2017年重庆中考材料阅读练习题
1、2017届南开（融侨）中学九上入学
24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：
（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。数字111经过
三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。
（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。
2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一
23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；
（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。
3、2017届南开（融侨）中学九上期末
25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．
（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”)
（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x
=上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。
4、2017届一中九上月考三
24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得
a n
b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7
a n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被
7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-⨯=，
因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．
（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．
5、2017届南开（融侨）中学九下入学
25、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进
一。对于任意一个用n (10)n ≤进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~(1)n -进行记数，特点是逢n 进
一。我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：
五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，记作()523469=，
七进制数()271361737676=⨯+⨯+=，记作()713676=
（1）请将以下两个数转化为十进制：()5331= ，()746= ；
（2）若一个正数可以用七进制表示为()7abc ，也可以用五进制表示为()
5cba ，请求出这个数并用十进制表示。
6、2017届南开（融侨）中学九下入学
7、2017届八中学九下入学
24．一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数，其中a，b两部
分数位相同，若a
2
b
+
正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，
例如：357满足37
5
2
+
=,233241满足
2341
32
2
+
=
(1)写出一个三也平衡数和一个六位平衡数，并证明任意一个六位平衡数一定能被3整除；
(2)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为3的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数。
8、2017届八中学九下周考三
24．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x y
≤），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy。例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为152433
⨯<⨯<⨯，所以3+3是6的最佳分解，所以F(6)=3×3=9．
(1)求证：对任意一个正整数m，总有F(2m)=m2。
(2)设两位正整数t=lOa+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t'十位上的数等于数t十位上的数与t 个位上的数之和，数t'个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t'-t=9，且F(t)能被2整除，求两位正整数t．
