【同步练习】2018版高中数学专题05 探索离心率问题特色训练新人教A版选修1-1

【人教A版】2018版高中数学选修1-1全一册专题特色训练汇编目录2018版高中数学专题01解密命题充分必要性之含参问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题02或且非命题的真假判断特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题03探索否命题和命题的否定的区别特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题05探索离心率问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题06探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题07解锁圆锥曲线中的定点与定值问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题08解密导数的几何意义特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题10解密函数中的恒成立与能成立问题特色训练新人教A版选修1含答案专题01 解密命题充分必要性之含参问题一、选择题1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】若“01x ≤≤”是“()(20x a x a ⎡⎤--+<⎣⎦）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A . ][01,)-∞⋃+∞（，B . []1,0-C . ()1,0-D . ()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C点睛：设,p q 对应的集合分别为,A B ，则有以下结论： （1）若p q 是的充分条件，则A B ⊆； （2）若p q 是的充分不必要条件，则A B ；（3）若p q 是的充要条件，则A B =。

根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。

2．【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三期中】若关于x 的一元二次方程2ax bx c ++=有两个实数根，分别是1x 、2x ，则“12122{1x x x x +>>”是“两根均大于1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要.【答案】B【解析】若121,1x x >>，则12122{1x x x x +>>，但是1214,2x x ==,满足12122{ 1x x x x +>>，但不满足121,1x x >>。

专题05 探索离心率问题一、选择题1．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>离心率为，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是（ ）A . 相交B . 相切C . 相离D . 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为0ay bx -=，又离心率为ca=所以a b =，所以渐近线方程为0y x -=，由()22214x a y a -+=知圆心(),0a ，半径12a ，圆心到直线的距离122d ==>，所以直线与圆相离，故选C .2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】过双曲线22221x y a b-=右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是A . (B .C .D . ()1【答案】B3．【天津市耀华中学2018届高三第一次月考】已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ）A .95 B C . 32D【答案】D【解析】由题意得222435a a e +=⇒=∴== ,选D . 4．【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅=， 212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e =（ ）ABCD【答案】C5．设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b -=（0a >， 0b >）的左、右焦点， P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A . ()0,2B . (]1,3C . [)2,3D . []3,+∞【答案】B【解析】由定义知： 12122,2PF PF a PF a PF -=∴=+()2222122222448a PF PF a a PF a PF PF PF +∴==++≥ 当且仅当2224a PF PF =，设22PF a =时取得等号，2 2PF c a c a a ≥-∴-≤ 即3c a ≤ 3e ≤又双曲线的离心率1e >,](1,3 e ∴∈ 故答案选B点睛：根据双曲线的定义给出12PF PF 、的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.6．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =焦点重合，则椭圆的离心率是（ ）．ABC D 【答案】C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A . 4BCD 【答案】B 【解析】2ABF 为等边三角形，不妨设22AB BF AF m ===A 为双曲线上一点， 12112F A F A F A AB F B a -=-==B 为双曲线上一点, 212122,4,2BF BF a BF a F F c -===由21260,120ABF F BF ∠=︒∴∠=︒ 在12F BF 中运用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+-⨯⨯⨯︒227c a =27e =,e ∴=故答案选B点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120︒，再利用余弦定理计算出离心率。

2019届高中数学 专题06 探索离心率问题特色训练 新人教A 版选修2-1一、选择题1．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>离心率为()22214x a y a -+=的位置关系是（ ） A . 相交 B . 相切 C . 相离 D . 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为0ay bx -=，又离心率为ca=所以a b =，所以渐近线方程为0y x -=，由()22214x a y a -+=知圆心(),0a ，半径12a ，圆心到直线的距离12d ==>，所以直线与圆相离，故选C .2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】过双曲线22221x y a b-=右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是A . (B .C .D . ()1【答案】B3．【天津市耀华中学2018届高三第一次月考】已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ）A .95 B C . 32 D 【答案】D【解析】由题意得222435a a e+=⇒=∴==选D.4．【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆22221x ya b+=的左、右焦点分别为12,F F，且122F F c=，点A在椭圆上，112AF F F⋅=，212AF AF c⋅=，则椭圆的离心率e=（）ABCD【答案】C5．设1F、2F分别为双曲线2221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点．若212PFPF的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是（）．A. ()0,2B. (]1,3C. [)2,3D. []3,+∞【答案】B【解析】由定义知：12122,2PF PF a PF a PF-=∴=+()2222122222448a PFPF aa PF aPF PF PF+∴==++≥当且仅当2224aPFPF=，设22PF a=时取得等号，22PF c a c a a≥-∴-≤即3c a≤3e≤又双曲线的离心率1e>,](1,3e∴∈故答案选B点睛：根据双曲线的定义给出12PF PF 、的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.6．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =焦点重合，则椭圆的离心率是（ ）．A B C D 【答案】C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A . 4BCD 【答案】B 【解析】2ABF 为等边三角形，不妨设22AB BF AF m ===A 为双曲线上一点， 12112F A F A F A AB F B a -=-==B 为双曲线上一点, 212122,4,2BF BF a BF a F F c -===由21260,120ABF F BF ∠=︒∴∠=︒ 在12F BF 中运用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+-⨯⨯⨯︒227c a =27e =,e ∴=故答案选B点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120︒，再利用余弦定理计算出离心率。

高考离心率的常用解法及配套习题与答案前言：椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线方程是23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26D. 332解：双曲线右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D 变式练习1.1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23D 2 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==ace （31-舍去），故选D变式练习2.1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.332 变式练习2.2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

- 让每一个人同等地提高自我专题 06 探究离心率问题一、选择题1．【山西实验中学、南海桂城中学 2018届高三上学期联考】已知双曲线x2y2 1 a0, b 0离心率为a2b22x a21a2的地点关系是（，则其渐近线与圆y2）4A.订交B.相切C.相离D.不确定【答案】 C【分析】由于一条渐近线方程为ay bx0，又离心率为c2 ，因此a b ，因此渐近线方程为y x 0 ，a2y 21a2知圆心a,01a ，圆心到直线的距离d a2a1由 x a，半径，因此直线与圆相42222离，应选 .C2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018 学年高二上学期期中考】过双曲线 x2y2 1 右焦点F 作一条a2b2直线，当直线的斜率为 2 时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不一样的交点，则双曲线的离心率的取值范围是A.1, 2B5, 10C2, 10D1, 21 ...【答案】 B3．【天津市耀华中学2018届高三第一次月考】已知双曲线x2y2y212 x 的a21(a 0) 的右焦点与抛物线4焦点重合，则该双曲线的离线率为（）A.9B.5C.3D.35 5325【答案】 D- 让每一个人同等地提高自我【分析】由题意得222335a 4 3a 5 e,.55选 D 4．【山西省山大附中等晋豫名校2018 届高三第四次调研诊疗考试】已知椭圆别为 F1, F2，且 F1F22c ，点A在椭圆上，1 1 20，12AF F F AF AF33151D.2A.B.C.3222【答案】 C5．设F1、F2分别为双曲线x2y20 ， b0 ）的左、右焦点，21（aa b2PF1的最小值为 8a ，则该双曲线离心率 e 的取值范围是（）．PF2A.0,2B.1,3C.2,3D.3,【答案】Bx2y21 的左、右焦点分a2b2c2，则椭圆的离心率 e （）P为双曲线右支上任一点．若【分析】由定义知：PF1PF22a,PF12a PF2PF12PF222a4a24a PF28aPF2PF2PF2当且仅当 4a2PF2，设 PF22a 时获得等号，PF2PF2 c a c a 2a即 c 3a e 3又双曲线的离心率e1, e(1,3- 让每一个人同等地提高自我故答案选 B点睛：依据双曲线的定义给出PF 1 、PF 2 的数目关系，再依照条件联合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.6．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】椭圆x 2 y 2 1 的一个焦点与抛物线 y 2 8x 焦点a 2 2重合，则椭圆的离心率是（ ）．3 2 3 2 6A .B .3C .D .223【答案】 C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其重点就是确定一个对于 a,b, c 的方程或不等式， 再根据 a, b,c 的关系消掉 b 获得 a, c 的关系式，而成立对于 a, b, c 的方程或不等式，要充足利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 .7．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018 学年高二 10 月月考】 F 1 , F 2x 2 y 2 1(a 0, b 0)是双曲线b 2a 2的左、右焦点，过 F 1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A 、B ．若 ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A .4B .7C .5D .3【答案】 B【分析】ABF 2 为等边三角形，不如设AB BF 2 AF 2mA 为双曲线上一点，F A F A F A AB F B 2aB 为双曲线上一点,BF2BF12a, BF24a, F1 F22c由ABF260 ,F1BF2120在F1BF2中运用余弦定理得：4c24a216a2 2 2a 4a cos120c27a2e27 ,e7故答案选 B点睛：依据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120 ，再利用余弦定理计算出离心率。

2018年新人教A版高中数学选修1-1全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1命题第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系第1章1.2充分条件与必要条件第1章1.3简单的逻辑联结词第1章1.4全称量词与存在量词第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程第2章2.1-2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质第2章2.1-2.1.2第2课时直线与椭圆的位置关系第2章2.2-2.2.1双曲线及其标准方程第2章2.2-2.2.2双曲线的简单几何性质第2章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程第2章2.3-2.3.2抛物线的简单几何性质第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1-3.1.2导数的概念第3章3.1-3.1.3导数的几何意义第3章3.2导数的计算第3章3.3-3.3.1函数的单调性与导数第3章3.3-3.3.2函数的极值与导数第3章3.3-3.3.3函数的最大（小）值与导数第3章3.4生活中的优化问题举例第3章章末复习课章末评估验收(三)模块综合评价(一)模块综合评价(二)第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为()A．①③B．①②③C．①③④D．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p则q”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为()①若a，G，b成等比数列，则G2＝ab.②4－x2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A．2B．3C．4D．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________．解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1.答案：±1 8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数； ②二次函数的图象与x 轴有公共点； ③平行四边形是梯形； ④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④ 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A：5x－1＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得利用A、B构造的命题“若p，则q”为真命题．解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1＋a5，则x＞1”．由命题为真命题可知1＋a5≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1，则x＞1＋a5”．由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x＞1，则x＞25”．B级能力提升1．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4B．2C．1D．－3解析：C中，当a＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a＝0，满足a·b＝a·c，但不一定有b＝c，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a与a ＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p，则q”的形式为：“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若p，则q”的形式为：“若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等”．则前一个命题为后一个命题的逆命题．答案：A2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a＋b＋c≥3，则a2＋b2＋c2＝3解析：否定条件，得a＋b＋c≠3，否定结论，得a2＋b2＋c2＜3.所以否命题是“若a ＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3”．答案：A3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被3整除的整数，一定不能被6整除．答案：B4．下列说法：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②③④解析：互为逆否命题的两个命题同真假，互为否命题和逆命题的两个命题，它们的真假性没有关系．答案：B5．有下列四种命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x ＋y ＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x ＝0，y ＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x ＞3，则x 2－x －6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．答案：B 二、填空题6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为_______________，是______________(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．解析：原命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝AC ”是假命题，则否命题是假命题．则4个命题中有2个是真命题．答案：28．设有两个命题：①不等式mx 2＋1＞0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，mx 2＋1＝1＞0恒成立，解集为R.当m ≠0时，若mx 2＋1＞0的解集为R ，必有m ＞0. 综上知，不等式mx 2＋1＞0的解集为R ，必有m ≥0.②当0＜m ＜1时，f (x )＝log m x 是减函数，当两个命题中有且只有一个真命题时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤0或m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，0＜m ＜1，所以 m ＝0或m ≥1. 答案：m ＝0或m ≥1三、解答题9．写出命题“在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b 为真命题．否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B 为真命题．逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b 为真命题．10．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＞0的解集是R ，则a ＜74”的逆否命题的真假．解：先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＞0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7＜0.所以a ＜74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．B 级 能力提升1．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是m ，则m 是p 的( ) A ．原命题 B ．逆命题 C ．否命题D ．逆否命题解析：设命题p 为“若k ，则l ”，则命题q 为“若l ，则k ”，从而命题m 为“若非l ，则非k ”，即命题m 是命题p 的逆否命题．答案：D2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，为真命题的是________．解析：由于原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题．其否命题：若函数y ＝f (x )不是幂函数，则y ＝f (x )的图象过第四象限，为假命题，从而原命题的逆命题也是假命题．答案：逆否命题3．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解：当p 为真时，即方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，设两个负根为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m <0，解得m >2.当q 为真时，即方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，则有16(m －2)2－4×4×1<0，解得1<m <3.若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ∈[3，＋∞)；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得m ∈(1，2]．综上所述，m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1．“α＝π6”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由cos 2α＝12，可得α＝k π±π6(k ∈Z)，故选A.答案：A2．(2016·天津卷)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝1，y ＝－2时，x >y ，但x >|y |不成立； 若x >|y |，因为|y |≥y ，所以x >y . 所以x >y 是x >|y |的必要而不充分条件． 答案：C3．x 2＜4的必要不充分条件是( ) A ．0＜x ≤2 B ．－2＜x ＜0 C ．－2≤x ≤2D ．1＜x ＜3解析：x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.答案：C4．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝2 B．m＝－2C．m＝－1 D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：B二、填空题6．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的_____________条件．解析：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要条件7．关于x 的不等式|2x －3|＞a 的解集为R 的充要条件是________． 解析：由题意知|2x －3|＞a 恒成立． 因为|2x －3|≥0，所以 a ＜0. 答案：a ＜08．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“b －2是无理数”是“b 是无理数”的充要条件； ③“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件； ④“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件． 其中真命题的序号是________． 解析：①中由“a ＝b ”可得ac ＝bc ，但由“ac ＝bc ”得不到“a ＝b ”，所以不是充要条件； ②是真命题；③中a ＞b 时，a 2＞b 2不一定成立，所以③是假命题； ④中由“a ＜5”得不到“a ＜3”， 但由“a ＜3”可以得出“a ＜5”，所以“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，是真命题． 答案：②④ 三、解答题9．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分而不必要条件，试求a 的取值范围．解：设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．由于q 是p 的充分而不必要要件，则有AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4＞3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.10．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， 所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ， 代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得ax 2＋bx －a －b ＝0， 即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.所以关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.B 级 能力提升1．m ＝12是直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＝12时，两直线为52x ＋32y ＋1＝0和－32x ＋52y －3＝0，两直线斜率之积为－1，两直线垂直；而当两直线垂直时，(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即2(m ＋2)(2m －1)＝0，所以 m ＝－2或m ＝ 12.所以 为充分不必要条件．答案：B2．已知p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x为增函数，则p 是q 成立的________条件．解析：p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ，即Δ＝4－4m ＜0，m ＞1；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x 为增函数，即m ＋14＞1，m ＞34，则p 是q 成立的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件．求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{}x |1－m ≤x ≤1＋m {}x |－2≤x ≤10，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜－10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3. 本题还可用以下方法求解．因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：x ＜－2或x ＞10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，綈q ：x ＜1－m 或x ＞1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以{}x |x ＜－2或x ＞10{}x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3.第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1．命题“2是3的约数或2是4的约数”中，使用的逻辑联结词的情况是() A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案：C2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假解析：綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．答案：B3．下列命题中，既是“p或q”形式的命题，又是真命题的是()A．方程x2－x＋2＝0的两根是－2，1B．方程x2＋x＋1＝0没有实根C．2n－1(n∈Z)是奇数D．a2＋b2≥0(a，b∈R)解析：选项A中，－2，1都不是方程的根；选项B不是“p或q”的形式；选项C 也不是“p或q”的形式；选项D中，a2＋b2≥0⇔a2＋b2>0或a2＋b2＝0，且是真命题，故选D.答案：D4．已知p：x∈A∩B，则綈p是()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：p：x∈A∩B，即x∈A且x∈B，故綈p是x∉A或x∉B.答案：B5．给出命题p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若1x<1，则x>1.那么在下列四个命题中，真命题是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p为真．对于q，当x<0时，不等式1x<1恒成立；当x>0时，不等式的解集为{x|x>1}．故不等式1x<1的解集为{x|x<0或x>1}．故q为假．结合各选项知，只有(綈p)∨(綈q)为真．故选D.答案：D二、填空题6．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题是________________，命题的否定是______________．解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．答案：若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b7．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0.q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则p ∧(綈q )为________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．答案：真8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．解析：因为“p ∧q ”为假，“綈q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1，0，1，2. 答案：{－1，0，1，2} 三、解答题9．写出下列命题的p ∨q ，p ∧q ，綈p 的形式，并判断其真假： (1)p ：2是有理数；q ：2是实数．(2)p ：5不是15的约数；q ：5是15的倍数．(3)p ：空集是任何集合的子集；q ：空集是任何集合的真子集． 解：(1)p ∨q ：2是有理数或2是实数，真命题；p ∧q ：2是有理数且2是实数，假命题；綈p ：2不是有理数，真命题． (2)p ∨q ：5不是15的约数或5是15的倍数，假命题； p ∧q ：5不是15的约数且5是15的倍数，假命题； 綈p ：5是15的约数，真命题．(3)p ∨q ：空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集，真命题； p ∧q ：空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集，假命题；綈p ：空集不是任何集合的子集，假命题．10．已知命题p ：方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根；命题q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 在R 上是增函数．若p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：当p 是真命题时，Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.当q 是真命题时，a 2－a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.由题意，得p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＜0或a ＞1，解得a ＜0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．B 级 能力提升1．给定命题p ：若x 2≥0，则x ≥0；命题q ：已知非零向量a ，b ，则“a ⊥b ”是“| a －b |＝| a ＋b |”的充要条件，则下列各命题中，假命题是( )A ．p ∨qB ．(綈p )∨qC ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以綈p 是真命题，綈q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )为假命题．答案：D2．给出下列结论：(1)当p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题； (2)当p 是假命题时，“p 且q ”一定是假命题； (3)当“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题； (4)当“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题． 其中正确结论的序号是________．解析：(1)错误，当q 是假命题时，“p 且q ”是假命题，当q 也是真命题时，“p 且q ”是真命题；(2)正确；(3)错误，p 也可能是真命题；(4)正确．答案：(2)(4)3．已知a ＞0，设p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解：对于命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，即0＜a ＜1.对于命题q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，即函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，所以 y min ＝2a ＞1，即a ＞12.由p ∨q 为真，p ∧q 为假，根据复合命题真值表知p 、q 一真一假．如果p 真q 假，则0＜a ≤12；如果p 假q 真，则a ≥1.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x＞2解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题．答案：B2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ，x 2＝x ”．答案：D3．下列特称命题中假命题的个数是( ) ①有一条直线与两个平行平面垂直； ②有一条直线与两个相交平面平行； ③存在两条相交直线与同一个平面垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①②都是真命题，③是假命题． 答案：B4．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R)，则下列命题中的真命题是( ) A ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数 B ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数 C ．任意m ∈R ，使x ＝f (x )都是偶函数 D ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析：当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选D. 答案：D5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2ax ＜33x ＋a 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＞34C ．0＜a ＜34D ．a ＜34解析：由题意，得－x 2＋2ax ＜3x ＋a 2，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a )2－4a 2＜0，解得a ＞34.答案：B 二、填空题6．命题“∃x 0，y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10”的否定是______________． 解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠10. 答案：∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠107．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④8．下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x0∈Q，x20＝2；③∃x0∈R，x20＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．解析：x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．答案：0三、解答题9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定．(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0恒成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解：(1)方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立，所以原命题为假命题．它的否定：对任意实数a，不等式x2－(a＋1)x＋a＞0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|＞0，所以原命题是假命题．它的否定：存在实数x，使不等式|x＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题． 它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x ＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：令y ＝sin x ＋cos x ，则y ＝sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－ 2. 因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＞m 恒成立， 所以只要m ＜－2即可．故实数m 的取值范围是(－∞，－2)．B 级 能力提升1．若命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．p ∨(綈q )解析：命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0为假命题，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0为假命题，所以p ∨(綈q )为真命题，故选D.答案：D2．已知命题“∃x 0∈R ，2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a ＜3.答案：(－1，3)3．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ＋2＝0”，若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．解：p⇔a≤(x2)min＝1.q⇔Δ＝4a2－4(a＋2)≥0⇔a≤－1或a≥2.因为“p或q”为真命题，所以p、q中至少有一个真命题．所以a≤1或a≤－1或a≥2，所以a≤1或a≥2.所以“p或q”是真命题时，实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．命题及其关系的关注点(1)命题的四种形式的转换方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．(2)命题真假的判断，可根据真(假)命题的定义直接推理判断，还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断．2．充分条件与必要条件的注意点(1)在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．(2)证明充要条件要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．3．简单的逻辑联结词的两个关注点(1)正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．(2)有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．否命题与命题的否定的注意点否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．专题1命题及其关系对于命题正误的判断是高考的热点之一，应重点关注，命题正误的判断涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是高考的易失分点．命题正误的判断方法是：真命题要有依据或者给以论证；假命题只需举出一个反例即可．[例1](1)(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是()A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：(1)法一：如图1，l 1和l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确，选D.图1 图2法二：因为l 分别与l 1，l 2共面，故l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l 与l 1，l 2都不相交，则l ∥l 1，l ∥l 2，从而l 1∥l 2，与l 1，l 2是异面直线矛盾，故l 至少与l 1，l 2中的一条相交，选D.(2)因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．答案：(1)D (2)D 归纳升华1．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则为假命题．2．还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断，即当一个命题的真假不易判断时，可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题)，再进行判断．[变式训练] 给出下面三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限内是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③命题“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①是假命题，反例：x ＝2π＋π6和π4，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33，tan π4＝1，2π＋π6>π4，但tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tan π4；②是假命题，反例：y ＝1x 是奇函数，但它的图象不过原点；③是“若a >b >1，则0<log a b <1”，由对数函数的图象及其单调性可知是真命题．答案：③专题2 充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容，在高考试题中主要以选择题的形式出现．解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义，同时，丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提．[例2] (1)若向量a ＝(x ，3)(x ∈R)，则“|a|＝5”是“x ＝4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ≠－1或y ≠－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)|a|＝x 2＋32＝5得x ＝4或x ＝－4.反之当x ＝4时，|a|＝42＋32＝5，故“|a|＝5”是“x ＝4”的必要不充分条件．(2)由逆否命题：若綈q ，则綈p ，则x ＝－1＝y ⇒x ＋y ＝－2正确，但x ＋y ＝－2 x ＝y ＝－1，即綈q 是綈p 的充分不必要条件．答案：(1)B (2)A 归纳升华判断充分条件和必要条件的方法1．定义法：根据充分条件和必要条件的定义直接判断．如本例中(1)．2．集合法：运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法，主要是。

2018年新人教A版高中数学选修2-1全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1命题第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系第1章1.2-1.2.1充分条件与必要条件第1章1.2-1.2.2充要条件第1章1.3简单的逻辑联结词第1章1.4-1.4.2存在量词第1章1.4-1.4.3含有一个量词的命题的否定第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1曲线与方程第2章2.1-2.1.2求曲线的方程第2章2.2-2.2.1椭圆及其标准方程第2章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质第2章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用第2章2.3-2.3.1双曲线及其标准方程第2章2.3-2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质第2章2.3-2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用第2章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程第2章2.4-2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质第2章2.4-2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算第3章3.1-3.1.2空间向量的数乘运算第3章3.1-3.1.3空间向量的数量积运算第3章3.1-3.1.4空间向量的正交分角及其坐标表示第3章3.1-3.1.5空间向量运算的坐标表示第3章3.2第1课时空间向量与平行关系第3章3.2第2课时空间向量与垂直关系第3章3.2第3课时空间向量与空间角第3章章末复习课第3章章末评估验收(三)模块综合评价第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系1.1.1 命题A 级 基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x >2；⑤这座山真险啊！ A ．①②③ B ．①③④ C ．①②⑤D ．②③⑤解析：①②③是命题，④中x >2无法判断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题． 答案：A2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．a >b ，c >d ⇒ac >bd B ．a <b ⇒a 2<b 2 C.1a <1b⇒a >b D ．a >b ，c <d ⇒a －c >b －d解析：可以通过举反例的方法说明A ，B ，C 为假命题． 答案：D3．下列命题中真命题的个数为( ) ①若x 2＝1，则x ＝1； ②若x ＝y ，则x ＝y ； ③若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ； ④梯形的对角线一定不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：只有③正确．答案：A4．给出下列命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 满足ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 成等比数列； ②若整数a 能被2整除，则a 是偶数； ③在△ABC 中，若A >30°，则sin A >12.其中为假命题的序号是( )A ．②B ．①②C ．②③D ．①③解析：①中，若a ＝－1，b ＝52，c ＝2，d ＝－5满足ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，故是假命题；③中，若150°<A <180°，则sin A <12，故是假命题．答案：D5．下列命题中，是真命题的是( ) A ．若a 3＋b 3＝0，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＞b ，则ac ＞bc C ．若M ∩N ＝M ，则N ⊆M D ．若M ⊆N ，则M ∩N ＝M解析：A.取a ＝1，b ＝－1，推不出a 2＋b 2＝0，A 不成立；B.c ≤0时，不成立；C.M ∩N ＝M ⇒M ⊆N ，C 不成立；D 成立．答案：D 二、填空题6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p ，则q ”的形式为________．解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它一定能被2整除． 答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除 7．已知下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则ac2＞bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．解析：①②③④全为假命题．答案：48．给出下列三个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中，是真命题的是________(填序号)．答案：②三、解答题9．判断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．B级能力提升1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．答案：D2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．答案：①②④3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．已知命题p：“若ab＝1，则a＋b≥2”，则下列说法正确的是()A．命题p的逆命题是“若ab≠1，则a＋b<2”B．命题p的逆命题是“若a＋b<2，则ab≠1”C．命题p的否命题是“若ab≠1，则a＋b<2”D．命题p的否命题是“若a＋b≥2，则ab＝1”解析：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，否命题是“若⌝p，则⌝q”.答案：C2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝| b |”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠| b |B．若a＝－b，则|a|≠| b |C．若|a|≠| b |，则a≠－bD．若|a|＝| b |，则a＝－b解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝| b |，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝| b |，则a＝－b.”答案：D3．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：D4．下列四个命题中，真命题为()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案：C5．与命题“在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是()A．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中，若a m＋a n≠a p＋a q，则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q答案：B二、填空题6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．答案：真命题7．下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③8．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案：1三、解答题9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾，所以逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，真命题．因为原命题与其逆否命题等价，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B级能力提升1．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假解析：a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案：A2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题为________命题，逆命题为________命题(填“真”或“假”)．解析：逆否命题为：a ，b 都小于1，则a ＋b <2是真命题．所以原命题是真命题，逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，例如a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．答案：真 假3．设0<a <1，0<b <1，0<c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于14.证明：假设(1－a )b >14，所以（1－a ）b >12，(1－b )c >14，所以（1－b ）c >12，(1－c )a >14，所以（1－c ）a >12.相加得32<（1－a ）b ＋（1－b ）c ＋（1－c ）a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32左右矛盾，故假设不成立． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于14.第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1．“x >0”是“3x 2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．既是充分条件又是必要条件解析：x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2>0，不能推出x >0. 答案：A2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”⇒“cos 2α＝12”，“cos 2α＝12”⇒/ “α＝π6＋2k π”(k ∈Z)．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z)，所以选A.答案：A3．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ln(x＋1)<0得－1<x<0，故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．答案：B4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M⊆N”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m＝3，则M＝{2，3}，显然M⊆N；但当M⊆N时，m＝1或m＝3，故“m ＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．答案：A5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案：B二、填空题6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．解析：由已知，得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0}，所以－a＜－2⇒a＞2.答案：a ＞27．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件： ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ； ②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β； ③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α； ④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)． 答案：②④8．“x ＝1”是“方程x 3－3x ＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)． 答案：充分 三、解答题9．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么： (1)s 是q 的什么条件？ (2)r 是q 的什么条件？ (3)p 是q 的什么条件？解：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件． (2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件． (3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．10．已知命题p ：α＝β；命题q ：tan α＝tan β，判断p 是q 的什么条件？ 解：当α＝β＝π2时，显然tan α与tan β无意义，即p ⇒/ q ，故p 不是q 的充分条件；又α＝π4，β＝5π4时，tan α＝tan β，所以q ⇒/ p ，所以p 不是q 的必要条件，综上，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．B 级 能力提升1．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案：B2．“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案：a ＝1(或a ＝－1)3．已知a 、b 为不等于0的实数，判断“ab ＞1”是“a ＞b ”的什么条件，并证明你的结论．解：由条件“ab ＞1”可得a －b b ＞0，若b ＞0，则a ＞b ；若b ＜0，则a ＜b ，所以“ab＞1”“a ＞b ”，“ab＞1”不是“a ＞b ”的充分条件． 反过来，a ＞b ⇔a －b ＞0，也不能推出a b ＞1⇔a －b b ＞0，“ab ＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．所以“ab ＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件，也不是“a ＞b ”的必要条件．第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件A级基础巩固一、选择题1．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0，1}＝{0}”，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案：B2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“x2＞2 013”时，一定有“x2＞2 012”，反之不成立，所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．答案：A3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2＝±4，故不成立，所以“a 2＝4”是“a 3＝16”的充分不必要条件．答案：A4．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0. 所以m ＝－2，或m ＝12.故为充分不必要条件． 答案：B5．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[－1，1]B ．[－4，4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4. 答案：C 二、填空题6．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．解析：“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”． 答案：充要条件7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析：若α＝370°>β＝30°，而sin α<sin β，所以“α>β”推不出“sin α>sinβ”，若sin 30°>sin 370°，而30°<370°，所以sin α>sin β推不出α>β.答案：既不充分也不必要条件8．已知p ：x 2－4x －5>0，q ：x 2－2x ＋1－λ2>0，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．解析：命题p 成立，x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1；命题q 成立，x 2－2x ＋1－λ2>0(λ>0)得x >1＋λ或x <1－λ，由于p 是q 的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.答案：(0，2] 三、解答题9．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解：依题意a ＞0.由条件p ：|x －1|＞a 得x －1＜－a ，或x －1＞a ，所以x ＜1－a ，或x ＞1＋a ，由条件q ：2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12，或x ＞1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎨⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x ＜0，或x ＞2， 此时必有x ＜12，或x ＞1.即p ⇒q ，反之不成立．所以，使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝1.10．已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：(1)必要性．因为a ＋b ＝1，所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝ (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性．因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0. 因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0.所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C2．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析：由于A ＝{x |0＜x ＜1}，则A ⊆B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知P ＝{x |x 2－8x －20 ≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？若存在，求出m 的范围． (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的范围． 解：(1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ， 所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ＝S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，所以这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.故m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是()A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假解析：因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。

课下能力提升(二)[学业水平达标练]题组1 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15 2．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫12，2的切线方程．题组2 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－14．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 5．已知抛物线y ＝2x 2＋1，请求出分别满足下列条件的切点坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.题组3 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在7．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ． f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在8．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图象是( )9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示， 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．[能力提升综合练]1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 2．曲线y ＝1x －1在点P (2，1)处的切线的倾斜角为( )A.π6B.π4C.π3D.3π43．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋24．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1，0) B．(2，8)C．(1，0)或(－1，－4) D．(2，8)或(－1，－4)5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．答案题组1 求曲线的切线方程 1．∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9. 2．所以曲线在点⎝⎛⎭⎫12，2的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝⎛⎭⎫x －12，即4x ＋y －4＝0. 题组2 求切点坐标3．解析：选A ∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.∴过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1. 4．解析：设P (x 0，2x 20＋4x 0)，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3，30)． 答案：(3，30)5．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ，(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1，3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8.故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2. ∴切点坐标为(2，9)． 题组3 导数几何意义的应用6． 解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A ，B ，D 错误．7． 解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12<0.8．解析：选D 不妨设A 固定，B 从A 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x 很小，即弧AB 长度很小，这时给x 一个改变量Δx ，那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时，同样给x 一个改变量Δx ，那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D 正确．9．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时，f ′(x )＝0，当x >0时，f ′(x )<0，故②符合．答案：②[能力提升综合练]1．答案：B2．解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx，斜率为－1，倾斜角为3π4.3．解析：选A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx所以在点(1，0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0，y 0)，则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．5. 解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(a )>f ′(b )． 答案：>6 解析：由题意，f ′(4)＝－2. f (4)＝－2×4＋9＝1.因此，f (4)＋f ′(4)＝－2＋1＝－1. 答案：－17． 解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快； (2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快． 8．解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．。

2.1 椭圆1、已知椭圆的离心率为12，焦点是()()3,03,0-，，则椭圆方程为（ ） A ．2213627x y += B ．2213627x y -= C ．2212736x y += D ．2212736x y -= 2、已知1F ,2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点,A 是椭圆上一动点,圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切,若(),0M t 为一个切点,则( ) A.2t =B.2t >C.2t <D.t 与2的大小关系不确定3、已知12,F F 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30︒的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若1212,2F AF AF AF S ⊥=△,则椭圆C 的方程为( )A.22162x y +=B.22184x y +=C.22182x y +=D.2212016x y += 4、若曲线22111x y k k+=-+表示椭圆,则k 的取值范围是( ) A. 1k > B. 1k <- C. 11k -<<D. 10k -<<或01k <<5、若椭圆222222(0)b x a y a b a b +=>>的左焦点为,F 右顶点为,A 上顶点为,B 若90ABF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C ．2 D ．126、已知椭圆22:12x C y +=，直线:l y x =C 上的点到直线l 的最大距离为（ ）AB C D ．7、已知平行四边形ABCD 内接于椭圆22142x y +=,直线AB 的斜率11k =,则直线AD 的斜率2k = ( )A. 12 B. 12-C. 14-D. 2-8、设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆于,?A B 点, 若△12AF F 的面积是△12BF F 的面积的3?倍, 23cos 5AF B ∠=,则椭圆E 的离心率为( )A. 12B. 23C.2D.29、已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点,过点P 作圆22(1)1x y ++=的两条切线,切点分别是,,A B 则PA PB ⋅的取值范围为( ) A. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 356,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 56223,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 223,⎡⎤-+∞⎣⎦10、已知椭圆2213216x y +=内有一点()2,2,B 12,F F 是其左、右焦点, M 为椭圆上的动点,则1MF MB +的最小值为( ) A. 62 B. 42 C. 4 D. 611、椭圆221254x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 经过1F 椭圆于,A B 两点，则2ABF △的周长为________.12、如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点D 在椭圆上，112DF F F ⊥,12122F F DF =,12DF F △的面积为22.则椭圆的标准方程为___________.13、已知点A 在椭圆221259x y +=上,点P 满足(1)(R)AP OA λλ=-∈(O 是坐标原点）,且72OA OP ⋅=,则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为__________.14、在平面直角坐标系xOy 中,经过点(2且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点,则k的取值范围为__________15、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=，如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -.1.求22m k +的最小值；2.若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点.答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：2答案及解析： 答案：A解析：如图,设,P Q 分别是圆C 与1F A 的延长线、线段2AF 相切的切点,()2212MF F Q a F A AQ ==-+1122a F P a F M =-=-，即122F M MF a +=,所以2t a ==.故选A3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：B解析：椭圆方程为22221,x y a b+=由题知在Rt ABF △中，222,BF AB AF +=即2222()a a b a c ++=+，222b a c =-代入得22-0,a ac c -= 两边同除以2a 得210,e e +-=解得e =6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：B解析：设直线AB 的方程为y x t =+,()11,A x y ,()22,B x y ,利用椭圆与平行四边形的对称性可得()22,D x y --,联立22142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得2234240x tx t ++-=,由0∆>,得206t <<(t=0时不能构成平行四边形),所以1243tx x +=-,则直线AD 的斜率12122121212222111423y y x x t t t k t x x x x x x +++===+=+=-+++-,故选B 。