函数的实际应用举例

一次函数在实际生产生活中的应用举例运用函数知识解决简单的实际问题，体会函数是解决实际问题的数学模型和方法，既是新课程标准的要求，也是中考命题的热点，近几年的中考试题对一次函数的考查力度呈加大趋势，热点问题集中在一次函数的实际应用上，应该引起同学们的关注．现就应用一次函数知识在生活、生产实际中解决实际问题举几例说明．1在日常生活中的应用一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛．例如，当我们购物、租车、住宿、缴水电费时，会为我们提供两种或多种优惠方案，这些问题往往可利用一元一次函数解决．例1为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水标准：每月每户用水未超过7 m3时，每立方米收 1.0元并加收0.2元污水处理费；超过7 m3时，超过部分每立方米收 1.5元并加收0.4元污水费，设某户每月的用水为x m3，应交水费y元．(1)写出y与x之间的函数关系式．(2)若某单元所在小区共有50户，某月共交水费541.6元，且每户用水均未超过10 m3，这个月用水未超过7 m3的用户最多可能有多少户？解(1)由题意可知，当0≤x≤7时，y＝1.2x．当x>7时，y＝1.9（x－7）＋7×1.2＝1.9（x－7）＋8.4．所以y与x之间的函数关系式为(2)设月用水量未超过7 m3共有x户．因为月用水7 m3的应交水费8.4元，用水10 m3的应交水费(5.7＋8.4)元，根据题意，得(50－x)(5.7＋8.4)＋8.4x＝541.6．解得x≈28. 67．若x＝29时，交费的最大额数为29×8.4＋21×14.1＝539.7<541.6．所以x＝28（户）．即月用水量未超过7 m3的用户最多有28户．2在市场经济中的应用随着市场经济体制的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩．买与卖，存款与保险，股票与债券,,都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利息与利率，统计与概率，运筹与优化等，都将在数学课程中呈现出来．例2某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B，种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出每种安排方案；(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．解(1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y），则有6x＋5 y＋4（20－x－y）＝100．整理，得y＝－2x＋20．(2)由(1)知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、－2x ＋20、x ，根据题意，得42204x x，解得4≤x ≤8．因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种，方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车；方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车；方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车；方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车；方案五：装运A 种脐橙8车，B 种脐橙4车，C 种脐橙8车．(3)设利润为W(百元)，根据题意，得W ＝6x ×12＋5(－2x ＋20)×16＋4x ×10＝－48x ＋1 600．因为k ＝－48<0，所以W 的值随x 的增大而减小，要使利润W 最大，x 取最小值4，故选方案一．W 最大＝－48×4＋1 600＝1 408（百元）＝14.08(万元)．3在工程问题中的应用下面这道题看似平常却是别有新意的好题，本题突破了传统的工程问题的模式，将工程问题与一次函数图像相联系，进一步加强了传统经典习题与现实生活的联系，在新的时代背景中更好地学习和掌握数学知识．例3某县在实施“村村通”工程中，决定在P 、Q 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从P 、Q 两村同时相向开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．如图1是甲、乙两个工程队所修道路的长度y(m)与修筑时间x （天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，求该公路的总长．解由乙图像可知，A(12，840)．设y乙＝kx(0≤x ≤12)，因为840＝12k ，所以k ＝70．解得y乙＝70x ．当x ＝8时，y 乙＝560，所以C(8，560)．设y 甲＝mx ＋n(4≤x ≤16)，将B(4，360)、C(8，560)代入，得43608560m n m n，解得50160m n．所以y 甲＝50x ＋160．当x ＝16时，y甲＝50×16＋160＝960．由此可得乙修筑公路长840 m ，甲修筑公路长960 m ．故该公路全长为1800 m ．4在行程问题中的应用行程问题是一个常规的问题，而新课程下的行程问题，往往与图像、图形、表格等结合在一起，不仅考查了我们对知识的理解，而且考查了识图能力和数形结合的数学思想．例4甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程 5 (km)与行驶时间t(h)之间的关系如图2所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：(1)甲、乙两人的速度各是多少？(2)写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个）．(3)在什么时间段内乙比甲离A 地更近？解(1)由图像知，甲2.5 h 行驶50 km ，所以V甲＝502.5＝20(km/h)．乙2h行驶60 km，所以V乙＝602＝30(km/h)．(2)s甲＝50－20t或s乙＝60－30t．(3)当1<t<2.5时，s乙的图像在s甲的图像的下面，说明在同一时刻，s乙<s甲，即乙离A 地距离小于甲离A地距离，乙比甲离A地更近，以上四例说明，一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛，内容十分丰富，上述题目联系实际和时代的热点，较为自然地考查了一次函数模型的实际问题，同时也考查了同学们利用函数思想和方程、不等式、最值等知识解决问题的能力，希望同学们能从中得到启示，善于运用数学去分析身边周围的现象，学会用数学知识分析和解决生产、生活中的一些实际问题．。

y=1.6×10+(2.0+0.8) ·(x-10)
二、探索交流，获得新知
分段函数的概念：在自变量的不同取值
范围内，需要用不同的解析式来表示的函数 注意：分段函数的书写，用大括号分 段写，并指明x的范围
二、探索交流，获得新知
1.6 x, f x 2.8 x 12, 0 x 10, x 10.
思考1:该函数的定义域是什么？ 定义域：自变量的各个不同取值范围的 并集
f x0 f x0
f ( x0 )
二、探索交流，获得新知
1.6 x, f x 2.8 x 12, 0 x 10, x 10.
思考2:某用户用了12 m3 水,该交多少水费？ 分段函数求值 f ( x0 ) ：先判断X0所属的取 值范 围,再代入相应的式子
水费种类 用水量不超过 10m3的部分 1.30元/m3 用水量超过10m3 的部分 2.00元/m3
用水费
污水处理费
0.30元/m3
0.80元/m3
思考：在自变量（用水量x）的不同取值范围 内，收费的计算法则相同吗？相应的函数解析 式如何确定？
x/m3 y元 0＜x≤10 y=(1.3+0.3)x x＞10
三、启发引导，初步运用
答案 (1)R (2) 4；-1；-3
三、启发引导，初步运用
练习：设函数
2 x 1,2 x 0, f ( x) 2 1 x ,0 x 3.
(1)求函数的定义域； (2)求f(2), f(0), f(-1)的值；
三、启发引导，初步运用
答案 (1)（-2，3） (2) -3；1；-1
课堂作业
பைடு நூலகம்

函数在经济生活中的应用一、函数在经济生活中的重要性函数在经济生活中至关重要，它们不仅仅是简单的数学概念，而是将数学应用于实际生活的工具。

函数可以帮助政府、企业和个人找到最有效的解决方案，从而节省时间和金钱，提高生产力。

例如，政府可以使用函数来分析经济状况，并制定有效的财政政策，以维持经济的稳定，促进社会发展。

企业也可以使用函数来分析市场，确定最佳的生产方式，以最小的成本获得最大的收益。

个人也可以使用函数来分析投资组合，以更好地控制风险，获得最大的投资回报。

此外，函数还可以帮助我们更好地理解和计算复杂的问题，比如气候变化、货币政策、社会福利等，从而使我们能够更好地制定有效的政策，促进社会的发展。

总之，函数在经济生活中起着不可或缺的作用，它们不仅可以帮助政府、企业和个人节省时间和金钱，提高生产力，还可以帮助我们更好地理解和计算复杂的问题，以制定有效的政策，促进社会的发展。

因此，函数在经济生活中起着至关重要的作用，它们是经济发展的重要基石。

二、函数在经济学中的应用在经济学中，函数的应用是极其重要的，它们可以帮助经济学家们更好地理解和分析经济活动。

函数有助于经济学家们更好地分析问题，从而帮助他们更好地解决经济问题。

例如，经济学家们可以使用函数来研究价格和供给之间的关系，以更好地控制和调整价格。

另一个例子是，经济学家们可以使用函数来研究不同种类的货币的购买力之间的关系，以更好地控制货币的流通。

此外，函数可以帮助经济学家们更好地分析投资和收益之间的关系。

例如，经济学家们可以使用函数来研究不同类型的投资和收益之间的关系，以更好地控制投资风险。

函数还可以帮助经济学家们更好地研究国家经济发展的趋势，以及不同国家经济发展之间的关系，以便更好地控制国家的经济发展趋势。

总之，函数在经济学中的应用是至关重要的，它们可以帮助经济学家们更好地分析和解决经济问题，从而促进经济的发展和改善。

三、函数在市场经济中的作用在市场经济中，函数发挥着至关重要的作用。

生活中的函数关系举例
函数关系是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。

在我们的日常生活中，也有很多例子可以用函数关系来描述。

1. 温度和时间的关系：在冬天，当我们打开暖气时，房间的温度会逐渐升高。

这里的温度就是输入，时间是输出。

这可以用一个函数关系来表示。

2. 身高和体重的关系：我们通常认为，身高越高的人体重也会更重。

这里的身高就是输入，体重是输出。

这也可以用一个函数来表示。

3. 油门和车速的关系：当我们开车时，踩油门越深，车速就会越快。

这里的油门就是输入，车速是输出。

这也可以用一个函数来表示。

4. 体积和重量的关系：在化学实验中，当我们加入固体物质时，溶液的体积会增加，而重量也会随之增加。

这里的体积就是输入，重量是输出。

这也可以用一个函数来表示。

5. 价格和销量的关系：在市场上，当商品价格下降时，销量通常会增加。

这里的价格就是输入，销量是输出。

这也可以用一个函数来表示。

总的来说，函数关系在我们的生活中随处可见。

通过对这些关系的深入研究，我们可以更好地了解世界，并且更好地掌握数学知识。

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函数的实际应用及举例函数是编程中非常重要的概念，它是为了实现特定功能而组织在一起的一段代码。

函数可以将代码模块化，提高代码的可读性和可维护性。

在实际应用中，函数有着广泛的用途，包括数学计算、数据处理、图像处理、网络通信等。

本文将以几个典型应用领域为例，介绍函数的实际应用。

1.数学计算数学计算是函数应用的一个重要领域。

函数可以用于实现复杂的数学运算、求解方程、计算数列等。

例如，计算圆的面积和周长的函数可以定义如下：pythondef calculate_circle(radius):area = 3.14 * radius * radiusperimeter = 2 * 3.14 * radiusreturn area, perimeter这个函数接受圆的半径作为参数，并返回圆的面积和周长。

2.数据处理函数在数据处理中也有着广泛的应用。

函数可以用于数据的读取、转换、清洗、分析等操作。

例如，以下是一个用于计算列表中数字平均值的函数：pythondef calculate_average(numbers):total = sum(numbers)average = total / len(numbers)return average这个函数接受一个数字列表作为参数，并返回平均值。

3.图像处理图像处理是另一个常见的应用领域。

函数可以用于图像的读取、处理、分析、转换等操作。

例如，以下是一个用于将图像转换为灰度图的函数：pythondef convert_to_grayscale(image):gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2GRAY)return gray_image这个函数接受一个彩色图像作为参数，并返回一个灰度图像。

4.网络通信函数在网络通信中也有着重要的应用。

函数可以用于发送和接收网络数据、处理网络请求、解析网络协议等操作。

例如，以下是一个用于发送HTTP请求并获取响应的函数：pythonimport requestsdef send_http_request(url, method='GET', data=None, headers=None): response = requests.request(method, url, data=data,headers=headers)return response.text这个函数接受一个URL作为参数，并返回HTTP响应的内容。

浅析函数在现实生活中的应用
函数在现实生活中的应用非常广泛，从我们日常生活中的交通、购物、娱乐等方面都可以看到函数的身影。

1、交通：函数可以用来解决交通运输问题，比如汽车行驶的路程和时间，船舶的航线设计，飞机的路线规划等。

2、购物：函数可以用来计算商品的价格，比如折扣、积分、优惠券等。

3、娱乐：函数可以用来设计游戏，比如用函数来模拟游戏中的物理运动、游戏角色的行为等。

4、科学研究：函数可以用来解决物理、化学、生物等科学问题，比如用函数来模拟物质的变化和运动，用函数来解决力学、热力学等问题。

5、社会研究：函数可以用来解决社会科学问题，比如经济学的供求曲线、社会学的社会关系等。

用28米的栅栏在 一块一面靠墙的 空地里围一片长 方形菜地，使面 积最大
26米的栅栏
7 6
9 8
9
13
13
不靠墙
一边靠墙
两边靠墙
作业： 课本P57页第2题：二次函数最优化方案 • 一个方法：数学模型方法 • 一种数学思想：经济实用 • 一种意识： 数学“源于生活、寓于生活、用于生活”
养蟹场要新建一个长方形蟹塘，为 防止蟹逃走，四周需要用网围起来。 网的长度是80米，怎样围，蟹塘的 面积最大？
80÷4 = 20 （米）
20×20=400（平方米）
例题
例题：王老师计划围一块 矩形养鸡场，他已备足了 可以围10米长的竹篱笆， 问矩形的长和宽各是多少 时，场地的面积最大？最 大面积是多少？
例题
例题：王老师计划一面靠 墙围一块矩形养鸡场，他 已备足了可以围10米长的 竹篱笆，问矩形的长和宽 各是多少时，场地的面积 最大？最大面积是多少？
解：设矩形长x米(0<x<10),宽y米
• X+2y=10 y=0.5(10-x)
面积s=xy=xy=0.5 (10-x) =- 0.5 x²+ 5x
=- 0.5（ x² -10x+25）+12.5
这节课你有何收获，能与大家 分享、交流你的感受吗？
学以致用
•围成面积最大的长方形 •1，一面靠墙时，让长等于宽 的2倍. •2，不靠墙时，让长等于宽

建立模型
将问题抽象为二次函数模型，确定各项参数。
验证和调整
通过实际数据验证模型的准确性，并根据实际 情况进行调整和优化。
2 图像特点
二次函数的图像形状通常为抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等特点。
3 重要概念
二次函数的最值、最值点、零点等重要概念对利润问题的分析很有帮助。
二次函数的利润问题
利润问题是二次函数在实际应用中的一个典型问题。通过二次函数，我们可以计算出不同销量对应的利润，并 进一步分析销量与利润之间的关系。
利润的计算公式
1 收入
收入是销量乘以单价，可以表示为 R = px，其中 p 表示单价，x 表示销量。
2 成本
成本是与销量相关的固定成本和单位成本的乘积，可以表示为 C = a + bx。
3 利润
利润是收入减去成本，可以表示为 P = R - C。
二次函数在利润问题中的应用举例
例一：最大利润
根据给定的销量-利润函数，我们 可以通过分析函数的图像找到最 大利润所对应的销量。
例二：利润变化率
我们可以通过利润函数的一阶导 数（利润对销量的变化率）来分 析利润的增减情况。
例三：最佳生产量
通过分析利润函数的零点，我们 可以确定最佳生产量以最大化利 润。
最大化利润和最小化亏损
最大化利润
通过优化销量，控制成本和定价策略，我们可以最 大化企业的利润。
最小化亏损
在经营中，我们也需要考虑如何降低亏损，避免经 营困难。
求解利润最大化的方法
1
利润函数建模
将利润问题建立二次函数模型，确定各项参数。
2
图像分析
分析二次函数图像的顶点、开口方向等特点，确定最值点。

（2）生长5年后砍伐并生重栽，木材量 Q=2a（1+18%）5
三、课堂小结
1、了解了什么叫数学模型方法？什么叫数学模型 2、了解数学模型方法解决问题的基本步骤。 3、学会建立有关增长率的数学模型。 4、研究不同背景下，如物理、化学、经济、人口、 环保等增长率的应用题问题。
四、作业
1、 课本P88练习3，4 2、 研究性作业：（任选一题） （1）编一题利用“增长率的数学模型”解的应用 题。 （2）总结一篇小论文，增长率的数学模型在社会 各领域内的应用。
二 、 化学问题
例如：已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质
量为1的镭经过x年后的剩留原来为y，则x，y之间的函
数为
（）
x
A、y 0.9571600
B、y0.957106x0 C、y(0.957)6x
x
D、y10.042100
100
三、人口问题
例如：世界人口已超过64亿，若按千分之一的年增长率 计算，则两年增长的人口就相当于一个（ ）
A、新加坡（270万） B、香港（560万）
C、瑞士（700万） D、上海（1200万）
四、经济问题：
例如：1982年我国人均收入为255美元，要求到2019年 的人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则 年均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到 2022年人均收入至少达到多少美元？根据十六大报告 精神，若2020年人均收入比2000年翻两番，则从2019 年起平均年增长率又为多少？
深入研究：
五、环保问题： 例如：对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为 18%，以后的年生长率为10%。树木成材后，既可出售 树木，重栽新苗，也可让其继续生长。问哪一种方案 可获得较大的木材量？（注：只需考虑10年的情形）

Excel常用函数大全我们在使用Excel制作表格整理数据的时候，常常要用到它的函数功能来自动统计处理表格中的数据。

整理了Excel中使用频率最高的函数的功能、使用方法及在实际应用中的实例剖析。

1、ABS函数函数名称：ABS主要功能：求出相应数字的绝对值。

使用格式：ABS(number)参数说明：number代表需要求绝对值的数值或引用的单元格。

应用举例：如果在B2单元格中输入公式：=ABS(A2)，则在A2单元格中无论输入正数（如100）还是负数（如-100），B2中均显示出正数（如100）。

特别提醒：如果number参数不是数值，而是一些字符（如A等），则B2中返回错误值“#VALUE！”。

2、AND函数函数名称：AND主要功能：返回逻辑值：如果所有参数值均为逻辑“真（TRUE）”，则返回逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。

使用格式：AND(logical1,logical2, ...)参数说明：Logical1,Logical2,Logical3……：表示待测试的条件值或表达式，最多这30个。

应用举例：在C5单元格输入公式：=AND(A5>=60,B5>=60)，确认。

如果C5中返回TRUE，说明A5和B5中的数值均大于等于60，如果返回FALSE，说明A5和B5中的数值至少有一个小于60。

特别提醒：如果指定的逻辑条件参数中包含非逻辑值时，则函数返回错误值“#VALUE!”或“#NAME”。

3、AVERAGE函数函数名称：AVERAGE主要功能：求出所有参数的算术平均值。

使用格式：AVERAGE(number1,number2,……)参数说明：number1,number2,……：需要求平均值的数值或引用单元格（区域），参数不超过30个。

应用举例：在B8单元格中输入公式：=AVERAGE(B7:D7,F7:H7,7,8)，确认后，即可求出B7至D7区域、F7至H7区域中的数值和7、8的平均值。

高中数学三角函数的应用举例讲解在高中数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，也是一个较为复杂的内容。

它不仅在数学中有广泛的应用，还与许多实际问题密切相关。

本文将通过几个具体的例子，来讲解三角函数的应用，并重点突出解题技巧和使用指导。

例一：角度的度数转化在解决实际问题时，有时我们需要将弧度制的角度转化为度数制。

例如，一辆车以每小时60公里的速度行驶，求其每分钟的速度。

这个问题涉及到角速度的概念，而角速度的单位通常是弧度/秒。

因此，我们需要将每小时60公里转化为弧度/秒。

解题思路：1. 首先，将速度单位转化为弧度/小时。

由于1小时等于60分钟，而一圈的周长是2π，所以速度转化为弧度/小时的公式是：60公里/小时 × 1000米/公里 × 1小时/60分钟 × 1圈/2π千米。

2. 接下来，将弧度/小时转化为弧度/秒。

由于1小时等于3600秒，所以速度转化为弧度/秒的公式是：弧度/小时 × 1小时/3600秒。

通过以上步骤，我们可以得到每分钟的速度，从而解决了这个问题。

例二：三角函数的几何应用三角函数在几何中的应用非常广泛，例如求解三角形的面积、边长等问题。

下面以求解三角形面积为例进行讲解。

问题描述：已知一个三角形的两边长分别为a和b，夹角为θ，求解该三角形的面积。

解题思路：1. 首先，根据三角形面积的公式S=1/2absinθ，我们可以得到三角形的面积公式。

2. 其次，根据已知条件，将a、b和θ代入公式中，即可求得三角形的面积。

通过以上步骤，我们可以解决这个问题，并得到三角形的面积。

例三：三角函数在物理中的应用三角函数在物理中的应用也非常广泛，例如在运动学中的速度、加速度等问题中，常常会涉及到三角函数的运算。

问题描述：一个物体以初速度v0沿着直线做匀速直线运动，经过时间t后，它的速度变为v，求解物体的加速度。

解题思路：1. 首先，根据匀速直线运动的公式v=v0+at，我们可以得到物体的速度公式。

一次函数的应用举例一次函数是最简单，最基本的函数之一，它有着极为广泛的应用．现以近几年的一些中考题为例说明一次函数的应用．一、用于解决现实生活中的问题例1 “五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s （千米）与时间t （时）的关系可用图中的曲线来表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？ （2）求出返程途中，s （千米）与时间t （时）的函数关系式并回答小明全家到家是什么时间？（3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总量为35升，汽车每行驶1千米耗油 升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议（加油所用时间忽略不计）．分析：（1）可直接从图象上看出来；（2）设函数关系式为=s b kt +，再用代点入式法求解即可； （3）是个开放性问题，答案不唯一，只要所提建议合理即可． 解：（1）由图象可看出，小明全家在旅游景点游玩了4小时．（2）设=s b kt +，代入点（14，180）和（15，120），得1418015120k d k d +=⎧⎨+=⎩解得60-=k ，1020=b ，故=s 102060+-t ． 令=s 0，得17=t ，即小明全家到家是当天下午5时．（3）合理化建议:①9时30分前必须加一次油；②若8时30分前加满油箱，则当天在油用完前的适当时间必须第二次加油；③全程可多次加油，但加油总量不得少于25升．点评：这是一道贴近生活实际的函数图象的“审读—理解—应用”问题，将行程问题91与一次函数的图象有机结合起来，构思巧妙，设计新颖．由于本题的信息由图象结出，故应仔细审视图象并在此基础上建立数学模型，进而运用相关的数学基础知识和数学基本思想进行解决．二、用于解决“方案设计型”问题例2 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为促销制定了两种优惠方法．甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本x （x ≥10）本．（1）写出每种优惠方法实际付款金额y 甲（元）、y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式．（2）若商场允许可任选一种优惠方法购买，也可同时用两种优惠方法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．分析：读懂题意是解决本题的基础，在此基础上建立数学模型——一次函数模型是解决本题的关键．解：（1）由题意，得y 甲=2005+x ，y 乙=2255.4+x ．（2）当x =60时，y甲=500，y 乙=495，故任选一种优惠方法购买时，乙方法省钱．当同时选用两种方法购买时，设用甲方法购买m 支毛笔，获赠m 本练习本；用乙方法购买（10-m ）支毛笔，（60-m ）本练习本，则付款金额4952%90)]60(5)10(25[25+-=⨯-+-+=m m m m y ． 由题意知m ≤10，故当=10时，y 有最小值，y最小495475495102<=+⨯-=，故用甲方法购买10支毛笔，用乙方法购买50本练习本最省钱．点评：这是一道实际应用题，首先要进行数学抽象，把它转化为一次函数问题，然后利用一次函数的性质及自变量的取值范围来解决．一次函数b kx y +=本没有最大值或最小值，但当自变量x 的取值受某种条件制约（如本例中m 只能取不超过10的整数）时，一次函数就有最大值或最小值了．三、用于解决“决策型”问题例3 某果品公司急需将一批不易存放的水果从A 市运到B 市销售，现有三家运输公司可供选择，它们提供的信息见下表．解答下列问题：（1）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A 、B 两市的距离（精确到个位）；（2）若A 、B 两市的距离为s 千米，且这批水果在包装与装卸及运输过程中的损耗为300元/小时，则要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？分析：（1）包装与装卸及运输费用与A 、B 的距离有关．设距离为x 千米，分别写出三家公司的费用，利用所给等量关系列方程可求出x ．（2）由题意知总费用是距离s 的函数，故应分别求出选各公司所需总费用与s 的函数关系式，然后通过比较来判断应选哪家公司．解：（1）设A 、B 两市的距离为x 千米，则各公司包装与装卸及运输的费用分别为： 甲公司（6x +1500）元，乙公司（8x +1000）元，丙公司（10x +700）元， 由题意，得（8x +1000）+（10x +700）=2（6x +1500）， 故x ≈217，即A 、B 两市的距离约为217千米． （2）设选择各公司所需总费用分别为y 甲、y 乙、y 丙， 由表格信息可知各公司包装与装卸及运输所需时间分别为： 甲公司（60s +4）小时，乙公司（50s+2）小时，丙公司（100s +3）小时， 故y 甲=6s +1500+（60s+4）×300=11s +2700，y 乙=8s +1000+（50s+2）×300=14s +1600， y 丙=10s +700+（100s+3）×300=13s +1600． 因s >0，故y 乙>y 丙恒成立，故只需比较y 甲与y 丙的大小． 因y 甲－y丙= -2s +1100=0时，s =550，故：①当s <550千米时，y 甲>y 丙，又y 乙>y 丙，故此时可选丙公司较好； ②当s =550千米时，y 甲=y 丙，又y 乙>y 丙，故此时可选甲公司或丙公司； ③当s >550千米时，y 乙>y 丙>y 甲，故此时选甲公司较好．点评：这又是一道利用一次函数解决实际问题的应用题．其中根据题意和表格信息建立一次函数模型是解题关键．从以上几题可看出，一次函数是解决实际问题的重要数学模型之一，善于读懂图象、表格并从图象的形状、位置、发展变化趋势等信息中获取相关的数据、性质、规律，再将其转化为数学问题加以解决是解决此类问题的关键．。

【课题】 3.3函数的实际应用举例——分段函数的应用（第一课时）【学校】山东省济南市长清区职业中等专业学校【教师姓名】刘辉【授课班级】2010级高职计算机班 24人【授课教材】《数学(基础模块)上册》高等教育出版社李广全李尚志主编【教学目标】知识与技能目标：通过了解实际生活中的分段函数问题，充分认识和理解分段函数，掌握求简单分段函数的定义域、函数值和作图方法，提高学生分析问题与解决问题的能力.过程与方法目标：经历水费分段定价方案设计的过程，感受分段的必要，进而掌握函数建模的方法.情感、态度、价值观目标:通过参与数学活动，渗透节水意识，激发学生的学习兴趣、让学生在愉快的合作中，不断体验成功的感觉【教学重点】1、分段函数的概念的理解；2、了解分段函数的简单应用．【教学难点】1、建立实际问题的分段函数关系；2、作分段函数的图像．【教学设计】1、以学生生活实际背景为载体，创设情境，展示视频, 激发兴趣,加强节水意识。

2、学生小组设计我们当地的分段定价水费方案，经历设计并评估方案的可行性，让学生感知分段计费的必要，很自然的生成新知。

提供给学生素材后，给予学生充分交流的时间和空间，让学生尝试着在发现、探究、讨论，培养创新意识、合作意识与应用意识，提高分析与解决问题的能力。

3、对学生进行有个性的、鼓励性的评价，个人评价与集体评价,过程评价与终结评价相结合，树立学生的自信心,培养学生的团队精神。

评价说明：学生抢答，抢答小组如果验证正确，给该小组加分；不正确，可以寻求其它小组帮助，提供帮助的小组双倍加分优秀小组：学生参与率高，大家可相互监督，其次看小组分值【教学备品】多媒体课件．三角尺、小黑板【课时安排】1课时 （45分钟）【教学过程设计】一、引导关注(8分钟)衔接：亲爱的同学们，了解家中的每月用水情况吗？每月的水费是多少呢？今天我们就来聊聊这个话题.(幻灯片展示)任务一：看看大家谁的反应快（抢答，每次回答计10分）济南市长清区的水费收费标准：2元／3m ，1、 我家本月用了43m ，应交水费多少元？2、如果用水量为x 3m ，那么应交水费多少元？3、写出用水量)(3m x 与应交水费)(元y 之间的函数关系？4、作出该函数的图像衔接：现在很多地方都征收水费，但浪费水的情况还时有发生，水并不是取之不尽，用之不竭的，请看视频.( 展示视频)问题：看着孩子们那渴望的眼神，大家有何感受？二、设计方案 (22分钟)衔接：是的，我们应该节约用水，节约用水的措施很多，今天在这里就不再一一讨论了。

假设国家收购某种农产品的价格是120 例 2 假设国家收购某种农产品的价格是 元征8元 元/担，其中征税标准为每 担 其中征税标准为每100元征 元（叫做 元征 税率为8个百分点 个百分点， ），计划可收购 税率为 个百分点，即8%），计划可收购 ），计划可收购m 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低x个 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低 个 百分点，预计收购量可增加2x个百分点 个百分点。 百分点，预计收购量可增加 个百分点。 （1）写出税收 （万元）与x的函数关系式； 的函数关系式； ）写出税收y（万元） 的函数关系式 2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划 的范围。 的78%，试确定 的范围。 ，试确定x的范围
3m 2 ( x + 42 x − 400 )( 0 < x ≤ 8 ) 答：税收y= − 125
,
x的范围是（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，2]。
例3 某工厂今年1月、2月、3月生产某产 品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估 计以后每月的产量，以这三个月的产量为依 据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月 份x的关系，模拟函数可选用二次函数或 x y = a ⋅ b + c (a,b,c为常数)，已知四月份 该产品的产量为1.37万件，请问：用以上 哪个函数作模拟函数较好？说明理由。
练习： 我国工农业总产值从 我国工农业总产值从1980年到 年到2000年的 年 年的20年 练习：1.我国工农业总产值从 年到 年的 间 实 现 翻 两 番 的 目 标 ， 设 平 均 每 年 的 增 长 率 为 x， 则 ， （ A ） A（1+x）19=4 B (1+x)20=2 C (1+x)20=3 D (1+x)20=4 （ ） 2.由于电子技术的飞速发展 ， 计算机的成本不断降低 。 由于电子技术的飞速发展， 由于电子技术的飞速发展 计算机的成本不断降低。 1 若每隔5年计算机的价格降低 现在价格为8100元的 若每隔 年计算机的价格降低 ，现在价格为 元的 计算机经过15年的价格可降为 （ 计算机经过 年的价格可降为 3 C ） A 300元 B 900元 C 2400元 D 3600元 元 元 元 元 3.某企业生产总值的月平均增长率为 ，则年平均增长率 某企业生产总值的月平均增长率为P， 某企业生产总值的月平均增长率为 为（ D ） C (1+P)12 D (1+P)12-1 A P B P12 4.某商品零售价 某商品零售价2002年比 年比2001年上涨 年上涨25%， 欲控制 某商品零售价 年比 年上涨 ， 2003年比 年比2001年上年涨 年上年涨10%，则2003年应比 年应比2002年 年比 年上年涨 ， 年应比 年 降价（B ） 降价（ A 15% B 12% C 10% D 5%

x2
300x
20
000 0
x
400，
60 000 100x x 400.
(2)当0≤x≤400时，f(x)=- 1(x-300)2+25 000,
【典例训练】
1.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元，
但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，
市场对该机器的需求量为1 000台，销售收入(单位：万元)函 数为：R(x)=5x- 1 x2(0≤x≤10)，其中x是产品的数量(单位：
2
百台),则利润f(x)表示为产量的函数为________.
【解析】1.由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万
元，代入y=xα中，即3α=27，解得α=3，故函数关系式为
y=x3.所以当x=5时，y=125.
答案：125
2.(1)由题意可得R=kr4(k>0)；
(2)由r=3，R=400，可得krR=4
400，则流量速率R的表达式为
81R=400ຫໍສະໝຸດ .r42.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电 脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公 司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的 电脑8台.已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和 30元，乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元. (1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A地和B地两地的总运费 为y元，求y关于x的函数关系式; (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.
(2)若使y≤1 000，即20x+960≤1 000，得x≤2. 又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N. ∴x=0,1,2，即有3种调运方案. (3)∵y=20x+960是R上的增函数，又0≤x≤6且x∈N， ∴当x=0时，y有最小值，为960. ∴总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地，从乙地调运 8台至B地，调运4台到A地，运费最低为960元.

x „ 0, x > 0.
分析： 分析： 分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的
并集．求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值 范围，再把代入到相应的解析式中进行计算． 解 （1）函数的定义域为 ( −∞, 0] ∪ ( 0, +∞ ) = ( −∞, +∞ ) ． （2） 因为 2 ∈ ( 0, +∞ ) ，故 f ( 2 ) = 22 = 4； 因为 0∈( −∞,0] ，故 f ( 0 ) = 2 × 0 − 1 = −1 ； 因为 −1∈( −∞,0] ，故 f ( −1) = 2 × ( −1) − 1 = −3 ．
分段函数在整个定义域上仍然是一个函数， 而不是几个函数，只不过这个函数在定义域 的不同范围内有不同的对应法则，需要用相 应的解析式来表示．
( −∞,0] ∪ ( 0, +∞ ) = ( −∞, +∞ )
例1 设函数
2 x − 1, y = f (x) = 2 x , （１）求函数的定义域； （２）求的值．
0.57 x, y = f ( x) = 0.5x + 7,
0 < x ≤ 100, x > 100.
这个函数与前面所见到的函数不同，在 自变量的不同取值范围内，有不同的对应法 则，需要用不同的解析式来表示．
1.分段函数的概念
定义：在自变量的不同取值范围内，有不同 的对应法则，需要用不同的解析式来表示的 函数叫做分段函数 。 分段函数 定义域：分段函数的定义域是自变量的各个 不同取值范围的并集 并集． 并集 函数值：求分段函数的函数值时，应该首先 判断所属的取值范围，然后再把代入到相应 的解析式中进行计算．
分析 收费标准依行车的公里数分为3种情况，因此，要分 别在3个范围内进行讨论．

函数在实际中的应用举例(含解答)
函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题
目，注意实际问题和函数的转化。

例1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米。

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。

（2）该运动员身高 1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（ 1.5，3.05）用顶点式。

（2）已知横坐标－ 2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。

解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，
∴设y=a(x-0)2+3.5
即y=ax2+3.5，
将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5
2.25a=-0.45
a=-
∴y=-x2+3.5
（2）当x=-2.5时，
y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25
2.25-1.8-0.25=0.20(m)
答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。

说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位
置，确定坐标的符号。

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