D-M-F约束规格下最优值函数的方向导数

α (0; x , y; r (θ ), (1 + θ )d ) = 0 ，
dα dλ
λ =0
=0
H ( X (λ ; x , y; r (θ ),(1 + θ )d , y0 + λ (1 + θ )d )
= H ( x0 , y0 ) + λ {∇ x H ( x0 , y0 )T r (θ ) + (1 + θ )∇ y H ( x0 , y0 )T d } = 0
y→ y
若 s(y)在 y0 处是上半连续和开的，称 s(y)在 y0 处连续。若 s(y)在每一点连续，称 s(y)连 续。
定义 2
若 ∃η > 0 ，当 y − y0 < η 时， cl ( ∪
y − y0 <η
s( y )) 紧致，称 s(y)在 y0 附近一致
紧。
定义 3 设 f : R × R → R 是实值连续函数， r ∈ R , d ∈ R ，称极限
min
{∇ y G ( x0 , y0 )T u + ∇ y H ( x0 , y0 )T v}d
∀ r0 ∈ S * ，令 r (θ ) = r + θ r0 (θ > 0) ，有
T T ⎧ ⎪ − ∇ x gi r (θ ) < (1 + θ )∇ y gi d i ∈ I ( x0 ) ⎨ T T ⎪ ⎩ − ∇ x h j r (θ ) = (1 + θ )∇ y h j d j ∈ E
2 基本概念及记号
定义 1Biblioteka 若 ∀ε > 0, ∃η > 0,当 y − y0 < η 时，都有 s ( y ) ⊂ s ( y0 ) + ε B （ B 为单位闭
球） 。称 s(y)在 y0 处上半连续。
0 若 ∀x0 ∈ s ( y0 ), ∃x( y ) ∈ s ( y ) ，使得 x ( y ) ⎯⎯⎯ → x0 ，称 s(y)在 y0 处是开的。
*
男 33 岁 讲师 在职博士 主要从事最优化方面的研究
1

Clarke 广义梯度概念给出了一个很一般的界，而后[6]对目标函数为二次连续可微的参数规 划问题，给出了最优值函数的方向导数的一些结果；Demyanor V F 和 Vasiliew L V[7]对
f(x,y)为特殊函数时，给出了一些结果；shaprio[8]~[10]讨论了函数 f(x,y)为某些距离函数时 最优值函数 F(y)的方向可微性。如今最优值函数有了新的研究方向，如拟可微、广义二 阶导数等 [11]~[14] ； 王长钰和赵福安 （ 1993 ）对最优值函数的方向导数给出了综述性结 果。 在考虑最优值函数的上、下 Dini 导数时，通常都是讨论由不等式和等式约束规划问题 （NPP）
with direction. Based on these we discussed the directional derivative problem of optimal value function, and gave its upper bound and the expression. Key words D-M-F regular parameter programming; optimal value function; directional derivative;
F ( y ) = inf
{ f ( x, y) x ∈U , g ( x, y ) ≤ 0}
（其中 U 为凸集， f ( x, y ), g ( x, y ) 为 U 上的凸函数）的方向导数在每一点存在并可导， Rockafellar[4]首先给出了最优值函数的 Dini 方向导数的上、下界，并在[5]利用次微分和
∀r ∈ S * ，必有 ∇ x f ( x0 , y0 )T r ≥ 0 。从而线性方程及不等式组
∇ x gi ( x0 , y0 )T r ≥ 0, i ∈ I ( x0 )
∇ x h j ( x0 , y0 )T r = 0, j ∈ E
(1) (2) (3)
∇ x f ( x0 , y0 )T r < 0

D-M-F 约束规格下最优值函数的方向导数
张晓军*
(电子科技大学应用数学学院 成都 610054)
【摘要】对 M-F 约束规格进行改进，给出了一个带方向的 M-F 约束规格，由此讨论了最优值 函数的方向导数问题，得到了一个最优值函数的方向导数的一个上界，并给出其表达式。 关 键 词 参数规划；最优值函数；方向导数；D-M-F 约束规格 O224 文献标识码 A
∇ x h j ( x0 , y0 ), j ∈ E 线性无关。由隐函数存在定理，得
存在函数
X ( λ ; x , y; r (θ ), (1 + θ )d ) = x0 + α ( λ ; x , y; r (θ ), (1 + θ )d ) + λ r (θ )
其中 α ( λ ; x , y; r (θ ), (1 + θ )d ) 连续，且
T
T
⎛ ∇ x h j ( x0 , y0 ) ⎞ T T ∇h j ( x0 , y0 ) η = ⎜ ⎜∇ h (x , y )⎟ ⎟ ( r, d ) = ∇ x h j ( x0 , y0 ) r + ∇ y h j ( x0 , y0 ) d , j ∈ E ⎝ y j 0 0 ⎠
T
T
引用文献[17]中的定理 1.2.11 可知
中图分类号
Directional Derivative of Optimal Value Function under D-M-F Regular
Zhang xiaojun
(school of Apple. Math, UEST of China Chengdu 610054 )
Abstract
In this paper，we improved the M-F regular, and gave a M-F regular
和其对偶问题
max − ∇ x f T r ⎧ − ∇ xGT r ≤ ∇ y GT d ⎪ T T ⎨ − ∇x H r = ∇ y H d ⎪ r任意 ⎩
有最优解。
4

取 r ，满足 ∇ x f r =
T
( u , v )∈K ( x0 , y0 )
I = {1, 2,
, p} ；
E = {1, 2,
, q} ；
I ( x0 ) = {i gi ( x0 , y0 ) = 0}
s ( y ) = { x G ( x, y ) ≥ 0; H ( x, y ) = 0}
N ( y ) = { x ∈ s( y ) F ( y ) = f ( x , y )} K ( x0 , y0 ) 表示在 x0 ∈ N ( y0 ) 处的 K-T 向量集合。
x0 ∈ N ( y0 ) 处,D-M-F 约束规格成立，则
F+′ ( y0 ; d ) ≤
证明 S 非空，故规划问题
*
( u ,v )∈K ( x0 , y0 )
max
∇ y LT d
min { ∇ y G ( x0 , y0 )T u + ∇ y H ( x0 , y0 )T v}d ⎧ − ∇ x G T u − ∇ x H T v = −∇ x f ⎪ u≥0 ⎨ ⎪ v任意 ⎩
无解。由 Farkas 引理可知，存在 ui ≥ 0 , i ∈ I ( x0 ) 及 v j , j ∈ E ，使得
* *
∇ x f ( x0 , y0 ) =
*
i∈I ( x0 )
∑
ui*∇ x gi ( x0 , y0 ) + ∑ v* j ∇ x hi ( x0 , y0 )
j =1
q
令 ui =0 , i ∈ I − I ( x0 ) ,即得定理之结果。 定理 2 设 s ( y ) 在 y0 处连续，函数 f ( x, y ) ， G ( x, y ) , H ( x, y ) 连续可微，在某一点
n m
n m
2

lim sup
λ ↓0
f ( x0 + λ r , y0 + λ d ) − f ( x0 , y0 )
λ
和
lim inf
λ ↓0
f ( x0 + λ r , y0 + λ d ) − f ( x0 , y0 )
λ
分别为 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 沿方向 [ r , d ] 的上、下 Dini 方向导数，并分别记为
*
2) ∇ x h j ( x0 , y0 ), j ∈ E 线性无关。
定理 1 设 x0 ∈ N ( y0 ) ，若在 x0 点处 D-M-F 约束规格成立，则存在 u ≥ 0 及 v ，
*
*
使得
∇ x f ( x0 , y0 ) = G ( x0 , y0 )T u* + H ( x0 , y0 )T v*
3 基本结果
D-M-F 约束规格：
T T ⎧ ⎪ ∇ x gi ( x0 , y0 ) r + ∇ y gi ( x0 , y0 ) d＞0, i ∈ I ( x0 ) ⎫ ⎪ 1) S = ⎨ r ⎬ 非空 T T ( , ) ( , ) 0, h x y r h x y d j E ∇ + ∇ = ∈ x j y j 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
f+′( x0 , y0 ) 和 f−′( x0 , y0 ) 。
若 f+′( x0 , y0 ) = f−′( x0 , y0 ) ，即极限
lim