瑞利里兹法和伽辽金法的区别

结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。

试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。

又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。

属于工程反问题的一种。

在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。

系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。

又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。

如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。

2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。

求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。

复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。

4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。

固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。

圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。

即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。

它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。

一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。

系统的状态按照阻尼比ζ来划分。

把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。

《结构稳定理论》复习思考题第一章1、两种极限状态是指哪两种极限状态？承载力极限状态和正常使用极限状态2、承载力极限状态包括哪些内容？（1）结构构件或链接因材料强度被超过而破坏（2）结构转变为机动体系（3）整个结构或者其中一部分作为缸体失去平衡而倾覆（4）结构或者构件是趋稳定（5）结构出现过度塑性变形，不适于继续承载（6）在重复荷载作用下构件疲劳断裂3、什么是一阶分析？什么是二阶分析？一介分析：对绝大数结构，常以为变形的结构作为计算简图进行分析，所得的变形和作用的关系是线性的。

二阶分析：而某些结构，入账啦结构，必须用变形后的结构作为计算依据，作用与变形成非线性关系。

4、强度和稳定问题有什么区别？强度和稳定问题问题虽然均属于承载力极限状态问题，但是两者之间的概念不同。

强度问题是盈利问题，而稳定问题要找出作用与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态。

5、稳定问题有哪些特点？进行稳定分析时，需要区分静定和超静定结构吗？特点：1.稳定问题采用二阶分析，2.不能用叠加原理3.稳定问题不用区分静定和超净定6、结构稳定问题有哪三类？分支点失稳、极值点失稳、跃越失稳7、什么是分支点稳定？什么是极值点稳定？什么是跃越稳定？理想轴心压杆和理想的中缅内受压的平板失稳均属于分支点失稳当没有出现有直线平衡状态向玩去平衡状态过渡的分支点，构件弯曲变形的性质始终不变，成为极值点失稳这种结构有一个平衡位行突然跳到另一个非临近的平衡位行的失稳现象。

8、什么是临界状态？结构有稳定平衡到不稳定平衡的界限状态成为临界状态。

9、通过一个简单的例题归纳总结静力法的基本原理和基本方法？P8-P1010、什么能量守恒原理？什么是势能驻值原理？基于势能驻值原理的方法有哪些？保守体系处在平衡状态时，储存于结构体系中的应变能等于外力所做的功——能量守恒原理受外力作用的结构，当位移有微小变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡状态——势能驻值原理。

1.理想压杆：受压杆件两端铰支荷载作用于形心轴，杆轴线沿杆长完全平直，横截面双轴对称且沿杆长均匀不变，杆件无初应力，材料符合胡=胡克定律2.极限状态：承载能力极限状态和正常使用极限状态。

3.保守力：如果力在它作用的任意可能位移上所做的功与力作用点移动路径无关，只依赖与移动的起点和终点。

4.势能驻值原理与最小势能的区别：势能驻值原理方法比较简单，但从教学角度δp=0只是平衡条件，它不表示从稳定平衡过度到不稳定平衡的临界条件，而最小势能原理方法更加严密。

（势能驻值原理：虚位移，基本条件δp=0）5.伽辽金法瑞利-里兹法的区别：①瑞利里兹法只需要满足几何边界条件即可，而伽辽金法需要满足几何边界条件，力学边界条件；②伽辽金法直接与微分方程相联系，而瑞利里兹法需要写出体系的总势能。

6.计算长度系数μ，将非两端铰支的理想轴心压杆构件，临界荷载公式换算成相当于两端铰支理想轴心压杆构件，求解临界荷载的形式的所利用的计算长度，几何意义：杆件绕由曲线上两反弯点的间距7.自由度：用来表示约束条件允许的体系，可能变形时所必须的独立几何参数的数目。

8.柱子曲线：临界应力δcr与长细比的关系曲线，可作为轴心受压构件设计的依据。

9.残余应力：降低比例极限，使柱子提前出现弹塑性屈曲，当超过比例极限后，残余应力使杆件应力应变曲线，同时减小了截面的有效面积和有效惯性矩，从而降低了刚度和稳定性。

10.翘曲：非圆形截面的杆件扭转时，截面处绕杆件轴线转动外，截面上个点还会发生不同的轴向位移而使截面出现凹凸，不像圆截面杆件那样扭转后不保持平面。

11.影响弯曲荷载Mor的因素：①截面的形状，尺寸。

②截面的残余应力。

③初始几何缺陷。

④荷载类型及其作用特点。

⑤构件端部和侧向支撑条件。

12．梁的弯曲屈曲5个假设：①构件为各向同性完全弹性体，②弯曲和扭转时，构件截面形状不变，③小变形（侧面）。

④构件为等截面无截面。

⑤主弯矩作用平面内刚度很大，屈曲前变形对弯扭屈曲的影响的忽略。

一、里兹法与迦辽金法（摘自电磁场有限元方法 金建铭） 1. 里兹法里兹法是一种变分方法，其中边值问题用变分表达式（也称泛函）表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。

通过求泛函相对于其变量的极小值可得到近似解。

2. 伽辽金法伽辽金法属于残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权的方法得到方程的解。

若u是方程的近似解，将u 代入方程可得到非零的残数： r Luf =- u的最佳近似应能使残数r 在Ω内所有点上有最小值。

残数加权方法要求： 0i i R rd ωΩ=Ω=⎰这里i R 表示残数的加权积分，i ω是所选的加权函数。

在伽辽金法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。

通常，这样可得到最精确的解。

二、有限元方法里兹法和伽辽金法中，在整个解域内找出能表示或至少近似表示问题真实解的试探函数是非常重要的。

然而对于许多问题，这个步骤是十分困难的，对二维和三维问题尤其如此。

为此，我们可将整个区域划分成小子域，并应用定义在每个子域上的试探函数。

因为子域是小区域，因而在每一子域内函数的变化不大，所以定义在子域上的试探函数通常比较简单。

这正是有限元法的基本思想。

应用里兹法的过程通常称为里兹有限元法或变分有限元法，而应用伽辽金方法的过程通常称为伽辽金有限元方法。

有限元法与经典里兹法和伽辽金法的不同之处是在试探函数的公式上。

在经典里兹法和伽辽金法中，试探函数由定义在全域上的一组基函数组成。

这种组合必须能够（至少近似）表示真实解，也必须满足适当的边界条件。

在有限元法中，试探函数是由定义在组成全域的子域上的一组基函数构成。

因为子域很小，所以定义在子域上的基函数能够十分简单。

三、关于形函数（摘自有限元法在电磁计算中的应用 张榴晨）对于一个待求的微分方程，用一组线性独立的尝试函数i ψ和待定系数i C 来表示方程的近似解，并用加权余数法（迦辽金法）来求解这些待定系数。

求解待定系数的代数方程组为：1[]1,2,,ni j i j i d C q d j n ψψψΩΩ=∇∇Ω=Ω=∑⎰⎰这里j ψ为所选择的加权函数，应用迦辽金法时，所选取的加权函数即为尝试函数。

瑞丽里兹法与有限元的区别
在工程领域中，瑞丽里兹法和有限元法是两种常见的数值分析方法。

虽然它们都可以用于求解复杂的工程问题，但是它们之间还是存在一
些区别的。

一、数学基础
瑞丽里兹法是一种基于变分原理的数值分析方法，它的数学基础是变
分法和极小值原理。

而有限元法则是一种基于偏微分方程的数值分析
方法，它的数学基础是偏微分方程和变分法。

二、适用范围
瑞丽里兹法适用于求解线性和非线性的静力学问题，如结构的强度、
稳定性和振动等问题。

而有限元法则适用于求解各种工程问题，如结
构力学、流体力学、热传导等问题。

三、离散化方法
瑞丽里兹法采用的是连续的变分方法，它将问题离散化为一系列的微
分方程，然后通过求解微分方程来得到问题的解。

而有限元法则采用
的是离散化方法，它将问题离散化为一系列的有限元，然后通过求解
有限元的方程组来得到问题的解。

四、计算效率
瑞丽里兹法的计算效率相对较低，因为它需要求解连续的微分方程，这需要较高的计算精度和计算时间。

而有限元法则的计算效率相对较高，因为它采用的是离散化方法，可以通过增加有限元的数量来提高计算精度和计算速度。

总之，瑞丽里兹法和有限元法都是常见的数值分析方法，它们各有优缺点，适用于不同的工程问题。

在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值分析方法，以获得更准确和可靠的结果。

瑞利-里兹原理
瑞利-里兹原理（Rayleigh-Ritz method）是一种求解物理问题
的近似方法，特别适用于连续体力学、结构力学和振动力学等领域。

该方法于20世纪初由英国物理学家约翰·威廉·斯特雷
奇瑞利（John William Strutt, 1842-1919，又称瑞利，Rayleigh）和德国数学家沃尔夫·阿波尔·里兹（Walther Apollonius Ritz, 1869-1909，又称里兹，Ritz）分别独立提出。

瑞利-里兹原理的核心思想是，以符合约束条件的一组试探函
数展开待求解函数。

这些试探函数通常是已知的或容易构造的，可以用来近似描述问题的行为。

通过合理选择试探函数的形式和参数，可以使得展开后的待求解函数与实际解足够接近。

瑞利-里兹原理可以将复杂的物理问题简化为求解一组线性代
数问题。

首先在选择的试探函数空间中建立一个较简单的变分问题，再通过变分法对该问题进行求解。

这样得到的解通常是对原问题的良好近似。

瑞利-里兹原理的应用非常广泛，可以用于求解各种连续体模
型的弯曲、振动、热传导等问题。

它为工程师和科学家提供了一种便捷而有效的方法，用于理论分析和工程设计中的近似计算。

瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz method）是一种常用于求解泛函的极值问题的数值计算方法。

它是通过将泛函的极值问题转化为一个变分问题，并通过适当的变分方法来逼近泛函的极值解。

在研究泛函的极值问题时，我们通常需要求解如下形式的泛函极值问题：\[J[y]=\int _{a}^{b}F(x,y,y')dx\]其中\(y=y(x)\)是未知函数，\(F(x,y,y')\)是关于\(y\)及其导数\(y'\)的已知函数，\(a\)和\(b\)为给定区间。

泛函\(J[y]\)的极值问题即为在满足一定边界条件的前提下，求解使泛函\(J[y]\)取极值的解函数\(y(x)\)。

解决这类问题通常会面临数学上的困难，因为泛函极值问题的解函数\(y(x)\)通常无法通过常规的微分或积分手段求解。

而瑞利-里兹法提供了一种可行的数值求解途径。

接下来，我们将详细介绍瑞利-里兹法的基本原理和数值求解步骤。

1. 基本原理瑞利-里兹法的基本思想是将未知函数\(y(x)\)进行一定形式的变分展开，并通过适当的变分参数来逼近泛函极值问题的解。

这意味着我们假设未知函数\(y(x)\)可以表示为一组已知函数的线性组合：\[y(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i}(x)\]其中\(\varphi _{i}(x)\)为已知的基函数，\(c_{i}\)为待定的系数。

2. 变分问题将未知函数\(y(x)\)的展开式代入泛函\(J[y]\)中，得到变分问题：\[J[c]=\int _{a}^{b}F(x,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i},\sum_{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i}')dx\]其中\(c=[c_{1},c_{2},...,c_{n}]\)为变分参数向量。

3. 极小化问题通过对变分问题进行极小化处理，得到极小化问题：\[\min _{c}J[c]\]这样就将泛函极值问题转化为了一个常规的极小化问题，可以通过传统的最优化方法进行求解。

瑞利里兹法和伽辽金法的区别
瑞利里兹法和伽辽金法都是用于测定物体密度的方法，但它们的原理和步骤略有不同。

瑞利里兹法是利用声波的散射来测定物体的密度。

该方法需要将一个物体置于液体中，然后通过声波穿过物体并散射回来来确定物体的密度。

具体来说，该方法可以通过测定声波在液体中的传播速度和衰减程度来计算出物体的密度。

伽辽金法则是通过测定物体的质量和体积来计算其密度。

该方法需要将物体置于一个浸泡在液体中的容器中，并测量液体的容积变化。

通过比较容器中液体的初始体积和加入物体后的体积变化，可以计算出物体的体积。

然后，通过将物体称量并将其质量除以体积，可以计算出物体的密度。

总的来说，这两种方法都可用于测定物体的密度，但它们的原理和步骤略有不同，需要根据具体情况选择合适的方法。

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6.2 变分问题的近似解法（Ritz-Galerkin 方法） 利兹（Ritz 1878-1909）德国数学家， 伽辽金（Galerkin 1871-1945）俄国工程师 Ritz 法基于极小位能原理：求)(u J 的极小值（在某一空间V 中）；Galerkin 法基于虚功原理：求V u ∈，使V v v f v u a ∈∀=),,(),(。

（V 为前面提到的各种Sobolev 空间，一般是无限维的。

）求解上述变分问题的数值解的基本思想是：对于无限维的Sobolev 空间V ，用一个有限维的（n 维）空间n V 来代替，即取V V n ⊂，求n V u ∈，满足上述变分问题。

如求)(u J 的极值问题，可化为求多元二次函数的极值问题，使u 易于求出。

设{}VV n⊂=,,,,121ϕϕϕ ，),,1(n ii =ϕ为n V 的一组基函数，则n n V u ∈∀，有∑==n i i i n C u 1ϕ，即n u 可用这组基函数线性表示。

通过选取适当的系数i C ，使n V 是V 中的解u 的近似解。

n V 称为试探函数空间（书上为容许函数空间）。

对于齐次的本质边界条件，如取10V H =，则这组基函数),,1(n i i =ϕ也必须满足边界为0的条件。

不同的空间，对基函数的要求也不同。

Ritz 法：将n u 代入)(u J 的表达式，得),(),(21)(n n n n u f u u a u J -=),(),(21111∑-∑∑====n i i i n i i i ni i i C f C C a ϕϕϕ∑-∑===n i i i nj i j i j i C f C C a 11,),(),(21ϕϕϕ它是i C 的二次函数。

选取i C ，使)(min )(n V v n v J u J nn ∈=。

由极值的必要条件，得()0,1,2,,n kJ u k n C ∂==∂。

若记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n a a a a a a a a a A ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n C C C X 21，12(,)(,)(,)n f f b f ϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则),(),(21)(X b X AX u J n -=由第一节二次泛函的变分原理可知，当A 对称正定时，求此泛函的极小等价于求解方程组b AX=。

《高等钢结构理论》教学大纲
课程编号：
英文名称：Advanced Steel Structure Theory
课程类别：选修课学时：40 学分：2
适用专业：结构工程
预修课程：钢结构设计原理、结构力学、材料力学、弹性力学
课程内容：
本课程开设目的是为了加深学生钢结构理论知识，为今后钢结构方向的研究打下坚实基础。

具体内容为：钢材的两种破坏方式；脆性破坏的特点；常幅疲劳、变幅疲劳的概念、区别、验算方法。

焊接应力、焊接变形的产生原因；焊接应力对结构性能的影响；减少焊接应力、焊接变形的措施。

高强度螺栓抗拉连接的工作性能。

屈曲的分类；轴心压杆的弹性弯曲屈曲；初始几何缺陷、残余应力对轴心压杆极限承载力的影响；轴心压杆的非弹性弯曲屈曲。

受弯构件的弹性弯扭屈曲；受弯构件的弹塑性弯扭屈曲；压弯构件平面内的稳定承载力；稳定计算的能量法、瑞利——里兹法、伽辽金法；稳定计算的有限单元法。

教材：
王国周，瞿履谦. 钢结构原理与设计. 北京：清华大学出版社，1993
参考书目：
1. 陈绍藩. 钢结构设计原理. 北京：科学出版社，1998
2. 陈骥. 钢结构稳定理论与设计. 北京：科学出版社，2001
考核方式与要求：
读书报告或论文
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