专题：逐差法求加速度

匀变速直线运动的位移差公式 逐差法求加速度[学习目标] 1.理解位移差公式并能解决相关问题.2.会用逐差法求加速度．一、位移差公式Δx ＝aT 21．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T 内的位移差是个常量，即Δx ＝aT 2.2.推导：如图1，x 1＝v 0T ＋12aT 2，x 2＝v 0·2T ＋12a (2T )2－(v 0T ＋12aT 2)＝v 0T ＋32aT 2，所以Δx ＝x 2－x 1＝aT 2.图13．应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动． (2)求加速度利用Δx ＝aT 2，可求得a ＝ΔxT2.(2019·长春外国语学校月考)一质点做匀加速直线运动，第3 s 内的位移是2 m ，第4 s内的位移是2.5 m ，求： (1)第2 s 内的位移大小； (2)第3 s 末的速度大小； (3)质点的加速度大小．答案 (1)1.5 m (2)2.25 m/s (3)0.5 m/s 2解析 (1)由x 3－x 2＝x 4－x 3，所以第2 s 内的位移大小x 2＝1.5 m.(2)第3 s 末的瞬时速度等于2～4 s 内的平均速度，所以v 3＝x 3＋x 42T ＝2.25 m/s.(3)由Δx ＝aT 2，得a ＝x 4－x 3T2＝0.5 m/s 2.从斜面上某一位置每隔0.1 s 静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图2所示的照片(照片与实际大小相同)，测得x AB ＝15 cm ，x BC ＝20 cm.求：图2(1)小球的加速度的大小；(2)拍摄时小球在B 点时的速度的大小； (3)拍摄时C 、D 间的距离x CD ； (4)A 点的上方滚动的小球还有几个．答案 (1)5 m/s 2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个 解析 (1)由推论Δx ＝aT 2可知，小球加速度为a ＝Δx T 2＝x BC －x AB T 2＝(20－15)×10－20.12m/s 2＝5 m/s 2.(2)由题意知B 点对应AC 段的中间时刻，所以B 点的速度等于AC 段的平均速度，即v B ＝x AC 2T ＝(20＋15)×10－22×0.1m/s ＝1.75 m/s.(3)由于连续相等时间内位移差恒定， 所以x CD －x BC ＝x BC －x AB ， 得x CD ＝2x BC －x AB＝2×20×10－2 m －15×10－2 m ＝0.25 m. (4)设A 点处小球的速度为v A ， 由于v A ＝v B －aT ＝1.25 m/s ，所以A 点处小球的运动时间为t A ＝v Aa ＝0.25 s ，所以在A 点的上方滚动的小球还有2个． 二、逐差法求加速度1．纸带上提供的数据为偶数段． (1)若已知连续相等时间内的两段位移．由x 2－x 1＝aT 2，得a ＝x 2－x 1T2(2)若已知连续相等时间内的四段位移．可以简化成两大段AC 、CE 研究 x Ⅰ＝x 1＋x 2 x Ⅱ＝x 3＋x 4 t AC ＝t CE ＝2Ta ＝x Ⅱ－x Ⅰ(2T )2＝(x 3＋x 4)－(x 1＋x 2)4T 2(3)若已知连续相等时间内的六段位移可以简化成两大段AD 、DG 研究 x Ⅰ＝x 1＋x 2＋x 3 x Ⅱ＝x 4＋x 5＋x 6a ＝x Ⅱ－x Ⅰ(3T )2＝(x 4＋x 5＋x 6)－(x 1＋x 2＋x 3)9T 2.2．纸带上提供的数据为奇数段可以先舍去一个较小的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图3所示，A 、B 、C 、D 、E 是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s ，各计数点与A 计数点间的距离在图中已标出．则在打B 点时，小车的速度为________ m/s ，并可求得小车的加速度大小为________ m/s 2.图3答案 0.26 0.4解析 由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知v B ＝x AC 2T ＝52.0×10－30.2m/s ＝0.26 m/s ，根据匀变速直线运动的推论Δx ＝aT 2，可知加速度a ＝x CE －x AC 4T 2＝120.0－2×52.04×0.12×10－3 m/s 2＝0.4 m/s 2.研究小车匀变速直线运动的实验装置如图4所示．其中斜面倾角θ可调，打点计时器的工作频率为50 Hz ，纸带上相邻两计数点间的距离如图5所示，其中每两个相邻计数点之间还有四个点未画出．图4图5(1)部分实验步骤如下：A ．测量完毕，关闭电源，取出纸带B ．接通电源，待打点计时器工作稳定后放开小车C ．将小车停靠在打点计时器附近，小车尾部与纸带相连D ．把打点计时器固定在斜面上，让纸带穿过限位孔 上述实验步骤的正确顺序是________．(用步骤前的字母填写) (2)图5中标出的相邻两计数点间的时间间隔T ＝________ s. (3)打计数点5时小车的瞬时速度大小的计算式为v 5＝________.(4)为了充分利用纸带上的测量数据，减小误差，小车加速度大小的计算式应为a ＝________. 答案 (1)DCBA (2)0.1 (3)x 4＋x 52T (4)(x 4＋x 5＋x 6)－(x 1＋x 2＋x 3)9T 2解析 (1)实验步骤：先固定打点计时器，再放置小车，然后接通电源，释放小车，最后关闭电源，取出纸带，所以实验步骤的正确顺序是DCBA.(2)每两个相邻计数点之间还有四个点没有画出，所以相邻两计数点间的时间间隔T ＝ 0.02 s ×5＝0.1 s.(3)根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间的平均速度，有v 5＝x 4＋x 52T. (4)根据逐差法计算加速度，有 a ＝(x 4＋x 5＋x 6)－(x 1＋x 2＋x 3)9T 2.(2020·山东滨州五校高一上期中联考)如图6所示为“测定小车做匀加速直线运动加速度”的实验中得到的一条纸带，舍去开始比较密集的点，按时间顺序标注0、1、2、3、4、5共六个计数点，相邻两计数点间有四个点没有画出，相邻两计数点间的距离已在图中标出．已知交变电源的频率为50 Hz.图6(1)图中纸带________(选填“左”或“右”)端与小车相连； (2)相邻两计数点间的时间间隔为________ s ；(3)由图给数据可以计算出小车运动的加速度a ＝________ m/s 2(保留2位有效数字)； (4)打下计数点2时小车的速度v 2＝________ m/s(保留2位有效数字)； (5)若继续取计数点6、7，则计数点6、7之间的距离应为________ cm. 答案 (1)左 (2)0.1 (3)2.0 (4)0.80 (5)17.00 解析 (1)根据纸带数据可知纸带左端与小车相连． (2)相邻两计数点间的时间间隔T ＝0.02 s ×5＝0.1 s.(3)小车的加速度a ＝x 34－x 013T 2＝11.00－5.003×0.12×10－2 m/s 2＝2.0 m/s 2.(4)根据某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，再结合速度公式v ＝v 0＋at ，可得v 2＝x 01T ＋a ×32T ＝5.000.1×10－2 m/s ＋2.0×32×0.1 m/s ＝0.80 m/s.(5)由题图和逐差法可知x 67－x 34＝x 34－x 01，解得x 67＝2x 34－x 01＝(2×11.00－5.00) cm ＝ 17.00 cm.处理纸带数据的方法处理纸带数据时，通常对位移、速度、加速度逐一处理： (1)可用“位移差”法判断物体的运动情况；(2)可利用匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度求打纸带上某点时物体的瞬时速度；(3)可用逐差法求加速度，以便充分利用测量数据，减小误差．一 位移差公式的应用1.(2021·山西大学附中月考)如图1，一质点从A 点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B 、C 、D 三点．已知AB 段、CD 段距离分别为5 m 、13 m ，质点经过AB 段、BC 段、CD 段时间相等，均为1 s ，则( )图1A ．质点的加速度大小为4 m/s 2B ．质点的加速度大小为2 m/s 2C ．质点在C 点的速度大小为9 m/sD ．质点在B 点的速度大小为6 m/s 答案 A解析 质点经过AB 、BC 、CD 段时间相等，均为T ＝1 s 由x 3－x 1＝2aT 2得a ＝x 3－x 12T 2＝13－52×12 m/s 2＝4 m/s 2由x 2－x 1＝x 3－x 2得BC 段长度x 2＝9 m过B 点时刻对应AC 段的中间时刻，v B ＝v AC ＝x 1＋x 22T＝5＋92×1m/s ＝7 m/s 过C 点时刻对应BD 段的中间时刻，v C ＝v BD ＝x 2＋x 32T＝9＋132×1m/s ＝11 m/s ，故A 正确． 2．一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s 内与第2 s 内的位移之差是6 m ，则可知( )A ．物体运动的加速度大小为3 m/s 2B ．第2 s 末的速度大小为12 m/sC ．第1 s 内的位移大小为1 mD ．物体在前4 s 内的平均速度大小为15 m/s 答案 B解析 根据Δx ＝aT 2可得物体运动的加速度a ＝Δx T 2＝612 m/s 2＝6 m/s 2，A 错误；第2 s 末的速度v 2＝at 2＝6×2 m/s ＝12 m/s ，B 正确； 第1 s 内的位移x 1＝12at 12＝12×6×12 m ＝3 m ，C 错误；物体在前4 s 内的位移x 4＝12at 42＝12×6×42 m ＝48 m ，则物体在前4 s 内的平均速度v ＝x 4t 4＝484m/s ＝12 m/s ，D 错误． 3.如图2所示，一物块从一光滑且足够长的固定斜面顶端O 点无初速度释放后做匀加速直线运动，先后通过P 、Q 、N 三点，已知物块从P 点运动到Q 点与从Q 点运动到N 点所用的时间相等，且PQ 长度为2 m ，QN 长度为4 m ，则由上述数据可以求出OP 的长度为( )图2A.14 m B ．1 m C.94 m D ．1.2 m答案 A解析 设物块从P 点运动到Q 点与从Q 点运动到N 点所用的时间均为t ，加速度均为a ，由Δx ＝at 2得，加速度：a ＝Δx t 2＝4－2t 2＝2t2，Q 点的速度为PN 段的平均速度：v Q ＝v PN ＝4＋22t＝3t ，则OQ 间的长度：x OQ ＝v Q 22a ＝9t 2×t 24＝94 m ，则OP 长度：x OP ＝x OQ －x PQ ＝(94－2) m ＝14 m ，故B 、C 、D 错误，A 正确．4．(2021·镇江市丹徒高中月考)如图3所示，物体从O 点由静止开始做匀加速直线运动，途经A 、B 、C 三点，其中|AB |＝2 m ，|BC |＝3 m ．若物体通过AB 和BC 这两段位移的时间相等，则O 、A 两点之间的距离等于( )图3A.98 m B.89 m C.34m D.43m答案 A二逐差法求加速度5．(1)电火花计时器使用________电源(选填“直流”或“交流”)，工作电压为________ V.(2)在某次用打点计时器(工作频率为50 Hz)测定已知做匀变速直线运动物体的加速度实验中，所获得的纸带如图4所示．选好0点后，每5个间隔点取一个计数点(中间的4个点图中未画出)，依次取得1、2、3、4点，测得的数据如图所示．图4则纸带的加速度大小为________ m/s2，“1”这一点的速度大小为________ m/s.(结果均保留三位有效数字)答案(1)交流220(2)0.8000.461解析(1)电火花计时器使用交流电源，工作电压为220 V；(2)每5个间隔点取一个计数点，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.1 s，由逐差法得：a＝(x4＋x3)－(x2＋x1)4T2＝6.61＋5.80－5.01－4.204×(0.1)2×10－2m/s2＝0.800 m/s2，根据匀变速直线运动时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上1点时的速度大小：v1＝x022T＝(4.20＋5.01)×10－20.2m/s≈0.461 m/s.6．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时，要用到打点计时器，打点计时器是一种计时仪器，其电源频率为50 Hz，打点周期为0.02 s.(1)接通打点计时器电源和让纸带开始运动，这两个操作之间的时间顺序关系是________．A．先接通电源，后让纸带运动B．先让纸带运动，再接通电源C．让纸带运动的同时接通电源D．先让纸带运动或先接通电源都可以(2)某同学在实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定了A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，其相邻点间的距离如图5所示，每两个相邻计数点之间还有四个点未画出，试根据纸带上各个计数点间的距离，(计算结果均保留两位有效数字)图5①计算出打下D 点时小车的瞬时速度为________ m/s. ②计算出小车的加速度为________ m/s 2. 答案 (1)A (2)①0.56 ②0.807．在“研究小车做匀变速直线运动”的实验中，电源频率为50 Hz ，如图6为一次记录小车运动情况的纸带，图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 为相邻的计数点，在相邻计数点之间还有4个点未画出．图6(1)根据纸带可知，相邻计数点之间的时间间隔为______ s ，打C 点时小车的瞬时速度为v C ＝________ m/s ，小车运动的加速度a ＝________ m/s 2.(后两空结果保留两位有效数字) (2)若交流电的频率变为51 Hz 而未被发觉，则测得的小车的速度值与真实值比较将偏________(选填“大”或“小”)．(已知打点周期T 与交流电的频率关系为T ＝1f )答案 (1)0.1 0.20 0.50 (2)小解析 (1)电源频率为50 Hz ，则相邻两个点之间的时间间隔为0.02 s ，由于相邻计数点之间还有4个点未画出，所以相邻计数点之间的时间间隔为T ＝0.1 s ；利用中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度即可求得v C ＝x BD 2T ＝(5.38－1.30)×10－22×0.1 m/s ≈0.20 m/s ；根据Δx ＝aT 2可得加速度为：a ＝(x FG ＋x EF ＋x DE )－(x AB ＋x BC ＋x CD )9T2，代入数据可得：a ＝0.50 m/s 2. (2)当交流电的频率变为51 Hz 时，打点的时间间隔减小，所以相邻计数点之间的时间间隔T 减小，而此时还是以50 Hz 对应的打点周期去计算，根据v ＝xt 可知测得的小车的速度值与真实值比较将偏小．。

高中物理逐差法求加速度逐差法是一种利用物理量之间的相互关系来求解问题的方法。

在高中物理中，逐差法常用来求解运动的相关物理量，例如位移、速度、加速度等。

要求加速度的逐差法，需要满足以下几点：需要知道两个或两个以上时刻的位移和对应的时间。

需要知道两个或两个以上时刻的速度和对应的时间。

逐差法求解加速度需要利用速度公式：v = v0 + at，其中v 是末速度，v0 是初速度，a 是加速度，t 是时间。

通过解方程的方式求解加速度a。

下面是一个示例：假设有一个物体在t1 时刻的位移为x1，t2 时刻的位移为x2，t1 时刻的速度为v1，t2 时刻的速度为v2。

我们希望通过逐差法求出这个物体在t1 到t2 时间内的加速度。

根据速度公式，我们可以得到：v1 = v0 + a × (t2 - t1)v2 = v1 + a × (t2 - t1)将式子组合一下，得到：v2 - v0 = 2 × a × (t2 - t1)同时，位移公式为：x2 - x1 = (v1 + v2) × (t2 - t1) / 2将x1 和x2 代入上式，得到：将x2 - x1 代入上式，得到：v2 - v0 = 2 × a × (t2 - t1) = 2 × [(x2 - x1) / (t2 - t1)] / (t2 - t1) 化简得到：a = (v2 - v0) / (2 × (t2 - t1)) = (x2 - x1) / (t2 - t1)^2这样，我们就可以计算出这个物体在t1 到t2 时间内的加速度了。

逐差法是一种简单实用的方法，在解决运动问题时可以考虑使用。

但是要注意，这种方法的精度受到时间间隔的影响，时间间隔越小，精度越高。

专题：用“逐差法”求物体运动的加速度班级：姓名：
跟踪练习1：一物体以
03/
v m s
=的初速度沿直线做匀变速直线运动，其加速度为2
4/
a m s
=。

巩固练习1：某一物体在连续相等的5s时间内，通过的位移分别是100m和200m，如果物体在该时间段内做匀变速直线运动，试求物体运动的加速度是多少？
思考：如果物体通过的位移分别是200m和100m，那么该物体运动的加速度又是多少呢？
跟踪练习2：课本P39第6题
v= ，下车的加速度a= 。

计算小车通过计数点“2”的瞬时速度
2
跟踪练习3：如图所示，某同学由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带．已知打点计时器使用的交流电频率为50 Hz，相邻两计数点间还有四个打印点未画出．由纸带上的数据可知，打E点时物体的速度v＝________，物体运动的加速度a＝________.(结果保留2位有效数字)
跟踪练习4：某同学用如图所示的装置测定重力加速度：
(1)电火花计时器的工作电压为，频率为．
(2)打出的纸带如图所示，实验时纸带的(填“甲”或“乙”)端应和重物相连接．
(3)实验中在纸带上连续打出点1、2、3、…，如图所示，由纸带所示数据可算出实验时的加速度为_______m/s2.(计算结果保留2位有效数字)
(4)当地的重力加速度数值为9.8 m/s2，请列出测量值与当地重力加速度的值有差异的主
要原因__________________．。

逐差法计算加速度的公式逐差法是高中物理中一个很重要的用于计算加速度的方法。

在探究匀变速直线运动的规律时，逐差法可是大显身手。

咱们先来说说啥是匀变速直线运动。

想象一下，一辆车在路上平稳地加速或者减速行驶，它的速度均匀变化，这就是匀变速直线运动。

逐差法计算加速度的公式是：$a = \frac{(x_{m} - x_{n})}{(m -n)T^2}$ 。

这里的$x_{m}$和$x_{n}$是连续相等时间间隔内的位移，$T$是每个时间间隔的长度。

举个例子哈，比如咱做了一个小车在斜面上运动的实验。

每隔 0.1秒记录一次小车通过的位置，得到了下面这组数据：0.1 米、0.3 米、0.5 米、0.7 米、0.9 米、1.1 米。

那咱就来用逐差法算算加速度。

先选两组数据，比如$x_{3} -x_{1}$和$x_{4} - x_{2}$。

$x_{3} - x_{1} = 0.5 - 0.1 = 0.4$ 米，$x_{4} - x_{2} = 0.7 - 0.3 =0.4$ 米。

因为时间间隔$T = 0.1$秒，所以加速度$a = \frac{(x_{3} - x_{1}) + (x_{4} - x_{2})}{2T^2} = \frac{0.4 + 0.4}{2×0.1^2} = 40$ 米/秒²。

你看，这逐差法用起来是不是还挺简单的？但这里面可有不少讲究。

在实际解题中，有时候同学们容易弄混数据，或者选错时间间隔，导致计算错误。

我就碰到过一个同学，他在计算的时候，把时间间隔弄成了 0.2 秒，结果算出来的加速度那叫一个离谱。

我给他指出来后，他一拍脑袋，恍然大悟，那种又懊恼又有点不好意思的表情，我到现在还记得清清楚楚。

还有啊，用逐差法的时候，数据越多越准确。

但也不能一股脑全用上，得合理选择，不然容易出错。

总之，逐差法计算加速度这个公式，是咱们研究匀变速直线运动的得力助手。

只要咱们认真分析数据，选对方法，就能轻松算出加速度，解开物理世界的一个个小谜团。

一．逐差法求加速度
例1：如下图所示，是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选出的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图上注明了他对各计算点间距离的测量结果。

试验证小车的运动是否是匀变速运动？
解：S2-S1=1.60 S3-S2=1.55 S4-S3=1.62 S5-S4=1.53 S6-S5=1.63 故可以得出结论：小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差，在实验误差允许的范围内相等，小车的运动是匀加速直线运动。

上面的例子只是要求我们判断小车在实验误差内做什么运动。

若进一步要我们求出该小车运动的加速度，应怎样处理呢？此时，应用逐差法处理数据。

由于题中条件是已知S1、S2、S3、S4、S5、S6共六个数据，应分为3组。

即
=
即全部数据都用上，这样相当于把2n个间隔分成n个为第一组，后n个为第二组，这样起到了减小误差的目的。

而如若不用逐差法而是用：
再求加速度有：
相当于只用了S6与S1两个数据，这样起不到用多组数据减小误差的目的。

例2：某同学在研究小车的运动的实验中，获得一条点迹清楚的纸带，已知打点计时器每隔0.02s打一个计时点，该同学选A、B、C、D、E、F六个计数点，对计数点进行测量的结果记录在下图中，单位是cm。

试计算小车的加速度为多大？
二．追击和相遇问题
A物体做速度为1 m/s的匀速直线运动A出发后5 B物体从同一地点由静止出发做匀加速直线运动0.4 m/s2且A、B运动方向相同(1)B出发后几秒钟才能追上A? (2)A、B相遇前?。

匀变速直线运动试验：逐差法求加速度
逐差法示例如下：有一段纸带，我们在纸带上每隔5个点做一个标记，共得到8段线段，分别记为x1x2x3x4x5x6x7x8，我们知道对于匀变速直线运动的物体，有：x8-x7=x7-x6=x6-x5=x5-x4=x4-x3=x3-x2=x2-x1=aT^2(式中的T=0.02s*5=0.1s) 我们可以利用上式中的一个差值来计算出加速度，但是这样显然并没有充分利用纸带上的所有数据，并且误差也较大。

逐差法就是为了充分利用纸带上的数据,减小偶然误差才提出来的一种方法。

由上式可知：x3-x1=(x3-x2)+(x2-x1)=2aT^2 同理：x4-x1=3aT^2,x5-x1=4aT^2 所以我们可以使用下式计算加速度a=
〔(x5-x1)+(x6-x2)+(x7-x3)+(x8-x4)]/4*4T^2 这个式子就是逐差法的计算式。

若题目给出的条件是偶数段
都要分组进行求解，分别对应：
例如[2006年重庆理综 27] [2004年全国 15]就分别使用了上述的方法。

二、若在练习中出现奇数段，如3段、5段、7段等。

这时我们发现不能恰好分成两组。

考虑到实验时中间段的数值较接近真实值，应分别采用下面求法：
三、另外，还有两种特殊情况，说明如下：
①如果题目中数据理想情况，发现S2-S1=S3-S2=S4-S3=……此时不需再用逐差法，直接使用即可求出。

②若题设条件只有像
此时
又如
此时
总之，掌握了以上方法，在利用纸带求加速度应得心应手。

学生不会盲目乱套公式了。