2.9函数的应用举例(第一课时)

函数的应用举例（第一课时）?【学习目标】1．复习函数的有关知识．2．学会建立函数关系式，能解决简单的应用问题．?【学习障碍】不能正确理解题意，不能正确设出自变量，从而列出关系式；不考虑实际问题的意义，当成一般函数进行处理．?【学习策略】1．预习课本P90~92页．2．解数学应用题，需要有一定的阅读理解能力，能看懂题目要求，弄明白题目的背景；能根据需要设出适当的未知数，建立函数关系式．并注意未知数的取值范围．3．解应用题的一般步骤：（1）阅读理解，认真审题．认真阅读题目，分析已知是什么，求什么，思考问题涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化，审题时要抓住题目中关键的量，要勇于尝试、探索，善于发现、归纳，精于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．（2）引进符号，建立模型．对题中的关键量，引入数学符号，将各种关系数学化，一般要运用已学的数学知识建立适当的数学关系，将应用问题转化为一个数学问题．实际问题转化为数学问题，就是建立数学模型．（3）解决所建立的数学模型．运用数学的方法，解决所建立的常规数学问题，求出结果．（4）写答语．例题分析［例1］某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在提高售价以赚取更多利润．已知每涨价0．5元，该商店的销售量会减少10件，问将售价定为多少时，才能使每天的利润最多？最大利润为多少？解：设每件售价定为x元，则比原价提高了（10－x）元，于是销售件数减少了×10＝20×（x－10）件．即每天销售价数为200－20（x－10）＝400－20x件．∴每天所获利润为：y＝（400－20x）（x－8）＝－20x2＋560x－3200＝－20（x－14）2＋720故当x＝14时，有ymax＝720．答：售价定为每件14元时，可获最大利润，其最大利润为720元．［例2］某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品分别为1万件、1．2万件、1．3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c（其中a、b、c为常数）．已知4月份该产品的产量为1．37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：设y1＝f（x）＝px2＋qx＋r（p≠0）则∴f（x）＝－0．05x2＋0．35x＋0．7f（4）＝－0．05×42＋0．35×4＋0．7＝1．3再设y2＝g（x）＝abx＋c,则解得∴g（x）＝－0.8×0.5x＋1.4g（4）＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35∵1.35与1.37较接近．∴用y＝－0.8×0.5x＋1.4作模拟函数较好．［例3］某公司生产一种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R（x）＝,其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为当月产量的函数f（x）;（2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000＋100x,从而f（x）＝（2）当0≤x≤400时，f（x）＝－x2＋300x－20000＝－（x－300）2＋25000∴当x＝300时，［f（x）］max＝25000,当x>400时，f（x）为减函数．∴f（x）<60000－100×400<25000∴当x＝300时，［f（x）］max＝25000，答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．点评：建立函数关系是解决函数应用问题中最关键，也是最困难的一步，一般地，建立函数关系式常用的方法有：待定系数法：已知条件中已给出了含参数的函数表达式，或者可以确定是某一函数，这时利用题设的某些自变量与函数值的关系可以确定其系数，从而求得函数关系式，如课本第86页例2，第89页第5题，第90页第6题．归纳法：先让自变量取一些特殊值或较简单的值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数表达式，如课本第86页例1、第89页第3题等．方程法：用x、y表示自变量及其他相关量，根据例题的实际意义或相应的数学知识列出等式，再把等式看成关于函数y的方程，并解出y，从而得到函数关系式，实际上函数关系式就是含x、y的方程．?【同步达纲练习】一、选择题1．要在墙上开一个上半部分为半圆形，下半部分为矩形的窗户，在窗框长度为定长l的条件下，要使窗户能透过更多的光线，应设计窗户中矩形的高为A．B．C．D．2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个）这种细菌由1个繁殖成4096个需经过A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时3．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为0．24%，如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元，这个体户为获利最大，这种货A．月初售出好B．月初月末售出一样C．月末售出好D．由成本费的大小确定4．已知一定量气体的体积V（m3）与绝对温度T（K）成正比例，与压力P（Pa）成反比，满足关系式V＝,当T＝280 K,P＝2．5 Pa时气体的体积为A．54 m3B．540 m3C．5400 m3D．5．4 m3?二、填空题5．建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的总造价y与池底宽x米之间的函数关系为_________，水池最低造价是_________．6．某产品的总成本c（万元）与产量x（台）之间有函数关系式c＝3000＋20x－0．1x2,其中x∈（0,240］,若每台产品售价25万元，则生产者不亏本的最低产量为____________台．7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,…an,共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依次规定，从a1,a2,…,an推出的a＝____________．?三、解答题8．某农场有废弃的旧墙一面，长为12米，现准备在该地建一个猪圈，其平面图形为矩形．面积要求112 m2,工程条件是：（1）修整1米旧墙的费用是造1米新墙的25%．（2）拆1米旧墙，并用所得材料建1米新墙的费用是造1米新墙的50%，问不计其他因素，施工人员如何利用旧墙，以使总费用最低？9．某地区上年度电价为0．8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降至0．55~0．75元/kW·h,而用户期望电价为0．4元/kW·h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0．3 元/kW·h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价x的函数关系；（2）设k＝0．2a,当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?（注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本））?参考答案【同步达纲练习】一、1．B 提示：设矩形的高为x，依题设2x＋πr＋2r＝l∴r＝（r为圆半径）窗户总面积S＝x·2r＋πr2＝2xx＋π（）2＝·［（－2π－8）x2＋4lx＋πl2］当x＝时,S取最大值，故选B．2．C 提示：设共分裂了x次，则有2x＝4096．∴2x＝212,即x＝12,又∵每次15分钟．∴共15×12＝180分钟，即3小时，所以选C．3．D 提示：如果月初售出所获总利为（a＋100）（1＋0．0024）＝（a＋100）×1．0024，如果月末售出所获总利为a＋115（其中a为成本费），以上两式的大小与a的大小有关，所以应选D．4．C 提示：＝5400．二、5．y＝320（x＋）＋480 1760元提示：y＝4×120＋2（＋2x）×80＝320（＋x）＋480≥320·2＋480＝1760．6．150 提示：由题设25x≥3000＋20x－0．1x2，解得x≥150．7．提示：设所测物理量的近似值为x，则a为二次函数f（x）＝（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2取最小值时x的值．∵f（x）＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an）x＋（a12＋a22＋…＋an2）因此当x＝－时，即x＝时，f（x）取得最小值三、8．解：设保留旧墙x米，则拆去旧墙为（12－x）米，还应另外造新墙为：［x＋×2－（12－x）］米．设每米新墙的造价为1个单位价格，则各种费用为：修整旧墙：x·25%个单位价格；折旧利用：（12－x）·50%个单位价格；造新墙：［x＋×2－（12－x）］个单位价格．∴建猪圈的总费用为：y＝x·25%＋（12－x）·50%＋［x＋×2－（12－x）］＝－6．欲达成最低费用的目标，就是要求y能取得最小值．∵x＞0，∴＞0，＞0,而函数f（x）＝在（0,]上是减函数，而在［,＋∞）上是增函数．∴当x＝＝8≈11．3时，f（x）有最小值，也即y有最小值．所以应保留旧墙约11．3米时，总费用最低．9．解：（1）设实际电价为x，则调价后用电量为a＋，从而电力部门的收益y应满足y＝（a ＋）（x－0．3）（x∈［0．55,0．75］）．（2）只须（a＋）（x－0.3）≥a（0.8－0.3）（1＋20%）（x∈［0.55,0.75］）,即x2－1.1x＋0.3≥0，解得,∴x∈［0.6,0.75］．答：当电价最低定为0.6元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．。