伽辽金加权余量法

间断伽辽金格式
伽辽金法直接针对原控制方程采用积分的形式进行处理，它通常被认为是加权余量法的一种。

这里先介绍加权余量法的一般性方程。

考虑定义域为V的控制方程，其一般表达式为：
Lu=P
精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解ū，它必然带来一个误差ε（x），把它叫做残差，即：
ε(x)=Lū-P
近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，即：
∫v[ Wi·(Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n
选取不同的加权函数Wi会得到不同的近似方法。

对于伽辽金法来说，加权函数Wi一般称为形函数Φ（或试函数），Φ的形式为
Φ=ΣΦi·Gi
其中Gi（i=1,2,...,n）为基底函数（通常取为关于x,y,z的多项式），Φi为待求系数，这里将加权函数取为基底为Gi的线性组合。

另外，一般近似解ū的构造也是选取Gi为基底函数，即
ū=ΣQi·Gi
其中，Qi为待定系数。

综上可得伽辽金法的表达形式如下：
选择基底函数Gi，确定ū=ΣQi·Gi中的系数Qi使得
∫v[ Φ·(Lū-P)]dV=0
对于Φ=ΣΦi·Gi类型的每一个函数Φ都成立，其中系数Φi为待定的，但需要满足Φ其次边界条件。

求解出Qi之后，就能得到近似解ū。

第1章 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 复习题1.1已知一个数学微分方程，如何建立它的等效积分形式？如何证明两者是等效的？ 1.2 等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么后者在数值分析中得到更多的应用？1.3 不同形式的加权余量法之间饿区别何在？除书中已列举的几种方法以外，你还能提出其他形式的加权余量法吗？如能，分析新方法有什么特点。

1.4什么是加权余量的伽辽金方法？它有什么特点？ 1.5如何识别一个微分算子是线性、自伴随的？识别它的意义何在？ 1.6 如何建立与线性、自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理？如何证明它和加权余量的伽辽金方法之间的等效性？练习题1.1 一维热传导问题微分方程由（1.2.26）式给出，按1.2.2节例1.4给定的近似解及权函数用加权余量的配点法、子域法及伽辽金法求解并用图1.3进行校核。

1.2 某问题的微分方程是22220c Q x y φφφ∂∂+++=∂∂ 在Ω内 边界条件是 _φφ= （在1Γ上）_q n φ∂=∂ （在2Γ上） 其中和Q 仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。

c第2章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 复习题2.1 选择位移模式的原则是什么？以８结点四边形单元为例，如何选择体现所述原则的位移模式？2.2 单元刚度矩阵每一个元素的力学意义是什么？矩阵具有什么性质？这些性质的力学意义是什么？2.3 什么是单元结点自由度和结构结点自由度之间的转换矩阵？它在实际计算执行中有什么作用？2.4结构刚度矩阵和载荷列阵的集成实际是如何进行的？ 2.5结构刚度矩阵有什么性质和特点？在计算中如何利用它们？ 2.6 什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？为什么必须满足这些准则，有限元解才能收敛于微分方程的精确解？2.7为什么位移元解具有下限性？力学上如何解释？ 2.8 为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果？应力结果表现出哪些特点？有什么能改进应力结果的方法？2.9 和平面问题有限元分析相比较，轴对称问题有限元分析有什么相同点和不同点？ 练习题2.1 如图2.1所示的3结点三角形单元，厚度=1cm ，弹性模量t E =2.0×MPa ，泊桑比510ν=0.3。

加权余量法在固体力学中的应用研究摘要作为一种固体力学数值算法，加权余量法非常重要，无网格法、有限元法和边界元法等岩土工程计算算法，都是以基于加权余量法发展衍生的。

本文基于笔者多年以来对固体力学计算方法的研究，详细的介绍了加权余量法的原理，分析了其应用状况，阐述了该方法应用于固体力学的如何选择权函数和试函数，以便为诸多研究提供参考。

关键词加权余量法；固体力学；权函数；试函数中图分类号O34 文献标识码 A 文章编号1673-9671-（2012）111-0121-011 概述早期，加权余量法仅仅适用于传热、流体力学等学科领域，迄今为止，其在固体力学中已经得到了深层次的应用和发展。

在固体力学计算方法中，加权余量法是一种通用的数值计算方法，也是一种基于等效积分形式的类似计算方法，在求解非线性和线性微分方程使，其非常的有效。

在加权余量法发展研究过程中，基于该方法衍生了很多适应于具体应用场景的数值计算方法，包括无网格法、边界元法和有限元法，这三种计算方法因其适应环境不同而各具特色，目前已经逐渐的发展成为一种独立的方法。

本文基于笔者对加权余量法和固体力学计算方法的研究，详细的阐述了加权余量法的原理，分析了其应用状况，归纳该方法应用于固体力学的如何选择权函数和试函数等内容。

2 背景理论在工程科学计算领域中求解问题时，问题的最终解决方法通常是将其归结为求解具有初始条件和约束条件的微分方程组。

数学理论上，许多学者将微分方程形式称之为强形式，而在求数值解时，人们通常把微分方程的相关边界约束条件转换为变分形式；一些学者将微分方程等效为积分形式时，通常将其称之为弱形式，在一些文献中也存在一些学者将其称为积分提法[4]、伽辽金方程、变分方程和加权余量方法。

本文将详细的讨论求解数值时的加强余量法。

3 加权余量法的应用3.1 权余余量法的实施过程目前，针对工程或者物理学中产生的问题，人们通常针对其进行建模，抽象出来边界约束条件，将其归纳为微分方程，将其表示为未知函数u应该满足微分方程组，其一般形式如3.1所示。

有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。

对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。

已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。

(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。

(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。

若计算问题具有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。

按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。

其中伽辽金法的精度最高。

2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。

伽辽金加权余量法一、概述伽辽金加权余量法（Gauss-Seidel weighted residual method）是一种常用的数值计算方法，主要用于求解偏微分方程。

它是在有限元法和有限差分法的基础上发展起来的一种数值求解方法，其优势在于其准确性和高效性。

二、方法原理伽辽金加权余量法是一种迭代方法，通过迭代修正待求解的误差来逼近真实解。

其基本原理可以概括为以下几步： 1. 根据数学模型建立待求解的偏微分方程； 2. 将方程经过合适的变换，转化为离散形式； 3. 对离散形式的方程进行求解； 4. 通过迭代计算，逐步逼近真实解。

三、算法步骤伽辽金加权余量法的具体步骤如下： 1. 初始化变量：设定初始解、迭代次数和收敛条件； 2. 使用已知初始解代入方程，求解方程的残差； 3. 根据求解方程的残差和权重系数，计算修正值； 4. 更新解：将修正值与初始解相加，得到新的解；5. 判断是否满足收敛条件，如果满足则输出当前解，否则返回第2步。

四、优势和适用范围伽辽金加权余量法相较于其他求解方法具有以下优势： - 精度高：伽辽金加权余量法可以通过增加迭代次数得到更精确的解； - 收敛速度快：通过选择合适的权重系数，伽辽金加权余量法可以在较少的迭代次数下达到收敛； - 适用性广：伽辽金加权余量法可以应用于各种类型的偏微分方程问题。

五、应用案例为了进一步说明伽辽金加权余量法的应用，我们以一维热传导方程为例加以说明。

5.1 问题描述考虑一维材料中的热传导问题，假设该材料的导热系数为k，温度分布为T(x)，在材料两端的边界条件为T(0) = T1和T(L) = T2。

5.2 方程建模根据热传导规律，可以得到如下的一维热传导方程：∂T ∂t =k∂2T∂x25.3 伽辽金加权余量法求解按照伽辽金加权余量法的步骤，可以将热传导方程转化为离散形式，并进行迭代求解。

1.将热传导方程进行离散化：T i n+1−T i nΔt =kT i+1n−2T i n+T i−1n(Δx)2其中，i表示离散网格点的索引，n表示迭代次数，Δt和Δx分别为时间步长和空间步长。