．6．(2019秋•卫辉市期末)若x、y互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为9，则(x+y3)2019−(−cd)2020+m的值为()A．8B．9C．10D．8或﹣10【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值．【解析】根据题意得：x+y＝0，cd＝1，m＝9或﹣9，当m＝9时，原式＝0﹣1+9＝8；当m＝﹣9时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10，故选：D．7．(2019秋•双清区期末)定义一种新运算a⊙b＝(a+b)×2，计算(﹣5)⊙3的值为() A．﹣7B．﹣1C．1D．﹣4【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解析】根据题中的新定义得：原式＝(﹣5+3)×2＝﹣4，故选：D．8．(2019秋•武进区期中)下列说法：①最大的负整数是﹣1；②|a+2019|一定是正数；③若a，b互为相反数，则ab＜0；⑥若a为任意有理数，则﹣a2﹣1总是负数．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用相反数、非负数的性质，以及绝对值的代数意义判断即可．【解析】①最大的负整数是﹣1，符合题意；②|a+2019|一定非负数，不符合题意；③若a，b互为相反数，则ab≤0，不符合题意；⑥若a为任意有理数，则﹣a2﹣1总是负数，符合题意．故选：B．9．(2019秋•新乐市期末)下列算式中：①(﹣2019)2020；②﹣18；③39.1﹣|﹣21.9|+(﹣10.5)﹣3；④(0.25−5 8)÷(−178)；⑤−48×(12−58+13−1316)；⑥32+1.52−3×22−[2−(−0.2)×(−53)]；计算结果是正数的有()A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】各项计算得到结果，判断即可．【解析】①原式＝20192020，符合题意； ②原式＝﹣1，不符合题意；③原式＝39.1﹣21.9﹣10.5﹣3＝3.7，符合题意； ④原式＝(−38)×(−815)=15，符合题意； ⑤原式＝﹣24+30﹣16+39＝29，符合题意；⑥原式＝1.5+2.25﹣12﹣2+13=−414+13=−11912，不符合题意， 故选：C ．10．(2019秋•德惠市期中)计算(−112)÷(23−14+16)的结果是( )A ．17B ．−724C ．−17D ．﹣7【分析】根据有理数的混合运算的法则进行计算即可，在有括号的算式里，要先算括号内的，在没有括号的算式里，先算乘方、然后算乘除、最后算加减.. 【解析】(−112)÷(23−14+16)＝(−112)÷(812−312+212) ＝(−112)÷712 =−17， 故选：C ．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上 11．(2019秋•揭西县期末)计算：1﹣(﹣2)2×(−18)＝ 112．【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．【解析】原式＝1﹣4×(−18)＝1+12=112，故答案为：11212．(2020春•肇州县期末)若a ，b 互为相反数，x ，y 互为倒数，则2(a +b )+74xy 的值是 74．【分析】利用相反数，倒数的性质求出a +b 与xy 的值，代入原式计算即可求出值． 【解析】根据题意得：a +b ＝0，xy ＝1， 则原式＝2×0+74×1=74．故答案为：74．13．(2020春•海淀区校级月考)计算：﹣223×(−14)+59÷(−123)=13．【分析】先将带分数化为假分数，再算乘除法，最后进行加法运算即可． 【解析】原式=−83×(−14)+59×(−35)=23−13=13， 故答案为13．14．(2019秋•南京月考)已知4个有理数，1，﹣2，﹣3，﹣4，在这4个有理数之间用“+、﹣、×、÷”连接进行四则运算，每个数只用一次，使其结果等于24，你的算法是 [(﹣2)+(﹣3)﹣1]×(﹣4)＝24 ． 【分析】根据“24点”游戏规则列出算式即可． 【解析】根据题意得：[(﹣2)+(﹣3)﹣1]×(﹣4)＝24， 故答案为：[(﹣2)+(﹣3)﹣1]×(﹣4)＝2415．(2019秋•虹口区校级月考)若规定一种新运算：a *b ＝(a +b )÷3，则2*3＝ 53．【分析】根据a *b ＝(a +b )÷3，可以求得所求式子的值． 【解析】∵a *b ＝(a +b )÷3， ∴2*3 ＝(2+3)÷3 ＝5×13 =53， 故答案为：53．16．(2019秋•建湖县期中)计算(1﹣2)•(3﹣4)•(5﹣6)•…•(2017﹣2018)•(2019﹣2020)的结果为 1 ． 【分析】先计算括号中的减法运算，再利用乘法法则计算即可求出值． 【解析】原式＝(﹣1)×(﹣1)×…×(﹣1)(1010个﹣1相乘) ＝1， 故答案为：117．(2020•黄岩区模拟)定义一种新运算：a ※b ={a −b(a ≥b)3b(a ＜b)，则2※3﹣4※3的值 8 ．【分析】根据新定义规定的运算法则列式计算，即可解答本题． 【解析】∵a ※b ={a −b(a ≥b)3b(a ＜b)，∴2※3﹣4※3＝3×3﹣(4﹣3)＝9﹣1＝8，18．(2019秋•西湖区期末)定义新运算：若a@b＝n(n是常数)，则(a+1)@b＝n+1，a@(b+1)＝n﹣2．若1@1＝2，则1@2＝0，2@2＝1，2020@2020＝﹣2017．【分析】根据题目中的新定义，可以分别计算出题目中所求式子的值．【解析】∵若a@b＝n(n是常数)，则(a+1)@b＝n+1，a@(b+1)＝n﹣2，1@1＝2，∴1@2＝1@(1+1)＝2﹣2＝0，2@2＝(1+1)@2＝0+1＝1，2@3＝﹣1，3@3＝0，3@4＝﹣2，4@4＝﹣1，∴2020@2020＝﹣2017，故答案为：0，1，﹣2017．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2019秋•成华区期末)计算：(1)16÷(﹣2)3﹣(−18)×(﹣4)+(﹣1)2020；(2)﹣14﹣(1﹣0.5)×13×[2﹣(﹣3)2]．【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【解析】(1)16÷(﹣2)3﹣(−18)×(﹣4)+(﹣1)2020＝16÷(﹣8)−12+1＝﹣2−12+1=−32；(2)﹣14﹣(1﹣0.5)×13×[2﹣(﹣3)2] ＝﹣1−12×13×(2﹣9) ＝﹣1−16×(﹣7) =16．20．(2020春•浦东新区期末)计算：(﹣1)2﹣|2﹣5|÷(﹣3)×(1−13)． 【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题． 【解析】(﹣1)2﹣|2﹣5|÷(﹣3)×(1−13) ＝1﹣3÷(﹣3)×23 ＝1+3×13×23＝1+23 =53．21．(2019秋•南岸区期末)有个填写运算符号的游戏：“2_3_5_9”，在每个“____”上，填入+，﹣，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果． (1)计算：2+3﹣5﹣9；(2)若2÷3×5 × 9＝30，请推算横线上的符号；(3)在“2 ﹣ 3 × 5+9”的横线上填入符号后，使计算所得数最小，直接写出填上符号后的算式及算式的计算结果的最小值．【分析】(1)根据计算法则进行计算即可； (2)根据运算顺序得出103___9＝30，因此横线上应是乘号；(3)要使结果最小，其中必有负号，即减号，然后使负数的绝对值最大，因此考虑用乘法，从而得出答案． 【解析】(1)原式＝5﹣5﹣9＝﹣9；(2)若2÷3×5×9＝30，因此“空格”上的符号为“×”； (3)2﹣3×5+9＝﹣4， 故答案为：﹣×．22．(2020春•浦东新区期末)一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：+6，﹣5，+9，﹣10，+13，﹣9，﹣4(单位：米)． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？ (3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？【分析】(1)计算这些数的和，根据和的符号、绝对值得出是否回到原来的位置， (2)计算出每一次离开球门的距离，比较得出答案， (3)计算这些数的绝对值的和即可．【解析】(1)(+6)+(﹣5)+9+(﹣10)+13+(﹣9)+(﹣4)＝0， 答：守门员回到了球门线的位置；(2)守门员每次离开球门的距离为：6，1，10，0，13，4，0， 答：守门员离开球门的位置最远是13米； (3)6+5+9+10+13+9+4＝56(米) 答：守门员一共走了56米．23．(2020春•姜堰区期中)观察下列各式：31﹣30＝2×30…………①32﹣31＝2×31…………②33﹣32＝2×32…………③…… 探索以上式子的规律：(1)写出第5个等式： 35﹣34＝2×34 ； (2)试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； (3)计算30+31+32+ (32020)【分析】(1)根据已知等式总结规律：3的相邻自然数次幂之差(大数减小数)等于较小次幂的2倍．据此写出第5个等式便可；(2)用字母n 表示上述规律，通过提取公因式法进行证明便可； (3)把原式化成2×30+2×31+2×32+⋯+2×320202，再逆用(2)中公式，把分子每一项化成3的自然数幂之差进行计算便可．【解答】(1)根据题意得，35﹣34＝2×34， 故答案为：35﹣34＝2×34；(2)根据题意得，3n ﹣3n ﹣1＝2×3n ﹣1，证明：左边＝3n ﹣1(3﹣1)＝2×3n ﹣1＝右边，∴3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1；(3)30+31+32+…+32020=2×30+2×31+2×32+⋯+2×320202=31−30+32−31+33−32+⋯+32021−320202=32021−1 2．24．(2020春•南岗区校级期中)有20袋大米，以每袋30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表述，记录如下：与标准质量的差值(单位：千克)﹣310 2.5﹣2﹣1.5袋数123842(1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？(2)与标准重量比较，20袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？(3)若大米每千克售价3.5元，出售这20袋大米可卖多少元？【分析】(1)根据表格中的数据可以求得20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克；(2)根据表格中的数据可以求得与标准重量比较，20袋大米总计超过或不足多少千克；(3)根据题意和(2)中的结果可以解答本题．【解析】(1)最重的一袋比最轻的一袋重：2.5﹣(﹣3)＝2.5+3＝5.5(千克)，答：最重的一袋比最轻的一袋重5.5千克；(2)(﹣3)×1+(﹣2)×4+(﹣1.5)×2+1×2+0×3+2×2+2.5×8＝8(千克)，答：20 袋大米总计超过8千克；(3)3.5×(30×20+8)＝2128(元)，答：出售这20 袋大米可卖2128元．。

人教版七年级数学上册 1.5.1-2 有理数的乘方运算 有理数的混合运算同步练习题精选 附答案一、选择题。

细心择一择，你一定很准！ 1．58表示( )A ．5个8连乘B ．5乘以8C ．8个5连乘D ．8个5相加 2．下列式子正确的是( )A ．(－6)×(－6)×(－6)×(－6)＝－64B ．(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)C ．－54＝(－5)×(－5)×(－5)×(－5) D ．35×35×35＝3353．下列各对数中，数值相等的是( )A ．－32与－23B ．－23与(－2)3C ．－32与(－3)2D ．(－3×2)2与－3×22 4. 下列各对数互为相反数的是( )A ．32与－23B ．32与(－3)2C ．(－3)2与－32D ．－23与(－2)3 5．如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于( )A ．－2B ．2C ．4D ．2或－2 6．如果一个有理数的正偶次幂是非负数，那么这个数是( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．任何有理数 7. 下列各式：①－(－2)；②－|－2|；③－22；④－(－2)2，计算结果为负数的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8. 下列计算：①32＝3×2；②(－3)2＝9；③(－5)3＝－53；④(－2)4＝24；⑤(3＋2)2＝32＋22；⑥(－32)2＝94．其中正确的结果有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9. 下列各式中，一定成立的是( )A ．22＝(－2)2B ．－22＝|－22|C ．23＝(－2)3D ．(－2)3＝|(－2)3| 10．计算－23－(－3)3×(－1)2－(－1)3的结果为( )A ．0B ．－30C ．－1D ．2011．－16÷(－2)3－22×(－12)的值是( )A ．0B ．－4C ．－3D ．412．在算式4－|－3 5|中的“ ”所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小( )A ．＋B ．－C ．×D ．÷13. 设a ＝－2×32，b ＝(－2×3)2，c ＝－(2×3)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c 14. 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．252 15. －35÷＝35中，在( )内应填上的数是( )A ．14B ．114C ．－214D ．－1416. 有一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，从第2个数开始，每个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1＝2，则a 2016为( )A ．2010B ．2C ．12 D ．－1二、填空题。

《有理数的乘方》专题培优（一）知 回 1、一个有理数的平方是正数 , 个数的立方是（）A 、正数B 、 数C 、正数或 数D 、奇数2、( －1) 2001＋( －1) 2002÷ 1 ＋( －1) 2003 的 等于（ ）A 、0B 、 1 C、－ 1D 、23、一个数的立方是它本身 , 那么 个数是（ ） A 、 0 B 、0 或 1 C 、－ 1 或 1 D 、0 或 1 或－ 14、如果一个有理数的正偶次 是非 数 , 那么 个数是（ ） A 、正数 B 、 数 C 、 非 数 D 、任何有理数5、－ 24× ( － 22 ) × ( － 2) 3 =（ ） A 、 2 9 B 、－ 29 C 、－ 224 D 、 224 5、两个有理数互 相反数，那么它 的 n 次 的 （ ） A 、相等 B 、不相等 C 、 相等 D 、没有任何关系 7、平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ；8、 27 3 ，2 7 4 ，27 5 的大小关系用“＜”号 接可表示；9、如果 a 4 a 4 ，那么 a 是 ；10、 12 233 4 L 2013 2014；11、如果一个数的平方是它的相反数， 那么 个数是；如果一个数的平方是它的倒数， 那么 个数是 ；12、若a 2b 3＞ 0 ， b13、 4 21 5453414、 2624321215、2 231 3 02 3716、2 23 1 3 0 2 3172 2 2 23 231852[ 4 (1 0.2 1) ( 2)] 1914(1 0.5) 1 [2 ( 3)2 ]5320、某种 菌在培养 程中，每半小 分裂一次（由一个分裂成两个） ，若 种 菌由 1 个分裂 16 个， 个 程要 多21、你吃 “手拉面” ？如果把一个面 拉开，然后 折，再拉开，再 折，⋯⋯如此往复下去， 折 10 次，会拉出多少根面条？（二）探究新：1、你能求出0.1251018102的果?2、若a是最大的整数，求a2012a2013a2014a2015的。

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数．要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2a ≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用． 要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯. 要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯； （2）把一个数写成10na ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数的乘方1． 计算：（1）44443333----；；（）；（） （2）3333222(2)3333--；（）；（-）； 【答案与解析】解：由乘方的定义可得： (1)43＝3×3×3×3＝81； -43＝-（3×3×3×3）＝-81；4(3)(3)(3)(3)(3)81-=-⨯-⨯-⨯-=； 4(3)[(3)(3)(3)(3)]81--=--⨯-⨯-⨯-=-(2)322228333⨯⨯==； 322228()()()()333327=⨯⨯=； 322228()()()()333327-=-⨯-⨯-=-； 3(2)(2)(2)(2)883333--⨯-⨯---=-=-=【总结升华】注意()na -与n a -的意义的区别．22()nn a a -=（n 为正整数），2121()n n a a ++-=-（n 为正整数）． 举一反三：【变式】已知2a <，且24a -=，则3a 的倒数的相反数是 ． 【答案】18类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则． 【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三： 【变式】（2015春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ﹣22014 D ．22015 【答案】C ．解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014. 类型三、有理数的混合运算3．计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)（3）3112222233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2311113121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 【答案与解析】解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)] ＝-9+(-8)÷(-3+5) ＝-9+(-8)÷2 ＝-9+(-4)＝-13（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214) ＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24) ＝[72×(7-6)-1]÷(-24) ＝(49-1)÷(-24) ＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式11221111[(2)]82338324=-+⨯--=--=- （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.()23311113121121324424340.215457551()()241162434()5125724241251652316056125403912040⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=÷-++-⨯--=-⨯-⨯+⨯+=--++=【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提． 类型四、科学记数法4．（2015•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ） A ．0.675×105 B ． 6.75×104 C ． 67.5×103 D ．675×102【思路点拨】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【答案】B ．将67500用科学记数法表示为：6.75×104．【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法10na ⨯的形式时，其中1≤|a|＜10，n 为比整数位数少1的数．在进行运算时，a 部分和10n的部分分别运算，然后再把结果整理成10na ⨯的形式． 类型五、探索规律5．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-----⎛⎫-+++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；…第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦…．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 【答案】A【解析】第1个数结果为11022-=；第2个数结果为111326-=-；第3个数结果为111424-=-；…；发现运算中在112-⎛⎫+ ⎪⎝⎭后边的各式为43653456⨯⨯⨯⨯…，分子、分母相约为1，所以第n 个数结果为1112n -+，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循． 举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，… ②0，12，-24，84，-240，732，… ③-1，3，-9，27，-81，243，… (1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的13，即133-⨯，21(3)3-⨯，31(3)3-⨯，41(3)3-⨯，…； (3)每行数中的第10个数的和是：1010101(3)[(3)3](3)3-+-++-⨯=59049+59052+19683＝137784．。

知识8-----有理数的乘（除）运算A 有理数的乘法法则：① 两数相乘，同号为正，异号为负。

先算符号, ② 一般情况下均要把小数和带分数化成假分数, 课堂训练 （计算）(―2.5)x0.44.3x(—1弓)B 有理数的除法法则：① 所有除法运算要先把它化为乘法，乘以这个数的倒数; ② 把小数和带分数化成假分数 ③先算符号，再算数字。

课堂训练 （计算）-80 + ( -5)=C 有理数乘除的运算律：乘法运算满足交换律和结合律，通过运算可以简便运算。

特别地，利用互为 倒数的数进行约分可以简便运算；yx ( -S> X ( -0,25>-2x(+9) =(-3F (- 6 )0x(—3.6) =再算数字。

要养成这种转化的习惯; (-1才皆.2)0 + (-5) =f)= 4 5（一4）十i4）=44知识9-----有理数的乘方运算 定义：求几个相同数的积的运算叫乘方运算。

aa ……a =a n ，乘方的结果叫幕, a 叫底数，n 叫指数。

①正数的乘方运算与小学相同。

负数的奇次方为负，偶次方为正。

数字按乘方法 则算；②指数蹲在谁的上面管“谁”。

如-32、2次方只管、3.不管符号，（-3）2，2次管分子中的数1;1、计算7 -13方管-3,既管符号，又管数字。

1—3丿,2次方程管整个分数。

—，2次方只 3③分数- 31二二符号放上面,F 面，前面结果相同;①-34 =）；②-3—( 23);④--=(32、比较大小:a)2 ⑥弓-3（-2）32⑧-（迖）1 (-2)3运算顺序:乘方f 乘(除)f 加(减)(7) 按运算法则，小括号二中括号=大括号。

即：通过观察先确定运算顺序； (8) 每一步都代表一个知识点，都有“技术含量”。

因此决不能跳步；(9) 必须重视判断符号；因为算式中经常省略三种符号： 正号加号和乘号，。

如口号。

2(3冷〕，括号前面省略了“X”乘号。

再如-6-7, -7前面省略了 “+”加号;(3)(5)(7) /8-(—12 +4) +(—2)x5_23 _I 1 斗丄+43 4 16—12 x(2.5)2— —4(6)(2) -(-)2咒3-4 十(-3)X 3 + 8X (-3)23 5 23⑷(肓-24)叫-1)-]2任 G+4.5]T>Ml 2 川(7+(8)3x (—0.5) (—4)-(—6)〔7.195—7丄 ”0.25—丄亠 13〕I 8八 4 13丿知识10——有理数的混合运算 混合运算法则:2 _2的倒数的相反数是3已知两个有理数 a,b ,如果ab v 0,且a+b < 0,那么（1 1 14、计算：(1) (—8)x(— -1—+-);2 4 8(2)(-丄-丄 + 3-lpc^^8)。

有理数的乘方1. （-5）8表示（）A . 8乘一5B . 5个8相加C . 5个（一8）相乘D . 8个（一5）相乘2. （2016浙江舟山中考）13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：”在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋.每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（）A 42 8 49 C 7 6 D 7 73. （-1 ）5中，底数是,指数是 34一将一根绳子对折5次后从中间剪一刀，此时绳子变成____________ 段.5. 一个数的立方等于它本身，这个数不可能是（）A . 1 B.0 C.2 D. 一l6.已知n为正整数，计算（― 1）2n+（— 1）2n1的结果是（）A . 1 B. 一l C .0 D.27.下列计算错误的有（）<1V 1 …才16⑴（旬二（2）-5-25 ⑶彳=不小（】丫」（5）（T）、T ⑹-（-（M）、QOOL - 49A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个8.平方得36的数为, 的立方等于一64.9.计算：n （1）（一2）5x（—3）：（2）-3:+23；（\ Y （ 3⑶㈠少卜2万一一后10.我们常用的数是十进制，如4 657=4X10、6X102+ 5X10/7X10。

，表示十进制数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,在计算机中用的是二进制数，只需用两个数码：0和1,如二进制数110=1x2?+ lx2\0x20 = 6,故二进制数110等于十进制数6, 110 101 = 1x2、1x24+0x2、1x22+0x2； 1x20 = 53,故二进制数110 101等于十进制数53,那么二进制数101。

11等于十进制的哪个数?11.（2019江苏南京中考）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13 000亿美元.用科学记数法表示13 000是（）A.0.13xl（）5B.L3X104C.13xl03D.13OxlO212. （2020独家原创试题）据有关部门估计，由于受冠状病毒病影响，2020年春节期间全国旅游业损失达到 5 500亿元将数据5 500亿元用科学记数法表示为元.13.一个整数816 600--0用科学记数法表示为8.166X 1（严，则原数中“0”的个数为14.我国“杂交水稻之父”袁隆平主持研究的某种超级杂交水稻平均亩产量为820千克.某地区今年计划栽插这种超级杂交水稻30万亩，预计该地区今年这种超级杂交水稻的总产量是多少千克（结果用科学记数法表示）15. （2020北京四中模拟,5, ★☆☆）北京大兴国际机场建设总面积约为1 400 000平方米，数据1 400 000用科学记数法表示为（）AAUxlO8 B.1.4X107 C.L4X106 D.14X10516.（2019江苏宿迁宿豫期末，4, ★☆☆）下列每对数中，相等的一对是（）A.（-1尸和B・-（T）2和|2c.（-i）4 和D.-i-ri 和.♦/17. （2020江苏密州仪征期中，11, ★ ☆ ☆ ）的平方是自立方是刁的数是________________ .9 o18.（2020江苏徐州邳州期末, 若x- +（y +2）也0,贝心町为.19,（2019江苏南京栖霰期末，12, ★ ☆ ☆）随着交通网络的不断完善.旅游业持续升温，据统计,在今年“十一”期间，某风景区接待游客4.03x IO,人.这个用科学记数法表示的数据的原数为20.（2019广西贵港中考，［，★☆☆） i卜算（T ） 3的结果是（）A.-lB.lC.-3D.321.（2019江苏苏州中考,3, ★☆☆）苏州是全国重点旅游城市,2018年旅游总收入约为26 000 000万元，数据 26 000 00（）用科学记数法可表示为（）A.0.26X108B.2.6X108C.26X106D.2.6XI0722.（2017四川达州中考，11, ★ ☆☆）达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92x10。

有理数乘方及混合运算（讲义）➢ 课前预习1. 填空：边长为a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是a ×a ；边长为a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______；类似地，我们可以把2×2×2记作______，2×2×2×2记作______； 2×2×…×2×2（n 个2）记作_______．2. 根据第1题的内容，填空：22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；27=______；28=______；29=______；210=______．(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______；312⎛⎫-⎪⎝⎭=___________________=______．➢ 知识点睛1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____，______叫底数，____叫指数，读作_______________）．2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____；28=____；29=____；210=____．3. 科学记数法的定义：__________________________________________________________________________________．4. 有理数混合运算顺序：先算________，再算________，最后算________；同级运算，从左向右进行；如果有括号，先算括号里面的．➢ 精讲精练1. 在74中，底数是_____，指数是_______；在513⎛⎫- ⎪⎝⎭中，底数是_____，指数是________．2. 下列计算正确的是（ ）A ．4381-=B ．2(6)36--=C ．23324-=-D ．3225125⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3. 下列各组数中，值相等的是（ ）A ．23与32B ．22-与2(2)-C ．2)3(-与2(3)--D ．232⨯与2)32(⨯ 4. 在(5)--，2(5)--，5--，3(5)-中，负数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5. 一个数的平方是81，这个数是（ ） A ．9B ．-9C ．±9D ．81 6. 若有理数(3)n -的值是正数，则n 必定是（ ）A ．正数B ．奇数C ．负数D ．偶数7. 计算：（1）322(2)0.54(2)-⨯-÷-； （2）2292343⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭；（3）3332(32)⨯--⨯； （4）235(4)48⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（5）3116(2)(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭； （6）3222011(2)492⎛⎫⨯---÷ ⎪⎝⎭；（7）263213(0.25)232⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（8）234100(1)(1)(1)(1)(1)-+-+-+-++-…．8. 第六次全国人口普查时，我国人口约为13.7亿人，13.7亿用科学记数法表示为__________．9.2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约700万千米的高空，700万千米用科学记数法表示为_________米．10.下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？（1）北京故宫的占地面积约为7.2×105 m2，则原数为________________m2．（2）人体中约有2.5×1013个红细胞，则原数是_________________________________．11.某气象员上周日测得本地气温为25℃，为了掌握本周天气的变化情况，测量了一周内的气温，下表是一周内气温变化情况（用正数表示比前一日上升数，用负数表示比前一日下降数）：（2）根据记录的数据可知，周日的气温是多少℃？（3）根据记录的数据求出本周的平均气温是多少℃？12.张先生在上周五（周六、周日不开盘）买进了某公司的股票1 000股，每股28元．下表是本周每天股票的涨跌情况（单位：元；用正数表示比前一天上涨数，用负数表示比前一天下跌数）：（2）本周内最高价每股多少元？最低价每股多少元？（3）已知张先生买进股票时付了0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.3%的各种费用，如果张先生在本周五收盘时把全部股票卖出，他的收益是多少元？13.某自行车厂计划一周生产自行车1 400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（单位：辆；超产记为正，减产记为负）：（1可知，该厂本周实际生产自行车多少辆？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；不足部分每辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2a 3a a a a ⨯⨯；32 42； 2n2. 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024(3)(3)(3)-⨯-⨯- -27111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18-. ➢ 知识点睛1. 幂，n a ，a ，n ，a 的n 次方（或“a 的n 次幂”）2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 0243. 一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中1≤a <10，n 为正整数，这种记数方法叫做科学记数法 4. 乘方，乘除，加减➢ 精讲精练1. 7，4，13-，52. C3. C4. D5. C6. D7. （1）-8；（2）169-； （3）240； （4）22-； （5）122-；（6）314-；（7）312-； （8）0．8. 91.3710⨯9. 9710⨯10. （1）720 000 （2）25 000 000 000 000 11. （1）28℃；（2）27℃；（3）26℃12. （1）31.8元； （2）最高每股33.8元，最低每股30.8元；（3）2679.6元13. （1）213辆； （2）1 408辆；（3）25辆；（4）84 600元有理数乘方及混合运算（随堂测试）1. 太阳的半径约为69.6万千米，则69.6万千米用科学记数法可表示为___________米． 2. 计算：（1）233131(2)2422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）221116(2)2183⎛⎫-⨯--+-- ⎪⎝⎭；（3）338(2)1(2)(1)(4)421⎛⎫⎛⎫--⨯---⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. 下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．之下？（2）与上周周末相比，这一周周末长江的水位是上升了还是 下降了？通过计算说明理由．【参考答案】1. 86.9610⨯2. （1）-36；（2）4；（3）233. （1）周五水位最高，位于警戒水位之上； （2）与上周末相比这周末水位上升了，这周末水位为33.1米．有理数乘方及混合运算（习题）➢ 巩固练习1. 据某市统计局公布的第六次人口普查数据，该市常住人口约为760万人，其中760万人用科学记数法表示为（ ） A ．7.6×106人 B ．7.6×105人 C ．7.6×102人 D ．0.76×107人 2. 下列等式中，成立的是（ ）A ．3(2)6-=-B ．239-=C ．523233-=-D ．2525--=3. 下列各式中成立的是（ ）A ．33(2)2-=-B ．332(2)=-C ．2222-=-D ．222(2)=- 4. 下列各式中正确的是（ ）A ．(2)2n n -=B ．22(2)2n n -=C ．22(2)2n n -=-D ．2121(2)2n n ++-=5. 地球上的海洋面积约361 000 000平方千米，用科学记数法表示为______________平方千米．6. 下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？（1）水星的半径约为2.44×106 m ，则原数为___________m ． （2）据报告，某市去年国民生产总值为23 877 000万元，则 用科学记数法可表示为______________元．7. 已知A 点的高度为3米，现通过四个中间点B ，C ，D ，E ，最后测量最远处的F点的高度，每次测量的结果如下表： 请你写出B ，C ，D ，E ，F 的高度分别是：B ______，C ______，D _______，E _______，F _______．8. （1）[]322(1)31(2)-⨯--⨯--； （2）2332(4)(9)0---⨯-⨯；（3）332116(2)(2)2⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭；（4）4423(3)2⎡⎤-÷-⨯-(-)⎣⎦；（5）2212 30.8535⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯--÷-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（6）32118(3)5(15)52⎛⎫-÷-+⨯---÷⎪⎝⎭．9.股民小万上周五以每股13元的价格买进某种股票10 000股，下表是本周每天股票的涨跌情况（单位：元；用正数表示比前一天上涨数，用负数表示比前一天下跌数，周六、周日不开盘）：（2）已知小万买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额3‰的手续费和2‰的交易税．如果小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（“‰”是千分号，如“3‰”表示的是“31000”）10.某工厂本周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（单位：辆；增加的为正数，减少的为负数）：（2）本周总生产量是多少辆？与计划相比是增加了还是减少了，增减数为多少？➢思考小结1.（“24点”游戏）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，现给你四张扑克牌：黑桃3，梅花4，方块6和梅花10，请列出一个有理数的混合运算式子（加、减、乘、除、乘方），使最后结果为24．2.一个数的平方为16，这个数可能是_________；一个数的平方是0，这个数是_________．3.设n为正整数，计算：1n=_______；2-=_______．(1)n+(1)n-=______；21由此可知：正数的任何次幂都是_______（填“正数”、“负数”或“0”）；负数的奇次幂是_________；负数的偶次幂是__________．【参考答案】➢巩固练习1. A2. C3. D4. B5. 3.61×1086.（1）2 440 0007.（2）2.3 877×10118.2米，-1米，-9米，-7米，3米9.（1）13；（2）-9；（3）32-；（4）4；（5）13；（6）3810.（1）13.8元；（2）收益为6 920元．11.（1）17辆；（2）本周总产量为696辆，与计划相比减少了4辆．➢思考小结1.(104)3(6)24-⨯--=；(104)3(6)24--⨯-=；(4106)324+-⨯=2.±4；03.1；1；-1；正数；负数；正数．有理数及其运算每日一练（三）1.（1）223-⨯； （2）22(2)-⨯-；（3）3312(1)--⨯-；（4）1236÷⨯；（5）31116(2)(4)82⎛⎫÷---⨯-+ ⎪⎝⎭；（6）32102(4)8-÷--；（7）22332(3)(1)1---⨯--．2. （1）22131(2)23245⎡⎤⎛⎫--⨯--⨯÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）4211(10.5)2(3)3⎡⎤-+-⨯⨯⨯-⎣⎦；（3）3421(2)(8)(2)(1)2⎛⎫-÷---⨯-+- ⎪⎝⎭．【参考答案】1.（1）-18；（2）-8；（3）1；（4）19；（5）-2；（6）58-；（7）4．2.（1）24；（2）2；（3）52 -．。

有理数的加减乘除及乘方（含答案）第一篇：有理数的加减乘除及乘方(含答案)有理数的加减乘除及乘方（1）（-1）×（-5）÷[（-3）+2×（-5）]；2（2）一1一（1—0．5）×4×[4一（一2）];3（3）4－（－4）＋（－3）；2（4）(-4)⨯(-)+30÷(-6);34（5）（＋3）＋（－5）－4－（－2）；（6）2（7）（（8）(-3)-2÷试卷第1页，总2页341134×（－）×÷； 561151111＋－）÷（－）； 6321816+(-1)2014． 72(9)-18÷(-3)⨯(-1)+1;12(10)(11)[1－(1－0.5×(12)(－3)×(－2(13）(-4)⨯(-)+30÷(-6);1⎛132⎫-+⎪÷(-);42⎝3721⎭1)]×[－10+(-3)2];351)÷(－1);6434422(14)-2+[(-4)-(1-3)×2];(15)-3-（-9）+8(16)(1-13+)⨯(-48)64试卷第2页，总2页答案有出入，请仔细对照后使用参考答案解：（1）原式=（一1）×（一5）÷〔9+（一10）〕= 一5 ；（2）原式= 一1一111××〔4一（一8）〕= 一1一×12= 一3.23634（3）原式＝4+4-3＝5 ；（4）原式＝16⨯(-)+(-5)＝－12＋（－5）＝－17．（5）（＋3）＋（－5）－4－（－2）＝3－5－4＋2 ＝－41134×（－）×÷ 5611511135＝－×××561141＝－81111（7）（＋－）÷（－）632187＝－27－16×＋116（6）2＝－3－6＋9 ＝0（8）(-3)3-24÷＝（16+(-1)2014 7111＋－）×（－18）632111＝（＋－）×（－18）632＝－27－7＋1 ＝－33 =-1+1=0.132(10)原式=(-+)⨯(-42)3721132=⨯(-42)-⨯(-42)+⨯(-42)3721=-14+18-4 =0.111(11)原式=[1－(1－)]×(－10+9)=×(－1)=－.66654(12)原式=－(3×´)=－2.65(9)原式=-18⨯(-)⨯(-)+1答案第1页，总2页 19答案有出入，请仔细对照后使用(13)原式=30+(－11)+(－10)+12=21.（14）原式＝4+4-3＝5（15）原式＝16⨯(-)+(-5)＝－12＋（－5）＝－17(16)原式=-16+[16-(1-9)×2]=-16+[16-(-16)]=-16+32=16 34答案第2页，总2页第二篇：有理数加减乘除法则（1）有理数的加法法则：① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；② 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③ 互为相反的两个数相加得0；④ 一个数同0相加，仍得这个数.（2）有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：(a+b)+c = a +(b +c)用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac.（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.4、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0.5、有理数的乘法（1）有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“n a”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂.（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数6、有理数的混合运算（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.第三篇：有理数加减乘除混合运算基础试题(含答案)数学练习（一）〔有理数加减法运算练习〕一、加减法法则、运算律的复习。

第四讲 有理数运算及乘方【知识点一】 有理数加减乘除混合运算例1、计算：（1）75318 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ （2）()3153510.225⎧⎫⎡⎤⎛⎫-+---+-⨯÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭1、计算下列各题：（1）211115125234⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）111135532114⎛⎫⨯-⨯÷ ⎪⎝⎭（3）()131170.125 1.213213⎛⎫⎛⎫-⨯-÷-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）1173882441231⎛⎫-+÷-⨯ ⎪⎝⎭（5）11532222⎛⎫-÷⨯--÷- ⎪⎝⎭（6）81216113736136136136⎛⎫⎛⎫÷+-÷+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （7）()()7511303659612⎡⎤⎛⎫-+-⨯-÷- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（8）()1312316622366346346⎛⎫-÷-⨯-+÷--⨯ ⎪⎝⎭例2、某债券市场发行两种债券，A 种面值为100元，一年到期本利和为113元；B 种面值也是100元，但买入价位88元，一年到期本利和为100元，如果收益率=（到期本利和－买入价）÷（到期日期－买入日期）÷买入价×100%，这里“（到期日期－买入日期）”以年为单位，试分析哪种债券收益率大一些？1、根据实验测定：高度每增加1km ，气温大约降低6℃。

某登山运动员在攀登某山峰的途中发回信息，报告他所在高度的气温为－15℃，如果当时地面温度为3℃，登山运动员所在位置的高度能确定吗？2、某年哈尔滨遭遇了特大雪灾，许多火车晚点甚至停运。

司机小王给汽车空油箱加满70升汽油后，从火车站出发，向东行驶了32千米，遇上一位要去火车站的客人，于是调头按原路返回，行驶了一半路程时，客人得知自己乘坐的火车停运了，就下车走了。