重庆中考数学材料浏览24题演习题

2017年重庆中考材料阅读练习题1、2017届南开（融侨）中学九上入学24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。

数字111经过三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。

你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。

2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。

比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。

根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。

3、2017届南开（融侨）中学九上期末25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”)（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x=上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。

2024年重庆中考数学仿真模拟练习卷（一）一、单选题1．在实数π2-，3-，1 ）A ．3-B ．π2-C ．1D 2．如图，四个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．反比例函数12y x =-的图象一定经过的点是（ ） A ．()1,12 B ．()2,6- C ．()3,4-- D ．()6,2 4．如图，AD BE CF ∥∥，若7DE =，21DF =，6AB =，则AC 的长度是（ ）A ．12B ．18C ．15D ．21251的结果（ ）A ．在7和8之间B ．在8和9之间C ．在9和10之间D ．在10和11之间 6．如图，正方形网格图中的ABC V 与A B C '''V 是位似关系图，则位似中心是（ ）A ．点OB ．点PC ．点QD ．点R7．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、⋯、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷)⋯等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）A ．1224C HB ．1225C H C ．1226C HD ．1228C H8．如图，正五边形ABCDE 内接于O e ，连接,OC OD ，则BAE COD ∠-∠=（ ）A ．60︒B ．54︒C ．48︒D ．36︒9．如图，矩形ABCD 中，点E 为CD 边的中点，连接AE ，过E 作EF AE ⊥交BC 于点F ，连接AF ，若EFC α∠=，则BAF ∠的度数为（ ）A ．290α-︒B ．452a ︒+C ．452a ︒-D ．90α︒-10．有n 个依次排列的整式：第1项是()1x +，用第1项乘以()1x -，所得之积记为1a ，将第1项加上()11a +得到第2项，再将第2项乘以()1x -得到2a ，将第2项加上()21a +得到第3项，以此类推；下面4个结论中正确结论的个数为（ ）①第4项为4321x x x x ++++；②41411a x =-；③若第2022项的值为0，则20231x =；④当3x =-时，第k 项的值为1134k +-． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题11113sin305-⎛⎫-︒= ⎪⎝⎭． 12．要使 x 2−ax +6 2x 2−x +b 展开式中不含2x 项和3x 项，则a b -=．13．一个袋子中有两个红球，一个白球，任意摸出一个球后不放回，再任意摸出一个球，求两次摸到都是红球的概率为 ．14．九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，可列方程．15．如图，在直角坐标系中，ABC V 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数k y x=（0k >，0x >）的图象上，点B 的坐标为(4,3)，AB 与y 轴平行，若AB BC =，则k =．16．若数 a 既使得关于x 的不等式组 12326x a x a x a -+⎧+≤⎪⎨⎪->⎩无解，又使得关于y 的分式方程5122a y y y--=--的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为． 17．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 、点E 分别为边AC 上两点，将边BC 沿BD 翻折，使得点C 落在边AC 上的点F 处，再将边AB 沿BE 翻折，使得点A 落在BF 的延长线上的点G 处，则BEG V 的面积为 ．18．一个两位正整数m ，若m 满足各数位上的数字均不为0，称m 为“相异数”，将m 的两个数位上的数字对调得到一个新数n .把m 放在n 的左边组成第一个四位数A ，把m 放在n 的右边组成第二个四位数B ，记()99A B F m -=，计算()63F =；若s ，t 都是“相异数”，s 个位上的数字等于t 十位上的数字，且()F s 被11除余7，()()63F s F t +=，则满足条件的所有s 的和为.三、解答题19．计算：(1)()()()222a b a b b a --+-； (2)2344111a a a a a ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭． 20．学习了菱形的判定后，小德对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了拓展性研究．请根据她的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，作等腰ABC V 底边上的高AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点F ，垂足为点O ，连接DE 、DF ．（不写做法，只保留作图痕迹）(2)已知：如图，ABC V 中，AB AC = ， AD BC ⊥，EF 垂直平分AD ，垂足为点O求证：四边形AEDF 是菱形．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴AD 平分BAC ∠，∴ ．∵EF 垂直平分AD ，∴AE DE =，AF DF =，90∠=∠=︒AOE AOF ．在AOE △和AOF V 中，BAD CAD AO AO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩，∴()ASA AOE AOF V V ≌，∴AE AF =，∴ ，∴四边形AEDF 是菱形．小南进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征，请你依照题意完成下面命题：在等腰三角形中，．21．笛卡尔说：“数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源”，为提高学生对学习数学的兴趣和培养学生的数学爱好，某校开展了一次趣味数学竞赛，并从七年级和八年级各随机抽取20名学生的数学竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x 表示，共分成4组，A ：90100x ≤≤，B ：8090x ≤<，C ：7080x ≤<，D ：6070x ≤<）．部分信息如下： 七年级学生B 组的竞赛成绩为：81，83，82，84，82，86，82，86．八年级被抽取学生的竞赛成绩为：83，61，71，62，66，83，71，86，90，76，92，93，83，75，84，85，77，90，91，81．七、八年级抽取的竞赛成绩统计表请根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=______ ；b=______ ；m=______．(2)根据以上数据分析，你认为哪个年级学生的数学竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)该校七、八年级学生共有2000人，请你估计该校学生中数学竞赛成绩不低于90分的有多少人？22．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框?(不计材料损耗)23．如图，坡AB的坡度为1:2.4，坡面长26米，BC AC⊥，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE(请将下面两小题的结果都精确到0.1 1.732≈)．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即BEF∠)恰为45︒，则此时平台DE的长为多少米？(2)坡前有一建筑物GH，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物GH高为多少米？AD=，点E为CD的中点，动点P，Q同时从点E 24．如图，在矩形ABCD中，6AB=，3→→方向运动到点A停止，点Q也以每秒1出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E D A个单位长度沿折线E C B →→方向运动到点B 停止，设运动时间为x 秒，APQ V 的面积为y ．(1)请直接写出y 关于x 的函数表达式并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)若直线1y x m =+与y 的图象有且只有一个交点，请直接写出m 的取值范围． 25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线214y x bx c =++交x 轴于点()()2,07,0A B -，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 是第四象限内抛物线上一点，MN y ∥轴交BC 于点N ，MQ BC ∥，求32MN BQ +的最大值； (3)如图2，在y 轴上取一点()0,7G ，抛物线沿BG 方向平移新抛物线与x 轴交于点E ，F ，交y 轴于点D ，点P 在线段FD 上运动，线段OF 关于线段OP 的对称线段OF '所在直线交新抛物线于点H ，直线F P '与直线BG 所成夹角为45︒，直接写出点H 的横坐标．26．在Rt ABC △中，AB AC =，点D 为CB 延长线上任一点，连接AD ．(1)如图1，若AD 2BD =，求线段BC 的长；(2)如图2，将线段AD 绕着点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ，连接BE CE ，．点F 为BE 的中点，连接AF ．求证：2DC AF =；(3)在（2）的条件下，设点K 为直线CE 上的点，AE 交BC 于点P ．点D 在CB 延长线上运动的过程中，当AB BE ⊥时，将ABE V 沿直线AE 翻折到ABE V 所在平面内得到ANE V ，同时将PCK △沿直线PK 翻折到PCK △所在平面内得到PKM V ．在MN 取得最大值时，请直接写出MN BN的值．。

24．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．五、解答题：（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．25．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）26．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC 交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．24．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．25．解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入得：，解得：，故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；（2）当1≤x≤6，且x取整数时：W=y1•x1+（12000﹣y1）•x2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2），=﹣1000x2+10000x﹣3000，∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元），当7≤x≤12时，且x取整数时，W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），=﹣x2+1900，∵a=﹣＜0，x=﹣=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元），∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：t=，∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），∴a≈57，答：a的值是57．26．解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述：当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．。

2019重庆中考数学第24题专题训练---三角形2019、2、201、如图,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,B 、C 、E 三点共线,连接DC,点F 为CD 上的一点,连接AF 。

(1)若BE 平分∠AED ，求证:AC=EC ； (2)若∠DAF=∠AEC ，求证:BE=2AF.ACBEDF2、如图,等腰Rt △ACB 和Rt △CDE 中,∠ACB=∠DCE=090,CA=CB.CD=CE,点D 在线段AB 上,连接AE, 点F 为线段DB 的中点,连接CF 交AE 于点G ，,求证:（1）CF AE ⊥ ；（2）2.AE CF =GABCDEF3、如图,等腰Rt △ACB 和Rt △CDE 中,∠ACB=∠DCE=090,CA=CB.CD=CE,点D 在线段AB 上,连接AE,过C 作CF ⊥AE 于G ，交AB 于点F,求证:（1）点F 为线段DB 的中点；（2）2.AE CF =GABCDEF4、如图，等腰直角三角形ABC 中，090ACB ∠=,,CE CD ⊥ 且,CE CD = 连接AD ，过C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点G .求证：G 为BE 的中点.FACBDE G5、重庆市巴川中学2018-2019学年度上学期（秋季）初2020届初二年级半期考试 已知在△ABC 中,AB=AC,0120BAC ∠=,,点E 是AD 上一点,AD=CE,060AEC ∠= ,(1)如图1,求证:△ACE ≌△BAD(2)如图2,连接BE 并廷长,交AC 于点H,点E 恰好是BH 的中点,∠BAC 的角平分线交CE 于点F,求证:DE=AE+EF6、八中2019级周考157、重庆八中初2018届初三上期期末考试已知Rt ABC ∆中， CD 是斜边AB 边上的中线，点E 是直角边AC 上一点，连接DE ，.BE （1）如图1，若DE AB ⊥,且3BC =，4AC =，求CDE ∆的,面积；. （2）如图2，若AED BEC ∠=∠，求证：F 是CD 的中点.DF ACBEAC BE图1 图28、如图1,在五边形 ABCDE 中,∠E=90°,BC=DE 连接AC,AD,且AB=AD,AC ⊥BC(1)求证：AC=AE ； (2)如图2，若∠ABC=∠CAD ，AF 为BE 边上的中线，求证：AF ⊥CD.BB图1 图29、如图在ABC中,过点A作AE⊥BC交BC于E,D为△BC外一点且AD⊥DC,AD交BC于F,连接、D,已知AE=BE,AD= DC.(1) AB=22，BC=35,求DC长度；（2）求证：∠CBD+∠ACE=045.AB CED10、在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥AB交AB于点F，点D在AC上，连接BD，交CF 于点G，过点C作BD的垂线交BC于点H，交AB于点E：（1）如图1，∠ABD=∠CBD，CG=1，求AB；BH AH．（2）如图2，连接AH、FH，∠AHF=90°，求证：211、如图1，△AOB 中，∠AOB= 90°，AO=BO,点C 在边AB 上,连接CO ，过点O 作CO 的垂线，在垂线上取点D ，使DO=CO,连接BD ，CD.（1）已知AC=2，BC=6，求CD 的长；（2）如图2，取线段BC 的中点E ，连接OE ，AD ，求证：OE ⊥AD 且AD=2OE.AOBDCFAOBDCE图1 图212、如图，△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连AD ，BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF（1）如图1，当D 点在BC 上时，CE=4,BD=2,求CF;（2）如图2，把△DEC 绕C 点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，求证：BE=2CF ．13、已知：△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH ．（1）如图1所示，若AB ＝8，CD ＝2，求OH 的长。

重庆中考数学第二轮专题复习第24题二次函数综合题等腰三角形类（2022-2023学年版）1.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，设运动时间是t且0≤t≤5，当点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大，试求出最大面积．2.如图，已知点A的坐标为(−2,0).直线y=−3x+3与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，4顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．(1)求拋物线的解析式及顶点D的坐标；(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；(3)设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN//AB，交AC于点N，Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(秒).当以MN为直角边的▵QMN是等腰直角三角形时，直接写出此时t的值．3.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M(m,0)是x轴一个动MB的最小值以及此时点M、N的坐标．点，请直接写出CN+MN+124.抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN 的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与坐标轴分别交于点A(0,6)，B(6,0)，C(−2,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE//x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23x2−23x+4与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E，过点E作BC的平行线交AC于点F．(1)如图1，求点D的坐标和直线BC的解析式；(2)如图1，在对称轴右侧的抛物线上找一点P，使得∠PDE=45°，点M是直线BC上一点，点N是直线EF上一点，MN//AC，求PM+MN+NB的最小值；(3)如图2，将△BOC绕点O逆时针旋转至△B′O′C′的位置，点B，C的对应点分别为点B′，C′，点B′恰好落在BC上，点T为B′C′的中点，过点T作y轴的平行线交抛物线于点H，将点T沿y轴负方向平移3个单位长度得到点K.点Q是y轴上一动点，将△QHK沿直线QH折叠为△QHK′，△BKK′是否能为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由．7.如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a(x−2)2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．8.如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A(2,−3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线上有一点N，且S△OCN=6，求点N的坐标；(3)点P是对称轴上的一个动点，若存在P使△ABP是等腰三角形，请求出此时P点的坐标．9.如图，已知二次函数y=−x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A(4,0)与点C，与y轴交于点B．(1)求此二次函数关系式和点C的坐标；(2)请你直接写出△ABC的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6)，D为抛物线的顶点．(1)求此二次函数的表达式；(2)求△CDB的面积．(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式．(2)如图①，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标．(3)如图②，抛物线的顶点为点E，EF⊥x轴于点F.若N是直线EF上一动点，M(m,0)是x轴上MB的最小值以及此时点M，N的坐标．一个动点，请直接写出CN+MN+1212.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(−3,0)和点B(1,0)，交y轴于点C．(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D的坐标为(−1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，抛物线y=−35x2+125x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)直接写出A、B、C三点坐标及直线BC的函数表达式；(2)如图1，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN.点P是直线AB上的动点．当△NBC面积取得最大值时，求出点N的坐标及△NBC面积的最大值，并求此时PN+CP 的最小值；(3)如图2，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为参数)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(−2,0).已知M(−1+n,m)和N(5−n,m)是抛物线上两点．图1图2(1)求抛物线的解析式(结果用含a的式子表示)；(2)如图1，对称轴与x轴的交点为D，若△AOC绕原点顺时针旋转90°得到△COD，点E为x轴正半轴上一点，且满足∠CDO=∠CEO+∠CBO，求点E的坐标；(3)如图2，若△OBC为等腰三角形，点F为OC中点，连接BF；若点P在B点左侧的抛物线上，过点P作PQ⊥BF，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB=2S△QRB，求点P的坐标．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,3)，顶点F的坐标为(1,4)，x+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G．对称轴交x轴于点H，直线y=12备用图(1)求抛物线的解析式．(2)点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标．(3)点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线y=1x+1的对称点恰好落在x轴上时，请直接2写出此时点P的坐标．16.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连结AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作ON⊥BC，垂足为点N.设点M的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点且以AC为腰长的三角形是等腰三角形．若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17.已知抛物线y=ax2+34x+c经过点A(−2,0)和C(0,94)，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上(E点不与A，B重合)，且∠DEF=∠DAB，设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由；18.如图，抛物线y=1x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，3BC，点M是抛物线在第四象限内的一个动点，过点M作MN⊥BC于点N，点M的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)请用含m的代数式表示线段MN的长；(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在点N，使得△ACN是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第11页，共1页。

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC∥AB，AB=BC，∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ．由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；（2）当AD=1，BC=7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．（1）证明： 如图（1），延长AD 交FE 的延长线于N ∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE ≌△FCE ∴DN=CF ∵AB ∥FN ，ABDECFAN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG∴FG=FH；（2）解：∵AC=CE∠E=60°∴△ACE为等边三角形∴CE=AE=8∵AB⊥BC∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ．∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．解答：（1）证明：连接BE ，∵梯形ABCD 中，AB=DC ，∴AC=BD ，可证△ABC ≌△DCB ，∴∠GCB=∠GBC ， 又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD 为等边三角形，（2）解：∵BE 为△BCG 的中线，∴BE ⊥AC ，在Rt △ABE 中，EF 为斜边AB 上的中线， ∴EF=AB=5cm ．G 24题图PFEDCBA12、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE=EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF=EC ，连接DF ． （1）试说明梯形ABCD 是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF 的形状；（3）在条件（2）下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC ，∴∠EFC=∠ECF ，∵EF ∥AB ，∴∠B=∠EFC ， ∴∠B=∠ECF ，∴梯形ABCD 是等腰梯形； （2）△DCF 是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC ，EF=EC ，∴EF=CD ，∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴CF=（BC ﹣AD ）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF 是等腰直角三角形； （3）共四种情况：∵DF ⊥BC ，∴当PF=CF 时，△PCD 是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1； 当P 与F 重合时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P 在点C 的左侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3﹣； 当PC=CD=（P 在点C 的右侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3+． 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且DE ⊥AD 于D ，∠EBC=∠CDE ,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =AB CDEFG二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。

2021重庆年中考24题实际问题应用题专题（2）1（巴蜀2021级初三上第一次月考）目前我国高铁技术世界领先，营业里程稳居世界第一，现新开重庆—昆明和重庆—香港的两条新高铁线，试乘阶段推出车票共800张，并且重庆—香港车票数量不少于重庆—昆明车票数的3倍。

求至少推出多少张重庆—香港车票；试乘阶段两种车票价格均为每张450元，为了促进车票的数量，现决定两种车票价格均减少a%，结果世纪重庆—香港车票数量在（1）问条件下的最少车票数量上增加了32a%，重庆—昆明车票数量增加（40+a）%，这样两条高铁车票的总金额为396000元，求a的值2（重庆一外2021级九上第一次月考）10月份，是柚子上市的季节，柚子味道酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素。

有健胃补血，减低血粘稠度等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克。

若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使者两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？若水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销售量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了1%3a，销量比第一周增加了4%3a，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了1%5a，结果这两种水果的总销售额比第一周增加了7%11a，求a的值。

3（重庆育才2021级九上第二次定时训练）十九大以来，为全面推进新农村建设，积极改革农村产业结构，增加农民收入，安全村村委会对方凑集资金，流转耕地1000亩，全部用于种植脐橙和柚子，其中种植柚子的面积不少于脐橙面积的4倍，求该寸中只柚子的面积至少为多少亩？今年村里按（1）中柚子面积的最小值种柚子，脐橙和柚子上市后，脐橙每亩获利800元，柚子每亩获利600元明年在爆出脐橙种植面积不变的情况下，脐橙亩产量将上涨，预计每亩利润增加3a%，同时利用新增流转耕地，使柚子种植面积扩大a%，并改良柚子种植结构，柚子每亩利润将增加a%，这样，明年脐橙和柚子的总利润将比今年的总利润增加12%5a，求a的值。

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题（重庆育才试题集）1（育才2021级初三上定时训练二）中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．2（育才2020级初三下中考模拟5月份）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由．3（育才2020级初三下中考模拟二）先阅读，再解答问题．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当x＝时，求﹣x2﹣x+2的值，为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一将条件变形．因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2＝（3x﹣3x）+2＝2方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即，x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值；（2）已知x＝2+，求的值．4（育才2020级初三下中考模拟三））阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）解：原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）……＝例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）根据材料解决下列问题：（1）计算：；（2）小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x4+4；②计算：．5（育才2019级初三下中考模拟一）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决间题：（1）比较大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）计算：+；（3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值6（育才2020级初三下中考模拟二练习）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+= ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a、b、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.8（育才2020级初三下入学测试）阅读材料：材料1：数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：11、171、1661、134431、…，像这样的数我们叫它“完美数”．材料2：如果一个三位数abc ，满足9=++c b a ，我们就称这个三位数为“长久数”．（1）请直接写出既是“完美数”又是“长久数”的所有三位数；（2）若三位数是大于500的“完美数”，它的各位数字之和等于k ，k 是一个完全平方数且k 为奇数，求这个三位数（请写出必要的推理过程）．9（育才2020级初三上第二次月考）阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数m 都可以表示为：q p m +=2（p 、q 是正整数），在m 的所有这种表示中，如果q p -最小时，规定：()pq m F =．例如：21可以表示为：54123172201212222+=+=+=+=，因为54123172201->->->-，所以()4521=F ．（1）求()33F 的值；（2）如果一个正整数n 可以表示为t t -2（其中2≥t ，且是正整数），那么称n 是次完全平方数，证明：任何一个次完全平方数n ，都有()1=n F ；（3）一个三位自然数k ，c b a k ++=10100（其中90,90,91≤≤≤≤≤≤c b a ，且c a ≤，c b a ,,为整数，）满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且k 与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所有满足条件的k 中()k F 的最小值．10（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）一个形如abcde 的五位自然数（其中a 表示该数的万位上的数字，b 表示该数的千位上的数字，c 表示该数的百位上的数字，d 表示该数的十位上的数字，e 表示该数的个位上的数字，且0,0a b ≠≠），若有,a e b d ==且c a b =+，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，224334693-=，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADE+S△ABE得（a+b）2＝2×ab c2，化简得：a2+b2＝c2．实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝|b|，再在斜边AB上截取BC＝，则AD的长就是该方程的一个正根（如实例二图）．根据以上阅读材料回答下面的问题：（1）如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是，乙图要证明的数学公式是，体现的数学思想是；（2）如图2，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，请用含字母a、b的代数式表示AD的长，AD的表达式能和已学的什么知识相联系；（3）如图3，已知⊙O，AB为直径，点C为圆上一点，过点C作CD⊥AB于点D，连接CO，设DA＝a，BD ＝b，求证：≥．2（八中2020级初三下定时训练五）阅读材料，回答问题：对三个实数x，y，z，记M{x，y，z}为它们中最⼤的数．记N{x，y，z}为这三个数最⼤的数．如M{﹣2，1，4}＝4，M{﹣2，8，8}＝8，N{2，1，﹣1}＝﹣1，N{6，1，﹣2}＝﹣2，（1）填空：M{4，3，π}＝；N{，3.3，5}＝．（2）若M{3m﹣2，4﹣2m，6}＝6，求m的取值范围．（3）若M{2n2﹣4n，2n2﹣4n﹣3，10}＝10，N{2n2﹣4n，2n2﹣4n﹣3，10}＝3成⼤，且无论x取何值，ax2+2（a ﹣1）x+a﹣b﹣2≤0恒成立．当ab取最大值且满⼤＝n时，求a，b的值．3（八中2020级初三下定时训练八）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设A为一个开合数，将A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为Φ（A）．例如：852是“开合数”，则Φ（852）＝852+258＝1110．（1）已知开合数m＝103+10x（0＜x≤9，且为x整数），求Φ（m）的值；（2）三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且Φ（A）能被个位数字与百位数字的差整除，请求满足条件的所有A值．4（八中2021级初三上第一次月考模拟）如果在一个多位自然数n中，各数位上的数字之和恰好等于10，则称这个数为“十全十美数”，并将它各数位上的数字之积记为F（n）．例如在数1234中，因为1+2+3+4＝10，所以数1234是“十全十美数”，且F（1234）＝1×2×3×4＝24．（1）若在一个自然数中的任意两个相邻数位上，左边数位上的数字大于或等于右边数位上的数字，则称这个自然数为“降序数”例如：在数32210中，因为3＞2＝2＞1＞0，所以数32210是“降序数”，已知四位自然数a既是“十全十美数”又是“降序数”，它的千位上的数字是5，F（a）＝0．将数a千位上的数字减1，个位上的数字加1，得到数b，F（b）＝24．求出数a；（2）“十全十美数”P是三位自然数，将数p百位上的数字与个位上的数字交换得到数q，若10p+q＝2882，求F （p）的最大．5（八中2020级初三上定时练习十四）一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可与m相同），设m' 的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，在m'的所有的可能情况中，当a+b+2c最大时，称此时的m'是m的“友好数”，记作：K(m)=m'.例如：815按上述方法可得新数：851，518，185；因为8+5+2×1=15，5+1+2×8=22，1+8+2×5=19，15<19<22，所以518是815的“友好数”，即K(815) =518.(1)求值：K(426)= ，K(531)= ；(2)设三位自然数n=200+10x+y（1≤x≤9，1≤y＜9，x，y为自然数），且x<y，交换其个位与十位上的数字得到新数n'，若13n+ 2n'=3429，那么我们称n为“长久数”，求所有“长久数”中K(n)的最小值.6（八中2020级初三上定时练习十一）已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的2个实数根.若x1=2x2，则称该方程为“倍根方程”.（1）方程x2-3x+2=0 倍根方程，方程x2-x-2=0 倍根方程（填“是”或“不是”）.上时，一元二次方程mx2+3x+n=0是倍根方程.（2）证明：当点（m,n）在反比例函数y=2x（3）若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，已知点A（m+m2+3，n）、B（-m2+5+n，n）均在二次函数y=ax2+bx+c上，请求方程ax2+bx+c=0的两个根.7（八中2020级初三上期末试卷）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”（1）最小的“对称数”为；四位数A与2020之和为最大的“对称数”，则A的值为；（2）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．8（八中2020级初三下期末试卷）阅读下列材料:对于任意正实数a b ,，(20,a b -≥0,a b ∴-≥a b ∴+≥当且仅当a b =时，等号成立.结论:在,a b a b +≥均为正实数)中，若ab 为定值,p 则a b +≥当且仅当a b =时，a b +有最小值.拓展:对于任意正实数a b c ，，，都有a b c ++≥当且仅当a b c ==时，等号成立.在a b c ++≥(a b c ，，均为正实数)中，若abc 为定值p ，则a b c ++≥当且仅当a b c ==时，a b c ++有最小值例如:0,x > 则44x x +≥=，当且仅当4x x=，即2x =时等号成立.又如: 若0,x >求282x x +的最小值时，因为228826x x x x x +=++≥=当且仅当28x x x==，即2x =时等号成立，故当2x =时，282x x +有最小值6. 根据上述材料，解答下列问题:()1若a 为正数，则当a = 时，代数式12a a +取得最小值，最小值为_ ()2已知函数()210y x x =>与函数()2160y x x =>，求函数12y y +的最小值及此时x 的值；()3我国某大型空载机的一次空载运输成本包含三部分:一是基本运输费用，共8100元；二是飞行耗油，每一百公里1200元；三是飞行耗费用，飞行报耗费用与路程(单位:百公里)的平方成正比，比例系数为0.04,设该空载机的运输路程为x 百公里，则该空载机平均每一百公里的运输成本y 最低？9（八中2021级初三上入学测试试卷）.若一个三位数abc t =（其中a 、b 、c 不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为)(t T ．例如，539的差数594359953)539(=-=T ．（1）根据以上方法求出=)268(T __________，=)513(T __________；（2）已知三位数b a 1（其中1>>b a ）的差数495)1(=b a T ，且各数位上的数字之和为3的倍数，求所有符合条件的三位数的值．10（重庆八中2020级九下定时练习一）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”.（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c=++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53.11（重庆八中2020级九下定时练习八）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点（1，1），（0.5，0.5），（﹣2，﹣2），（﹣，﹣）…都是“相等点”，显然“相等点”有无数个．（1）若点P（3，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”，求这个反比例函数的解析式．（2）一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝2x2+bx+c（b，c为常数）的图象上有且只有一个“相等点”，令t＝b2+8c，当0≤b≤2时，求t的取值范围．12（重庆八中2020级九下中考模拟）一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“称心数”，如5，44，666，2222，…对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为S（n），如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和S（123）＝213+321+132＝666，是一个“称心数”．（1）计算：S（432），S（617），并判断是否为“称心数”；（2）若“相异数”n＝100+10p+q（其中正整数p，q满足1≤p≤9，1≤q≤9），且S（n）为最大的三位“称心数”，求n的值．13（重庆八中2021级九上定时训练一）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数．14（重庆八中2021级九上入学测试） 根据阅读材料，解决问题.材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”.(例如：1、232、4554是对称数)材料2：对于一个三位自然数A ，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，=，我们对自然数A 规定一个运算；()222K A x y z =++， 例如：A=191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则()22219128272K =++=.请解答：(1)请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；(2)如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数 ；(3）一个四位的“对称数”B ，若()8K B =，请求出B 的所有值.15（重庆八中2020级九下中考全真模拟）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：543、、；三个连续的偶数中的勾股数1086、、；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数.（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：12+=n a ，n n b 222+=，1222++=n n c （n 为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的c b a 、、的数是一组勾股数.（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当)(2122n m a -=，mn b =，)(2122n m c +=（n m 、为正整数，n m >时，c b a 、、构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且5=n ，求该直角三角形另两边的长.16（重庆八中2020级九下定时训练十）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：21 14 xx=+，求代数式221xx+的值．解：∵21 14 xx=+，∴214xx+=即214xx x+=∴14xx+=∴22211216214x xx x⎛⎫+=+-=-=⎪⎝⎭材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若234x y z ==，且0xyz ≠，求x y z+的值． 解：令234(0)x y z k k ===≠则2k x =，3k y =，4k z =，∴1162211773412k x y z k k ===++ 根据材料回答问题：（1）已知2115x x x =-+，求1x x+的值． （2）已知(0)543a b c abc ==≠，求342b c a+的值． （3）若222222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c ++===+++++，0x ≠，0y ≠，0z ≠，且5abc =，求xyz 的值．17（重庆八中2021级九上定时训练二）若正整数p 是4的倍数，那么规定正整数p 为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．（1）已知正整数p 是任意两个连续偶数的平方差，求证：p 是“四季数”；（2）已知一个两位正整数10k x y =+（19x y ≤<≤，其中x ，y 为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数m ，若m 与k 的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数k ．。