重庆中考几何
一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质
1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．
（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
（1）证明：∵HE=HG，
∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，
∴∠BEH=∠FGC，
∵G是HC的中点，
∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°．
∴△EBH≌△GFC；
（2）解：过点H作HI⊥EG于I，
∵G为CH的中点，
∴HG=GC，
∵EF⊥DC，
HI⊥EF，
∴∠HIG=∠GFC=90°，
∠FGC=∠HGI，
∴△GIH≌△GFC，
∵△EBH≌△EIH（AAS），
∴FC=HI=BH=1，
∴AD=4-1=3．
2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，
∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F为DE中点．
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．
（1）求证：CF=CG；
（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．
解答：（1）证明：连接AC，
∵DC∥AB，AB=BC，
∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2；
∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AEC，
∴CD=CE；
∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，
∴△FDC≌△GEC，
∴CF=CG．
（2）解：由（1）知，CE=CD=2，
∴BE=4CE=8，
∴AB=BC=CE+BE=10，
∴在Rt△ABE中，AE= AB2-BE2 =6，
2
∴在Rt△ACE中，AC= AE2+CE2 =10
由（1）知，△ADC≌△AEC，
∴CD=CE，AD=AE，
∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，
∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）
在Rt △AEC 中，S △AEC =
21 AE?CE=2
1
AC?EH ， ∴EH=
AC CE
AE ⋅ =10
226⨯ =5103
∴DE=2EH=2×
5103=5
10
6 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，
DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ； 求证：
（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．
证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°， 又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，
在△BCQ 和△CDP 中，
∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=
21AC=CO ，∠4=2
1
∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO
∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．
5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.
⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，
A
B
D
E
C
F
