数学建模之微分方程建模与平衡点理论
- 格式:doc
- 大小:296.00 KB
- 文档页数:12
数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法,可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程,其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程,然后利用数学工具来求解这些微分方程,从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如,经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程,可以得到弹簧振子的运动规律,从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述,从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述,从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述,从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中,常常需要求解一类特殊的微分方程,即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如,热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题,可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合,如优化方法、概率统计方法等。
例如,最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述,从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述,从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中,常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题,常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程,然后利用计算机进行数值计算,从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之,微分方程方法是数学建模中常用的方法之一,可以描述变化过程和规律,并通过数学分析和数值计算来求解。
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识,对一些可以求解的微分方程及其方程组,要求掌握其解法,并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系:(1)初等积分法(一阶方程及几类可降阶为一阶的方程)→(2)一阶线性微分方程组(常系数线性微分方程组的解法)→(3)高阶线性微分方程(高阶线性常系数微分方程解法)。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0. 常数变易法:常数变易法在上面的(1)(2)(3)三部分中都出现过,它是由线性齐次方程(一阶或高阶)或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1. 初等积分法:掌握变量可分离方程、齐次方程的解法,掌握线性方程的解法,掌握全微分方程(含积分因子)的解法,会一些一阶隐式微分方程的解法(参数法),会几类可以降阶的高阶方程的解法(恰当导数方程)。
分离变量法:(1)可分离变量方程: ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程:);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法:(1) 线性方程,),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程,,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法:化为全微分方程,按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法:(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程:);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程,有降阶法:;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题(即建模问题)。
微分方程列微分方程常用的方法:(1)根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
(2)微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式,与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
(3)模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中,许多现象的规律性不很清楚,即使有所了解也是极其复杂的,建模时在不同的假设下去模拟实际的现象,建立能近似反映问题的微分方程,然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质,再去同实际情况对比,检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解1.1传染病模型(1)基础模型假设:t时刻病人人数()x t连续可微。
每天每个病人有效接触(使病人治病的接触)的人数为λ,0t=时有0x个病人。
+∆病人人数增加建模:t到t t()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ (1)0,(0)dxx x x dtλ== (2) 解得:0()t x t x e λ= (3)所以,病人人数会随着t 的增加而无限增长,结论不符合实际。
(2)SI 模型假设:1.疾病传播时期,总人数N 保持不变。
人群分为两类,健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人,λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据:患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模:diNNsi dtλ= (4) 由于()()1s t i t += (5)设t=0时刻病人所占的比例为0i ,则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= (6)解得:1()111kti tei-=⎛⎫+-⎪⎝⎭(7)用Matlab绘制图1()~i t t,图2 ~diidt图形如下,结论:在不考虑治愈情况下①当12i=时didt达到最大值mdidt⎛⎫⎪⎝⎭,这时11ln1mtiλ-⎛⎫=-⎪⎝⎭②t→∞时人类全被感染。
未考虑治愈情况。
(3)SIS模型假设:1.疾病传播时期,总人数N保持不变。
人群分为两类,健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人,λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
3.在所有病人中,每天有比例μ的人能被治愈,治愈后看作可被感染的健康者,传染病的平均传染期为1μ。
依据:患病人数的变化率= Nsi λ(患病人数的变化率)-Ni μ(治愈率) 建模:diNNsi Ni dtλμ=- (8)0(1),(0)dii i i i i dtλμ=-- = (9) 令σ为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数,σλμ=。
则有11dii i dt λσ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(10) 用Matlab 绘制出~dii dt(图3,图5)和 i~t (图4,图6)。
结论:1σ=为一个阈值。
①1σ>,()i t 极限值1()1i σ∞=-为增函数,()i t 的增减性由0i 的大小确定。
②1σ≤,病人比例()i t 越来越小,最终趋于0。
(4)SIR 模型(某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力,不会再次被感染) 假设:①总人数N 不变,将人群分为健康者,病人,和病愈免疫的移除者,他们在总人数中所占的比例依次为()s t ,()i t ,()r t 。
②λ为病人的日接触率,μ为日治愈率,σλμ=为传染期接触数。
建模:由假设1得()()()1s t i t r t ++= (11)drNNi dtμ= (12) 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)s s i i >>,则有00,(0),(0)disi i i i dt ds si s s dtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ (13)利用Matlab 绘制出()i t ,()s t (图7),~i s (图8)图形,~i s 图形称为相轨线。
相轨线分析:利用相轨线讨论解()i t ,()s t 的性质。
~s i 平面称为相平面,相轨线在其上的定义域为(,)s i D ∈为(){},0,0,1D s i s i s i =≥≥+≤ (14)消去方程中的dt ,并由σ得到011,s s di ii ds sσ==-= (15)解得:()0001lnsi s i s s σ=+-+(16) 在定义域D ,相轨线是上式所表示的曲线,如图9所示,其中箭头表示随着时间t 的增加()s t 和()i t 的变化趋势。
下面分析()s t 、()i t 和()r t 的变化情况(t →∞时它们的极限值分别记做,s i ∞∞和r ∞)①不论初始条件00,s i 如何,病人最终会消失,0i ∞= ,证明:首先,由式(13),0ds dt≤,而()0s t ≥,所以s ∞存在;由式(11),0dr dt≥,而()1r t ≤,所以r ∞存在;由式(11)得i ∞存在。
其次,若0i ε∞=>,则由式(11),对于充分大的t 有2dr dtεμ>,导致r ∞=∞,与r ∞存在相矛盾。
从图形来看,无论相轨线从何点出发,最终都将与s 轴相交。
②令式(16)中0i =,则最终未被感染的健康者的比例是s ∞,s ∞为方程0001ln0s s i s s σ∞∞+-+= (17) 在(0,1/)σ内的根,在图形上表示为相轨线与s 轴在(0,1/)σ内交点的横坐标。
③若01/s σ>,则()i t 先增加,当1/s σ=时,()i t 达到最大值0001(1ln )i s i s σσ∞=+-+ (18)然后()i t 减小且趋于0,()s t 单调减小至s ∞,如图中由1P 出发的相轨线。
④若01/s σ≤,则()i t 单调减小至0,()s t 单调减小至s ∞,如图中由2P 出发的相轨线。
结论:①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延,则1/σ为一个阈值,01/s σ>时蔓延。
可以通过减小σ 使01/s σ≤,使传染病不蔓延。
②01/s σ>,σ减小时,s ∞增加,也能控制蔓延程度。
1.2捕鱼模型考察一个渔场,其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量,那么渔场鱼量将保持不变,这个捕捞量就可以持续. ①产量模型假设:()x t 为渔场中鱼量。
1.无捕捞时,鱼的的增长服从logistic 规律,即()()1x xt f x rx N ⎛⎫==- ⎪⎝⎭& (19)其中:r 表示固有增长率,N 表示环境容许的最大鱼量,()f x 表示单位时间的增长量。
2. 用E 表示单位时间捕捞率,单位时间捕捞量和渔场鱼量()x t 成正比,则有单位时间捕捞量为()h x Ex = (20)建模:捕捞情况下渔场鱼量满足()()1x x t F x rx Ex N ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭& (21)其中:()()()F x f x h x =-。
判断()x t 的稳定条件,求式(21)的平衡点,分析其稳定性。
令式(21)为0,得两个平衡点:01(1),0E x N x r=-= (22)稳定性判断01(),()F x E r F x r E ''=-=-当E r <时01()0,()0F x F x ''<>,则0x 点稳定,1x 点不稳定。
当E r >时01()0,()0F x F x ''><,则1x 点稳定,0x 点不稳定。
分析:用E 表示捕捞率,r 表示固有增长率。
①当E r <时,可使鱼量稳定在0x ,获得稳定产量。
②当E r >时,1x 稳定,渔场干枯。
根据(19),(20)式分别绘制曲线()y f x =及()()y h x E x ==,使用Matlab 绘制图形如下所示,得两曲线交点为P ,则P 横坐标为稳定平衡点0x ,纵坐标为稳定条件下单位时间的产量,当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量,此时的稳定平衡点为*02Nx =, 单位时间的最大持续产量为4m rN h =,捕捞率*2r E =。
结论:将捕捞率控制在固有增长率r 的一半,即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时,能够获得最大的持续产量。
②效益模型(经济效益=总收入收入-成本)假设:鱼销售单价p ,单位捕捞率费用是c ,单位时间收入为T ,成本为S ,单位利润为R ,则有()T ph x pEx S cER T S pEx cE ====-=- (23)建模:在稳定条件0x x =下,将式(22)代入式(23)得()()()(1)ER E T E S E pNE cE r=-=-- (24) 求出使利润最大的捕捞强度为12R r c E pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(25) 最大利润下的渔场稳定鱼量R x 和单位时间的持续产量R h 22R N cx p=+ (26) 222(1)14R R R x rN c h rx N p N⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(27) 结论:当有最大效益时,捕捞率和持续产量都减小,渔场应保持的稳定鱼量增加,捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。
③捕捞过度:封闭式捕捞追求利益最大,开放式捕捞只追求利润。
令式(24)中()0R E =,解S E ,则1S c E r pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (28)当S E E <时,利润()0R E >经营者加大捕捞强度,当S E E >,()0R E <经营者减小捕捞强度,S E 为盲目捕捞下的临界强度。
或利用Matlab 绘制~(),()E T E S E 曲线如图(12),则(),()T E S E 交点横坐标即为S E 。
二、微分方程与平衡点理论2.1一阶微分方程 设一阶微分方程为()()x t f x =& (1)求解方程()=0f x 即可出平衡点0x x =。
再判断平衡点0x 是否稳定。
判断平衡点的常用方法有以下两种 (1)直接法将()f x 在0x 点作泰勒展开,仅取一次项,则得方程(1)的近似线性方程为()()()'0x t f x x x =-& (2)所以,0x 也是方程(2)的平衡点。
令()'0=f x a ,则方程(2)的一般解为()0at x t ce x c =+为常数对于0x 点的稳定性有如下结论:如果()'00f x <,则0x 对于方程(2)和(1)都是稳定的; 如果()'00f x >,则0x 对于方程(2)和(1)都是不稳定的; (2)间接法如果存在0x 某个邻域内的任意值,使方程(1)的解()x t 满足()0lim t x t x →∞= (3) 那么0x 是稳定的,否则0x 是不稳定的。