北京市2019年中考数学总复习题型突破03圆中的有关计算

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2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1。

（2019年山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°,则∠ABD 的大小为( ）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°,∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选:B．2。

（2019年山东省德州市)如图，点O为线段BC的中点，点A,C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是（ ）A。

B。

C。

D.130∘140∘150∘160∘【考点】圆内接四边形的性质【解答】解:由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选:B．3. （2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点,且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD,∴∠ADB＝90°,∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立;∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立；故选：C ．4. (2019年四川省资阳市）如图，直径为2cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π,故选：A ．5. （2019年广西贵港市)如图，AD 是⊙O 的直径，=，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度⏜AB ⏜CD 数是（ ）A. B. C 。

北京中考复习——圆一、解答题1、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE．（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．答案：（1）证明见解答．（2）152．解答：（1）∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD=90°．∴∠OBE+∠EBD=90°，∠OAE+∠CEA=90°，∴∠CEA=∠EBD．又∵∠CEA=∠BED，∴∠EBD=∠BED，∴DB=DE．（2）过D作DF⊥AB于F，连接OE，∵E是AB的中点，AB=12，∴AE=BE=6，OE⊥AB，∴∠AOE+∠OEC=∠DEF+∠OEC=90°，∴∠AOE=∠DEF，∵DB=DE，DF⊥AB，∴EF=12BE=3．在Rt△EDF中，DE=5，EF=3，∴DF，∴sin∠DEF=DFDE=45，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEAO=45．∵AE=6，∴AO=152．2、如图AB是圆O的直径，P A，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO．（2）若PC=6，tan∠PDA= 34，求OE的长．答案：（1）证明见解答．（2）OE解答：（1）∵P A、PC与圆O分别相切于点A、C，∴∠APO=∠EPD且P A⊥AO即∠P AO=90°，∴∠AOP=∠EOD，∠P AO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，即∠EPD=∠EDO．（2）连接OC，∴P A=PC=6．∵tan∠PDA=34，∴在Rt△PDA中，AD=8，PD=10，∴CD=4．∵tan∠PDA=34，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∴∠EPD=∠EDO，∴△OED∽△DEP，∴PDOD=DEOE=2．在Rt△OED中，OE2+DE2=52，∴OE3、如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且DA DC=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形．（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．答案：（1）证明见解答．（2）OE的长为解答：（1）∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴∠ABM=90°，AB⊥BM，∵CD//BM，∴AB⊥CD，∴DA AC=，∵DA DC=，∴DA AC DC==，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形．（2）连接BD，∵△ACD是等边三角形，∴∠DAB=30°，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵∠EBD+∠ABD=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠EBD=30°，在Rt△BDE中，DE=2，∴BD=OB，BE=4，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，OE，即OE的长为．4、如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD．（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．答案：（1）证明见解答．（2）OP=．3解答：（1）连接OC，OD．∵PC，PD为⊙O的两条切线，∴PC=PD．又∵OC=OD，∴OP垂直平分CD，即OP⊥CD．（2）如图，连接AD，BC．∵OD=OA，∠DAB=50°，∴∠ADO=∠DAB=50°．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBA=70°，∴∠ADC=180°-∠CBA=110°．∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°．∵OP⊥CD，∴∠ODC+∠DOP=90°，∴∠POD=30°．∵PD为⊙O的切线，OD为半径，∴∠ODP=90°．∵OA=2，∴OD=OA=2．在Rt△ODP中，OP=．35、如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD．（2）若OB=2，求BH的长．答案：（1）证明见解答．（2）BH解答：（1）连接OC，∵BD为⊙O的切线，AB为直径，∴∠ABD=90°；∵C点为弧AB中点；∴∠COA=90°∴CO//BD；∵O点为AB中点，∴点C为AD中点，即：AC=CD．（2）∵CO⊥AB；E为OB中点，OB=2，∴OE=BE=1．∵CO//FD，∴△COE≌△FBE，∴BF=CO=2．∵AB为直径，∴∠AHB=∠ABF=90°．∵∠BFH=∠AFB，∴△ABF∽△BHF．∴ABBF=BHFH=2，∴BH:FH:BF．∵BF=2，∴BH6、如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF．（2）若sin C=13，BD=8，求EF的长．答案：（1）证明见解答．（2）2．解答：（1）连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF．（2）设半径为r，在Rt△OCD中，sin C=13，∴ODOC=13，∴OD=r，OC=3r，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴OF//BD，∴OEBD=OAAB=12，∴OE=4，∵OFBD=OCBC=34，∴OF=6，∴EF=OF-OE=2．7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切．（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=23，求BF的长．答案：（1）证明见解答．（2）BF．解答：（1）方法一：连结OC．∵EC与⊙O相切，C为切点，∴∠ECO=90°．∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC．∵OD⊥DC，∴DB=DC．∴直线OE是线段BC的垂直平分线．∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，∴∠ECO=∠EBO，∴∠EBO=90°，∴AB是⊙O的直径．∴BE与⊙O相切．方法二：连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵OC OBCOE BOEOE OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，∴△ODH∽△OBD，∴ODOB=OHOH=DHBD，又∵sin∠ABC=23，OB=9，∴OD=6，易得∠ABC=∠ODH，∴sin∠ODH=23，即OHOD=23，∴OH=4，∴DH又∵△ADH∽△AFB，∴AHAB=DHFB，1318=FB，∴FB．8、如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB．（2）如果⊙O AC的长．答案：（1）证明见解答．（2．解答：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB=90°，∠ABO=45°．而∠AOC=150°，∴∠BOC=60°．∴△BOC为正三角形，∴CB=CO，∠OBC=60°．∴∠CBD=180°-∠ABO-∠OBC=180°-45°-60°=75°．而在四边形BOCD中，∠COB=60°，∠OCD=90°，∠OBD=∠OBC+∠CBD=135°，∴∠D=360°-∠COB-∠OCD-∠OBD=75°．∴∠D=∠CBD．∴CD=CB．（2）在三角形AOB中，AB OA=2，DC切⊙O于C，∴∠DCB=∠CAD，∴△DCB∽△CAD．∴CDAD=DBDC．∴DC2=DB×DA=DB×（DB+AB），而DC=CB=OC，AB=2，∴2=DB×（DB+2），∴DB．∴AC=AD=AB+BD．9、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BC中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若EF=4，sin∠F=35，求⊙O的半径．答案：（1）证明见解答．（2）158．解答：（1）如图，连接OC，OD，∵点D为BC中点，∴∠1=∠2=12∠BOC，∵OA=OC，∴∠A=∠3=12∠BOC．∴∠1=∠3，∴OD//AE．∵EF⊥AE，∴EF⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）在Rt △AEF 中，∠AEF =90°，EF =4，sin ∠F =35， ∴AE =3，AF =5．∵OD //AE ，∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE =OF AF， 设⊙O 的半径为r ，则OD =r ，OF =AF -AO =5-r ， ∴3r =55r ， 解得r =158， ∴⊙O 的半径为158． 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、点D 为⊙O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，连接AC 、AD ．（1）若∠ABD =2∠BDC ，求证：CE 是⊙O 的切线．（2）若⊙O tan ∠BDC =12，求AC 的长． 答案：（1）证明见解答．（2）4．解答：（1）证明：连接OC ，∵OC =OA ，∴∠OCA =∠OAC ，∴∠COB =2∠OAC ，∵∠BDC =∠OAC ，∠ABD =2∠BDC ，∴∠COB=∠ABD，∴OC//DE，∵CE⊥DB，∠CED=90°，∴∠OCE=90°，OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：连接BC，∵∠BDC=∠BAC，∴tan∠BAC=tan∠BDC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴BCAC=12，设BC=x，AC=2x，∴AB，∵⊙O∴x=2，∴AC=2x=4．11、如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5，C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．答案：（1）证明见解答．（2解答：（1）如图，连接OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CP A，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CP A=90°，即∠ABP+∠OBP=90°，∴∠ABO=90°，∴OB⊥AB，故AB是⊙O的切线．（2）∵tan∠ACB=12，∴在Rt△ACP中，设AP=x，AC=2x，∵OA=5，∴OP=5-x，∴OB=5-x，∵AB=AC，∴AB=2x，∵∠ABO=90°，由勾股定理，得OB2+AB2=OA2，即（5-x）2+（2x）2=52，解得x=2，∴AP=2，∴OB=OP=3，∴AB=AC=4，∴CP过O作OD⊥PB于D，在△ODP和△CAP中，∵∠OPD=∠CP A，∠ODP=∠CAP=90°，∴△ODP∽△CAP，∴PDPA=OPCP=ODCA，∴PD=·OP PA CPBP=2PD12、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）连接BD，若AB=8，求BD的长．答案：（1）证明见解答．（2）．解答：（1）连接OC，∵OB=OC，∠B=45°，∴∠BCO=∠B=45°，∴∠BOC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB //DC ，∴∠OCD =∠BOC =90°，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）连接AC ，交BD 于点E ，∵AB 是直径，AB =8，∴∠ACB =90°，∴BC =AC∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CE =12AC∴BE ，∴BD =2BE ．13、如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且CD CB =，连接OC ，BD ，OD ．（1）求证：OC 垂直平分BD ．（2）过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AD ，CD ．①依题意补全图形．②若AD =6，sin ∠AEC =35，求CD 的长．答案：（1）证明见解答．（2）①画图见解答．②解答：（1）∵CD CB =，∴∠DOC =∠COB ，在△OED 与△OEB 中，OD OB DOE EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OED ≌△OEB （SAS ），∴DE =BE ，∠DEO =∠BEO ，∵∠DEO +∠BEO =180°，∴∠DEO =∠BEO =90°，∴OC 垂直平分BD ．（2）①依题意补全图形如下图．②由（1）可知，OC 垂直BD ，∵CE 为⊙O 的切线，∴∠ECO =∠BEO =90°，∴CE //BD ，∴∠E =∠DBA ，∵sin ∠AEC =35， ∴sin ∠DBA =AD AB =35， ∵AD =6，∴AB =10，则OB =12AB =5， 在△OEB 中，sin ∠EBO =OE OB =35， ∴OE =35·OB =3， 则EC =OC -OE =5-3=2，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD，∴DE=12BD=4，在Rt△DEC中，CD=故答案为：14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB．（2）如果tan B=12，⊙O的直径是5，求AE的长．答案：（1）证明见解答．（2）1．解答：（1）如图所示，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠EDB=90°，又∵OD=OC，AB=AC，∴∠ODC=∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ODC=∠ABC，∴OD//AB，∵OD⊥DE，∴DE⊥AB．（2）如图所示，∵⊙O直径为5，∴AB=AC=5，连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，故∠ADC=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD，又∵tan B=12，∠B=∠C，∴在Rt△ACD中，tan C=12，AC=5，∴设AD=x，则CD=2x，AC，=5，∴x故BD=CD又∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴在Rt△BDE中，BD tan B=12，设DE=y，则BE=2y，∴BD，解得：y=2，故BE=4，∴AE=AB-BE=5-4=1．15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB 的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．（2）若BC=4，tan B=12，求OB．答案：（1）1个，证明见解答．（2解答：（1）连接OE，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，又∵∠AED=∠B，∴AED=∠OEB，∴AEO=∠AED+∠DEO=∠OEB+∠DEO=∠DEB=90°，∴AE是⊙O的切线，∴图形W与AE所在直线有1个公共点．（2）∵∠C=90°，BC=4，tan B=12，∴AC=2，AB∵∠DEB=90°，∴AC//DE，∴tan∠CAE=tan∠AED=tan B=12，在Rt△ACE中，∠C=90°，AC=2，∴CE=1，∴BE=3，∵AC//DE，∴BEBC=2OBAB，∴34，∴OB16、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．答案：（1）DE与⊙O相切，证明见解答．（2）95．解答：（1）如图，连接CD，OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵点E是AC的中点，∴CE=AE，且DE=12 AC，∴CE=DE=AE，∴∠ECD=∠EDC，∠EDA=∠EAD，又∵∠BCA=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵O点是直径BC中点，∴∠CBD=∠ODB，∠BCD=∠ODC，∵∠CBA+∠CAB=90°，∠BCD+∠CBA=90°，∴∠ODB+∠EDA=90°，∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDA=90°，且OD是⊙O半径，∴DE与⊙O相切．（2）∵点O与点E分别是BC与AC的中点，∴OE//AB，且OE=12AB，OC=12BC，CE=12AC，∵CD⊥AB，∴CF⊥OE，∵AB=10，BC=6，在Rt△ACB中，AC=8，∴OE=5，OC=3，CE=4，∵CF⊥OE，∠OCE=90°，∴∠COF+∠OCF=90°，∠CEF+∠COE=90°，∴∠OCF=∠CEO，∴△OCF∽△OEC，∴OCOE=OFOC，∴OF=2OCOE=235=95．17、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形．（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）若AB=5，BD=3，求线段BF的长．答案：（1）画图见解答．（2）直线EF是⊙O的切线；证明见解答．（3）BF=457．解答：（1）如图所示：（2）直线EF是⊙O的切线；理由：如图，连接BC，OD交于点H，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠E=90°，∴BC//EF，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，∵AB=5，BD=3，∴OB=OD=2.5，设OH=x，则DH=52-x，在Rt△OHB中，由勾股定理得：BH2=（52）2-x2，在Rt△BHD中，由勾股定理得：BH2=32-（52-x）2，∴（52）2-x2=32-（52-x）2，解得：x=710，∴OH=710，DH=95，∵O是AB中点，H是BC中点，∴AC =2OH =75， 易证四边形HCED 是矩形，则CE =DH =95， ∴AE =165， ∵BC //EF ， ∴AC AE =AB AF ，即75165=55BF， ∴BF =457． 18、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 切线CD 交BA 的延长线于点D ，过点O 作OE //AC 交切线DC 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：∠B =∠E ．（2）若AB =10，cos B =45，求EF 的长． 答案：（1）证明见解答．（2）163． 解答：（1）如图，连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =∠ACO +∠OCB =90°，∵DE 是⊙O 的切线，∴∠OCD =∠ACO +∠ACD =90°，∴∠OCB =∠ACD ．∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC，∴∠B=∠OCB．∵OE//AC，∴∠ACD=∠E，∴∠B=∠E．（2）在Rt△ACB中，cos B=CBAB=45，AB=10，∴BC=8，AC=6．∵∠ACB=∠OCE=90°，∠B=∠E，∴△ACB∽△OCE，∴ACOC=ABOE，∴65=10OE，∴OE=253．∵OF//AC，O为AB中点，∴OF=12AC=3，∴EF=OE-OF=163．19、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE//AC．（2）若AB=8，tan E=43，求CD的长．答案：（1）证明见解答．（2）．解答：（1）如图，连接OD，∴∠ADC=90°，∵AD=CD，∴∠DOC=90°，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE//AC．（2）∵DE//AC，∴∠E=∠ACB，∵AC为⊙O直径，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=8，tan∠ACB=43，∴AC=10，∴CD．20、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE=∠CAD．（2）若AB=10，AD=6，求CE的长．答案：（1）证明见解答．（2）CE=203．解答：（1）连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCB+∠BCE=90°，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CAB=∠BCE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，∴∠CAD=∠BCE．（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=10，AD=6，∴BD=8，∵AC平分∠DAB，∴CD BC，∴OC⊥BD，DH=BH=4，∴OH=3，∵OC⊥CE，∴BD//CE，∴△OHB∽△OCE，∴OHOC=BHCE，∴35=4CE，∴CE=203．21、如图，点A，B，C在⊙O上，D是弦AB的中点，点E在AB的延长线上，连接OC，OD，CE，∠CED+∠COD=180°．（1）求证：CE是⊙O切线．（2）连接OB，若OB//CE，tan∠CEB=2，OD=4，求CE的长．答案：（1）证明见解答．（2）解答：（1）∵D是AB中点，∴OD⊥AB，∴∠ODE=90°，∴∠OCE=360°-∠ODE-（∠CED+∠COD）=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O半径，∴CE是⊙O切线．（2）过B作BH⊥CE于H，由（1）知∠OCE=90°，∵OB//CE，∴∠BOC+∠OCE=180°，∠OBD=∠CEB，∴∠BOC=90°，tan∠OBD=tan∠CEB=2，∵∠ODB=90°，∴在Rt△ODB中，tan∠OBD=ODBD=2，∵OD=4，∴BD=2，∴OB∵BH⊥CE，∴∠BHC=∠BHE=90°=∠BOC=∠OCH，∴四边形OBHC是矩形，∵OB=OC，∴四边形OBHC是正方形，∴BH=CH=OB=OC在Rt△BHE中，tan∠CEB=BHHE=2，∴HE∴CE=BE+HE22、如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD 交AC于点F，且FC=BC．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为5，tan A=34，求GF的长．答案：（1）证明见解答．（2）1．解答：（1）∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OD⊥AC，∴∠DGF=90°，∴∠ODB+∠DFG=90°，∵∠DFG=∠BFC，∴∠ODB+∠BFC=90°，∵BC=FC，∴∠BFC=∠FBC，∴∠FBC+∠ODB=90°，∴∠FBC+∠OBD=90°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．（2）∵tan A=OGAG=BCAB=34，又∵⊙O的半径为5，∴OA=OB=5，∴OG=3，AG=4，AB=10，∴BC=152，∴AC 252，∵CF=CB=152，∴AF=AC-CF=5，∴FG=AF-AG=5-4=1．23、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC 的延长线于点D．（1）求证：∠DBC=∠OCA．（2）若∠BAC=30°，AC=2．求CD的长．答案：（1）证明见解答．（2）3．解答：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠OBD =90°，∴∠OBC +∠CBD =90°，∴∠A =∠CBD ，∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA ，∴∠OCA =∠DBC ．（2）∵∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠BAC =60°，∴cos ∠BOC =OB OD =12， ∴OD =2OB ，∴CD =OC =OB ，∵cos ∠CAB =AC AB =∴AB =3，∴CD =OB =3，即CD 24、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，AD 平分∠CAB 交BC 于点E ，DF 是⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF ⊥AF ．（2）若⊙O 的半径是5，AD =8，求DF 的长．答案：（1）证明见解答．（2）4.8．解答：（1）如图所示，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA，∴∠ODA=∠CAB，∴AF//OD，又∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AF．（2）连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由（1）可知DF⊥AF，∴∠F=∠ADB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠F AD=∠DAB，∴Rt△F AD∽Rt△DAB，∴DFBD=ADAB，在Rt△ABD中，由勾股定理可知：BD ∵⊙O的半径为5，∴AB=10，∴BD=6，即DF=6×8÷10=4.8．。

P Q P Q 2019 年北京市中考数学真题复习（附答案）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）1. 4 月24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道， 距地球最近点 439000 米，将 439000 用科学记数法表示应为（ ）A. 0.439 × 106B. 4.39 × 106C. 4.39 × 105D. 439 × 1032. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 正十边形的外角和为（ ） A. 180 ∘ B. 360 ∘ C. 720 ∘ D. 1440 ∘4. 在数轴上，点A ，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a ，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，得到点C ，若 CO =BO ，则 a 的值为（ ） A. −3 B. −2 C. −1 D. 1 5. 已知锐角∠AOB ，如图，（1） 在射线 OA 上取一点 C ，以点 O 为圆心，OC 长为半径作⏜，交射线 OB 于点 D ，连接 CD ；（2） 分别以点 C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交⏜于点 M ，N ；（3） 连接 OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A. ∠CO M = ∠C O D C. MN//CDB. 若O M = MN.则∠AOB = 20 ∘ D. MN = 3CD6.如果 m +n =1，那么代数式（2m + n + 1）•（m 2-n 2）的值为（）A. −3B. −1m 2−mn mC. 1D. 31 17.用三个不等式a＞b，ab＞0，a＜b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 38.某校共有200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分下面有四个推断：①这200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5 之间②这200 名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30 之间③这200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30 之间④这200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30 之间所有合理推断的序号是（）A.①③B.②④C. ①②③D. ①②③④二、填空题（本大题共8 小题，共16.0 分）x−19.分式x的值为0，则x 的值是．10.如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC 的面积约为cm2．（结果保留一位小数）11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）0 11 0 （4） ． x + 73 ＞x12. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB +∠PBA =° （点 A ，B ，P 是网格线交点）．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）k 1k 2在双曲线 y = x 上，点 A 关于 x 轴的对称点 B 在双曲线 y = x ，则 k 1+k 2 的值为 ．14. 把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为 ．15. 小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s 2，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4，-4，9，-5，记这组新数据的方差为 s 2，则 s 2 s 2（填“＞”，“=”或”＜”）16. 在矩形 ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边 AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形 ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共 12 小题，共 68.0 分）17. 计算：|- 3|-（4-π）0+2sin60°+ 1-1{4(x−1)＜x + 218. 解不等式组：19.关于x 的方程x2-2x+2m-1=0 有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20.如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E，F 分别在AB，AD 上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；1（2）延长EF 交CD 的延长线于点G，连接BD 交AC 于点O．若BD=4，tan G=2，求AO 的长．21.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7 组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b.国家创新指数得分在60≤x＜70 这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．22.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O 到点A，B，C的距离均等于a（a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G，∠ABC 的平分线交图形G 于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D 作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF 交图形G 于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE 与图形G 的公共点个数．AB23. 小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成 4 组，第 i 组有 x i 首，i =1，2，3，4；②对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；首． 解答下列问题：（1）填入 x 3 补全上表； （2）若 x 1=4，x 2=3，x 3=4，则 x 4 的所有可能取值为 ；（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为首．24. 如图，P 是⏜ 与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是⏜上一动点，连接 PCAB交弦 AB 于点 D ．AB小腾根据学习函数的经验，对线段 PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1） 对于点 C 在⏜上的不同位置，画图、测量，得到了线段 PC ，PD ，AD 的长度在 PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2） 在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；a（3） 结合函数图象，解决问题：当 PC =2PD 时，AD 的长度约为cm ．25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y =kx +1（k ≠0）与直线 x =k ，直线 y =-k 分别交于点 A ，B ，直线 x =k 与直线 y =-k 交于点 C ． （1） 求直线 l 与 y 轴的交点坐标； （2） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为 W ．①当 k =2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数； ②若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围．26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y =ax 2+bx -1与 y 轴交于点 A ，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B ，点 B 在抛物线上．（1） 求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）； （2） 求抛物线的对称轴；11（3） 已知点 P （2，-a ），Q （2，2）．若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．D E27. 已知∠AOB =30°，H 为射线 OA 上一定点，OH = 3+1，P 为射线 OB 上一点，M 为 线段 OH 上一动点，连接 PM ，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转 150°，得到线段 PN ，连接 ON ．（1） 依题意补全图 1； （2） 求证：∠OMP =∠OPN ；（3） 点 M 关于点 H 的对称点为 Q ，连接 QP ．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON =QP ，并证明．28. 在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果 ⏜上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称⏜ 为△ABC 的中内弧．例如，图 1 中⏜ 是△ABC 的一条中内弧．D E D E（1）如图 2，在 Rt △ABC 中，AB =AC =2 2，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧⏜ ，并直接写出此时⏜ 的长；D ED E（2）在平面直角坐标系中，已知点 A （0，2），B （0，0），C （4t ，0）（t ＞0），在△ABC 中，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点．1 ⏜ ①若 t =2，求△ABC 的中内弧D E 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧⏜ ，使得 ⏜ 所在圆的圆心 P 在△ABC 的内部或边上，D ED E直接写出t 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：将439000 用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】B【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．根据多边的外角和定理进行选择．本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．4.【答案】A【解析】解：∵点C 在原点的左侧，且CO=BO，∴点C 表示的数为-2，∴a=-2-1=-3．故选：A．根据CO=BO 可得点C 表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．5.【答案】D【解析】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A 选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN 是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B 选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN= ∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C 选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D 选项错误；故选：D．由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．6.【答案】D【解析】解：原式= •（m+n）（m-n）= •（m+n）（m-n）=3（m+n），当m+n=1 时，原式=3．故选：D．原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；∴组成真命题的个数为3 个；故选：D．由题意得出3 个命题，由不等式的性质再判断真假即可．本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：①解这200 名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200=25.015，一定在24.5-25.5 之间，正确；②这200 名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30 之间，正确；③这200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30 之间，正确；④这200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30 之间，错误．故选：C．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．9.【答案】1【解析】解：∵分式的值为0，∴x-1=0 且x≠0，∴x=1．故答案为1．根据分式的值为零的条件得到x-1=0 且x≠0，易得x=1．本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10.【答案】1.9【解析】解：过点C 作CD⊥AB 的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，∴S△ABC= AB•CD=×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．过点C 作CD⊥AB 的延长线于点D，测量出AB，CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．11.【答案】①②【解析】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．12.【答案】45【解析】解：延长AP 交格点于D，连➓BD，则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案为：45．延长AP 交格点于D，连➓BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】0【解析】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y= 上，∴k1=ab；又∵点A 与点B 关于x 轴的对称，∴B（a，-b）∵点B 在双曲线y= 上，∴k2=-ab；∴k1+k2=ab+（-ab）=0；故答案为：0．由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y= 上，可得k1=ab，由点A 与点B 关于x 轴的对称，可得到点B 的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x 轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0 的性质．14.【答案】12【解析】解：如图1 所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD 的面积= AC×BD= ×6×4=12；故答案为：12．由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．15.【答案】=【解析】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12=S02．故答案为=．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义：一般地设n 个数据，x 1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2= [（x 1- ）2+（x2- ）2+…+（x n- ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．16.【答案】①②③【解析】解：①如图，∵四边形ABCD 是矩形，连➓AC，BD 交于O，过点O 直线MP 和QN，分别交AB，BC，CD，AD 于M，N，P，Q，则四边形MNPQ 是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ 是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN 时，四边形MNPQ 是菱形，故存在无数个四边形MNPQ 是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN 时，存在无数个四边形MNPQ 是菱形；故正确；④当四边形MNPQ 是正方形时，MQ=PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM=QD，AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，∴四边形ABCD 是正方形与任意矩形ABCD 矛盾，故错误；故答案为：①②③．根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．x + 73＞x②2O本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．17. 【答案】解：原式= 【解析】3-1+2× 2 +4= 3-1+ 3+4=3+2 3．直➓利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数 幂的性质分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．{4(x−1)＜x + 2①解①得：x ＜2， 7解②得 x ＜2，7则不等式组的解集为 2＜x ＜2． 【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：∵关于 x 的方程 x 2-2x +2m -1=0 有实数根，∴b 2-4ac =4-4（2m -1）≥0， 解得：m ≤1， ∵m 为正整数， ∴m =1，∴x 2-2x +1=0， 则 （x -1）2=0， 解得：x 1=x 2=1． 【解析】直➓利用根的判别式得出 m 的取值范围进而解方程得出答案． 此题主要考查了根的判别式，正确得出 m 的值是解题关键． 20.【答案】（1）证明：连接 BD ，如图 1 所示：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AC ⊥BD ，OB =OD ， ∵BE =DF ，∴AB ：BE =AD ：DF ， ∴EF ∥BD ， ∴AC ⊥EF ；（2）解：如图 2 所示： ∵由（1）得：EF ∥BD ， ∴∠G =∠ADO ，OA 1∴tan G =tan ∠ADO =OD =2，1∴OA =D ，3 18.【答案】解： ，∵BD=4，∴OD=2，∴OA=1．【解析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC⊥BD，OB=OD，得出AB：BE=AD：DF，证出EF∥BD 即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠G=∠ADO，由三角函数得出tanG=tan∠ADO= =，得出OA= OD，由BD=4，得出OD=2，得出OA=1．本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．21.【答案】17 2.8 ①②【解析】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5 以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为28. 万美元；故答案为：2.8；（4）由40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．（1）由国家创新指数得分为69.5 以上（含69.5）的国家有17 个，即可得出结果；（2）根据中国在虚线l1 的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；（3）根据40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；（4）根据40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵到点O 的距离等于a的所有点组成图形G，∴图象G 为△ABC 的外接圆⊙O，∵AD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴ ⏜= ⏜，AD CD∴AD=CD；（2）如图，∵AD=CM，AD=CD，∴CD=CM，∵DM⊥BC，∴BC 垂直平分DM，∴BC 为直径，∴∠BAC=90°，∵ ⏜= ⏜，AD CD∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE 为⊙O 的切线，∴直线DE 与图形G 的公共点个数为1．【解析】（1）利用圆的定义得到图象G 为△ABC 的外➓圆⊙O，由∠ABD=∠CBD 得到=，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；（2）如图，证明CD=CM，则可得到BC 垂直平分DM，利用垂径定理得到BC 为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE 为⊙O 的切线，于是得到直线DE 与图形G 的公共点个数．本题考查了三角形的外➓圆与外心：三角形外➓圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．23.【答案】4，5，6 23【解析】第1 天第2 天第3 天第4 天第5 天第6 天第7 天第1 组x1x1x1第2 组x2x2x2第3 组x3x3x3第4 组x4x4x4（2）∵每天最多背诵14 首，最少背诵4 首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4 的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14 首，最少背诵4 首，∴ 由第2 天，第3 天，第4 天，第5 天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④-③得，3x2≤28，∴x2≤，∴x1+x2+x3+x4≤ +14= ，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7 天后，小云背诵的诗词最多为23 首，故答案为：23．（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论．本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．24.【答案】PC PD AD 1.59（答案不唯一）【解析】解：（1）按照变量的定义，PC 是自变量，而PD、AD 随PC 的变化而变化，故PD、AD 都是因变量，故答案为：PC、PD、AD；（2）描点画出如图图象；a a（3）PC=2PD，即PD= PC，画出y= x，交曲线AD 的值约为1.59，故答案为1.59（答案不唯一）．（1）按照变量的定义，PC 是自变量，而PD、AD 随PC 的变化而变化，故PD、AD 都是因变量，即可求解；（2）描点画出如图图象；（3）PC=2PD，即PD= PC，画出y= x，交曲线AD 的值为所求，即可求解．本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．25.【答案】解：（1）令x=0，y=1，∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1 −k−1B ，-k），C（k，-k），），（k3①当k=2 时，A（2，5），B（-2，-2），C（2，-2），在W 区域内有6 个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；②直线AB 的解析式为y=kx+1，当x=k+1 时，y=-k+1，则有k2+2k=0，∴k=-2，当0＞k≥-1 时，W 内没有整数点，∴当0＞k≥-1 或k=-2 时W 内没有整数点；【解析】（1）令x=0，y=1，直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）；（2）①当k=2 时，A（2，5），B（- ，-2），C（2，-2），在W 区域内有6 个整数点；②当x=k+1 时，y=-k+1，则有k2+2k=0，k=-2，当0＞k≥-1 时，W 内没有整数点；本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k 变化分析W 区域内整数点的情况是解题的关键．126.【答案】解：（1）A（0，- ）1点A 向右平移2 个单位长度，得到点B（2，-a）；（2）A 与B 关于对称轴x=1 对称，∴抛物线对称轴x=1；（3）∵对称轴x=1，∴b-2a，∴y=ax2-2ax-1，①a＞0 时，1当x=2 时，y=-a＜2，1当y=-a时，x=0 或x=2，∴函数与AB 无交点；②a＜0 时，1当y=2 时，2，ax -2ax-a=2a + |a + 1| a−|a + 1|x= a或x= aa + |a + 1| 1≤2时，a≤-2；当a1∴当a≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；2【解析】（1）A（0，- ）向右平移2 个单位长度，得到点B（2，- ）；（2）A 与B 关于对称轴x=1 对称；（3）①a＞0 时，当x=2 时，y=- ＜2，当y=- 时，x=0 或x=2，所以函数与AB 无交点；②a＜0 时，当y=2 时，ax2-2ax- =2，x= 或x= 当≤2时，a≤- ；本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．27.【答案】解：（1）如图1 所示为所求．（2）设∠OPM=α，∵线段PM 绕点P 顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN=150°，PM=PN∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α∵∠AOB=30°∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α∴∠OMP=∠OPN（3）OP=2 时，总有ON=QP，证明如下：过点N 作NC⊥OB 于点C，过点P 作PD⊥OA 于点D，如图2∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°∵∠AOB=30°，OP=2O P 2−P D 23+1 1∴PD =2OP =1∴OD = = ∵OH = ∴DH =OH -OD =1∵∠OMP =∠OPN∴180°-∠OMP =180°-∠OPN即∠PMD =∠NPC在△PDM 与△NCP 中 ∠PDM = ∠NC P ∠PMD = ∠NPC PM = NP∴△PDM ≌△NCP （AAS ）∴PD =NC ，DM =CP设 DM =CP =x ，则 OC =OP +PC =2+x ，MH =MD +DH =x +1∵点 M 关于点 H 的对称点为 Q∴HQ =MH =x +1∴DQ =DH +HQ =1+x +1=2+x∴OC =DQ在△OCN 与△QDP 中OC = QD ∠OCN = ∠QD P = 90° N C = P D ∴△OCN ≌△QDP （SAS ） ∴ON =QP 【解析】（1） 根据题意画出图形．（2） 由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM ；由∠AOB=30°和三角形内角和 180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM ，得证．（3） 根据题意画出图形，以 ON=QP 为已知条件反推 OP 的长度．由（2）的结论 ∠OMP=∠OPN 联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN ，已具备一边一角相等，过点 N 作 NC ⊥OB 于点 C ，过点 P 作 PD ⊥OA 于点 D ，即可构造出 △PDM ≌△NCP ，进而得 PD=NC ，DM=CP ．此时加上 ON=QP ，则易证得 △OCN ≌△QDP ，所以 OC=QD ．利用∠AOB=30°，设 PD=NC=a ，则 OP=2a ， OD= a ． 再 设 DM=CP=x ， 所 以 QD=OC=OP+PC=2a+x ，MQ=DM+QD=2a+2x ．由于点 M 、Q 关于点 H 对称，即点 H 为 MQ 中点，故 MH= MQ=a+x ，DH=MH-DM=a ，所以 OH=OD+DH= a+a= +1，求得 a=1，故 OP=2．证明过程则把推理过程反过来，以 OP=2 为条件，利用构造全等证得 ON=QP ．本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和 180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以 ON=QP 为条件反推OP 的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2 为条件构造全等证明 ON=QP ．3{{2 2 2 D ED E 28. 【答案】解：（1）如图 2，以 DE 为直径的半圆弧⏜ ，就 是△ABC 的最长的中内弧⏜ ，连接 DE ，∵∠A =90°，AB =AC =2 2，D ，E 分别是 AB ，AC的中点，AC 1 1 ∴BC = = =4，DE = BC = ×4=2， sinB sin 45° 2 2⏜ 1 ∴弧D E =2×2π=π； （2）如图 3，由垂径定理可知，圆心一定在线段 DE 的垂直平分线上，连接 DE ，作 DE 垂直平分线 FP ，作 EG ⊥AC 交 FP 于 G ，1 1①当 t =2时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （2，1），1设P （2，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线 FP 上均可，∴m ≥1，∵OA =OC ，∠AOC =90°∴∠ACO =45°，∵DE ∥OC∴∠AED =∠ACO =45°1 作 EG ⊥AC 交直线 FP 于 G ，FG =EF =2根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点 G 的下方（含点 G ）直线 FP 上时也符合要求；1 ∴m ≤21 综上所述，m ≤2或 m ≥1．②如图 4，设圆心 P 在 AC 上，∵P 在 DE 中垂线上，3∴P 为 AE 中点，作 PM ⊥OC 于 M ，则 PM =2，3 ∴P （t ，2），∵DE ∥BC∴∠ADE =∠AOB =90°∴AE = AD 2 + D E 2= 12 + (2t )2= 4t 2 + 1，∵PD =PE ，∴∠AED =∠PDE∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°，∴∠DAE =∠ADP1 ∴AP =PD =PE =2AE由三角形中内弧定义知，PD ≤PM1 32 ∴2AE ≤2，AE ≤3，即 4t + 1≤3，解得：t ≤ ，∵t＞0∴0＜t≤ 2．【解析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，的长即以DE 为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上，①当t= 时，要注意圆心P 在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE 下方时必须AC 与半径PE 的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t 的最大值即圆心P 在AC 上时求得的t 值．此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．。

一、选择题 1．（2018北京市朝阳区一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（A ）π4125+ （B ）π4123-（C ）π2125- （D ）π4125-答案D 2．（2018北京东城区一模）如图，O e 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π 答案D3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π答案：B4．（2018北京大兴第一学期期末）-在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒120 答案：B5.（2018北京东城第一学期期末）A ，B 是O e 上的两点，OA =1， »AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是A ．30B ． 60°C ．90°D ．120° 答案：B6.（2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6π B ．π C ．3πD ． 32π答案：D7.（2018北京西城区第一学期期末）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A. 48π B .24π C .4π D .2π 答案：B8.（2018北京朝阳区二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1-S 2 为A'B（A ）41312π- （B ）4912π-（C ）4136π+（D ）6 答案:A二、填空题9.（2018北京海淀区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．答案：6π10.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．答案：π 11．（2018北京大兴第一学期期末）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是cm 2． 答案：36 π .12.（2018北京房山区第一学期检测）如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形．若开口∠1=60°，半径为 6 ，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．答案：5π13.（2018北京丰台区第一学期期末）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 答案：2π314.（2018年北京海淀区第一学期期末）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．答案：6OFEDCBA1OCBA15.（2018北京怀柔区第一学期期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为米2.答案：16.（2018北京密云区初三（上）期末）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________. 答案：60︒ 17.（2018北京平谷区第一学期期末）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）．答案：4π 18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 弧AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．答案：2π 19.（2018北京西城区二模）如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ． 答案：43π三、解答题20.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.OF B A答案：（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD =22OC CD +=5．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35， ∴AE=245．……………………………6分21.（2018北京顺义区初三上学期期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．答案：20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 3000500230001000ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分OF B A22．（2018北京燕山地区一模）如图，在△ABC 中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cosC=52时，求⊙O 的半径．解： (1)连结OM. ∵BM 平分∠ABC∴∠1 = ∠2 又OM=OB ∴∠2 = ∠3∴ OM ∥ BC …………………………………2′ AE 是BC 边上的高线∴AE ⊥BC,∴AM ⊥OM∴AM 是⊙O 的切线…………………………………3′（2）∵AB=AC∴∠ABC = ∠C AE ⊥BC,∴E 是BC 中点 ∴EC=BE=3 ∵cosC=52=AC EC ∴AC=25EC= 215…………………………………4′∵OM ∥ BC ，∠AOM =∠ABE ∴△AOM ∽△ABE ∴ABAOBE OM =又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C 在Rt △AOM 中cos ∠AOM = cosC=52 52=AO OM ∴AO=OM 25AB=OM 25+OB=OM 27而AB= AC= 215∴OM 27=215OM=715∴⊙O 的半径是715…………………………………6′23.（2018北京通州区一模）EO M G F ABC321O M GF AB C答案24．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O上一点，点E 是AD 的中点，过点A 作⊙O 的切线交BD 的延长线于点F ．连接AE 并延长交BF 于点C ． （1）求证：AB BC =； （2）如果AB =5，1tan 2FAC ∠=，求FC 的长． 证明：（1）连接BE ．∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°．∴∠CBE +∠ECB =90°∠EBA +∠EAB =90°． ∵点E 是AD )的中点， ∴∠CBE =∠EBA ．∴∠ECB =∠EAB ． ……1分 ∴AB =BC ． ……2分 （2）∵FA 作⊙O 的切线， ∴FA ⊥AB ． ∴∠FAC +∠EAB =90°． ∵∠EBA +∠EAB =90°，∴∠FAC =∠EBA ．∵1tan 2FAC ∠= AB =5，∴5AE 25BE = ……4分 过C 点作CH ⊥AF 于点H ， ∵AB =BC ∠AEB =90°， ∴AC =2AE=25． ∵1tan 2FAC ∠=， ∴CH =2． ……5分 ∵CH ∥AB AB =BC=5， ∴255FCFC =+． ∴FC=310．…6分25．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ． （1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．OFED CAHC DEFOA C DEFO（2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值． AOB C解：（1）如图4，作BE ⊥OC 于点E ．∵ 在⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=15︒，∴ =230BOC BAC ∠∠=︒．在Rt △BOE 中，∠OEB=90︒，∠BOE=30︒，OB=r ，∴ 22OB rBE ==． ∴ 点B 到半径OC 的距离为2r．……………………………………………2分 （2）如图4，连接OA ．由BE ⊥OC ，DH ⊥OC ，可得BE ∥DH ． ∵ AD 与⊙ O 相切，切点为A ，∴ AD ⊥OA ．………………………………3分 ∴ 90OAD ∠=︒． ∵ DH ⊥OC 于点H ， ∴ 90OHD ∠=︒．∵ 在△OBC 中，OB=OC ，∠BOC=30︒，∴ 180752BOCOCB ︒-∠∠==︒．∵ ∠ACB=30︒，∴ 45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒．∵ OA=OC ，∴ 45OAC OCA ∠=∠=︒．∴ 180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒．∴ 四边形AOHD 为矩形，∠ADH=90︒．…………………………………… 4分 ∴ DH =AO=r ．∵ 2rBE =，∴ 2D BE H=． ∵ BE ∥DH ，∴ △CBE ∽△CDH ．∴ 12CB BE D DH C ==．…………………………………………………………… 5分26．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ． （1）求证：∠AEB =2∠C ；图4（2）若AB=6，3cos5B=，求DE的长．D EOACB（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=90°． (1)∵点E是BC边的中点，∴AE=EC．∴∠C=∠EAC， (2)∵∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠AEB=2∠C． (3)（2）解：连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD=90°．∵AB= 6，3 cos5B=，∴BD=185． (4)在Rt△ABC中，AB=6，3 cos5B=，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5． (5)∴75DE=． (6)27．（2018北京顺义区初三练习）如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝35，求AB的长．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于点E，交BC于点F．∵AB=AC，∴»»=AB AC．∴AE⊥BC．∵AD∥BC，∴AE⊥AD．∴AD是⊙O的切线．……………2分（2）解法1：∵AD∥BC，∴∠D=∠1．D EOAC BDAOB C1FDCOAB∵sin ∠D =35， ∴sin ∠1=35． ∵AE ⊥BC ， ∴OF OB =35． ∵⊙O 的半径OB =15， ∴OF =9，BF =12． ∴AF =24．∴AB =125．……………………………………………………… 5分 3解法2：过B 作BH ⊥DA 交DA 延长线于H ．∵AE ⊥AD ，sin ∠D =35，∴OA OD =35． ∵⊙O 的半径OA =15， ∴OD =25，AD =20． ∴BD =40．∴BH =24，DH =32． ∴AH =12．∴AB =125 5分28.（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O 的半径是23D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠，∴3F ∠=∠. ………………1分DEOAC H 321F DEOAC HF DCOAB∵132CBE ∠=∠，∴12CBE F ∠=∠. ………………2分（2）解：∵15CBE ∠=°，∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.∵⊙O 的半径是23，点D 是OC 中点， ∴3OD =.在Rt ODH ∆中，cos 3ODOH∠=，∴2OH =. ………………3分∴232HE =-. 在Rt FEH ∆中，tan EH F EF∠=. ………………4分∴3623EF EH ==-. ………………5分 29．（2018北京市朝阳区一模）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路．解（1）证明：∵AB =BC ，∠A =45°，∴∠ACB =∠A =45°．∴∠ABC =90°． …………………………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线． …………………………………………………2分 （2）求解思路如下：①连接AD ，由AB 为直径可知，∠ADB =90°，进而可知∠BAD =∠CBD ；……3分②由BD =m ，tan ∠CBD =n ，在Rt △ABD 中，可求AD =mn；………………………4分 ③在Rt △ABD 中，由勾股定理可求AB 的长． ……………………………………5分 30.（2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的 切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．EF HBOD APCEF HBODAPC（1）证明：连接OA ，∵OA 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90º. ………………………………1分 ∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ．∴∠E ＝90º. ∴AE ⊥CE . …………………………………2分（2）解：连接OD ，∴∠ODB ＝90º. ………………………………………………3分∵AE =，sin ∠ADE =31， 在Rt △AED 中，23sin =∠=ADEAEAD .∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE .在Rt △OAD 中，311sin ==∠OA OD .………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ， ∵222OA AD OD =+，∴()()222323x x =+. 解得 231=x ，232-=x （舍）.∴293==x OA . ………………………………………5分即⊙O 的半径长为29.31. （2018北京门头沟区初三综合练习）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）求证：∠D =2∠A ； （2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长． （1）证明：连接OC ，∵射线DC 切⊙O 于点C ， ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ，∴∠DEP =90°∴∠P +∠D =90°，∠P +∠COB =90°∴∠COB =∠D …………………1分 ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A∴∠D =2∠A …………………2分 （2）解：由（1）可知：∠OCP =90°，∠COP =∠D ，∴cos ∠COP =cos ∠D =35， …………………3分12E CBOD∵CH ⊥OP ，∴∠CHO =90°， 设⊙O 的半径为r ，则OH =r ﹣2． 在Rt △CHO 中，cos ∠HOC =OH OC =2r r -=35， ∴r =5， …………………4分 ∴OH =5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH =4，∴AH =AB ﹣HB =10﹣2=8．在Rt △AHC 中，∠CHA =90°，∴由勾股定理可知：AC =45．…………………5分32．（2018北京东城区一模） 如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，且点C 是»BD的中点.过点C 作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E . （1）求证：EF 是O e 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.（1）证明：连接OC .∵»»CDCB = ∴∠1=∠3. ∵OA OC =， ∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2. ∴AE OC ∥. ∵AE EF ⊥， ∴OC EF ⊥.∵ OC 是O e 的半径，∴EF 是O e 的切线. ----------------------2分 （2）∵AB 为O e 的直径， ∴∠ACB =90°.根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4. ∵AE EF ⊥ ， ∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB .GC DE B OAFH ∴AE ACAC AB=. ∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分 33.（2018北京怀柔区一模）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠(1)求证：BE=CE ；(2)若⊙O 的直径长8，sin ∠BCE=45，求BE 的长.23.解：(1)∵BA=BC ，AO=CO, ∴BD ⊥AC.∵CE 是⊙O 的切线, ∴CE ⊥AC.∴CE ∥BD. ……………………………………1分 ∴∠ECB=∠CBD. ∵BC 平分∠DBE, ∴∠CBE=∠CBD. ∴∠ECB=∠CBE.∴BE=CE. …………………………………………2分 (2)解：作EF ⊥BC 于F. …………………………3分 ∵⊙O 的直径长8， ∴CO=4.∴sin ∠CBD= sin ∠BCE= 45=OCBC. …………………………………………………………4分 ∴BC=5，OB=3. ∵BE=CE, ∴BF=1522BC =. ∵∠BOC=∠BFE =90°，∠CBO=∠EBF, ∴△CBO ∽△EBF.∴BE BFBC OB =. ∴BE=256. ……………………………………………………………………………………5分34．（2018北京房山区一模）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；（2）若sin ∠HGF ＝43，BF ＝3，求⊙O 的半径长.DOACB第23题图FEDOAC BEDOAC B解：（1）连接OF .∵OF =OB ∴∠OFB =∠B ∵HF 是⊙O 的切线∴∠OFH =90°…………………………………………………………………1分 ∴∠HFB +∠OFB =90° ∴∠B +∠HFB =90°∵HF =HG ∴∠HFG =∠HGF又∵∠HGF =∠BGE∴∠BGE =∠HFG∴∠BGE +∠B =90°∴∠GEB =90°∴AB ⊥CD ………………………………………………………………………2分 （2）连接AF∵AB 为⊙O 直径∴∠AF B =90°…………………………………………………………………3分 ∴∠A +∠B =90° ∴∠A =∠BGE 又∵∠BGE =∠HGF∴∠A =∠HGF …………………………………………………………………4分∵sin ∠HGF =34∴sin A =34∵∠AFB =90°，BF =3 ∴ AB =4∴ O A =O B =2…………………………………………………………………5分 即⊙O 的半径为235．（2018北京丰台区一模）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ． （1）求证：EF =ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长． （1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.∵DE ∥AB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF ＝90°.∴∠1+∠F ＝90°，∠3+∠EDF ＝90°.∴∠F ＝∠EDF .∴EF =DE . …….…….……………2分 （2）解：连接CD .∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°.GD C OE FO AB C E312E C B AO ∵DE ∥AB ，∴∠DEF ＝∠ABC . ∵cos ∠ABC =35，∴在Rt △ECD 中，cos ∠DEC =CE DE =35. 设CE =3x ，则DE =5x .由（1）可知，BE = EF =5x .∴BF =10x ，CF =2x . 在Rt △CFD 中，由勾股定理得DF =25x ． ∵半径为5，∴BD =10. ∵BF ×DC = FD ×BD ，∴1041025x x x =g g ，解得5x =.∴DF =5x =5. …….…….……………5分 （其他证法或解法相应给分.）36．（2018北京西城区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G .（1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.（1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒． ∴ ．∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ．∴ ．∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，图6∴四边形AFCD为平行四边形．∵DC =AD，AD=2a，∴四边形AFCD为菱形．∴AF=FC=AD=2 a，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，3sin60EH CE a=⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=．∴52FH CH CF a=+=．∵在Rt△EFH中，∠EHF= 90︒，∴332tan52aEHEFCFH a∠===．……………………………………5分。

北京市2019年数学中考试题一、选择题（共14个小题，每小题4分，共56分） 1．－5的绝对值是(A) 5 (B) 15 (C) －15 (D) －52．3－2计算的结果是(A) －9 (B) －6 (C) － 19 (D) 193．计算a 3·a 4的结果是(A) a 12 (B) a (C) a 7 (D) 2a34．2019年我国发现首个世界级大气田，储量达6000亿立方米，6000亿立方米用科学记数法表示为(A) 6×102亿立方米 (B) 6×103亿立方米 (C) 6×104亿立方米 (D) 0．6×104亿立方米5．下列图形中，不是．．中心对称图形的是 (A) 菱形 (B) 矩形 (C) 正方形 (D) 等边三角形6．如果两圆的半径分别为3cm 和5cm ，圆心距为10cm ，那么这两个圆的公切线共有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条7．如果反比例函数y ＝kx 的图象经过点P(－2，3)，那么k 的值是(A) －6 (B) － 32 (C) － 23(D) 68．在△ABC 中,∠C=90°，如果tanA ＝512 ，那么sinB 的值等于(A) 513 (B) 1213 (C) 512 (D) 1259．如图，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O 上，如果∠CAB ＝55o，那么∠AOB 为 (A) 55o (B) 90o (C) 110o (D) 120o10．如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么它的侧面积等于(A) 20πcm 2 (B) 40πcm 2 (C) 20 cm 2 (D) 4 0 cm 211．如果关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是(A) k ＜1 (B) k ≠0 (C) k ＜1且k ≠0 (D) k ＞112．在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网ABOC第9题图· BCDA O E 第13题图上答题个数的记录如下表：在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是 (A) 68，65 (B) 55，68 (C) 68，57 (D) 55，5713．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 514．三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间．假设水库水位匀速上升， 那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）15．在函数y ＝x ＋3 中，自变量x 的取值范围是___________．16．如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE ∥BC ，如果BC ＝8cm ，AD:AB ＝1:4，那么△ADE 的周长等于________cm ．17．如图，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45o ，∠ACB ＝45o，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是_______米．18．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41，猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为____________________________． 三、（共3个小题，共14分） 19．（本小题满分4分）分解因式：x 2－2xy ＋y 2－9h(米) O 106 13510 （A ）t(天) t(天) h(米)O 106 13510 （B ）h(米)t(天) O 106 13510 （C ）h(米)t(天)O 10613510 （D ）A DBCE第16题图ABC第17题图计算： 1 2 ＋1－8 ＋( 3 －1)21．（本小题满分6分）用换元法解方程：x 2－3x ＋5＋6x 2－3x＝0四、（本题满分5分） 22．如图，在 ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE ＝CF ．请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）． ⑴ 连结______________．⑵ 猜想：____________ ＝ ____________． ⑶ 证明：五、（本题满分6分）23．列方程或方程组解应用题：在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”； 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍” ． 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少．六、（本题满分7分）24．已知：关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根是x 1，x 2，且(x 1－x 2)2＝16．如果关于x 的另一个方程x 2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值． 七、（本题满分8分）25．已知：在△ABC 中 ，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，FE:FD ＝4:3． ⑴ 求证：AF ＝DF ； ⑵ 求∠AED 的余弦值；⑶ 如果BD ＝10，求△ABC 的面积．·DABCF EAFM26．已知：抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋t 与轴的一个交点为A(－1，0)．⑴ 求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵ D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式； ⑶ E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5:2的点，如果点E 在⑵中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2019北京市中考数学试题答案第I 卷 （机读卷 共56分）一. 选择题（共14个小题，每小题4分，共56分）1. A2. D3. C4. B5. D6. D7.A8. B 9. C10. B 11. C 12. A 13. A 14. B第II 卷（非机读卷 共64分）二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 15. x ≥-316. 617. 3018. 91109()n n n -+=-（或911011()()n n n -+=-+） 三. （共3个小题，共14分） 19. （本小题满分4分）分解因式：x xy y 2229-+- 解：x xy y 2229-+-=--()x y 29 2分=-+--()()x y x y 33 4分 20. （本小题满分4分） 计算：1218310+-+-()解：1218310+-+-()=--+212213分 =-24分21. （本小题满分6分）用换元法解方程x x x x2235630-++-= 解：设x x y 23-=，1分 则原方程化为y y++=562分解得y y 1223=-=-,3分当y =-2时，x x 232-=-解得x x 1212==,4分当y =-3时，x x 233-=-∴此方程无实数根。

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2019备战中考数学(北师大版）专题练习—圆（含答案）一、单选题1。

如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（）A. 100°B。

110°C。

120°D。

135°2。

如图,P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（ )A。

18πcm B. 16πcmC。

20πcmD. 24πcm3。

如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°,则∠OCD的度数是（）A. 40°B. 45°C. 50°D。

60°4.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M,则下列结论一定正确的是( ）A。

AC=CD B。

OM=BMC. ∠A=∠ACD D。

∠A= ∠BOD5.在⊙O中,AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（）A. AB、CD所对的弧一定相等B。

AB、CD 所对的圆心角一定相等C。

△AOB和△COD能完全重合 D. 点O到AB、CD的距离一定相等6.过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A. 1条 B. 2条 C. 3条D。

12019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算一、选择题 1．（2018北京市朝阳区一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（A ）π4125+ （B ）π4123-（C ）π2125- （D ）π4125-答案D 2．（2018北京东城区一模）如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π 答案D3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π答案：B4．（2018北京大兴第一学期期末）-在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为 A. ︒10 B. ︒60 C. ︒90 D. ︒120 答案：B5.（2018北京东城第一学期期末）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是A ．30B ． 60°C ．90°D ．120°答案：B6.（2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6π B ．π C ．3πD ． 32π答案：D7.（2018北京西城区第一学期期末）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A. 48π B .24π C .4π D .2π 答案：B8.（2018北京朝阳区二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1-S 2 为B2（A ）41312π- （B ）4912π-（C ）4136π+（D ）6 答案:A二、填空题9.（2018北京海淀区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．答案：6π10.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．答案：π 11．（2018北京大兴第一学期期末）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是cm 2． 答案：36 π .12.（2018北京房山区第一学期检测）如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形．若开口∠1=60°，半径为 6 ，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．答案：5π13.（2018北京丰台区第一学期期末）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 答案：2π314.（2018年北京海淀区第一学期期末）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．答案：6FCBA315.（2018北京怀柔区第一学期期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.答案：16.（2018北京密云区初三（上）期末）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________. 答案：60︒ 17.（2018北京平谷区第一学期期末）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）． 答案：4π18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 弧AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．答案：2π 19.（2018北京西城区二模）如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ． 答案：43π三、解答题20.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.4答案：（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35， ∴AE=245．……………………………6分21.（2018北京顺义区初三上学期期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．答案：20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 30005002300010ππ+⨯=+…………………4分5=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分22．（2018北京燕山地区一模）如图，在△ABC 错误！未找到引用源。