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数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。
例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
数学建模是将实际问题抽象成数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
以下是一些常见的数学建模方法：
1.数理统计：利用概率论和统计学方法来分析数据，建立统计模型并进行参数估计、假设
检验等，从而对问题进行量化和预测。
2.最优化方法：使用最优化理论和方法，在给定约束条件下寻找最优解，如线性规划、非
线性规划、整数规划等。
3.微分方程模型：通过建立微分方程或偏微分方程描述系统的动态行为，包括常微分方程
和偏微分方程模型。
4.离散事件模拟：通过离散事件模拟方法模拟系统的运作过程，包括随机过程、排队论等。
5.图论与网络流模型：使用图论和网络流算法对复杂的关系和网络结构进行建模和分析，
如最短路径、最小生成树等。
6.时间序列分析：对时间序列数据进行建模和预测，涉及自相关函数、谱分析、回归分析
等方法。
7.近似方法：如插值、拟合、逼近等方法，通过寻找适当的函数形式来近似真实问题。
8.随机过程：通过建立随机过程来描述系统的不确定性和随机性，包括马尔可夫链、布朗
运动等。
9.图像处理与模式识别：利用数学方法和算法对图像和模式进行处理和识别，如图像滤波、
边缘检测、模式匹配等。
10.数据挖掘与机器学习：利用统计学和机器学习算法对大规模数据进行分析和挖掘，发现
隐藏的模式和关联规律。
这些方法只是数学建模中的一部分，实际应用还需根据具体问题进行选择和组合。
在数学建模过程中，常常需要结合领域知识和实际情况，并使用计算机软件和工具进行模型求解和结果分析。
数学建模中的微分方程理论数学建模是数学的一个重要分支，它在科学、工程、计算机等领域中都有广泛的应用。
其中，微分方程是数学建模中的重要工具之一。
微分方程的理论研究和应用，对于解决现实世界中的问题具有重要意义。
一、微分方程的定义和分类微分方程是数学模型中常见的数学表达式，它描述了变量之间的关系，以及随时间变化的规律。
微分方程的一般形式为：$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$$其中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$y'$ 是 $y$ 对 $x$ 的一阶导数，$y''$ 是 $y$ 对 $x$ 的二阶导数，$y^{(n)}$ 是 $y$ 对$x$ 的 $n$ 阶导数。
微分方程按照阶数和类型的不同，可以分为很多种类。
例如：1. 一阶常微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$2. 二阶常微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,\frac{dy}{dx})$$3. 偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partialt}=k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$二、微分方程的求解方法求解微分方程是微分方程理论中的核心问题之一。
对于不同类型的微分方程，有不同的求解方法。
以下为一些常用的方法：1. 变量分离法：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$2. 齐次方程法：$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{\frac{\partial}{\partial x}h(x,y)}{\frac{\partial}{\partial y}h(x,y)}$$3. 一阶线性微分方程法：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$4. 二阶常系数齐次线性微分方程法：$$y''+ay'+by=0$$5. 分离变量法：$$\frac{\partial u}{\partialt}=k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$三、微分方程在数学建模中的应用微分方程在数学建模中具有广泛的应用，例如：1. 物理问题：微分方程可以用来描述物理世界中的各种问题，例如运动学、动力学、热力学、电磁学等。
微分方程稳定性理论简介 一、 问题的背景稳定性的物理意义：用微分方程描述的物质运动的特解密切依赖于初值，而初值的计算或测定实际上不可避免地出现误差和干扰。
如果描述这运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果。
因此，这样不稳定的解不宜作为我们设计的依据，反之，稳定的特解才是我们最感兴趣的。
二、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()()x t f x = （1）方程右端不显含自变量t ，称为自治方程。
代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点）。
它也是方程（1）的解（奇解）如果存在某个邻域，使方程（1）的解()x t 从这个邻域的某个(0)x 出发，满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（渐进稳定）；否则称0x 是不稳定的（不渐进稳定）。
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法。
利用定义即（3）式称间接法。
不求方程（1）的解，即不利用（3）式的方法称直接法。
下面介绍直接法将()f x 在0x 点作Taylor 展开，只取一次项，方程（1）近似为00()()()xt f x x x '=- （4） （4）称为(1)的近似线性鞥方程，0x 也是（4）的平衡点，关于0x 点稳定性结论如下：若0()0f x '<，则0x 对于方程（4）和（1）都是稳定的； 若0()0f x '>，则0x 对于方程（4）和（1）都是不稳定的。
（事实上，若记0()f x a '=，则（4）的一般解是0()atx t ce x =+ （5） 其中c 是由初始条件决定的常数，显然，当0a <时，（3）式成立）三、二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表为112212()(,)()(,)xt f x x x t g x x =⎧⎨=⎩ （6）右端不显含t ，为自治方程。
第四节 微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dxf x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。
将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dxf x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。
0x 也是（4）的平衡点。
关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。
若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dtdx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。
记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。
微分方程列微分方程常用的方法：（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解1.1传染病模型（1）基础模型假设：t时刻病人人数()x t连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t=时有0x个病人。
+∆病人人数增加建模：t到t t()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：diNNsi dtλ= （4） 由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6）解得：1()111kti tei-=⎛⎫+-⎪⎝⎭（7）用Matlab绘制图1()~i t t，图2 ~diidt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i=时didt达到最大值mdidt⎛⎫⎪⎝⎭，这时11ln1mtiλ-⎛⎫=-⎪⎝⎭②t→∞时人类全被感染。
未考虑治愈情况。
（3）SIS模型假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
3.在所有病人中，每天有比例μ的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为1μ。
依据：患病人数的变化率= Nsi λ（患病人数的变化率）-Ni μ(治愈率） 建模：diNNsi Ni dtλμ=- （8）0(1),(0)dii i i i i dtλμ=-- = （9） 令σ为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，σλμ=。
则有11dii i dt λσ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（10） 用Matlab 绘制出~dii dt（图3，图5）和 i~t （图4，图6）。
结论：1σ=为一个阈值。
①1σ>，()i t 极限值1()1i σ∞=-为增函数，()i t 的增减性由0i 的大小确定。
②1σ≤，病人比例()i t 越来越小，最终趋于0。
（4）SIR 模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染） 假设：①总人数N 不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为()s t ，()i t ，()r t 。
②λ为病人的日接触率，μ为日治愈率，σλμ=为传染期接触数。
建模：由假设1得()()()1s t i t r t ++= （11）drNNi dtμ= （12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)s s i i >>，则有00,(0),(0)disi i i i dt ds si s s dtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ （13）利用Matlab 绘制出()i t ，()s t （图7），~i s （图8）图形，~i s 图形称为相轨线。
相轨线分析：利用相轨线讨论解()i t ，()s t 的性质。
~s i 平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(,)s i D ∈为(){},0,0,1D s i s i s i =≥≥+≤ （14）消去方程中的dt ，并由σ得到011,s s di ii ds sσ==-= （15）解得：()0001lnsi s i s s σ=+-+（16） 在定义域D ，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t 的增加()s t 和()i t 的变化趋势。
下面分析()s t 、()i t 和()r t 的变化情况（t →∞时它们的极限值分别记做,s i ∞∞和r ∞）①不论初始条件00,s i 如何，病人最终会消失，0i ∞= ，证明：首先，由式（13），0ds dt≤，而()0s t ≥，所以s ∞存在；由式（11），0dr dt≥，而()1r t ≤，所以r ∞存在；由式（11）得i ∞存在。
其次，若0i ε∞=>，则由式（11），对于充分大的t 有2dr dtεμ>，导致r ∞=∞，与r ∞存在相矛盾。
从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与s 轴相交。
②令式（16）中0i =，则最终未被感染的健康者的比例是s ∞，s ∞为方程0001ln0s s i s s σ∞∞+-+= （17） 在(0,1/)σ内的根，在图形上表示为相轨线与s 轴在(0,1/)σ内交点的横坐标。
③若01/s σ>，则()i t 先增加，当1/s σ=时，()i t 达到最大值0001(1ln )i s i s σσ∞=+-+ （18）然后()i t 减小且趋于0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由1P 出发的相轨线。
④若01/s σ≤，则()i t 单调减小至0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由2P 出发的相轨线。
结论：①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则1/σ为一个阈值，01/s σ>时蔓延。
可以通过减小σ 使01/s σ≤，使传染病不蔓延。
②01/s σ>，σ减小时，s ∞增加，也能控制蔓延程度。
1.2捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续． ①产量模型假设：()x t 为渔场中鱼量。
1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic 规律，即()()1x xt f x rx N ⎛⎫==- ⎪⎝⎭& （19）其中：r 表示固有增长率，N 表示环境容许的最大鱼量，()f x 表示单位时间的增长量。
2. 用E 表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量()x t 成正比，则有单位时间捕捞量为()h x Ex = （20）建模：捕捞情况下渔场鱼量满足()()1x x t F x rx Ex N ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭& （21）其中：()()()F x f x h x =-。
判断()x t 的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。
令式（21）为0，得两个平衡点：01(1),0E x N x r=-= （22）稳定性判断01(),()F x E r F x r E ''=-=-当E r <时01()0,()0F x F x ''<>，则0x 点稳定，1x 点不稳定。
当E r >时01()0,()0F x F x ''><，则1x 点稳定，0x 点不稳定。
分析：用E 表示捕捞率，r 表示固有增长率。
①当E r <时，可使鱼量稳定在0x ，获得稳定产量。
②当E r >时，1x 稳定，渔场干枯。
根据（19），（20）式分别绘制曲线()y f x =及()()y h x E x ==，使用Matlab 绘制图形如下所示，得两曲线交点为P ，则P 横坐标为稳定平衡点0x ，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为*02Nx =， 单位时间的最大持续产量为4m rN h =，捕捞率*2r E =。
结论：将捕捞率控制在固有增长率r 的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。
②效益模型（经济效益=总收入收入-成本）假设：鱼销售单价p ，单位捕捞率费用是c ，单位时间收入为T ，成本为S ，单位利润为R ，则有()T ph x pEx S cER T S pEx cE ====-=- （23）建模：在稳定条件0x x =下，将式（22）代入式（23）得()()()(1)ER E T E S E pNE cE r=-=-- （24） 求出使利润最大的捕捞强度为12R r c E pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（25） 最大利润下的渔场稳定鱼量R x 和单位时间的持续产量R h 22R N cx p=+ （26） 222(1)14R R R x rN c h rx N p N⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（27） 结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。
③捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。
令式（24）中()0R E =,解S E ,则1S c E r pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (28）当S E E <时，利润()0R E >经营者加大捕捞强度，当S E E >，()0R E <经营者减小捕捞强度，S E 为盲目捕捞下的临界强度。
或利用Matlab 绘制~(),()E T E S E 曲线如图（12），则(),()T E S E 交点横坐标即为S E 。
二、微分方程与平衡点理论2.1一阶微分方程 设一阶微分方程为()()x t f x =& （1）求解方程()=0f x 即可出平衡点0x x =。
再判断平衡点0x 是否稳定。
判断平衡点的常用方法有以下两种 （1）直接法将()f x 在0x 点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为()()()'0x t f x x x =-& （2）所以，0x 也是方程（2）的平衡点。
令()'0=f x a ，则方程（2）的一般解为()0at x t ce x c =+为常数对于0x 点的稳定性有如下结论：如果()'00f x <，则0x 对于方程（2）和（1）都是稳定的； 如果()'00f x >，则0x 对于方程（2）和（1）都是不稳定的； （2）间接法如果存在0x 某个邻域内的任意值，使方程（1）的解()x t 满足()0lim t x t x →∞= （3） 那么0x 是稳定的，否则0x 是不稳定的。
