2017年陕西省汉中市南郑中学高二上学期数学期中试卷和解析

陕西省汉中市南郑中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题第Ⅰ部分一、选择题：每小题只有1个正确答案，请把正确答案涂在答题卷（卡）相应位置。

60125=⨯ 1.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．62.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．21B ．23C.1D.3 3.古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之。

上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给。

问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金多少斤？ （ ） A ．2637 B ．2449 C ．2 D ． 2683 4.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>5.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 6.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是（ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解7.对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题为 （ ） A. 若a b >，0c ≠，则ac bc >； B.若a b >，则22ac bc >； C. 若22ac bc >，则a b >；D. 若a b >，则11a b< 8.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-49.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值 时,n 等于 （ ） A .6 B. 7 C. 8 D. 510.下列说法错误的是 （ ） A ．如果命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0” C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0－3<0，则⌝p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件。

陕西省汉中市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知条件p:x<1，条件，则p是q成立的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2016高二上·临川期中) 对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A . 如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB . 如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C . 如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD . 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3. （2分）设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A . 9，12B . 8，11C . 8，12D . 10，124. （2分）(2016·柳州模拟) 在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）A .C .D .5. （2分）如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子（假设它落在正方形区域内任何位置的机会均等），它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）A .B .C .D . 无法计算6. （2分）已知有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程为 = + x，方程中的回归系数（）A . 可以小于0B . 只能大于0C . 可以为0D . 只能小于07. （2分）同时掷两颗骰子，向上点数之和小于5的概率是（）A .B .D .8. （2分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，当△D1PC的面积为定值b（b＞0）时，点P在底面ABCD上的运动轨迹为（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆9. （2分） (2017高二下·福州期中) 已知曲线y= ﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为（）A . 3B . 2C . 1D .10. （2分） (2018高一下·定远期末) 扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C ， D ， E将弧AB等分成四份．连接OC ， OD ， OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是（）A .B .C .11. （2分）(2018高二上·黑龙江期中) 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，且两点为在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·綦江期末) 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足. 当点在圆上运动时，满足的动点的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共18分)13. （1分） (2016高一下·珠海期末) 从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本．若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．14. （15分） (2019高二下·临川月考) 已知曲线是中心在原点，焦点在轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是，线段是过曲线右焦点的一条弦，是弦的中点。

2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求）1．函数y=x2cos x在x=1处的导数是（）A．0 B．2cos1﹣sin 1 C．cos1﹣sin 1 D．12．设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．曲线y=2x﹣x3在x=﹣1处的切线方程为（）A．x+y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x﹣y﹣2=04．曲线y=ax2﹣ax+1（a≠0）在点（0，1）处的切线与直线2x+y+1=0垂直，则a=（）A．B．﹣ C．D．﹣5．我国古代数学有非常高的成就，在很多方面都领先于欧洲数学．下面数学名词中蕴含微积分中“极限思想”的是（）A．天元术B．少广术C．衰分术D．割圆术6．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）7．定积分的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．π8．若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．49．若S1=x2dx，S2=，S3=，则S1，S2，S3的大小关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S110．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．911．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f （x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①m•n=n•m类比得到a•b=b•a；②（m+n）•t=m•t+n•t类比得到（a+b）•c=a•c+b•c；③（m•n）t=m（n•t）类比得到（a•b）c=a（b•c）；④t≠0，m•t=r•t⇒m=r类比得到p≠0，a•p=b•p⇒a=b；⑤|m•n|=|m|•|n|类比得到|a•b|=|a|•|b|；⑥=类比得到=．以上式子中，类比得到的结论正确的序号是．14．i是虚数单位，若，则乘积ab的值是．15．已知函数f（x）=x3﹣3x，若对于区间[﹣3，2]上任意的x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是．16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足a1=1，S n=2n﹣a n（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．18．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．19．已知函数f（x）=+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（I）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．20．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx（1）若曲线h（x）=f（x）+ax2﹣ex（a∈R）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴，求函数h（x）的单调区间；（2）若函数在区间（0，2）上无极值，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求）1．函数y=x2cos x在x=1处的导数是（）A．0 B．2cos1﹣sin 1 C．cos1﹣sin 1 D．1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵y′=（x2cos x）′=（x2）′cos x+x2（cos x）′=2xcos x﹣x2sin x，∴y′|x=1=2cos 1﹣sin 1．故选B2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】把复数z代入表达式化简整理即可．【解答】解：对于，故选D．3．曲线y=2x﹣x3在x=﹣1处的切线方程为（）A．x+y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x﹣y﹣2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据自变量的值，做出函数值，写出切点的坐标，对函数求导，写出导函数在x=﹣1时的值，即得到这一点的切线的斜率，根据点斜式写出直线的方程．【解答】解：∵y=2x﹣x3当x=﹣1时，y=﹣1，∴切点是（﹣1，﹣1）y′=﹣3x2+2，函数在x=﹣1的斜率是﹣1，∴切线的方程是x+y+2=0，故选A．4．曲线y=ax2﹣ax+1（a≠0）在点（0，1）处的切线与直线2x+y+1=0垂直，则a=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出已知函数y在点（0，1）处的斜率；再利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y'=2ax﹣a∵x=0，∴y′=﹣a即切线斜率为﹣a∵切线与直线2x+y+10=0垂直∴k=﹣2∴﹣a×（﹣2）=﹣1即a=﹣故选：B．5．我国古代数学有非常高的成就，在很多方面都领先于欧洲数学．下面数学名词中蕴含微积分中“极限思想”的是（）A．天元术B．少广术C．衰分术D．割圆术【考点】V3：中国古代数学瑰宝．【分析】分别对数学名词进行理解，即可得出结论．【解答】解：天元术：一种用数学文字符号列方程的方法．少广术：已知面积、体积，反求其一边长和径长等，也就是开平方、开立方的方法．衰分术：比例分配问题，《九章算术》第三章衰分章提出比例分配法则，称为衰分术．所谓“割圆术“，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．故选：D．6．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．【解答】解：由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故选A．7．定积分的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．π【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算可．【解答】解：=（﹣cosx﹣sinx）|=﹣[（cosπ+sinπ）﹣（cos0+sin0）]=2，故选：C8．若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】63：导数的运算．【分析】先求导，然后表示出f′（1）与f′（﹣1），易得f′（﹣1）=﹣f′（1），结合已知，即可求解．【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c，∴f′（x）=4ax3+2bx，∴f′（1）=4a+2b=2，∴f′（﹣1）=﹣4a﹣2b=﹣（4a+2b）=﹣2，故选：B．9．若S1=x2dx，S2=，S3=，则S1，S2，S3的大小关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1【考点】67：定积分；71：不等关系与不等式．【分析】根据积分公式分别计算S1，S2，S3的值，即可比较大小．【解答】解：S1=x2dx=x3|=∈（2，3），=lnx|=ln2﹣ln1=ln2＜1，=＞3，则S2＜S1＜S3．故选：B．10．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；7F：基本不等式．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．11．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；3O：函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f （x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①m•n=n•m类比得到a•b=b•a；②（m+n）•t=m•t+n•t类比得到（a+b）•c=a•c+b•c；③（m•n）t=m（n•t）类比得到（a•b）c=a（b•c）；④t≠0，m•t=r•t⇒m=r类比得到p≠0，a•p=b•p⇒a=b；⑤|m•n|=|m|•|n|类比得到|a•b|=|a|•|b|；⑥=类比得到=．以上式子中，类比得到的结论正确的序号是①②．【考点】F3：类比推理．【分析】利用向量的数量积满足交换律和分配律，但是不满足消去律和结合律，即可得到结论．【解答】解：∵向量的数量积满足交换律，∴①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴②正确；∵向量的数量积不满足结合律，∴③不正确；∵向量的数量积不满足消去律，∴④不正确；由向量的数量积公式，可知⑤不正确；∵向量的数量积不满足消去律，∴⑥不正确综上知，正确的个数为2个故答案为：①②．14．i是虚数单位，若，则乘积ab的值是﹣3．【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a，b的值，求出结果．【解答】解：∵=．∵，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣3，故答案为：﹣315．已知函数f（x）=x3﹣3x，若对于区间[﹣3，2]上任意的x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是20．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数和极值，以及区间端点处的函数值，比较可得最值，即可得到|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，进而得到t的范围，可得所求最小值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，解得x=±1，所以1，﹣1为函数f（x）的极值点．因为f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，所以在区间[﹣3，2]上，f（x）max=2，f（x）min=﹣18，所以对于区间[﹣3，2]上任意的x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20．故答案为：20．16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为﹣2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；8E：数列的求和．【分析】由曲线y=x n+1（n∈N*），知y′=（n+1）x n，故f′（1）=n+1，所以曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn﹣lg（n+1），由此能求出a1+a2+…+a99．【解答】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn﹣lg（n+1），∴a1+a2+…+a99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足a1=1，S n=2n﹣a n（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）根据S n=2n﹣a n，利用递推公式，求出a2，a3，a4．（2）总结出规律求出a n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=1．当n=2时，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2=．当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3=．当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4﹣a4，∴a4=，由此猜想a n=（n∈N*）．（2）证明：①当n=1时，a1=S1=1，结论成立．②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即a k=那么n=k+1（k≥1且k∈N*）时，a k+1=S k+1﹣S k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1．∴2a k+1=2+a k=2+=．∴a k+1=，由①②可知，对n∈N*，a n=都成立18．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．19．已知函数f（x）=+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（I）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】（I）由a=1得f（x）的解析式，求导，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分别得出x的取值范围，即f（x）的单调区间；（II）由函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，得f′（x）≥0或f′（x）≤0，分离出a，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，得关于a的不等式，求解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，定义域为（0，+∞）=（x＞0）令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调增区间为（0，1），函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）.，若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，即在[1，2]或恒成立．或即或在[1，2]恒成立．即或令，因函数h（x）在[1，2]上单调递增．所以或或，解得a＜0或或a≥120．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元即200•πrh+160πr2=12000π∴h=∴V（r）=πr2h=πr2•=又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5故函数V（r）的定义域为（0，5）（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=，（0＜r＜5）可得V′（r）=，（0＜r＜5）∵令V′（r）==0，则r=5∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大21．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx（1）若曲线h（x）=f（x）+ax2﹣ex（a∈R）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴，求函数h（x）的单调区间；（2）若函数在区间（0，2）上无极值，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把f （x ）代入曲线h （x ），求h （x ）的导函数，让导函数在x=1时的函数值为0，求解a 的值，把a 值代回原函数，由h ′（x ）大于0和小于0分别求函数的单调区间；（2）函数在区间（0，2）上无极值，说明函数在区间（0，2）上是单调函数，把函数F （x ）求导后根据a 的符号不同对a 进行分类讨论，以保证导函数在区间（0，2）上大于0或小于0恒成立，从而求出a 的具体范围．【解答】解：（1）∵h （x ）=f （x ）+ax 2﹣ex=e x +ax 2﹣ex∴h ′（x ）=e x +2ax ﹣e ，又∵曲线h （x ）在点（1，h （1））处的切线垂直于y 轴∴k=h ′（1）=2a ，由k=2a=0得a=0，∴h （x ）=e x ﹣ex ∴h ′（x ）=e x ﹣e ，令h ′（x ）=e x ﹣e ＞0得x ＞1，令h ′（x ）=e x ﹣e ＜0得x ＜1，∴故h （x ）的增区间为（1，+∞），减区间为（﹣∞，1）．（2）∵∴ ①当a ≤0时，在区间（0，2）上恒成立，即函数F （x ）在区间（0，2）上单调递减，故函数F （x ）在区间（0，2）上无极值；②当a ＞0时，令得：x=a ，当x 变化时，F ′（x ）和F （x ）的变化情况如下表∴函数F（x）在x=a处有极大值，∴要使函数F（x）在区间（0，2）上无极值，只需a≥2，综上①②所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．22．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．2017年5月26日。

陕西省汉中市南郑中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假2．（5分）抛物线x2=﹣8y的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（0，4）D．（0，﹣4）3．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．75．（5分）z=x﹣y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为（）A．（0，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，0）D．（，）6．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．7．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，则f′（x0）表示（）A．自变量x=x0时对应的函数值B．函数值y在x=x0时的瞬时变化率C．函数值y在x=x0时的平均变化率D．无意义8．（5分）曲线在x=1处切线的倾斜角为（）A．1 B．C．D．9．（5分）若a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）A．B．1 C．4 D．810．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．12．（5分）命题：任意x∈R，使x2+x+7＞0的否定为．13．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=．14．（5分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．15．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+5在上的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，求双曲线的方程．17．（12分）在抛物线y2=2x上求一点P，使其到直线l：x+y+4=0的距离最小，并求最小距离．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11．（1）写出函数的单调递减区间；（2）求函数的极值．19．（12分）已知直角三角形的周长为定值L，求它的面积的最大值．由此你能得到什么结论？20．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a∈R，b∈R）．若a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值为1，求f（x）的解析式．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0）且点P（0，1）在C1上．（1）球椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．陕西省汉中市南郑中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数，由此得出命题p是真命题而命题q是假命题．再结合复合命题判断真假的法则，可得出正确答案．解答：解：根据奇数和偶数的定义，得命题p是真命题，命题q是假命题．∵命题q是假命题∴命题“p且q”为假命题，故B错误命题“非q”为真命题，故D错误又∵命题p是真命题∴命题“p或q”是真命题，故A正确命题“非p”为假命题，故C错误故选A点评：本题考查了命题真假的判断，着重考查了复合命题的概念与判断真假的方法，属于基础题．2．（5分）抛物线x2=﹣8y的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（0，4）D．（0，﹣4）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由x2=﹣2py（p＞0）的焦点为（0，﹣），则抛物线x2=﹣8y的焦点坐标即可得到．解答：解：由x2=﹣2py（p＞0）的焦点为（0，﹣），则抛物线x2=﹣8y的焦点坐标是（0，﹣2）．故选B．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，属于基础题．3．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．分析：可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．解答：解：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A点评：本题考查不等式的性质及其应用，解分式不等式的问题，不等式的等价变形！本题需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错，比如本题中若原不等式两边同乘以a，等到a＞1就是对不等式两边同乘以一个正数还是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错误．4．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．解答：解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．点评：本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．5．（5分）z=x﹣y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为（）A．（0，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，0）D．（，）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可求出最优解．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，由解得，即A（1，0），∴最优解为（1，0），故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义和最优解的定义，通过数形结合是解决本题的关键．6．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．故选B．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，则f′（x0）表示（）A．自变量x=x0时对应的函数值B．函数值y在x=x0时的瞬时变化率C．函数值y在x=x0时的平均变化率D．无意义考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的定义即可得到结论．解答：解：由导数的定义可知，f′（x0）表示函数值y在x=x0时的瞬时变化率，故选：B点评：本题主要考查导数定义的理解，比较基础．8．（5分）曲线在x=1处切线的倾斜角为（）A．1 B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：欲求在x=1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．解答：解：∵，∴y′=x2，设曲线在x=1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k=y′|x=1=12=1=tanα，∴α=，即倾斜角为．故选C．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．9．（5分）若a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）A．B．1 C．4 D．8考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，可求得a+b=1，利用基本不等式即可求得答案．解答：解：∵a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，∴a+b=1，∴+=（a+b）（+）=1+1++≥4（当且仅当a=b=时取“=”）．∴则的最小值是4．故选C．点评：本题考查基本不等式，求得a+b=1是关键，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：本题先对已知函数f（x）进行求导，再将代入导函数解之即可．解答：解：，∴，故答案为：．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，属于基础题．12．（5分）命题：任意x∈R，使x2+x+7＞0的否定为存在x0∈R，x02+x0+7≤0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题任意x∈R，使x2+x+7＞0的否定是：存在x0∈R，x02+x0+7≤0．故答案为：存在x0∈R，x02+x0+7≤0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．13．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．解答：解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|==又求得p=2故答案为2点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．14．（5分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．解答：解：y′=3x2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0．故答案为：2x﹣y+1=0．点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．15．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+5在上的最大值为10．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求导f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）；由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值．解答：解：∵f（x）=x3﹣3x2﹣9x+5，∴f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）；故当x∈时，f′（x）＞0；当x∈（﹣1，3）时，f′（x）＜0；故f（x）=x3﹣3x2﹣9x+5在∈上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数，而f（﹣1）=﹣1﹣3+9+5=10，f（4）=64﹣48﹣36+5=﹣15；故函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+5在上的最大值为10；故答案为：10．点评：本题考查了函数的最值的求法及导数的综合应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，求双曲线的方程．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=4，由渐近线方程和c2=a2+b2，解得a，b，即可得到双曲线的方程．解答：解：抛物线y2=16x的焦点为（4，0），即双曲线的c=4，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，即有=，又c2=16=a2+b2，解得a=2，b=2，则双曲线的方程为﹣=1．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，运用双曲线的渐近线方程和c2=a2+b2是解题的关键．17．（12分）在抛物线y2=2x上求一点P，使其到直线l：x+y+4=0的距离最小，并求最小距离．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y）为该抛物线上任一点，利用点到直线间的距离公式可求得点P到直线x+y+4=0的距离d的关系式，并求得d min．解答：解：设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y2=2x，则点P到直线的距离d===≥=，当且仅当y=﹣1时，取“=”．此时点P（，﹣1）．即抛物线上的点P的坐标为P（，﹣1）时，点P到直线x+y+4=0的距离最短，最小值为．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11．（1）写出函数的单调递减区间；（2）求函数的极值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，知f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）＜0，能求出函数f（x）的递减区间．（2）由f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，知f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）=0，得x1=﹣1，x2=3．列表讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值．解答：解：（1）∵f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，∴f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）＜0，得﹣1＜x＜3．∴函数f（x）的递减区间是（﹣1，3）．（2）∵f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，∴f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）=0，得x1=﹣1，x2=3．列表讨论：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）递增极大值递减极小值递增∴当x=﹣1时，函数取得极大值f（﹣1）=﹣1﹣3+9+11=16；当x=3时，函数取得极小值f（3）=27﹣27﹣27+11=﹣16．点评：本题考查函数的单调递减区间的求法，考查函数的极值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．19．（12分）已知直角三角形的周长为定值L，求它的面积的最大值．由此你能得到什么结论？考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，可得a+b+=L．利用三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．解答：解设直角三角形的两条直角边分别为a、b，则斜边为，由题意得a+b+=L．∵a、b均为正数，∴a+b≥2，≥（当且仅当a=b时等号成立）．∴L=a+b+≥2+．即≤，故ab≤．又S△ABC=ab，∴ab≤=L2．∴当a=b时，S△ABC取得最大值S max=L2．结论：直角三角形周长一定时等腰直角三角形面积最大．点评：本题考查了三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、勾股定理，属于基础题．20．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a∈R，b∈R）．若a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值为1，求f（x）的解析式．考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；导数的运算．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求导数，利用导数和极值之间的关系建立方程组，求f（x）的解析式．解答：解：f（x）=x3+ax2+b的导数f′（x）=3x2+2ax，由f′（x）=3x2+2ax=0，解得x=0或x=﹣a，因为 a＞0，所以x=﹣a＜0，当f′（x）＞0时，解得x＜﹣a或x＞0，此时函数单调递增．当f′（x）＜0时，解得﹣a＜x＜0，此时函数单调递减．所以当x=﹣a时，函数取得极大值，当x=0时，函数取得极小值．即f（﹣a）=（﹣a）3+a（﹣a）2+b=5，f（0）=b=1，解得a=3，b=1．则有求的函数解析式是f（x）=x3+3x2+1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查求极值的方法，考查运算能力，属于基础题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0）且点P（0，1）在C1上．（1）球椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆+=1，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，由此能求出直线l的方程．解答：解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆+=1，得=1，即b=1，所以a2=b2+c2=2，所以椭圆C1的方程为+y2=1；（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0，整理得km=1②综合①②，解得或，所以直线l的方程为y=x+或y=﹣x﹣．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。

陕西省南郑县高二上学期期终考试数学试卷考试时间：120分钟 总分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 命题p ：3是奇数，q ：5是偶数，则下列说法中正确的是( ）.A ．p 或q 为真B ．p 且q 为真C ．非p 为真D ． 非q 为假2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(0,4)D ．(0，－4) 3．设a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5 D.75．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ． (12 ，12)6．双曲线x 2－y 2＝1的焦点到其渐近线的距离等于( )A.12B.22 C ．1 D. 2 7．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则f ′(x 0)表示( ) A ．自变量x ＝x 0时对应的函数值B ．函数值y 在x ＝x 0时的瞬时变化率C ．函数值y 在x ＝x 0时的平均变化率D ．无意义 8．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ． 1B ． －π4C . π4 D. 5π49． 若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A . 14 B ． 1 C ． 4 D ． 810．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( ）.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上)11. 已知x x x f cos ln )(+=，则=)2(/πf .12．命题：任意x ∈R ，使x 2＋x ＋7>0的否定为________．13．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝______.14．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．15．函数32395y x x x =--+在区间[44]-，上的最大值为 . 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16. (12分) 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，求双曲线的方程 。

2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）9月月考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目人要求的）1．设a,b，c∈R,且a＞b，则(）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b32．已知数列{a n｝的通项公式为a n=n2﹣14n+65,则下列叙述正确的是()A．20不是这个数列中的项B．只有第5项是20C．只有第9项是20D．这个数列第5项、第9项都是203．若f（x）=3x2﹣x+1，g（x)=2x2+x﹣1，则f（x)与g（x）的大小关系是（）A．f(x）＞g（x) B．f(x）=g（x）C．f（x）＜g(x) D．随x的值的变化而变化4．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n,且a4﹣a2=4，S3=9，则数列｛a n}的通项公式为（）A．a n=n B．a n=n+2 C．a n=2n﹣1 D．a n=2n+15．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．设a＞0，b＞0，若1是2a与2b的等差中项，则+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．=a n+2（n∈N＊），则点A1（1，a1)，A2（2，a2），…，A n(n，a n）分布7．数列｛a n}中，a n+1在（)A．直线上，且直线的斜率为﹣2B．抛物线上，且抛物线的开口向下C．直线上，且直线的斜率为2D．抛物线上，且抛物线的开口向上8．不等式＞0的解集为（)A．{x｜x＜﹣2，或x＞3}B．｛x｜x＜﹣2,或1＜x＜3}C．｛x|﹣2＜x＜1，或x＞3｝D．｛x｜﹣2＜x＜1,或1＜x＜3｝9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜210．已知函数f（x）=2x，等差数列｛a n}的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2［f （a1）•f（a2)•f（a3）•…•f（a10）]=(）A．8 B．4 C．﹣6 D．11．已知函数f(x）=ax2+bx+c,不等式f（x）＜0的解集为｛x|x＜﹣3或x＞1}，则函数y=f （﹣x)的图象可以为(）A．B．C．D．12．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（）A．［，］B．［﹣,﹣]C．［，3］D．[﹣3，﹣］二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知｛a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=1，S2=a3，则S n=．14．如果a＞b,那么下列不等式：①a3＞b3；②＜；③3a＞3b;④lga＞lgb．其中恒成立的是．15．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点,点A的坐标为，则的最大值为．16．若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式a＜1的解集为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解关于x的不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8．18．已知数列｛a n}的通项公式为a n=n2﹣5n+4（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．19．已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．20．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a3=7，S4=24．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设p、q是正整数,且p≠q,证明:．21．已知函数f(x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围;（2)若对于x∈[1，3]，f(x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．22．设的大小，并证明你的结论．2016—2017学年陕西省汉中市南郑中学高二(上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的)1．设a，b,c∈R,且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】不等关系与不等式．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解:A、3＞2，但是3×(﹣1)＜2×（﹣1）,故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2,故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3,成立，故D正确．故选：D．2．已知数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣14n+65，则下列叙述正确的是（）A．20不是这个数列中的项B．只有第5项是20C．只有第9项是20D．这个数列第5项、第9项都是20【考点】数列的函数特性．【分析】由a n=n2﹣14n+65=20,即n2﹣14n+45=0，解出即可得出．【解答】解：由a n=n2﹣14n+65=20，即n2﹣14n+45=0,因式分解为（n﹣5）（n﹣9)=0，解得n=5，9．∴这个数列第5项、第9项都是20．故选：D．3．若f（x）=3x2﹣x+1,g(x)=2x2+x﹣1,则f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）=g（x)C．f（x）＜g（x) D．随x的值的变化而变化【考点】二次函数的性质．【分析】比较大小一般利用作差的方法，进而得到f(x）﹣g(x）=x2﹣2x+2，然后再利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：由题意可得：f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1所以f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1,所以f(x）＞g（x）．故选A．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a4﹣a2=4，S3=9，则数列｛a n｝的通项公式为（）A．a n=n B．a n=n+2 C．a n=2n﹣1 D．a n=2n+1【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和．【分析】先根据a4﹣a2=4求得公差d，进而根据等差数列的求和公式和S3=9求得a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．【解答】解:设数列的公差为d，依题意可得解得d=2，a1=1∴a n=1+（n﹣1)×2=2n﹣1故选C5．已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解:由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大,由得到A（1，1),所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1;故选：A．6．设a＞0，b＞0，若1是2a与2b的等差中项,则+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】基本不等式．【分析】根据1是2a与2b的等差中项建立关系，2a+2b=2,即a+b=1，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意：1是2a与2b的等差中项,则2a+2b=2,即a+b=1．那么(+）×1=（+)（a+b）=2+．∵a＞0,b＞0，∴≥2=2,（当且仅当a=b=时取等号）故得+的最小值为4．故选B．=a n+2（n∈N＊）,则点A1（1，a1），A2(2，a2）,…，A n（n，a n）分布在7．数列｛a n}中,a n+1（）A．直线上,且直线的斜率为﹣2B．抛物线上，且抛物线的开口向下C．直线上，且直线的斜率为2D．抛物线上，且抛物线的开口向上【考点】数列递推式．【分析】由题意要求过点A1（1,a1），A2（2，a2）,…,A n(n,a n）的轨迹，由于这些点的横坐=a n+2可以知道数列为等差数列,且公差为标为自然数，而纵坐标为数列｛a n｝中的项,有a n+12，由此可以求解．=2（n≥2），【解答】解：∵=a n﹣a n﹣1∴A1，A2，A3，,A n在斜率为2的直线上．故选C8．不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x｜x＜﹣2，或1＜x＜3｝C．｛x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．｛x｜﹣2＜x＜1，或1＜x＜3｝【考点】一元二次不等式的解法．【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．【解答】解:⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1)＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选:C．9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【考点】基本不等式．【分析】先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立,∴m2+2m＜8,求得﹣4＜m＜2故选D10．已知函数f(x）=2x,等差数列｛a n｝的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4,则log2[f(a1）•f(a2)•f（a3）•…•f(a10）］=（）A．8 B．4 C．﹣6 D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知函数解析式结合f（a2+a4+a6+a8+a10）=4求得a6，再求f（a1）•f(a2）•f（a3)•…•f （a10）的值,代入对数式得答案．【解答】解:由f（x）=2x,得，∴5a6=2，，∴f(a1）•f(a2）•f（a3）•…•f（a10）==,∴log2［f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）］=．故选：C．11．已知函数f(x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x｜x＜﹣3或x＞1｝，则函数y=f （﹣x)的图象可以为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】利用二次函数与不等式的解集,判断开口方向，利用对称性推出所求函数的图象即可．【解答】解:函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x｜x＜﹣3或x＞1}，所以a＜0．并且﹣3,1是函数的零点，函数y=f（﹣x)的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（﹣x）的图象是B．故选:B．12．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（）A．[，］B．［﹣，﹣]C．［，3］D．[﹣3，﹣]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D(﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图:当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x,斜率k=,要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C(2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4)，AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤,解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．已知{a n｝为等差数列，S n为其前n项和，若a1=1,S2=a3，则S n=n2+n．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为d，∵a1=1，S2=a3，∴2×1+d=1+2d，解得d=1．则S n=n+=．故答案为：n2+n．14．如果a＞b，那么下列不等式:①a3＞b3;②＜；③3a＞3b;④lga＞lgb．其中恒成立的是①③．【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据指数函数，对数函数的图象和性质，不等式的基本性质,逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解:若a＞b，则：①a3＞b3恒成立；②＜在a,b异号时不成立；③3a＞3b恒成立；④lga＞lgb在a，b存在非正数时不成立，故答案为：①③15．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若M(x，y）为D上的动点,点A的坐标为，则的最大值为4．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】首先画出可行域,z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y 轴上的截距的最大值．【解答】解:由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动,当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2）,故z的最大值为4．故答案为:4．16．若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式a＜1的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】由不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立求得a的取值范围,然后利用指数函数的单调性把不等式a＜1转化为关于t的一元二次不等式求解．【解答】解：∵不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，∴(﹣2a）2﹣4a＜0，解得0＜a＜1．由a＜1，得t2+2t﹣3＞0，即t＜﹣3或t＞1．∴不等式a＜1的解集为:（﹣∞,﹣3)∪（1，+∞）．故答案为：(﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解关于x的不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解:不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8可化为，即；…解得，…，即5≤x≤7或x=﹣2；…所以原不等式的解集为{x｜5≤x≤7或x=﹣2｝．…18．已知数列｛a n｝的通项公式为a n=n2﹣5n+4（1）数列中有多少项是负数?(2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．【考点】数列的函数特性．【分析】（1)令a n=n2﹣5n+4＜0,解出n的范围，由此可得负项的项数；（2）对a n进行配方，利用二次函数的性质即可求得最小值．【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，故数列中有两项为负数;(2)a n=n2﹣5n+4=﹣，因此当n=2或3时，a n有最小值，最小值为﹣2．19．已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值;（2）x+y的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）由题意和基本不等式可得xy=2x+8y≥2,解关于xy的不等式可得；（2）由题意可得x+y=（x+y)•（+）=10++,由基本不等式可得．【解答】解：（1)∵x＞0，y＞0,=1，∴xy=2x+8y≥2即xy≥8，∴≥8，平方可得xy≥64,当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，∴xy的最小值为64；（2）∵x＞0，y＞0，且+=1．∴x+y=（x+y）•（+）=10++≥10+2=18，当且仅当=，即x=2y=12时“="成立．∴x+y的最小值为1820．已知数列｛a n｝是等差数列，其前n项和为S n，a3=7，S4=24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2）设p、q是正整数,且p≠q，证明：．【考点】数列与不等式的综合；基本不等式;等差数列的通项公式．【分析】（1)利用等差数列的通项公式化简a3=7，S4=24，分别得到关于首项和公差的两个方程，联立即可求出首项和公差的值，利用首项和公差写出等差数列的通项公式；和S2p及S2q，然后利用做差法即（2）分别利用求得等差数列的前n项和的公式表示出S p+q可比较出S p和的大小．+q【解答】解：（1）设首项和公差分别为a1，d由得所以，则a n=2n+1；﹣（S2p+S2q）=2（p+q)2+4（p+q)﹣4p2﹣4p﹣4q2﹣4q（2）2S p+q=﹣2（p﹣q）2≤0因为p≠q，所以．21．已知函数f（x)=mx2﹣mx﹣1．（1）若对于x∈R,f（x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2）若对于x∈［1，3］，f(x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．（2）若对于x∈［1,3]，f（x）＜5﹣m恒成立，则m(x﹣）2+m﹣6＜0，x∈［1，3］恒成立,结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）当m=0时,f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0］﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2）要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，即m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈［1,3]恒成立．令g(x)=m（x﹣）2+m﹣6，x∈[1，3]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＞0时,g（x）是增函数，所以g（x)max=g（3）=7m﹣6＜0,解得m＜．所以0＜m＜当m=0时,﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g(x)max=g(1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，m＜﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．设的大小，并证明你的结论．【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较．【分析】先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．【解答】解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴．t≠1时，当0＜a＜1时，y=log a x是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=log a x是单调增函数，∴＞,即＞2017年1月8日。

南郑中学2017-2018学年第一学期期中考试高二数学试题（理）（全卷总分150分，时间120分钟）第I 卷（共80分）一、 选择题(每小题5分，共计60分)1.在等比数列｛ a n ｝中，已知 ，则 （ ）A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－322.在△ABC 中， =7， ，则△ABC 的最小角为（ ）A ．B ．C ．D ．3.不等式x -3 x -4>0的解集为 ( )A ．B ．C ．D ．4. 下列命题中的假命题是 A ．对任意x R ∈,120x -> B. 存在 ,tan 2x =C ．存在,lg 1x < D.对任意*x N ∈,2(1)0x ->5.在 中， ， ， ，则三角形的解的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定6.已知第一象限的点 在直线上，则的最小值为( )A ．B ．C ．D ．7.设等差数列{a n }的前n 项和为 ,若，, 则当取最大值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成 （ ）A．511个B．512个C．1023个D．1024个9.不等式对于恒成立，那么的取值范围是（）A．B．C．D．10.已知集合，，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的D．既不充分也不必要条A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件件11.若数列满足是首项为1，公比为2的等比数列，则等于A．B．C．D．12.设不等式组表示的区域为D，若对数函数的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13.已知：0＜x＜1，则函数y=x（3－2x）的最大值是______14.在中，，，则的外接圆半径为______15.设的最小值是16.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是若则角C为________．第II卷（共70分）三、解答题（第17题10分，其余大题每题12分，共计70分）17. （本小题满分10分）) 已知{}n a是首项为19，公差为-2的等差数列，n S为{}n a的前n 项和.求通项n a 及n S ；18. （本小题满分12分）设锐角三角形 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边长分别为 ，b ,c ,．（1）求 的大小；（2）若 ，，求 b ．19. (12分已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .20. (12分)某人承揽一项业务，需制作文字标牌2个，绘画标牌4个。