陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程面积教案

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21.3。

3实际问题与一元二次方程-几何面积一、教学目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2。

能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.二、课时安排1课时三、教学重点掌握面积法建立一元二次方程的数学模型。

四、教学难点运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.五、教学过程(一）导入新课请某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道,使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为x m，则由题意列的方程为_____________________.教师引导学生分组讨论并提出问题：（二)讲授新课探究3：如图，要设计一本书的封面,封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位）?思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解?（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是21(27－9a ）∶21(21－7a ) ＝9(3－a ）∶7（3－a ）＝9∶7．设上、下边衬的宽均为9x cm ，则左、右边衬的宽均为7x cm ，则中央矩形的长为(27－18x ） cm ，宽为(21－14x ） cm ．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程(27－18x )(21－14x )＝43×27×21． 整理，得16x 2－48x ＋9＝0解方程，得x ， 即 x 1≈2。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第2课时教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》的第2课时教案。

这部分内容是在学生已经掌握了一元二次方程的基本概念和解法的基础上进行讲解的，目的是让学生能够将一元二次方程应用于实际问题中，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念和解法已经有所了解。

但是，学生在应用一元二次方程解决实际问题时，可能会存在理解不深刻、应用不灵活的情况。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生运用数学解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解一元二次方程在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程求解。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学思维和方法解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的积极性。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程求解。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过解决实际问题，引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用。

同时，采用合作学习的方式，让学生在解决实际问题的过程中，相互交流、相互学习，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备准备一些实际问题，用于引导学生运用一元二次方程解决问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）呈现一些实际问题，让学生尝试用一元二次方程解决。

例如，某个商品打折后的价格仍然比原价高20元，打折后的价格是x元，求原价。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，如何将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程求解。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时主要介绍了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。

本节课通过具体案例让学生了解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次三项式、一元二次方程的基本概念和求解方法，具备一定的数学基础。

但学生在解决实际问题时，往往不能将实际问题与数学知识有效结合，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学模型，并用一元二次方程进行求解。

三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程之间的关系，学会将实际问题转化为数学模型。

2.掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。

3.培养学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为一元二次方程，并求解方程。

2.教学难点：如何引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的联系。

五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法，引导学生主动参与课堂，提高学生的实践能力和合作意识。

六. 教学准备1.准备相关实际问题案例。

2.准备一元二次方程的解法教学资源。

3.准备教学课件和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题案例，如物体运动、面积计算等，引导学生思考如何将这些实际问题转化为数学模型。

2.呈现（10分钟）教师呈现一个实际问题，如一个物体从静止开始做直线运动，加速度为常数，已知初速度、末速度和运动时间，求物体运动的位移。

引导学生将这个问题转化为一元二次方程。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，如何将实际问题转化为一元二次方程，并求解方程。

每组选一个实际问题进行操作，其他组进行评价。

4.巩固（10分钟）教师选取几个不同类型的实际问题，让学生独立完成转化为一元二次方程并求解的过程。

第3课时几何图形与一元二次方程1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得12(6－x)·2x ＝12×12×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.数学选择题解题技巧1、排除法。

人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程”是本册教材的重要内容，旨在让学生通过解决实际问题，掌握一元二次方程的解法和应用。

本节内容通过引入实际问题，让学生理解一元二次方程的模型，培养学生的数学建模能力，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数基础知识，对一元二次方程有一定的了解，但解决实际问题的能力还有待提高。

因此，在教学过程中，要注重培养学生的数学建模能力，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。

三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。

2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。

3.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。

四. 教学重难点1.教学重点：理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。

2.教学难点：将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。

五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，案例教学法和小组合作学习法。

通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生理解和应用一元二次方程。

2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如物体运动问题、面积问题等，引导学生关注实际问题中的一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义和解法，让学生理解一元二次方程的模型，并能熟练运用解法求解。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，将导入环节中的实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。

教师巡回指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的实际问题，巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。

《21.3实际问题与一元二次方程第三课时》教案一．内容和内容解析内容：本节课是九年级数学第二十一章一元二次方程的第三节实际问题与一元二次方程的第三课时：几何图形面积问题。

内容解析：本节课是在学习了列简单的代数式、一次方程、分式方程、二元一次方程组及其应用、一元二次方程及其解法等知识的基础上教学的．实际问题与一元二次方程是进一步讨论如何建立和利用方程模型解决实际问题的范例，这种数学建模思想的体现与前面有关方程各章是一致的，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展，数学模型由一元一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程。

列一元二次方程是中心内容，解一元二次方程已属于巩固性内容。

对本节的学习和研究，丰富了教学内容，同时也拓宽了学生的视野，是本章重点内容之一，也是以后二次函数的研究的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具．本课的主要内容有：1．通过实际问题的解决进一步熟悉列方程解应用问题的一般步骤．2．如何正确地找到等量关系？3．准确列出方程表示数量关系．4．判断方程的根是否符合实际情况．二．目标和目标解析目标：1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；3．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；4．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．目标解析：1．通过对具体实际问题的分析：“找出等量关系—设出合适的未知数—列出与等量关系对应的方程—解出方程—检验根的合理性—写出答案”，即“找、设、列、解、验、答”是列方程解决实际应用问题的一般步骤；2．让学生了解实际问题的背景，在数学活动中，引导学生分析，用一元二次方程模型解决实际问题．加强学生对应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力以及开拓创新精神的培养.3．通过自主探究与合作交流的学习方式，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在分析和解决问题的过程中丰富解题的经验，体会成功的喜悦．三.教学重难点教学难点：发现实际问题中的等量关系．教学重点：分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示．四.教学设计（一）复习引入1.正方形的面积公式是什么呢？2.长方形的面积公式又是什么？（二）.课堂探究你最行1、探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？引导学生思考，互动解答2、图形变式一1.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.3、变式二：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?4、一题多解你最棒：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,下图为一位同学的设计方案(如图).求图中道路的宽分别是多少? 草坪面积为540米2;强调：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽）（三）.练一练露一手：1.如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽．2.围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽.（四）.课堂小结（师生互动）•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．•这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．•利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（五）补充例题与练练1.例：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（2）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法、定义等基础知识的基础上进行讲解的。

这部分内容主要是培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力，让学生通过解决实际问题，进一步理解和掌握一元二次方程的知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的知识也有了一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会因为不能正确地将实际问题转化为数学问题，或者在列方程时出现错误，导致解题的失败。

因此，在教学过程中，需要引导学生正确地将实际问题转化为数学问题，并熟练地运用一元二次方程进行解答。

三. 教学目标1.让学生掌握将实际问题转化为数学问题的方法。

2.使学生能够熟练地运用一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为数学问题的方法，一元二次方程的解法。

2.难点：如何将实际问题正确地转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解答。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。

同时，运用讲解法、示范法等，为学生提供解题的思路和方法。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和解答。

2.准备PPT，用于展示和解题过程的演示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并激发学生解决问题的兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现一系列的实际问题，让学生尝试解决。

在学生解答过程中，教师进行讲解和指导，引导学生掌握将实际问题转化为数学问题的方法，并熟练地运用一元二次方程进行解答。

3.操练（10分钟）让学生分组进行合作交流，共同解决一些实际问题。

教师在旁边进行指导和讲解，帮助学生巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生独立进行解答，巩固所学知识。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第3课时教学设计一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》的第3课时，主要内容是通过实际问题引出一元二次方程的求解方法，让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

本节课的内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念、性质和解法，具备了一定的数学基础。

但部分学生在解决实际问题时，还不能灵活运用一元二次方程，对一些复杂问题的理解和解决能力较弱。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们运用一元二次方程解决实际问题，提高他们的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解实际问题中的一元二次方程模型，掌握一元二次方程的求解方法。

2.能够运用一元二次方程解决实际问题，提高数学应用能力。

3.培养学生的团队合作意识，提高学生的解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：通过实际问题，引导学生建立一元二次方程模型，掌握一元二次方程的求解方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为一元二次方程，以及运用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生自主探究，激发学生的学习兴趣。

2.案例分析法：分析典型实例，让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

3.小组讨论法：培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的联系，培养学生自主学习能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生建立一元二次方程模型。

2.准备典型实例，用于分析一元二次方程在实际问题中的应用。

3.准备PPT，用于展示教学内容。

4.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实际问题，引导学生关注实际问题中的一元二次方程模型，激发学生的学习兴趣。