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2第二节典型环节的频率特性(对数坐标图及最小相位系统 )

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自动控制理论—典型环节的频率特性

自动控制理论—典型环节的频率特性

1 2 2 p T
M p A( p ) 1 2 1 2
-2
0.2
Tuesday, April 02, 2019
8
微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) s
G( s) 1 Ts G( s) T 2 s 2 2Ts 1 频率特性分别为： G( j ) j
0
时：A() 0， () 90 P() 0，Q() 0
4
Tuesday, April 02, 2019
惯性环节的奈氏图
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
K P ( ) 1 T 2 2 KT Q ( ) 1 T 2 2
0
极坐标图是一个圆心在原点， 半径为1的圆。
Tuesday, April 02, 2019
13
7、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成， 或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。 [绘制方法]：
j ( ) 将开环系统的频率特性写成P( ) jQ( ) 或 A( )e 的形 式，根据不同的算出 P( ),Q( )或 A( ), ( )可在复平面上得到不 同的点并连之为曲线。（手工画法）。或直接用经验法绘制。
, G(0)
0
Tuesday, April 02, 2019
12
延迟环节的奈氏图
⒍ 延迟环节的频率特性： 传递函数： G(s) es 频率特性： G( j ) e j 幅频特性：A( ) 1 相频特性： ( ) ( rad ) 57.3 (deg)

2第二节典型环节的频率特性(对数坐标图及最小相位系统 )

2第二节典型环节的频率特性(对数坐标图及最小相位系统 )

1
高阶系统极坐标图的绘制
1.用幅频特性和相频特性计算作图
（1）求环节（或系统）的传；递函数 Gs （2）用 j 取代传递函数中的 s ，求出频率特性表达式 G j
（3）将 G j 分成实部P 和虚部 Q ，若遇到G j 的分母
为复数或虚数的情况时，应将其作有理化处理。
（4）由所求得的实频特性 P 和虚频特性 Q 代入式(5-10) 和(5-11)，求出幅频特性 A 和相频特性 的表达式；然
对于0型系统， 0 : A0 K ,0 0;
Im
GH平面
对于I型系统， 1: A0 ,0 ;
对于II型系统， 2 : A0 ,0 22 ; 0
0 Re
对于 型系统， : A0 ,0 2; II型系统
2
所以极坐标图的低频段与系统型号有关。
2021/4/27
I型系统
惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
-10
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
20T 10T 5T
1
1
2
2T
T
T
5
10
20
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
振荡环节
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
13
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T 1,o
1 T
，称为转折频率或交换频率。

典型环节的频率特性

典型环节的频率特性

第5章辅导频率特性的基本概念给系统输入一个正弦信号为x r(t)＝X rm sinωt式中X rm——正弦输入信号的振幅；ω——正弦输入信号的频率。

当系统的运动达到稳态后，比较输出量的稳态分量和输入波形时就可以发现，稳态输出的频率与输入频率相同，但输出量的振幅及相位都与输入量不同。

可以把系统的稳态输出量写成式中的A(ω)和 (ω)分别为复变函数G(jω)的模和幅角。

A(ω)——G(jω)的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅比，叫做幅频特性；φ(ω)——G(jω)的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相位差，叫做相频特性。

例：电路的输出电压和输入电压的复数比为式中图频率特性的求取方法频率特性一般可以通过如下三种方法得到：1.根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数之比即得；2．根据传递函数来求取； 3．通过实验测得。

线性系统，x r (t)、x c (t)分别为系统的输入和输出，G(s)为系统的传递函数。

输入用正弦函数表示x r (t)＝Asin ωt设系统传递函数为（重要结论：对正弦输入而言系统的频率特性可直接由G(j ω)=X c (j ω)/X r (j ω)求得。

只要把线性系统传递函数G(s)中的算子s 换成j ω，就可以得到系统的频率特性G(j ω)。

即ωωj s s G j G ==)()(频率特性的表示方法1. 幅相频率特性设系统（或环节）的传递函数为11011)(a s a s a b s b s b s G n n n n m m m m ++++++=---- 令s=j ω，则其频率特性为)()()()()()()(011011ωωωωωωωjQ P a j a j a b j b j b j G n n n n m m m m +=++++++=---- 其中，P(ω)为G(j ω)的实部，称为实频特性；Q(ω)为G(j ω)的虚部，称为虚频特性。

典型环节频率特性图剖析

典型环节频率特性图剖析
G( j ) 1 j
三 、一阶微分环节
A()
1 2 2
Im

( ) arctg

0
A( )
1 2 2
( )
00
900

0 arctg 1 0 Re


1
G( j 0) 100 G( j) 900
( )

G( j) e
j
0
1000 2000 3000 4000
幅频特性： 相频特性： ( ) A( ) 1
Im
0
Re

( ) 对数幅频特性随着的增长而线性增加， 在线性坐标中，G ( j )应是一条直线，
0，T 1 即：L( ) 40logT，T 1
两渐近线交点： 1 n T
对数幅频特性 1 / T 0 L( ) 40lg T 1 / T 对数相频特性
2T 1 T 2 2
20
0
20
n
100
101
102
惯性环节的Bode图 ——横坐标变换1
1 / T 0 L( ) 20lg T 1 / T
10
L( )
10 20 30 0 .1
T
0
20 dB / dec
1 T
转折频率
10 T
100 T

0
0
( )
450
900
=n
-3 -2 -1
A()
-6
Nyquist Diagram
幅频特性：
A( ) 1 (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2

自动控制原理 开环系统的频率特性—典型环节非最小相

自动控制原理 开环系统的频率特性—典型环节非最小相

频率特性
G
j
1
2 n2
j2
n
幅频特性
A G j
1
2 n2
2
2
n
2
不变！
相频特性
2
G
j
arctan
1
n 2
n2
A
1
2 n2
2
2
n
2
2
arctan
1
n 2
n2
2
arctan
1
n 2
n2
2
180 arctan
n
2 n2
1
0 A 1, 0
1 n
第四象限
不变！
0 ~ 90
Ts 1 频率特性 G j Tj 1
L 20 lg A 20 lg 1 T 22 180 arctanT
不变！
180 ~ 90
上页
L dB
40
20
3dB
0
0.1
12
180
0.5s 1
90 0 90
0.5s 1 0.5s 1
20
10
100
上页
7
11/22/2013
4，振荡环节
Gs
n2 s2 2ns n2
s2
1 n2 2
n s 1
频率特性
G
j
1
2 n2
1 j2
n
幅频特性
A G j
1
1
2 n2
2
2
n
2
不变！
相频特性
2
G
j
arctan
1
n 2Biblioteka n2A 11

典型环节的频率特性

典型环节的频率特性
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ 有关，不同阻尼比的频
率特性曲线如图所示。 振荡环节为相位滞后环节， 最大滞后相角是1800。 当振荡环节传递函数的分子 是常数K时，
0 时， G( j 0) 1 ，
Im
0
r
G
0
1
Re
G( s)
K T 2 s 2 2Ts 1
5-2 典型环节频率特性的绘制
自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分
成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法（极坐标图和
伯德图）。
一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）
以角频率ω 为参变量，根据系统的幅频特性 G( j ) 和相频特性
G( j ) 在复平面 G( j )上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率
18010振荡环节对数相频特性图二阶微分环节的频率特性对数幅频特性20lgdb4020二阶微分环节与振荡节的bode图关于轴对称渐近线的转折频率为渐近特性180相角变化范围是90二阶微分环节的bode图不稳定环节的频率特性是db对数幅频特性和相频特性分别为20lg不稳定惯性环节的bode图对数幅频特性与惯性环节相同
L( ) dB
40 20 0

-20
-40
( )
0.01
0.1
1
10
100
两个图形上下放置（幅
频特性在上，相频特性
在下），且将纵轴对齐， 便于求出同一频率的幅
90o
值和相角的大小，同时
为求取系统相角裕度带

45o
0 -45o -90o 0.01 0.1 1 10 100
来方便。
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）

典型环节与系统频率特性


2．积分环节
<1>
G(s)= s1
A(ω )=ω1
G(ωj
)=
1 jω
φ (ω )=-90o
奈氏图
∞
Im 0
Re
<2> 伯德图 对数幅频特性：
ω=0 L(ω ) dB
20 -20dB/dec
L(ω )=20lgA(ω )=-20lgω
0 0.1 -20
1
10 ω
ω=1 L(ω )=-20lg1=0dB φ (ω )
节串联而成的：
幅频特性:
开积环分G(增环s)益节= sKυΠjΠ=ni=1υ-m1((τTjiss++11))系n时>统间m的常A阶数(ω次)=ωKυΠjΠi1=n=m-υ1
1+(ωτ i )2 1+(ω Tj )2
的个数
相频特性:
φ
(ω )=υ- 90o+
∑m tg-ω1 τ
i =1
i
∑nυ- tg-ω1
Im
1 0
L(ω ) dB
20 0
φ (ω )
0 -100 -200 -300
ω=0 Re
ω ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
8．非最小相位环节
最小相位环节: 开环传递函数中没有s右半平面上
的极点和零点. 非最小相位环节:
开环传递函数中含有s右半平面上 的极点或零点.
最小相位环节对数幅频特性与对数相 频特性之间存在着唯一的对应关系.对非最 小相位环节来说,不存在这种关系.
第五章 频率特性法
第二节 典型环节与系统频率特性
频率特性法是一种图解分析法,它 是通过系统的频率特性来分析系统的性 能,因而可避免繁杂的求解运算.与其他 方法比较,它具有一些明显的优点.

自动控制原理--典型环节的频率特性

j
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1

自动控制原理-第5章2

2
时的情况。 讨论 0 ≤ ζ ≤ 1时的情况。当K=1时，频率特性为： 时 频率特性为：
1 G ( jω ) = (1 − T 2ω 2 ) + j 2ζωT
实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 1 − T 2ω 2 − 2ζωT P(ω ) = , Q (ω ) = 2 2 2 2 2 2 (1 − T ω ) + 4ζ ω T (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2
1
二、幅相曲线（极坐标图、奈奎斯特图） 幅相曲线（极坐标图、奈奎斯特图）
比例环节： ⒈ 比例环节： G ( s ) = K ;
G ( jω ) = K
P Q 虚频特性： 实频特性 ： (ω ) = K ；虚频特性： (ω ) = 0 ；
ϕ 幅频特性： (ω ) = K ；相频特性： (ω ) = 0 A 相频特性： 幅频特性：
ϕ (ω ) = −
− tg −1T1ω − tg −1T2ω
[分析 、当 ω = 0 时， (0) = −k (T1 + T2 ), Q(0) = −∞, ϕ (0) = − π 分析]1、 分析 P 2 G 显然， 显然，当 ω → 0 时， ( jω )的渐近线是一条通过实轴 − k (T1 + T2 ) 点， 且平行于虚轴的直线。 且平行于虚轴的直线。
A(ω ) = P (ω ) 2 + Q(ω ) 2 =
−1
1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2
Q(ω ) −1 2ζωT ϕ (ω ) = tg = −tg P(ω ) 1 − T 2ω 2
6
振荡环节的奈氏图
1 − T 2ω 2 P (ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2 − 2ζω T Q (ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2

二频率特性的对数坐标图


1 (T ) 2
T
L( ) 20 lg 1 (T ) 2
0 0 20 DB / dec
转折频率
1 T L ( )
低频线为0dB线；高 ( ) arctan T 频渐近线为过转折频 率，斜率为-20 dB/dec 1 : 0 的斜线。 T ( ) : 0 45 90 其相频特性有
用Matlab绘制频率特性图⑶
Bode Diagrams
（二）Bode图的绘制
100 50
From: U(1)
直接调用 指令bode（num，den）绘制
G (s) H (s) 2560( s 4) s ( s 2)( s 2 8s 64) 2560s 10240 s 4 10s 3 80 s 2 s
Bode图叠加举例⑴
G (s) 10 10 , G ( j ) s j
比例环节 比例环节 使其他环节 使其他环节 的对数幅频 的对数幅频 特性曲线提 特性曲线提 高或降低 高或降低 20lgK(dB) ， 20lgK(dB) ， 对相频特性 对相频特性 曲线则无 曲线则无 影响。 影响。
-50 -100 To: Y(1) -150
num=[2560 10240]; den=[1 10 80 128 0];
-200 -250 -300 10-1
w=logspace(-1,2,500); bode(num,den,w)
100 101 102
Frequency (rad/sec)
实验测得系统幅频渐近线如下图，求对应的传递函数。
Im aginary A x is
0
-0.5
-1
-1.5 -1
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惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
-10
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
20T 10T 5T
1
1
2
2T
T
T
5
10
20
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
振荡环节
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
13
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lg
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgω 0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
7
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L() 20log A() 表 示。其单位为分贝(dB)。直接将 20log A()值标注在纵坐标上。
0
频率分析法--典型环节的频率特性
0型系统
3
2）极坐标图的高频段
G
j
K
j
m1
j i
1m2
2 k
j
2
2
k k
j
1
•
i1 n1
k 1
j
j
1
n2
2 l
j
2
2
l l
j 1
(5-84)
j 1
l 1
当 时，由于实际的物理系统通常是 n m ，由式（5-84）可知
lim G j 0 ，即极坐标特性曲线的终点都卷进坐标原点。根据相角特性得
似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
9
二、典型环节的波德图（Bode图）
比例环节的bode图
⒈ 比例环节： G(s) K ; G( j) K
幅频特性：A() K；相频特性：() 0
L() / dB
20log K 20log K
20log K
频率特性：
G( j)
K
s j K
K
j
e2
j
A() K
() tg1( K 0)
L() / dB
L(
)
20
2 log
A(
)
20
log
K
40
20log K 20log ,
20
K 10
当K 1时， 1, L() 0;
20 40 ()
90
10 100 1000
K 1
100 1000 10000
对数幅值 0 2 4 6 8 10 15 20 40 60 80
20lgA
幅值A() 1.00 0.79 0.63
0.5 0
0.3 9
0.3 2
0.1 8
0.1 0
0.0 1
0.00 1
0.000 1
对数幅值 20lgA
0
-2 -4 -6 -8 -10 -15 -20 -40 -60 -80
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 log(幅值)
幅值A() 1.00 1.26 1.56
2.0 0
2.5 1
3.1 6
5.6 2
10. 0
两渐进线的交点o
1 T
称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
16
振荡环节的波德图
相频特性：
(
)
tg
1
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
由图可见：
K 10,T 1, 0.3
G(
j )
增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节波
德图
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
15
振荡环节的频率特性
⒋
振荡环节的频率特性：
G(s)
T
2s2
K
2Ts
1
s2
Kn2 2 n s
n2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
G(
j )
1
(1 T 2 2 )
j2 T
G(s) K Ts 1
( ) tg1T
G( j ) K Tj 1
①对数幅频特性：L() 20log A() 20log K 20log 1 T 22 ，为
了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
低频段：当T 1时，L() 20log K，称为低频渐近线。
高频段：当T 1时，L() 20log K 20logT，称为高频渐近线。 这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降 20分贝）。
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T
变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是
根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
log
01
2
1 10 100
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
6
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍频程 一倍频程 一倍频程
一倍频程
30 40 50 60 80 100 一倍频程
p
1 2 2
T
该频率称为谐振峰值频率。可见，当
1 2
0.707
时， p
0
。
当 1 时，无谐振峰值。当 1 时，有谐振峰值。
2
2
M p A( p ) 2
1
1 2
当
0
， A(0 )
1
2
，L(0) 20 lg 2
。
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。
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10 100 1000
当 10时，L() 20 可见斜率为－20/dec
当K 0时， 1, L() 20log K;
当 K时，L() 0 当有两个积分环节时可见斜率为 －40/dec
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频率分析法--典型环节的频率特性
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惯性环节的Bode图
⒊ 惯性环节的频率特性：
A( ) K , 1 T 2 2
频率特性极坐标图的绘制要 点回顾
比例环节的极坐标图
积分环节的极坐标图
惯性环节的极坐标图—极坐标图为圆。
振荡环节的极坐标图
微分环节的极坐标图—有三种形式：纯微分、一阶微分和二 阶微分。
一阶不稳定环节的极坐标图
延迟环节的极坐标图
高阶系统极坐标图的绘制
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频率分析法--典型环节的频率特性
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频率分析法--典型环节的频率特性
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一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）及特点
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。
⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度： 横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 log 进行线 性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非 线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十 倍频程（或十倍频），用dec表示。类似地，频率 的数值变化 一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct 表示。如下图所示：
当 o 时，误差为：1 20log 1T 2 2 当 o 时，误差为：2 20log 1T 22 20logT
T
0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 最大误差发生在
L,dB -0.04 -0.2 渐近线,dB 0 0
-1 0
-3 0
-7 -6
-14.2 -14
-20.04 -20
o
1 T
1
高阶系统极坐标图的绘制
1.用幅频特性和相频特性计算作图
（1）求环节（或系统）的传；递函数 Gs （2）用 j 取代传递函数中的 s ，求出频率特性表达式 G j
（3）将 G j 分成实部P 和虚部 Q ，若遇到G j 的分母
为复数或虚数的情况时，应将其作有理化处理。
（4）由所求得的实频特性 P 和虚频特性 Q 代入式(5-10) 和(5-11)，求出幅频特性 A 和相频特性 的表达式；然
Im
GH平面
nm3
Re
用解析法求取，令幅相特性表达式中虚
部为零，解得 x ，再把它代入 G j 的
实部，即得与实轴的交点坐标。
nm2
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频率分析法--典型环节的频率特性
n m 1
4
第三节 频率特性的对数坐标图
• BODE图及其特点 • 典型环节的BODE图 • 开环系统的BODE图（单独作一节课讲） • 最小相位系统和非最小相位系统