高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学业分层测评苏教版选修1_1

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离之和为，则到准线的距离为．【解析】由抛物线的定义可知点到焦点与准线的距离相等，又因为二者之和为，故到准线的距离为.【答案】．下列说法中正确的是(填序号)．①已知(－)，()，到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆；②已知(－)，()，到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆；③到点(－)，()两点的距离之和等于点()到，的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点(－)，()距离相等的点的轨迹是椭圆．【解析】根据椭圆的定义＋>可知选③.【答案】③．已知()，()，动点满足－＝，且点的轨迹是双曲线，则实数的取值范围是．【解析】因为＝，且点的轨迹是双曲线，则－＝＜，即＜＜.【答案】()．已知双曲线的焦点为，，双曲线上一点满足－＝.若点也在双曲线上，且＝，则＝.【解析】由双曲线的定义可知，－＝.又＝，∴－＝，解得＝或.【答案】或．已知点(－)，()．曲线上任意一点满足－＝(－)≠.则动点的轨迹是. 【导学号：】【解析】由条件可化简为＋＝，因为>＝，所以曲线是椭圆．【答案】椭圆．若点到直线＝－的距离比它到点()的距离小，则点的轨迹为．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)【解析】由题意到直线＝－的距离等于它到点()的距离，故点的轨迹为一条抛物线．【答案】抛物线．已知平面上定点，及动点，命题甲：－＝(为常数)，命题乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的条件．【解析】根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当<<时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分．△的顶点(，－)，()，且( － )＝，则顶点的轨迹是．【解析】运用正弦定理，将( －)＝转化为边的关系，即＝×，则－＝＝<.显然，顶点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支去掉点()．【答案】以，为焦点的双曲线的上支去掉点()二、解答题．已知动点的坐标(，)满足方程(－)＋(－)＝(＋＋)，试确定动点的轨迹．【解】方程可变形为＝，∵表示点到点()的距离，表示点到直线＋＋＝的距离．又由＝知点到定点()的距离等于点到直线＋＋＝的距离．由抛物线的定义知点的轨迹是抛物线．．一炮弹在某处爆炸，在(－)处听到爆炸声的时间比在( )处晚，已知坐标轴的单位长度为，声速为，爆炸点应在什么样的曲线上？【解】由声速为，可知，两处与爆炸点的距离差为×＝()，且小于＝()，因此爆炸点在以，为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离处比处更远，所以爆炸点应在靠近处的一支双曲线上．[能力提升]．已知点(，)的坐标满足－＝±，则动点的轨迹是．【解析】方程表示点到()和(－，－)两点的距离差，∵<，∴点的轨迹是双曲。

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)1.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________.【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x2.已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意知c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，所以b ＝ 3. 【答案】33.若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围为________.【解析】由题意可知⎩⎨⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.【答案】 (3,4)∪(4,5)4.以y ＝3为准线的抛物线的标准方程为________.【解析】 设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，则－p2＝3，p ＝－6，则抛物线方程为x 2＝－12y .【答案】 x 2＝－12y5.抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【解析】 依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，即p ＝2. 【答案】 26.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______.【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝2×3＝6，因为PF 1＝4，所以PF 2＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 2 120°7.已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是________.【解析】 ∵2c ＝AB ＝2，∴c ＝1，∴CA ＋CB ＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线).因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2).【答案】 y 24＋x 23＝1(y ≠±2)8.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________.【导学号：24830061】【解析】 由双曲线的渐近线bx －ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切得2b a 2＋b 2＝3，由c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. 【答案】 x 2－y 23＝19.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是________.【解析】 ∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)，∴P 的坐标为(5，4). 又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，∴另一个焦点为F 2(5，0). ∴2a ＝|PF 1－PF 2|＝(5＋5)2＋16－(5－5)2＋42＝2.∴a ＝1. 又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4.∴双曲线方程为x 2－y 24＝1.【答案】 x 2－y 24＝110.已知抛物线C ：x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是________.【解析】 显然t ≠0，直线AB 的方程为y ＝4t x －1，代入抛物线方程得2tx 2－4x ＋t ＝0.由题意Δ＝16－8t 2<0，解得t <－2或t > 2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________.【解析】 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )，OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 【答案】 612.一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.【解析】 x 2＋y 2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则⎭⎬⎫PO ＝r ＋1P A ＝r ＋2⇒P A －PO ＝1＜AO ＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 【答案】 双曲线的一支13.过双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________.【解析】 先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba (x －c ).因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.【答案】 2＋ 314.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k ＝________.【解析】 过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2FB ＝F A ，∴AA 1＝2BB 1，即B 为AC 的中点.从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，⇒消去x 得y 2－8k y∴⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，，消去y B 得k ＝223.【答案】223二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，若抛物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263. (1)求抛物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及离心率e .【解】 设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263， 则有⎝⎛⎭⎪⎫2632＝2p ×23，所以p ＝2，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，焦点F 的坐标为(1,0).(2)由双曲线C 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23，所以a ＝13，b 2＝89 ，所以双曲线C 2的方程为9x 2－98y 2＝1，离心率e ＝3.16.(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程.【解】 ①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2 ＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1. 17.(本小题满分14分)如图1所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.图1【解】 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0.所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×(83)2－4×5×85＝85.18.(本小题满分16分)如图2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .图2(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2＝1.【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知，c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2.故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m ＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4.因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.19.(本小题满分16分)已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若AB ＝25，直线OM 的斜率为12(O 为坐标原点)，求椭圆的方程.【解】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得(a 2＋4b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2.又设AB 的中点M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝4a 2a 2＋4b 2，y M ＝－12x M ＋2＝8b 2a 2＋4b 2.∵直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝12，∴2b 2a 2＝12，∴a 2＝4b 2，从而x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2＝4，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2＝8－2b 2. 又∵AB ＝25，∴ 1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52×16－4(8－2b )2＝25，解得b 2＝4，∴a 2＝4b 2＝16，故所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.20.(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB ＝32F 1F 2. (1)求椭圆的离心率.(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2＝2 2.求椭圆的方程.【解】 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由AB ＝32F 1F 2，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )， 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4c 3，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ －4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－4c3＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .由已知，有TF 22＝MF 22＋r 2，又MF 2＝22，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋2c 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－2c 32＝8＋59c 2.解得c 2＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标 1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆.知识点一椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距.a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2.梳理椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b21.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( × )2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( × )3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( √ )类型一 椭圆的标准方程 命题角度1 求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 3； (2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点.考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)方法一 当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∵点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎨⎧ 4b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去.当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). ∵点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎨⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.方法二 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ).∵点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，故椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义，可得2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2， ∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋(15)29＋λ＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程. (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程.特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0). 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2). 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).由椭圆的定义知， 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝210，即a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6. ∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n ). ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围)例2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围为________.考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (0,1)解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 (1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________.考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 (7,10)解析 将方程化成椭圆的标准形式为x 2k －4＋y 210－k＝1.根据其表示焦点在x 轴上的椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.(2)若椭圆x 24＋y 2m＝1的焦距为2，则m ＝________.考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 3或5解析 当焦点在x 轴上时，∵a 2＝4，b 2＝m ，由2c ＝2，得c ＝1，∴4－m ＝1，∴m ＝3. 当焦点在y 轴上时，∵a 2＝m ，b 2＝4，由2c ＝2，得c ＝1，∴m －4＝1，则m ＝5. 综上可知，m ＝3或5. 类型二 椭圆定义的应用例3 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积.考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴PF 1＋PF 2＝2a ＝25.① 由余弦定理知，PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos30°＝F 1F 22＝(2c )2＝4.② ①式两边平方，得PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝20.③③－②，得(2＋3)PF 1·PF 2＝16， ∴PF 1·PF 2＝16(2－3).∴12F PF S ∆＝12PF 1·PF 2·sin30°＝8－4 3.引申探究在本例中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连结BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长.解 由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为PB ＋PF 2＋BF 2 ＝(PF 1＋PF 2)＋(BF 1＋BF 2) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.反思与感悟 (1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF 1(或PF 2)的方程求得PF 1(或PF 2)；有时把PF 1·PF 2看成一个整体，运用公式PF 21＋PF 22＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2及余弦定理求出PF 1·PF 2，而无需单独求出，这样可以减少运算量.(2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，求PF 1PF 2的值. 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 解 当∠PF 2F 1＝90°时，由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 21＝PF 22＋(2c )2，c 2＝5，得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.当∠F 1PF 2＝90°时，同理求得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2. 综上，PF 1PF 2＝72或2.1.在椭圆的标准方程中，a ＝6，b ＝35，则椭圆的标准方程是________________. 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程 答案x 236＋y 235＝1或x 235＋y 236＝1 2.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为__________. 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程 答案x 216＋y 212＝1 解析 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.3.已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值为________. 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 2解析 由题意得椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1.又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.4.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的__________条件. 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用、条件判断 答案 充要解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆.若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5.设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2的面积为________. 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 6解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝8， 不妨设PF 1>PF 2.∵PF 1－PF 2＝2，∴PF 1＝5，PF 2＝3， 又∵F 1F 2＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形， 则12PF F S ∆＝12×4×3＝6.1.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.2.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、填空题1.已知椭圆C 上任意一点P (x ，y )都满足关系式(x －1)2＋y 2＋(x ＋1)2＋y 2＝4，则椭圆C 的标准方程为________________.考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案x 24＋y 23＝1 解析 由题设可知，椭圆C 的焦点在x 轴上，其坐标分别为(1,0)，(－1,0)，2a ＝4，故a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.2.已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且AB ＝3，则椭圆C 的标准方程为________. 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程 答案x 24＋y 23＝1 解析 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，又椭圆C 由过F 2且垂直于x 轴的直线截得的弦长AB ＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上， 代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0， 所以a 2＝4或a 2＝14(舍去).故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且a ＝2b ，则该椭圆的标准方程是________________. 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程 答案x 216＋y 24＝1 解析 设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).由题意知⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝2 3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a＝4，b ＝2，c ＝2 3.所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1. 4.已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝___________________________________. 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 4或8解析 (1)当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4，解得m ＝4.(2)当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4，解得m ＝8.∴m ＝4或8.5.“2<k <5”是“方程x 2k －2＋y 25－k ＝1”表示的曲线是椭圆的________条件.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用、条件判断答案 必要不充分 解析 由方程x 2k －2＋y 25－k ＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72，所以2<k <5且k ≠72⇒2<k <5. 而2<k <5推不出2<k <5且k ≠72. 所以“2<k <5”是“方程x 2k －2＋y 25－k ＝1”表示椭圆的必要不充分条件.6.椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON ＝________. 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 4解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连结MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴ON ＝12MF 2.又MF 1＝2，MF 1＋MF 2＝2a ＝10，∴MF 2＝8，∴ON ＝4.7.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且AF 2，AB ，BF 2成等差数列，则AB 的长为________.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 43解析 ∵椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)，∴a ＝1. ∵AF 1＋AF 2＝2a ＝2，BF 1＋BF 2＝2，相加得AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2＝4，AF 2＋BF 2＝4－AF 1－BF 1＝4－AB .∵AF 2，AB ，BF 2成等差数列，∴2AB ＝AF 2＋BF 2，于是2AB ＝4－AB ，∴AB ＝43. 8.设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则PF 2PF 1的值为________.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 17解析 ∵线段PF 1的中点在y 轴上，∴PF 2⊥x 轴， ∴PF 2＝b 2a ＝12，PF 1＝2a －PF 2＝4－12＝72， ∴PF 2PF 1＝17.9.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2连线的夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 48解析 因为2c ＝10，PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知，PF 1＋PF 2＝2a ＝14，所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100，即196－2PF 1·PF 2＝100，解得PF 1·PF 2＝48. 10.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 2 3解析 ∵△POF 2是面积为3的正三角形，∴PO ＝PF 2＝OF 2＝2，∴c ＝2，连结PF 1.在△POF 1中，PO ＝OF 1＝2，∠POF 1＝120°，∴PF 1＝2 3.∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2＋23，∴a ＝1＋3，b 2＝a 2－c 2＝2 3.二、解答题11.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，椭圆与x 轴的一个交点B 和两个焦点F 1，F 2组成的三角形的周长等于4＋23，且∠F 1BF 2＝2π3，求椭圆的方程. 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程解 设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0). 由题意得⎩⎨⎧ 2a ＋2c ＝4＋23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆方程为y 24＋x 2＝1. 12.如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)，求椭圆C 的标准方程.考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程 解 ∵直线l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝2，2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝2，∴所求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 13.已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点坐标分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且PF 1－PF 2＝1，求∠F 1PF 2的余弦值. 考点 椭圆标准方程的求法，椭圆的定义题点 定义法求椭圆的标准方程、定义的应用解 (1)由题意得椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝1.又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，PF 1－PF 2＝1.又由椭圆定义知，PF 1＋PF 2＝4，∴PF 1＝52，PF 2＝32，F 1F 2＝2， ∴cos∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 三、探究与拓展14.已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a的取值范围为________. 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 (1，2]解析 如图，b ＋c a ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ为锐角，故b ＋c a∈(1，2]. 15.已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值为________.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用 答案 3解析 由题意知a ＝2， 所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8， 因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－32， 代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1， 又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1， 即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2， 解得b 2＝3，所以b ＝ 3.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若椭圆＋＝1(0＜a ＜36)的焦距为4，则a ＝________.x 236y 2a 【解析】　∵0＜a ＜36，∴36－a ＝22，∴a ＝32.【答案】　322．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________．【解析】　方程可化为＋＝1，易知a ＝5，b ＝3，c ＝4，y 225x 29∴长轴长为10，短轴长为6，离心率为.45【答案】　10,6，453．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1x 2a 2y 2b 2x 225y 216x 2a 2y 2b 2的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则a 2＝________，b 2＝________.y 221x 29【解析】　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆＋x 225y 216y 221＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.x 29【答案】　25　94．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上32一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．【解析】　由题意得2a ＝12，＝，所以a ＝6，c ＝3，b ＝3.ca 323故椭圆方程为＋＝1.x 236y 29【答案】　＋＝1x 236y 295．椭圆＋＝1的离心率为，则实数m 的值为________.x 2m y 2412【导学号：09390028】【解析】　当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝＝1－＝1－＝，∴m ＝；c 2a 2b 2a 24m 14163当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4，则e 2＝＝1－＝1－＝，∴m ＝3.c 2a 2b 2a 2m414【答案】　3或1636．椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线x 2a 2y 2b 2，则椭圆的离心率为________．b7【解析】　由题意知直线AB 的方程为＋＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.x－a yb 左焦点为F (－c,0)，则＝.|－cb ＋ab |a 2＋b 2b7∴(a －c )＝，7a 2＋b 2∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝或e ＝.1254又∵0<e <1，∴e ＝.12【答案】　127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．图2­2­4【解析】　可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375.∴e ＝＝＝.ca 3752 750322【答案】　3228．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.【解析】　椭圆左焦点为(－，0)，2∴直线方程为y ＝(x ＋)，332由Error!得5x 2＋4x －8＝0，2∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－，42585∴弦长AB ＝＝.(1＋13)[(－425)2－4×(－85)]165【答案】　165二、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，－，试求椭圆的离心率及其方程．105【解】　令x ＝－c ，代入＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2得y 2＝b 2＝，∴y ＝±.(1－c 2a 2)b 4a 2b 2a 设P，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．(－c ，b 2a )∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－＝－，b 2ac ba ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝c ，∴e ＝＝.2ca 22又∵a －c ＝－，解得a ＝，c ＝，∴b ＝，1051055∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 210y 2510．设直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．x 22(1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.【解】　(1)将y ＝x ＋b 代入＋y 2＝1，x 22消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，x 22所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，＜b ＜.33所以b 的取值范围为(－，)．33(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－.43所以y 1＝1，y 2＝－.13所以|AB |＝＝.(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2423能力提升]1．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为，x 2a 2y 2b 233过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为3________．【解析】　根据题意，因为△AF 1B 的周长为4，所以3AF 1＋AB ＋BF 1＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝4a ＝4，所以a ＝.又因为椭圆的离33心率e ＝＝，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为ca 33＋＝1.x 23y 22【答案】　＋＝1x 23y 222．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________. 【导学号：09390029】【解析】　由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝.把x ＝代入椭圆方程，得6565y ＝±，∴三角形的面积S ＝××＝.451285(2－65)1625【答案】　16253．过椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于x 2a 2y 2b 2另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若<k <，则椭圆离心率1312的取值范围是________．【解析】　因为<k <，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为1312.因为点A 的坐标为(－a ，0)，所以k ＝，所以<<.(c ，b 2a )b 2a －0c ＋a 13b 2a－0c ＋a 12又因为b 2＝a 2－c 2，所以＝＝＝＝1－e ，所以b 2a －0c ＋a b 2ac ＋a 2a 2－c 2a 2＋ac a －ca <1－e <，解得<e <，故椭圆离心率的取值范围是.13121223(12，23)【答案】　(12，23)4．(2016·绍兴高二检测)如图2­2­5，F 1，F 2分别是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的上顶点，B 是直线AF 2与椭x 2a 2y 2b 2圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.图2­2­5(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40，求a ，b 的值．3【解】　(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝ .12(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－(x －c )，3将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ，(85c ，－335c)所以|AB |＝·＝c .1＋3|85c －0|165由S △AF 1B ＝|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝a ·c ·＝a 2＝40，1212165322353解得a ＝10，b ＝5.3 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝a .85由S △AF 1B ＝a ·a ·＝a 2＝40知，a ＝10，b ＝5.12853223533。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．双曲线－＝上一点到一个焦点的距离是，那么点到另一个焦点的距离是．【解析】据题意知－＝－＝，∴＝或.【答案】或．双曲线－＝的焦距是．【解析】由题意，得＝＝，∴焦距为＝.【答案】．已知双曲线－＝的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆＋＝相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则－＝.【解析】设′是双曲线的右焦点，连接′(图略)，因为，分别是，′的中点，所以＝′.又＝＝，且由双曲线的定义知－′＝，故－＝－－′＝(－′)－＝×－＝－.【答案】－．焦点分别是(，－)，()，且经过点(－)的双曲线的标准方程是．【解析】由题意，焦点在轴上，且＝，可设双曲线方程为－＝(<<)，将(－)代入，解得＝.因此所求双曲线标准方程为－＝.【答案】－＝．已知双曲线－＝，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若⊥，则＋的值为．【解析】不妨设在双曲线的右支上，因为⊥，所以()＝＋，又因为－＝，所以(－)＝，可得·＝，则(＋)＝＋＋·＝，所以＋＝.【答案】．已知双曲线－＝上一点的横坐标为，则点到左焦点的距离是. 【导学号：】【解析】由于双曲线－＝的右焦点为()，将＝代入双曲线可得＝，即双曲线上一点到右焦点的距离为，故利用双曲线的定义可求得点到左焦点的距离为＋＝＋＝.【答案】．已知，是双曲线－＝的左，右焦点，是双曲线右支上一点，是的中点，若＝，则的值为．【解析】因为是的中点，所以＝＝，又由双曲线的定义知：－＝＝，所以＝.【答案】．若圆＋－－＝与轴的两个交点，都在双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为. 【导学号：】【解析】解方程组(\\(＋－－＝，＝，))得(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝－.))∵圆＋－－＝与轴的两个交点，都在双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴(，－)，()，且＝＝，∴＝－＝，∴双曲线方程为－＝.【答案】－＝二、解答题．求适合下列条件的双曲线的标准方程．()＝，经过点；()经过点()，(－，－)．【解】()当焦点在轴上时，设所求标准方程为－＝(＞)，把点的坐标代入，得＝－×＜，不符合题意；当焦点在轴上时，设所求标准方程为－＝(＞)，把点的坐标代入，得＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝.()设双曲线的方程为＋＝(＜)，∵双曲线经过点()，(－，－)，。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．椭圆＋＝的两个焦点为，，点在椭圆上，若＝，则＝.【解析】方程＋＝中，＝，则＋＝，∴＝－＝－＝.【答案】．椭圆＋＝的焦距为，则的值为．【解析】∵＝，∴＝，∴－＝或－＝，∴＝或.【答案】或．设，是椭圆＋＝(>)的两个焦点，且＝，弦过点，则△的周长为. 【导学号：】【解析】易知＝＝，即＝，∴＝＋＝，∴＝，因为弦过点，所以△的周长为＋＋＝＋＋＋＝＝.【答案】．若方程－＝表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是．【解析】∵方程－＝表示焦点在轴上的椭圆，将方程改写为＋＝，∴有(\\(－>，>，))解得<<.【答案】()．设是椭圆＋＝上一点，点到两焦点，的距离之差为，则△是三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)【解析】不妨设>，由条件知－＝，又＋＝＝，解得＝，＝.又∵＝＝＝，∴＋＝，故△是直角三角形．【答案】直角．设，是椭圆＋＝的两个焦点，是椭圆上的点，且∶＝∶，则△的面积为．【解析】根据椭圆定义有(\\(∶＝∶，＋＝，))因此＝，＝.又因为＝，因此△为直角三角形，△＝××＝.【答案】．过点(，－)且与椭圆＋＝有相同焦点的椭圆的标准方程为．【解析】椭圆＋＝的焦点为(，－)，()，即＝.由椭圆的定义知，＝＋，解得＝.由＝－，可得＝，所以所求椭圆的标准方程为＋＝.【答案】＋＝．椭圆＋＝的一个焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是．【解析】设椭圆的另一焦点为，由条件可知∥，∴⊥轴．设点纵坐标为，则由＋＝，得＝±，∴点的纵坐标为±.【答案】±二、解答题．已知，是椭圆：＋＝(＞＞)的两个焦点，为椭圆上的一点，且⊥，若△的面积为，求的值．【解】如图所示，⊥，＝，根据椭圆的定义可知，＋＝，在△中，＋＝.又△＝·＝，即·＝.∴(＋)＝＋＋·＝＋＝，∴－＝，即－＝，即＝，∴＝.．求符合下列条件的参数的值或取值范围．。

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1 椭圆的标准方程作业苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1 椭圆的标准方程作业苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

2.1 椭圆的标准方程[基础达标］1．椭圆的两个焦点是F1(－1，0)，F2(1,0),P为椭圆上一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆方程是________．解析：椭圆的两个焦点是F1(－1,0），F2（1，0），∵P为椭圆上一点，F1F2是PF1与PF2的等差中项，∴2a＝PF1＋PF2＝2F1F2＝4，a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝3，故所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

答案：错误!＋错误!＝12．设M(－5，0)，N(5，0)，△MNP的周长是36,则△MNP的顶点P的轨迹方程为________．解析:由于点P满足PM＋PN＝36－10＝26〉10，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且2a＝26的椭圆（由于P与M、N不共线，故y≠0)，故a＝13，c＝5，∴b2＝144.∴顶点P的轨迹方程为x2169＋错误!＝1(y≠0）．答案:错误!＋错误!＝1（y≠0）3．若方程错误!＋错误!＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得错误!，解得3<k〈5且k≠4。

答案：(3，4)∪（4，5）4．已知椭圆的中点在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(错误!，1)，P2（－错误!，－2），则椭圆的方程为________．解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n〉0且m≠n)．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点的坐标符合椭圆方程,则错误!解得错误!∴所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

第二章 圆锥曲线与方程第2课时 椭圆的标准方程(1)教学目标：1.建立并掌握椭圆的标准方程；2.能根据已知条件求椭圆的标准方程.教学重点：椭圆的标准方程教学难点：椭圆的标准方程教学过程：Ⅰ.问题情境Ⅱ.建构数学椭圆的标准方程：Ⅲ.数学应用例1：若椭圆的方程为14491622=+y x ,请填空： (1) a=_ _，b=_ _，c=_ _，焦点坐标为___ __，焦距等于_ _.(2)若C 为椭圆上一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF 1=2,则CF 2=_ __.练习：1.设椭圆方程为：400251622=+y x ，请填空：a=____，b=____，c=____，焦点坐标为___________，焦距等于 _.2.已知椭圆的方程为1822=+my x ，焦点在X 轴上，则其焦距为_______________. 例2：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程．变式练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，c=1，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点的坐标是()2,0-和()2,0，并且经过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2523，.思考：已知椭圆的焦点坐标是F 1()0,1-,F 2()0,1,P 是椭圆上一点,并且F 1F 2是PF 1与 PF 2的等差中项,试求椭圆的标准方程.Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 28 习题1，2 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点) 2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点) 3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自 主 预 习·探 新 知]椭圆的标准方程1．判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)方程2x 2＋y 2＝4表示的曲线不是椭圆．( ) (3)圆是椭圆的特殊形式．( )(4)方程x 2a 2＋y 22a＝1(a >0)，表示焦点在x 轴上的椭圆．( )【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a 2＝b 2＋c 2.(2)×.把方程2x 2＋y 2＝4化为标准形式为x 22＋y 24＝1，易知其表示的曲线是椭圆．(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．(4)×.当a 2＞2a ，即a ＞2时，方程x 2a 2＋y 22a＝1(a ＞0)才表示焦点在x 轴上的椭圆，否则不是．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号：95902077】【解析】 ∵a ＝5，c ＝3，∴b 2＝25－9＝16， 又∵焦点在y 轴上， ∴椭圆的方程为y 225＋x 216＝1.【答案】y 225＋x 216＝1[合 作 探 究·攻 重 难](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52a 2＋02b 2＝1，a 2＝b 2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法二：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝＋2＋－2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法三：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过点(5,0)，所以a ＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)方法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 32a 2＋－2b 2＝1－232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－2a2＋32b 2＝11a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. [规律方法]1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”2．巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆方程可设为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1.[跟踪训练]1．求焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．【解】 由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.如图2­2­1所示，圆x 2＋y 2x 轴的垂线段PP ′，P ′为垂足．M 为直线PP ′上一点，且P ′M ＝λPP ′(λ为大于零的常数)．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？图2­2­1[思路探究] 设出点M 和点P 的坐标，根据P ′M ＝λPP ′找到二者的联系，用点M 的坐标表示点P 的坐标，利用点P 在圆上代入可得点M 的轨迹方程，讨论λ可得点M 的轨迹．【自主解答】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且P ′M ＝λPP ′，∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1. 把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆.[规律方法] 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x ，y )，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y代入x 208＋y 204＝1，得x －28＋y24＝1，即x －22＋y 2＝1为所求．[探究问题]1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】 平面内与两个定点F 1，F 2距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．即PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)．2．若点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，则PF 1＋PF 2的值为多少？【提示】 PF 1＋PF 2＝2a .3．在三角形PF 1F 2中，F 1F 2的长是多少？设∠F 1PF 2＝θ，结合余弦定理，PF 1·PF 2能否用椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中的参数来表示？【提示】 F 1F 2＝2c .在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，即4c 2＝4a 2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21＋cos θ.4．根据探究3的讨论，能把三角形PF 1F 2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF 1·PF 2和PF 1＋PF 2存在不等关系吗？【提示】 S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1＋cos θ，根据基本不等式PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝a 2.5．设点F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】 要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝π3，求△PF 1F 2的面积；(2)求PF 1·PF 2的最大值．[思路探究] (1)在焦点三角形PF 1F 2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解； (2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF 1·PF 2.【自主解答】 (1)由椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝20， ① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2， 即122＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2. ② ①2＋②，并整理，得PF 1·PF 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12 PF 1·PF 2·sin π3＝643 3.(2)由x 2100＋y 264＝1可知，a ＝10，c ＝6. ∴PF 1＋PF 2＝20， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝100.当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100. [规律方法]1．椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P 到两焦点F 1，F 2的距离的和为常数2a ，则已知点P 到一个焦点的距离就可以利用PF 1＋PF 2＝2a 求出该点到另一个焦点的距离．2．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．3．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把PF 1·PF 2看成一个整体，运用公式PF 21＋PF 22＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2及余弦定理求出PF 1·PF 2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．[跟踪训练]3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是__________.【导学号：95902078】【解析】 因为x 24＋y 22＝1，焦点在x 轴上，则a ＝2，由椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝22，又|PF 1|－|PF 2|＝2，可得|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，由12＋(22)2＝9，所以△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 2|·|F 1F 2|＝ 2.【答案】2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1＋PF 2＝________.【导学号：95902079】【解析】 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 【答案】 102．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ________. 【解析】 c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝13．如果方程x 2a2＋y2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902080】【解析】 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －，a >－6.⇔a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－24．已知点P 为椭圆x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2为直角，则PF 1·PF 2＝__________.【解析】 由∠F 1PF 2为直角得PF 21＋PF 22＝F 1F 22，(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝F 1F 22. 又a 2＝49，b 2＝24得c 2＝25，所以142－2PF 1·PF 2＝102得PF 1·PF 2＝48. 【答案】 485．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，求此椭圆的标准方程. 【导学号：95902081】【解】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝125.∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.。