数学建模_微分方程的解

格式：ppt
大小：941.50 KB
文档页数：17

下载文档原格式

/ 17

数学建模中的常微分方程

数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。

在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。

一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。

例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。

ODE分为一阶ODE和高阶ODE。

一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。

在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。

二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。

例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。

在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。

2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。

在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。

3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。

例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。

三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。

这些方法可以通过计算机程序实现。

四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。

我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。

假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。

欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。

通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。

总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。

它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。

数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析

实验二：微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1）微分方程例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

微分方程解析解方法总结

微分方程解析解方法总结微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界中各种变化的规律。

解析解是指能够用一种或多种函数表示出的微分方程的解。

本文将总结一些常见的微分方程解析解方法。

一、变量分离法变量分离法适用于可将微分方程中的变量分离的情况。

具体步骤如下：1. 将微分方程移项，将所有含有未知函数的项放在方程的一边，将不含未知函数的项放在另一边。

2. 对方程两边同时积分，得到两个不定积分。

3. 对两个不定积分进行求解，得到解析解。

二、常数变易法常数变易法适用于形如齐次线性微分方程的情况。

具体步骤如下：1. 假设微分方程的解为y=C(x)f(x)，其中C(x)为待定常数函数，f(x)为未知函数。

2. 将假设的解代入微分方程，得到一个关于C(x)和f(x)的方程。

3. 通过求解该方程，得到C(x)和f(x)的表达式。

4. 将C(x)f(x)作为微分方程的解析解。

三、齐次方程法齐次方程法适用于形如齐次线性微分方程的情况。

具体步骤如下：1. 将微分方程改写为dy/dx=g(y/x)，其中g为一元函数。

2. 令y=ux，将微分方程转化为关于u和x的方程。

3. 对关于u和x的方程进行求解，得到u的表达式。

4. 将u=x/y代入y=ux，得到微分方程的解析解。

四、特征方程法特征方程法适用于形如二阶常系数线性齐次微分方程的情况。

具体步骤如下：1. 将二阶微分方程写成特征方程r^2+pr+q=0的形式。

2. 求解特征方程，得到两个根r1和r2。

3. 根据根的情况，可得到微分方程的解析解的形式。

五、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法适用于解决常系数线性微分方程的情况。

具体步骤如下：1. 对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换。

2. 根据拉普拉斯变换的性质，将微分方程转化为代数方程。

3. 求解代数方程，得到解析解的拉普拉斯反变换。

通过以上总结，我们可以看到不同类型的微分方程可以采用不同的解析解方法来求解。

在实际应用中，选择合适的方法能够提高解题的效率和准确性。

《微分方程数学建模》课件

实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型，培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传染病在人群中的传播规律和防控策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解析和数值解的求解技巧。
相关教材
推荐一些优秀的教材，帮助您进一步学习微分方程和数学建模。
网络资源
介绍一些优质的网络资源，供您查阅更多有关微分方程数学建模的资料。
城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。

数学建模第八讲：偏微分方程数值解

2 (t )
其中：u
t
0
(
x
),
u t
t0
(x)
为初值条件
u x0 1 (t ), u xt 2 (t ) 为边值条件
当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二
。者均提供时称为波动方程的混合问题
5.3.1 波动方程求解
t
t
x 0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与u 依赖于x的函数形式，求解不同位置， t
un1 i , j,k
t 2 t nt , xix , y jy,zkz
( t )2
2u x 2
t nt , xix , y jy,zkz
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
2u y2
t nt , xix , y jy,zkz
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
21
A11 I
A
I
A22 I
I AN 2 ,N 2 I
I
R( N 1)2 ( N 1)2
AN 1,N 1
其中
4 1
f ( x, t)
u
t
0
(
x
),
u t
t0
( x)
u
x0
1(t), u xl
2(t)
uin
un1 i
τn
xi
x
un1 i
方程离散化
un1 i
2uin
un1 i
(t )2
a2
un i1
2uin

微分方程的通解包含了所有的解

微分方程的通解包含了所有的解微分方程是描述自然现象中的变化和关系的数学工具，是物理学、工程学、经济学等领域中常见的数学建模方法。

微分方程的解是指使方程成立的函数，通解则是方程所有解的一个集合。

通解一般包含若干个特解，通过添加常数项而形成。

对于一阶微分方程，一般形式可以表示为dy/dx = f(x)，其中y是未知函数，f(x)是已知函数。

描述了未知函数y和自变量x之间的关系。

具体解这个方程的过程就是求解y和x之间的关系。

通解是指形式上由一个或多个未知函数和若干个任意常数组成的解。

它不包含具体的数值，而是一种形式上的表示。

特解是指满足特定的边界条件或初始条件的解，通过给通解添加适当的数值而得到。

特解是通过具体的计算得到的解，包含了具体的数值信息。

下面通过几个具体的例子来说明通解和特解的概念。

例子1：求解一阶线性微分方程dy/dx + y = x的通解。

通过变量分离的方法，可以将该方程转化为dy/y = dx，两边同时积分得到ln，y， = x^2/2 + C1，其中C1是积分常数。

将等式两边取指数函数得到，y， = e^(x^2/2 + C1)，即，y， = Ce^(x^2/2)，其中C =e^C1是一个新的常数。

整理后得到y = C1e^(x^2/2)和y = -C1e^(x^2/2)两个解。

这两个解都是方程的通解，其中C1是任意常数。

例子2：求解一阶非齐次线性微分方程dy/dx + y = x + 1的特解。

非齐次部分是x + 1，我们需要找到一个特解可以使得非齐次部分成立。

猜测特解为y = ax + b，将其代入方程得到a + ax + b = x + 1、比较系数得到a = 1，b = 1，所以特解为y = x + 1通解是特解加上齐次方程的通解。

齐次方程是dy/dx + y = 0，它的通解已经在例子1中求解出来，即y = C1e^(x^2/2)和y = -C1e^(x^2/2)。

将特解y = x + 1和齐次方程的通解合并得到完整的通解，即y =C1e^(x^2/2) + x + 1和y = -C1e^(x^2/2) + x + 1例子3：求解二阶非齐次线性微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0的特解。

数学建模解偏微分方程

数学建模解偏微分方程
摘要：
1.数学建模简介
2.偏微分方程的基本概念
3.解偏微分方程的方法
4.数学建模在实际应用中的案例
5.总结与展望
正文：
数学建模是一种用数学方法解决实际问题的过程，它涉及到多个领域，如物理学、生物学、经济学等。

在这个过程中，偏微分方程是一类非常重要的数学模型，用于描述各种自然现象和工程问题。

本文将简要介绍数学建模解偏微分方程的相关知识。

首先，我们需要了解偏微分方程的基本概念。

偏微分方程是一种包含多个变量的微分方程，可以用来描述各种物理现象，如波动、热传导、电磁场等。

根据偏微分方程的性质，可以将其分为多种类型，如线性偏微分方程、非线性偏微分方程、椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程等。

解偏微分方程是数学建模的关键步骤之一。

根据偏微分方程的类型和问题的具体条件，可以采用不同的方法求解。

常用的方法有分离变量法、矩方法、有限元法、有限差分法等。

这些方法各有优缺点，需要根据实际情况进行选择。

数学建模在实际应用中具有广泛的应用。

例如，在天气预报中，可以通过
数学模型预测未来的天气状况；在生物医学领域，可以通过数学模型研究病毒传播、药物代谢等问题；在经济学中，可以通过数学模型分析市场供求、价格波动等现象。

这些实际问题都可以转化为偏微分方程或相关数学模型进行求解。

总之，数学建模解偏微分方程是一种重要的数学方法，可以用来解决实际问题。

了解偏微分方程的基本概念和解法，以及数学建模在实际应用中的案例，有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题。

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

方程模型

过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－微分方程模型
关晓飞同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,

7 微分方程-1

研究种群增长的Logistic Logistic微例2 研究种群增长的Logistic微分方程模型的动力学行为。 dn/dt= r (1-n) n 的动力学行为。数值试验（对不同的初值N0=[0.01 数值试验（1）取r=0.8 对不同的初值Байду номын сангаас0=[0.01 0.2 0.5 0.8] 观察解的变化。建立函数文件: 建立函数文件: funlog.m function y=funlog(t,x) y=0.8*x*(1-x); y=0.8*x*(1运行程序：运行程序： N=[0.01 0.2 0.5 0.8] for i=1:4 x0=N(i); [tt,xx]=ode45('funlog',[0,10],x0); plot(tt,xx),grid, hold on end
练习1 数值实验（对固定的初值N0=0.1，练习1：数值实验（2）对固定的初值N0=0.1， N0=0.1 取不同的r=[0.1, 观察Logistic Logistic微取不同的r=[0.1, 0.8, 1, 2, 5] 观察Logistic微分方程解的变化。练习2 给出下面的Matlab Matlab指令的数学表达练习2：给出下面的Matlab指令的数学表达 F=@(t,y)[y(2); -y(1)] ode45(F,[0,10],[0,2]) for i=1:5 [t,y]=ode45(F,[0,10],[0,1/i]); plot(y(:,1),y(:,2)),grid,hold on end
附录1. 研究洛伦兹Lorentz Lorentz方程组附录1. 研究洛伦兹Lorentz方程组的动力学行为。的动力学行为。在一个从底部加热的空气层里，在一个从底部加热的空气层里，上升的热空气与下降的冷空气相互作用形成湍流圈。互作用形成湍流圈。一个简化的系统模型包含3个状态变量x 系统模型包含3个状态变量x1对流环旋转的速度，环旋转的速度，x2上升与下降气流的温差，流的温差，x3垂直温度剖面的线性偏差，运动方程：性偏差，运动方程：对不同的r值数值模拟该动力系统，对不同的r值数值模拟该动力系统，以确定解的长期行为。以确定解的长期行为。分别考虑 0<r<1; 1<r<1.35; 24.8<r几种情形下的 1.35<r<24.8; 24.8<r几种情形下的平衡态及其稳定性。平衡态及其稳定性。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

函数的
初值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
y(xi1 ) y(xi )
xi 1 xi
f
(t,
y(t))dt

xi1 2
xi
[f
(xi , y(xi ))
f
(xi1 ,
y(xi1 ))]
故有公式：

yi1

yi

h 2
[
f
(
xi (xi1 , yi1 )]
y0 y(x0 )
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
To Matlab（ff2）
结果为 : y =3e-2xsin（5x）
例 3 求微分方程组的通解.

dx
dt dy
dt dz

2x 4x 4x

3y 5y 4y

3z 3z 2z
dt
解输入命令：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；
To Matlab（ff3）
结果为： x =C2*exp(-t)+C3*exp(2*t) y =C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z =C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1
返回
（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变函数量值值
ode45 ode23 ode11 3ode1 5sode
23s(用这些代替
solver)
由待解方程写成的m文件名
ts=[t0，tf]，
t0、t f为自变量的初值和终值
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
故有公式：
y'(x) y(x h) y(x) h

yi1 yi y0 y(x0 )
hf
(
xi
,
yi
)
i 0,1,2,, n -1
此即欧拉法。
2、使用数值积分
对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：
y) ，其数值解是指由初始点x y0
0
开始
的若干离散的x值处，即对x0 x1 x2 xn，求出准确值y(x1),
y(
x2
),,
y(
xn
)
的相应近似值y1
,
y
2
,,
y
。
n
（二）建立数值解法的一些途径
设 xi1 xi h, i 0,1,2,n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
注意:
1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶
微分方程组.
例4

d2x dt 2
1000(1

x2
)
dx dt

x

0
x(0) 2; x'(0) 0
第八讲微分方程的解
微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程 d 2 y 0 应表达为：D2y=0.
返回
微分方程的数值解
（一）常微分方程数值解的定义
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。
因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
对常微分方程：yy(' x0f)(x,
然后继续下一步 yi2 的计算。
此即改进的欧拉法。
3、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。
4、数值公式的精度当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h
为步长），称它是一个k阶公式。
k越大，则数值公式的精度越高。
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 •龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 •线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。
dx 2 例 1 求 du 1 u 2 的通解.
dt 解输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结果：u = tg(t-c)
To Matlab（ff1）
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y 4 dy 29 y 0 dx2 dx y(0) 0, y' (0) 15
解: 令 y1=x，y2=y1’
则微分方程变为一阶微分方程组：

y1' y2

y2
'

1000(1

y12
)
y2

y1
2 1.5
1
y1(0) 2, y2 (0) 0
0.5 0
1、建立m-文件vdp1000.m如下：
-0.5
-1
function dy=vdp1000(t,y)
-1.5

y
(0) i 1

yi
hf
(xi ,
yi )

y
(k 1) i 1

yi

h[ f 2
(xi , yi )
f
(
xi1
,
y (k ) i 1
)]
k 0,1,2,
对于已给的精确度
，当满足
y (k 1) i 1

y (k ) i 1
时，取 yi1
y（ik11），
dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2);
-2 -2.5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
2、取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')