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鲁教版(五四制)八年级数学上册2.4 分式方程(3)课件(共15张PPT)

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2.4.2解分式方程课件(五四制)数学八年级上册

2.4.2解分式方程课件(五四制)数学八年级上册

课后作业
知识点 1 解分式方程
感悟新知
还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课 列出的分式方程 1400 1 400 9 的解吗？
x 2.8x
化成一元一次 方程来求解.
感悟新知 想一想： 解分式方程和解整式方程有什么区别？ 解分式方程的思路是：
去分母
分式方程
整式方程
解分式方程的一般步骤：
感悟新知
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
经检验，x＝3是原分式方程的根．
(2)
x x1
1
解： x 1
x1
x2
3 x
. 2
3
,
x 2x 1
感悟新知
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3. 解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
x1
x2
3 x
. 2
感悟新知
导引：解分式方程的步骤： ①去分母，化分式方程为整式方程； ②解整式方程； ③检验，并写出原分式方程的根．
x
2
(1) x2 4 x 2
x
解： x 2 x 2
1； x2
2
1,
x2 x2
感悟新知
方程两边都乘以最简公分母(x＋2)(x－2)．
得x＋2(x－2)＝x＋2，
解这个方程，得x＝3.
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的解为负数．
结构导图
课堂小结
易错总结： 在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使原分式方 程中的分式的分母为零，即产生增根的情况．因此本题 中要使方程的解为负数，除了k＜3外，还必须考虑原分 式方程的分母不等于0.

鲁教版八年级数学上册全套ppt课件

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针对性练习 (1) 13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2) =0.125×100 =12.5
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15
小
结
1、什么叫因式分解？
1.2 提公因式法
讨 论
问题1：630能被哪些数整除？说说
你是怎样想的？
问题2：a=101,b=99时，求a2 – b2 的值。
ma mb mc
相同因式m
这个多项式有什么特点？
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的 公因式。
例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。
系数：最大 公约数。
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)
=(3m+n)(m+3n)
9x2-y2 = (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)
判断下列各式能否用平方 差公式分解因式： 2 2 ( ) (1) a +4b 2 2 ( ) (2) -x -4y ( ) (3) x-4y2 ( ) (4) -4+0.09m2
具备什么特征的多项式是平方差式?
答：一个多项式如果是由两项组成，两部 分是两个式子(或数)的平方，并且这两项 的符号为异号.
理解定义
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的 形式,这种变形叫做因式分解.因式分解 也可称为分解因式.
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?

鲁教版八年级数学上册全套PPT课件

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2、分解因式 （1）14a3b-21a2b2c
(2)2m(m+n)+6n(m+n)
3、已知x-y=3,x+y=7，求x(x-y)-y(y-x)的值
34
1.3 公式法(1)
35
温故知新
1）(x 5)(x 5) _x_2___2_5_
2）(3x y)(3x y) _9_x_2___y2
项写成平方的
42 (5x) 2 形式；找出a、b
=(4+5x)(4-5x) 第二步，利用
a2-b2=(a-b)(a+b) 分解因式
42
(2)4a2 1 b2 9
第一步，将两 项写成平方的 形式；找出a、b
(2a)2 (1 b)2 第二步，利用
3
1
a2-b2=(a-b)(a+b)
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘 法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个
多项式化成几个整式的积的形式. 你还能再举一些类似的例子加以说明吗?
7
理解定义
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的 形式,这种变形叫做因式分解.因式分解 也可称为分解因式.
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
16
解：根据题意可得，
2 R 2r 10
2 (R r) 10 R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 10 米.
2
17
本节小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原

八年级数学上册第二章分式与分式方程全章热门考点整合应用习题pptx课件鲁教版五四制

八年级数学上册第二章分式与分式方程全章热门考点整合应用习题pptx课件鲁教版五四制
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考点2 一个性质——分式的基本性质
6. [2023·泰安新泰市期末]下列各式从左到右的变形中，正确
的是(
C
)
＋
＋
A. ＝




B. ＝


＋
−
C.
＝
−
(−)
D.
1
2
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−
8. (1)不改变分式的值，使分式

＋

的分子与分母的最高次
项的系数是整数，且分子、分母不含公因式；
【解】原式＝

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−
＋

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.
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(2)不改变分式的值，使分式
−

＋

的分子与分母的最高
＝
−
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【点拨】


−
∵ － ＝
＝3，



∴ y － x ＝3 xy ，

2.4.3分式方程的应用课件(五四制)数学八年级上册

2.4.3分式方程的应用课件(五四制)数学八年级上册
的用水量＝5 m3. 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量， 而用水量可以用水费除以水的单价得出.
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,
则今年的水价为(1＋ 1 ) x元/m3,
3
30 15 根据题意，得 (1+13)- x =5
解这个方程，得 32×(1+13)=2 元/m3.
经检验，x
导引：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，再由 甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的 时间相同，可列出方程，解方程即可得出答案．
感悟新知
解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，
1 000 由题意得
x5 解得x＝45.
900 ， x
经检验，x＝45是所列方程的解．
3 2
是所列方程的根.
感悟新知
所以, 该市今年居民用水的价格为2元/m3.
感悟新知
1. 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科 普书，又用15元买了一 种文学书. 科普书的价格比文学 书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书 少1本. 这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
感悟新知
第2章 分式与分式方程 2.4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
学习目标
列分式方程解应用题的步骤 列分式方程解应用题的常见类型
回顾与思考
课时导入
列方程解应用题的一般步骤是什么？ 审、设、列、解、验、答.
感悟新知 知识点 1 列分式方程解应用题的步骤
列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找
x＋5＝45＋5＝50.
答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．

鲁教版(五四制)八年级上册数学课件2.4分式方程(3)

鲁教版(五四制)八年级上册数学课件2.4分式方程(3)

2、某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市
后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购
数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第
二批用了6300元。
⑴求第一批购进书包的单价；
⑵在商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部
售出后，商店共盈利多少元？
东平县初中数学
灿若寒星
当堂达标
东平县初中数学
灿若寒星
做一做
某单位将沿街的一部分房租出租，每间房屋的 租金相同。已知每间房屋的租金第二年比第一 年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6 万元，第二年为10.2万元。
（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？ （2）根据这一情景你能提出哪些问题？ （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各 是多少吗？
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
东平县初中数学
八年级数学上册第二章分式与分式方程
东平县初中数学
灿若寒星
复习导入
•回忆列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
列一元一次方程解应用题的步骤： •审清题意； •设未知数，用含未知数的式子表示其他未知量； •根据题意找出等量关系，列出方程； •解方程，并检验； •写出答案。
东平县初中数学
灿若寒星
例题讲解
• 例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格
，每立方水费上涨原价的
1 3
，小丽家去年12
月的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是
28元，已知小丽家今年7月的用水量比去年12
月份的用水量多3立方米，求该市今年居民的
用水的价格.
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月份的用水量 –小丽家去年12月份的用水量=3m³

鲁教版数学八年级上2.4《分式方程》ppt课件2


试一试:
1 x 1 2 解方程: x2 2 x 注意:不是所有的分式方程都有解.
随堂练习 1.解方程:
3 4 (1) x 1 x
x 5 (2) 4 2x 3 3 2x
6 x5 (3) x 1 x( x 1)
3 x 1 ( 4) 1 x4 4 x
课后习题
把分式方程 化成整式方程的关 键： 给两边都乘以最简公分母，约 去分母.
想一想 解分式方程一般需要几个步骤？
1.去分母.
方程两边同乘以最简公分母,化分式方程 为整式方程
2.解整式方程. 3.检验. 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是
否为零,使最简公分母为零的根叫增根,舍去; 使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
鲁教版八上·§2.4（2）
2.4 分式方程（2）
回顾与思考 3x 1 5 x 2 4x 2 2 解方程： 2 3 6 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母 （2）去括号 （3）移项
（4）合并同类项
（5）方程两边同除以未知数的系数
例1：解方程
1 3 (1) x2 x
2 1 x x 1
x 3x 2
解：（1）方程两边都乘以 x( x 2) ，得
解这个方程，得
检验：将 所以， x
x3 x 3 代ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原方程，得
左边=1=右边 3 是原方程的根.

例题讲解
2 1 x x 1
解：方程两边乘以 x ( x + 1 )，得；
2(x+1) = x 检验： 将 x = -2代入原方程，得： 左边 = -1 = 右边 所以，x = - 2是原方程的根.
研究总结

2024八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程第1课时分式方程课件鲁教版五四制

年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出满足x的方
程. 你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
解：根据题意，得(1－12%)x＝950；
950
950
1－12%＝
，x＝ 1－12% ，
x
x－12%x＝950，
950
其中1－12%＝
是分式方程．
x
2. 预习完分式方程的概念，小丽举出了以下方程，你认为
90
＝
D.
35＋v 35－v
3. 甲、乙二人做某机械零件，甲每时比乙多做6个，甲做90
个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每时做x
个零件，下面所列方程正确的是( A )
90
60
＝
A.
x x－6
90
60
＝
B.
x x＋6
90
60
＝
C.
x－6 x
90
60
＝
D.
x＋6 x
练点1 分式方程的定义
1. 下列方程不是分式方程的是(
乙车间每天生产电子元ห้องสมุดไป่ตู้1.3x个，
甲、乙两车间每天共生产电子元件(x＋1.3x)个，
2 300
根据题意可得方程： x
2 300
x 1.3 x
33.
归纳
在实际问题中建立分式方程的模型，关
键是要明确题目中的等量关系，一般会出现
“某某相等” 或是“某某相差多少”等，可
以根据这些等量关系列出方程．
1. 李庄村原来用10 hm2耕地种植粮食作物，用80 hm2耕地
种植经济作物. 为了增加粮食作物的种植面积，该村计划
将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作 物，使得粮

鲁教版(五四制)八年级上册2.4解分式方程课件(共15张PPT)

你认为x=2是原方程的根吗？为什么？ 与同伴交流你的看法或做法.
增根与验根
在上面的方程中,x=2不是原方程的根,因为它使得原分
式方程的分母为零,我们你它为原方程的增根.
产生增根的原因,是我们在方程的两边同乘了一个可能 使分母为零的整式.
因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须 检验.
2.在解方程1 x 1 2,时小亮的解法如下: x2 2x
解 : 方程的两边乘以 xx 2,得
x 3x 2.
你能否从中总
解这个方程,得
x 3
结出分式方程 的解法?
检验:将 x 3 代入原方程,得
左边 1 右边. 所以, x 3是原方程的根 .
想一想
解分式方程一般需要哪几个步骤? 去分母，化为整式方程： ⑴把各分母分解因式; ⑵找出各分母的最简公分母; ⑶方程两边各项乘以最简公分母; 解整式方程. 检验. 结论：确定分式方程的解.
解 : 方程的两边乘以 x 2,得
1 x 1 2x 2.
解这个程 ,得 x 2.
检验 : 将x 2代入x 2,得 x 2 2 2 0.
x 2是原方程的增根,舍去.
所以,原方程没有实数根.
试说明这样检验的理由.
【例2】解方程 1 2x x 1 x2 1
有增根,则m=?
(2)解分式方程
3 x

6 x 1

x5 x(x 1)
想一想
解分式方程容易犯的错误主要有：
1. 去分母时，原方程的整式部分漏乘． 2. 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 3. 增根不舍掉. 4. 符号问题. 5. ……
①数量=总价÷单价 ②工作时间=工作总量÷工作速度 ③时间=路程÷速度

鲁教版(五四制)八年级数学上册分式方程课件

• (2)第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数; • (3) 出租房屋的间数×房屋数的租金=所有出租房屋的
租金. • (4)…… • 2.根据这一情境可以提出的问题如: • (1).求出租房屋的总间数? • (2).分别求两年每间出租房屋的租金? • (3)……
3.你能解决这些问题吗?
• 解1:设第一年每间房屋的租金为x元,则
得
30 (1 1) x
15 x
5
3
解这个方程,得 x=1.5. 经检验,x=1.5是原方程的根.
1.5×4/3=2(元) 答:该市今年居民用水的价格为2元/m3.
对应训练 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售， 第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出 售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时， 每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购 买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出 100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为 减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细.
三次检验是:(1)是否是所列方程的解; (2)是否使代数式有意义;
(3)是否满足实际意义.
5.验:有三次检验.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
对应训练
• 2.一艘轮船逆流航行2km的时间比顺流航行2 km的时
间多用了40分钟,
. (在横线上补充
一个条件并提出一个问题)
• 如:已知水速为2 km/h,求船在静水中的速度?
• 解:设船在静水中的速度为x km/h,根据题意得
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方程解决实际问题.（重点）
情景导入
某单位将沿街的一部分房屋出租,每 间房屋的租金第二年比第一年多500元, 所有房屋的租金第一年为9.6万元,第二 年为10.2万元.
1.你能找出这一情 境中的相等关系吗? 2.根据这一情境你 能提出哪有:
• (1)第二年每间房屋的租金 =第一年每间房屋的租金 +500;
2.4 分式方程(3)
知识回顾
1.解分式方程的基本思路是什么？
分式方程
转化 去分母
整式方程
2.解分式方程有哪几个步骤？
一化二解三检验
3.验根有哪几种方法？ 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第
二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
学习目标
1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点） 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式
• (2)第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数; • (3) 出租房屋的间数×房屋数的租金=所有出租房屋的
租金. • (4)…… • 2.根据这一情境可以提出的问题如: • (1).求出租房屋的总间数? • (2).分别求两年每间出租房屋的租金? • (3)……
3.你能解决这些问题吗?
• 解1:设第一年每间房屋的租金为x元,则
1 1 1. x2 x2 3 方程两边都乘以3(x+2)(x-2),得
3(x+2)=3(x-2)+(x+2)(x-2). x2=16.
解这个整式方程,得 x=±4
经检验,x= ±4都是原方程的根,但是x=-4不 符合题意,应舍去.
答:船在静水中的速度是4km/h.
系统总结
列分式方程解应用题的一般步骤
解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出 方程，解出即可得出答案；
解：(1)设第一次购买的进价为x元，则第二
次的进价为1.1x元，
根据题意得 1452 20 1200 ，
1.1x
x
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利 还是亏损？盈利或亏损了多少元？
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细.
三次检验是:(1)是否是所列方程的解; (2)是否使代数式有意义;
(3)是否满足实际意义.
5.验:有三次检验.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
分析:此题的相等关系有：
小丽家今年7月份的用水量—小丽家去年12月份的用 水量= 5m3.
每个月的用水量×水的单价=每个月的用水费. 今年的用水单价=去年用水单价×(1+1/3).
所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量. 每个月的用水量=水费/水的单价.
解:设该市去年用水的价格为x元/m3,则
今年的水价为(1+1/3)x元/m3,根据题意
解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况： 销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就 可以求得是盈利还是亏损了．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)． 第二次购买水果200＋20＝220(千克)． 第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)， 第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝ －12(元)． 所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
对应训练
• 2.一艘轮船逆流航行2km的时间比顺流航行2 km的时
间多用了40分钟,
. (在横线上补充
一个条件并提出一个问题)
• 如:已知水速为2 km/h,求船在静水中的速度?
• 解:设船在静水中的速度为x km/h,根据题意得
2 2 2. x2 x2 3
你会解这个方程吗?
2 2 2. x2 x2 3 解 : 化简, 得
96000 102000. x x 500
解2:设共有x间出租房,则
102000 96000 500.
x
x
你会解这两个方程吗?
典例精析
例3.某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每m3水 费上涨三分之一,小丽家去年12月的水费是15元,今 年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用 水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民 用水的价格?
得
30 (1 1) x
15 x
5
3
解这个方程,得 x=1.5. 经检验,x=1.5是原方程的根.
1.5×4/3=2(元) 答:该市今年居民用水的价格为2元/m3.
对应训练 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售， 第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出 售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时， 每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购 买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出 100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为 减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
结束语
拼搏创造奇迹 努力成就未来
•再见!