第五届“走进美妙的数学花园”八年级试卷(B卷,含答案)

第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛注意事项：1.考生要按要求在密封线内填好考生的有关信息．2.不允许使用计算器．七年级试卷（A卷）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1.化简：21111b bbb b= ．2.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，∠EFB=62°，则∠AEG的大小为___________°．3.某商品标价2008元，打8折售出后仍盈利200元. 该商品的进价是____________元．4.不等式组2110xx，≤的解集是．5.一只口袋中放着8只红球和16只白球，现从口袋中随机摸一只球，则摸到白球的概率是___________．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6.20082－20072+20062－20052+…+22－12＝．7.A＝20072007…2007（共1000个2007），B＝20082008…2008（共1000个2008），1000A÷B的整数部分为．8.将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上, 共有种不同的排法．（旋转，翻转相同的排法算同一种）总分9.如图，四边形ABCD 为正方形，AB=8，E 为边CD 上一点，4CE=CD , 射线BE 上一点F ，EF =DF ．EFD 的面积为．10.正整数N 是它的数字和的2008倍．N 的最小值是．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11.在1、2、3、…、2008中，取一个6的倍数，再取一个5的倍数，且这两个数的差为4．取法共有种．12.将2008拆成n 个自然数的和，这n 个自然数的个位数字都相同. 如果将这n个数的个位数字都擦掉，剩下的数组成一个公差是6的等差数列．n 最大是．13.梯形的上底a 、下底b 和高h 都是整数．下底比上底长10cm ，h 小于a ．梯形面积是561cm 2．三元整数组(a, b, h)为（写出所有可能）：．14.举出一个直角三角形，边长为整数，周长为平方数，面积是立方数. 直角三角形的三边长可以是．15.在下图5×5的方格中，沿着已有的线画一个简单连续的闭合圈作篱笆，篱笆不能“自身相交”. 小方格中的数表示这小方格上属于篱笆的边数（如），篱笆经过两个黑点，而且对于以“黑点”为中心的长方形，它边上的篱笆也以这个黑点为对称中心．8 F E D CB A第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛注意事项：3.考生要按要求在密封线内填好考生的有关信息．4.不允许使用计算器．八年级试卷（A 卷）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）9.化简：221111a a a a a a = ．10.把一个边长为2cm 的立方体截成八个边长为1cm 的小立方体，至少需截__________次．11.在同一直角坐标系中，如果函数y = kx 与x y 6的图像的一个交点坐标是（2，m ），那么另一个交点坐标是____________．12.三条边长分别为4、6、16的等腰梯形的周长是．13.如图，矩形纸片ABCD 中，8cm AB ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ．若25cm 4AF ，则AD 的长为cm ．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）14.如图，四边形ABCD 为正方形，AB=8，E 为边CD 上一点，4CE=CD , 射线BE 上一点F ，EF =DF ．EFD 的面积为．15.将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上, 共有种不同的排法．（旋转，翻转相同的排法算同一种）16.一个正整数，它的前两位是13，它的最小的三个正约数的和为13．这个数最小是．总分A B CEF D 第5题图8 FEDCB A16.正整数M,N 满足M+N ＝2008，且M 是7的倍数，N 是11的倍数．N 的最小值为．17.两个不大于10的正整数a,b ，（22b a）是一个完全立方数，（33b a ）是一个完全平方数。

八年级初赛B 卷1.从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机选取两点，使这两点之间的距离为2的概率是 . 【答案】25. 【解析】五个点随机选取两点，有10的选法有4种，故所求概率为25.2.已知对任意的正整数n ，()n21+的形式，其中m 是正整数.则当4=n ，对应的=m . 【答案】288.【解析】((421317=+=+=288m =.3.已知方程x 4－2ax 2－x ＋a 2－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是 .【答案】1344a -≤<.【解析】方程左边分解因式，得(x 2＋x ＋1－a )(x 2－x －a )＝0.若x 2＋x ＋1－a ＝0，当a ＜34时，该方程无实根；当34a ≥时，该方程有两个实根.若x 2－x －a ＝0，当a ＜14-时，该方程无实根；当14a ≥-，该方程有两个实根.因此，当1344a -≤<时，原方程恰有两个实根.4.如图，在“飞镖”形ABCD 中，34=AB ，8=BC ，︒=∠=∠=∠30C B A ，则AD = .【答案】2.【解析】延长AD ，交BC 于点E ，作EF AB ⊥，垂足为F .由30A B ∠=∠=︒，知△ABE是等腰三角形，BE AE =，AF BF ==由△BEF 是含30︒角的直角三角形，知2,4EF BE ==，从而4CE =. 由△CDE 中30C ∠=︒，60CED A B ∠=∠+∠=︒， 知△CDE 是含30︒角的直角三角形，122DE CE ==. 从而2AD AE DE BE DE =-=-=.5.已知2,=+>b a b a ，则ba b a -+22的最小值是 .【答案】2.【解析】设1,1a t b t =+=-，其中0t >.则()()()2222221111222t t t a b t a b t t t++--++==≥+≥-. 当且仅当0,1t a b ===时，ba b a -+22的最小值是2.6.已知恒等式22(3)(2)32x x A B Cx x x x x x -+=++-+-+，则ABC = . 【答案】32225-.【解析】去分母，得22(3)(2)(2)(3)x x A x x Bx x Cx x -+=-++++-.当x = 0时，2 = - 6A ，得13A =-；当x = 3时，8 = 15B ，得815B =；当x = -2时，8= 10C ，得45C =．故ABC =32225-.7.如图，四边形ABCD ，四边形BEFG ，四边形PKRF 均是正方形，若正方形BEFG 的边长是2，则△DEK 的面积是 .【答案】4.【解析】如图，由////DB GE FK ，知4DEK DGE EGK BGE EGF BEFG S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+==.8.设,a b 是不全为零的相异实数，已知方程20x ax b ++=的两根恰好为,a b ，则ab = ． 【答案】2-.【解析1】由条件知2220,0,a a b b ab b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩即()22,10.b a b b a ⎧=-⎪⎨++=⎪⎩若0b =，则0a =，与已知条件矛盾.故0b ≠，10b a ++=，这表明方程20x ax b ++=有一根为1，即1a =或1b =.因220b a =-<，故只能是1a =，从而2b =-. 所以ab =2-.【解析2】由条件知2220,0,a a b b ab b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩即()22,10.b a b b a ⎧=-⎪⎨++=⎪⎩若0b =，则0a =，与已知条件矛盾.故0b ≠，10b a ++=，0122=++-a a ，解得1a =或12a =-. 从而1,2a b =⎧⎨=-⎩或1,212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去）.故2,1-==b a ，ab =2-.9.若实数q p n m ,,,满足条件22=+++q p n m ，100==nq mp ，则()()()()m q q p p n n m ++++的值是 . 【答案】220.【解析】由已知条件消去,p q ，得m p 100=，n q 100=，22100100=+++n m n m ，()221001=⎪⎭⎫⎝⎛++mn n m ，n m mn +=+221001， 所以()()()()m n n p p q q m ++++ ()100100100100m n n m m m n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()21110010010011m n n m m n mn mn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2112222100m n mn m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2210022=⨯，故原式=220.【说明】上述解答过程中三处2100应改为100.10.已知正整数,,,x y z s 满足,x y z s xy zs ++==，且存在一个边长为整数的直角三角形，其面积为4xy .试写出一组这样的正整数(),,,x y z s ： .【答案】如()2,3,1,6，全部答案为()2,3,,6n n n n 或()3,2,,6n n n n ，其中n 为任意正整数.【解析】由2xz yz z zs xy ++==，得()20z x y z xy ++-=.因该方程有整数解z ，故()24x y xy ∆=++为完全平方数.记()224x y xy k ++=，其中k 为正整数，且k x y >+.不妨设,x y 互质(否则,假定',',x m x ym y ==其中,','m x y 均为正整数，(),m x y =，则()22''4''m x y x y ⎡⎤∆=++⎣⎦为完全平方数，()2''4''x y x y ++亦是完全平方数，其中','y x 互质),则 ()()4xy k x y k x y =++--，左边为偶数，则右边为偶数，因()k x y ++与()k x y --同奇偶，故()k x y ++与()k x y --同为偶数，则22k x y k x y xy ++--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因,x y 互质，故,122k x y k x yxy ++--==. 从而2k x y =++,12k x yxy x y ++==++,()()112x y --=.于是12,11x y -=-=或11,12x y -=-=，即3,2x y ==或2,3x y ==.从而2560z z +-=，1z =或6z =-(舍去)，6s x y z =++=.于是(),,,x y z s =()2,3,1,6或()3,2,1,6.考虑到,x y 不一定互质，故(),,,x y z s =()2,3,,6n n n n 或()3,2,,6n n n n ，其中n 为任意正整数，对应的直角三角形的三条边长为()6,8,10n n n 或()8,6,10n n n .11.已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则方程[]0342=+-x x 的解为 . 【答案】3,5,1.【解析】因[]2344x x x +=≤，故234x x +≤，2430x x -+≤，()()130x x --≤，13x ≤≤，[]31≤≤x . 当[]1x =，1x =；当[]2x =，x =[]3x =，3x =.12.=的根是 ．【答案】x ＝13．【解析1=．由①+②=，解得x ＝1．【解析2x ＝13．ABCD 内一点,若P A =2，PB =3，PC =4，则矩形ABCD 面积的最大值是 .【解析】考虑一般情形. 如图，设P A =x ，PB =y ，PC =z ，PD =w ，其中,,,0x y z w >且满足222x z y +>. 易知2222PA PC PB PD +=+，从而w =四边形PCQD 中，PA QD PB QC //,//，由广义托勒密定理，得PQ CD xz yw xz ⋅≤+=+. 即矩形ABCD 面积的最大值是xz +14.既不是5的倍数，又不是2的倍数的正整数中，不能写成52ab-(其中,a b 为整数)形式的最小正整数是 . 【答案】13.【解析】12152=-，11352=-，25752=-，24952=-，141152=-，13不能写成52a b-形式，下面说明理由.令()()265226156512cda b a c b d ---=-⨯--⨯，其中2a c -=0或1，60,1,2,3,4,5b d -=. 则()()()265215120mod 13cda b a c b d ---=-⨯--⨯≠.25.有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成它们差的绝对值的运算.启动该计算器，第一次输入两个整数后，显示结果为这两个数差的绝对值，输入第三个整数时，计算前次的结果与第三个整数差的绝对值.现启动该计算器，将1～2013这2013个整数随意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的最后结果记为m ，则m 的最小值与最大值的和为 . 【答案】2014.【解析】设输入的n 个数的顺序为123,,,,n x x x x ，则123n m xx x x =---- 一定不超过123,,,,n x x x x 中的最大数，所以0m n ≤≤.易知m 与123n ++++ 的奇偶性相同.任意四个连续正整数可以通过这种方式得到0：()()()1320a a a a -+-+-+=.(*)当2013n =时，1232013++++ 为奇数，m 为奇数，除1以外，每连续四个正整数按(*)式结合得到0，则m 的最小值为1；从1开始每连续四个正整数结合得到0，仅剩下2013，则m 的最大值为2013. 故m 的最小值与最大值的和为2014.。

第十二届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动趣味数学解题技能展示大赛初赛小学三年级试卷（B 卷）填空题Ⅰ（每题8分，共40分） 1．计算：131549277=⨯_________．2．4个人排成一排，有_________种不同的排法．3．我们知道0,1,2,3,……叫做自然数，只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数或素数，比如2,3,5,7,11 等，按照从小到大的顺序，第10个质数是___________．4．“24点”游戏时很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不含大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（从1 到13，其中A=1，J=11，Q=12，K=13）通过加减乘除四则运算法则运算得出24，最先找到算法的人获胜。

游戏规定4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用一次，比如2，3，4，Q ，则可以由算法2(43)Q ⨯⨯-得到24.如果在一次游戏中恰好抽到了2，5，J ，Q ，则你的算法是：______________________．5．自然数1，2，…，50中，是3的倍数，但不是2的倍数的数有___________个．填空题Ⅱ（每题10分，共50分） 6．下图中有___________个正方形．学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

7．将一根长80厘米的细绳对折两次后，用剪刀在中点处剪开，其中最长的一段绳长是___________厘米．8．将一个面积为36平方厘米的正方形纸片按照下图所示方式折叠两次后对折，沿对折线剪开，得到的长方形纸片中面积最大的为___________平方厘米。

“走进美妙数学花园”决赛六年级试题一、填空题（共12题，第1～4题每题8分）1、计算：314×31.4+628×68.6+68.6×686=（ ）。

2、将一个长28cm,宽18cm 的长方形铁片的四个角各截去一个边长为4cm 的正方形,再将此铁片折成一个无盖的长方形容器。

容器的容积为（ ）立方厘米。

3、一个长方形和一个等腰三角形如图放置，图中六块的面积分别为1，1，1，1，2，3。

大长方形的面积是（ ）。

4、一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为S(n)，为偶数的那些数字的和记为E(n)。

例如S(134)=1+3=4，E(134) =4。

S(1)+ S(2) +……+S(100)= （ ）。

E (1)+E(2) +……+E(100)= （ ）。

5、今有A 、B 两个港口，A 在B 的上游60千米处。

甲、乙两船分别从A 、B 两港同时出必，都向上游航行。

甲船出发时，有一物品掉落水中，浮在水面，随水流漂往下游。

甲船出发航行一段后，调头去追落水的物品。

当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇。

已知甲、乙两船在静水中的航行速度相同，且这个速度为水速的6倍。

当甲船调头时，甲船已航行（ ）千米。

6、一个两位数，数字和是质数。

而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数，满足条件的两位数为（ ）。

7、N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。

N 的最大值是（ ）。

8、4支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每两队都赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。

比赛结束4支队的得分恰好是4个连续自然数。

第四名输给第（ ）名。

9、如图，正方形ABCD 的边长为6，AE=1.5，CF=2。

长方形EFGH 的面积为（ ）。

10、小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个早已从甲地出发的骑车人。

小李开大客车从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人。

第二届―走进美妙的数学花园‖决赛答案三年级：1、10010002、2553、434、略5、略6、127、208、20009、第一个按钮应为右下角的左1按钮10、略11、1512、3四年级1、999800012、20047273、844、8角5、76、267、258、略9、第一个按钮应为右下角的―左1‖10、略11、8412、11五年级1、400600002、2×3³×7×533、5200474、55、656、267、3008、5849、除数是2710、第一个按钮应为第二行第三个11、略12、答案不唯一六年级1、2×3³×7×532、4603、84、180008、149、309996.219996,12999610、略11、或12、48,12七年级1、2、-83、4、1585、496、67、8、209、2或10、6711、12112、略八年级1、142、-23、5404、0或155、5.586、327、1678、1459、-2x10、略11、12012、略第三届―走进美妙的数学花园‖决赛答案三年级：4、略5、1606、2207、略8、429、最上面的―（）‖里面画钩10、1205111、（416+8-23）×5=2005或（418+6-23）×5=200512、略四年级1、49042、73、364、35、46、9787、26078、509、810、1203111、略12、答案不唯一，填5,2,6等均可以。

五年级1、20100122、193、0.0184、12.55、能6、20247、20058、25，99、28810、311、略12、答案不唯一六年级1、152、633、714、5675、2886、（857+9-64）×30÷12或（859+7-64）×30÷127、6711、2枝玫瑰高12、略七年级1、192、3、3754、5、16、26057、答案不唯一8、59、2910、16011、2枝玫瑰12、10八年级1、2b-c-12、4:2:33、1104、1605、答案不唯一6、2707、18、135959、1310、11、略12、略第四届―走进美妙的数学花园‖初赛答案[三年级]1.20062.130003.254.只要走出来就行（各地自行决定答案正确与否）5.如下图（答案唯一）6.57.25，15（每一空5分）8.589.如下图之一即可（答案只有这两种）10.10011.4612.7[四年级]1.20062.如下图（答案唯一）3.只要走出来就行（各地自行决定答案正确与否）4.如下图5.56.25，15（每一空5分）7.588.如下图之一即可（答案只有这两种）9.4610.16，12（每一空5分）12.7[五年级]1.20062.63.十分之三或10分之3（不约分的给5分）4.答案如下图，共6种，答对任一种给满分。

第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味解题技能展示八年级预赛试卷（考试时间：2008年1月5日 13：00-15：00）一、填空题（1-10题每题5分，11-20题每题7分，满分120分）1、等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 。

2、16的平方根= 。

3、分解因式x x x 9623+-= 。

4、直线2-=x y 与两坐标轴围成的三角形面积为 。

5、有一列数n a a a a ⋯,,,321从第二个数开始每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若21=a ，则2007a = 。

6、自然数4、5、5、x 、y 从小到大排列后，其中倍数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x 、y 中，x y +的最大值是 。

7、幼儿园把新购的一批玩具分给小朋友，若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，那么最后一个分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 件。

8、将一块正方体豆腐切三刀，最多可将豆腐分成 块。

9、)a b =，则a b -= （保留根号）。

10、如图，已知Rt ABC 是直角连长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC 的斜边为直角边，画第二个等腰Rt ACD ，再以Rt ACD 的斜边为直角边，画第三个等腰Rt ADE ，…，依次类推，第N 个等腰直角三角形的斜边长是 。

11、已知2310,32160,a x b x -+=--=且4a b ≤<，则x 的取值范围 。

12、已知20个数据的平均数为6，且这20个数据的平方和为800，则这组数据的方差等于 。

13、已知实数,,a b c 满足22222,67,831,a b b c c a -=-+=-=-则a b c ++的值等于 。

14、已知2242310,1x x x x x -+=++则的值为 。

15、如图，在四边形ABCD 中，线段6,90,135,BC cm ABC BCD =∠=∠=而且点A到边CD 的垂线段AE 的长为12cm ，线段ED 的长为5cm,则四边形ABCD 的面积= 。

第八届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示初赛六年级试卷（A 卷）一、 填空题11、计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+731911914725=（ ） 2、2分、5分的硬币共100枚，价值3元2角，5分币有（ ）枚。

3、某公司彩电按原价销售，每台获利60元，现在降价销售，结果彩电销售数量增加1倍，获得的总利润增加了0.5倍，每台彩电降价（ ）元。

4、把从2010到1020之间的自然数按照从大到小的顺序排列起来，形成多位数：201020092008……10211020，从左往右数第999个数字是（ ）。

5、50个互不相同的正整数，总和是2010，这些数里至多有（ ）个偶数。

二、填空题6、一群醉鬼聚在一起饮酒，要比一比酒量，先上1瓶各人平分，这酒厉害，喝完后立马倒了几个，于是再来1瓶，余下的人平分，结果又有几个人倒下，现在能坚持的人很少，但一定要决出胜负，不得已又来了1瓶，还是平分，结果全倒了，只听见最后倒下的醉鬼中有人喊：“我正好喝了1瓶.”如果这句话符合实际情况，一共有（ ）个醉鬼。

7、右图的除法整式中，填有☆的方框所填数字不超过5，被除数是（ ）8、一袋大米，张飞吃了几天后换关羽吃，刘备还剩半袋大米时也来帮忙吃，吃到还剩20%时离去，结果按计划如期吃完了大米，关羽算了一下自己正好吃了半袋大米，如果刘备不来帮忙，仅由关羽接替张飞一直吃下去，将比计划推迟4天吃完，如果全由张飞一个人吃，则比计划提前8天吃完，已知关羽的饭量是刘备的2倍，原计划吃（）天。

9、21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如右图，它的表面积是（）平方厘米。

10、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇，若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB 中点3千米的地方，已知甲比乙行的快，甲原来每小时行（）千米。

填空题311、如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA=AB，延长CA到E，使EA=2AC，延长CB到F使FB=3BC，如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是（）。

八年级（下）期末数学试卷一、选择题(本大题共10小题，共40分）1．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下面计算正确的是（）A．=3 B． +=2 C．×=4 D．﹣=23．若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2011的值为（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20134．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．75．某篮球队12名队员的年龄如表：则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.56．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1，D．1，2，27．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm8．用配方解方程3x2﹣6x﹣1=0，则方程可变形为（）A．（x﹣3）2=B．3（x﹣1）2=C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上的一点，AD=BD=2，AB=，则AC的长为（）A．B．C．3 D．10．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．当x时，式子有意义．12．若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=．13．三个正方形如图所示其中两个正方形面积分别是64，100，则正方形A的面积为．14．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE．延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG ≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④△GCF是等边三角形，其中正确结论有．三、解答题（本题共两小题，每小题8分，共16分）15．（8分）计算：16．（8分）解方程：x （x ﹣3）=4．四、本题(本题共两小题，每小题8分，共16分）17．（8分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF ．求证：BE=DF ．18．（8分）已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣2n=0有两个不相等的实数根． （1）求n 的取值范围；（2）若方程的一个根为4，求方程的另一根．五、本题（本题共两小题，每小题10分，共20分）19．（10分）已知，如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，且BE 2﹣EA 2=AC 2， ①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE 的长．20．（10分）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：A 班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100B 班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99 通过整理，得到数据分析表如下：（1）直接写出表中a、b、c的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由．六、本题（12分）21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD=120°，AM=AN=，①求证：四边形ABCD是菱形；②求四边形ABCD的面积．七、本题12分22．（12分）某超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为了赚得8 000元的利润，你认为售价（售价不能超过进价的160%）应定为多少？这时应进货多少个？八、本题14分23．（14分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，共40分）1．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数含分母，故D错误；故选：A．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．下面计算正确的是（）A．=3 B． +=2 C．×=4 D．﹣=2【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先判断根式要有意义，再把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．【解答】解：A、=3，正确；B、=2，错误；C、根式无意义，错误；D、﹣=﹣2，错误．故选A．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．3．若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2011的值为（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=m代入方程求出m2+m=1，代入求出即可．【解答】解：∵m为一元一次方程x2﹣x﹣1=0的一个根，∴m2+m﹣1=0，m2+m=1，∴2m2+2m+2011=2+2011=2013，故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，关键是求出m2+m=1，用了整体代入思想，即把m2+m当作一个整体来代入．4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n 边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°=2×360，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．5．某篮球队12名队员的年龄如表：则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.5【考点】众数；加权平均数．【分析】根据众数及平均数的概念求解．【解答】解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；平均数==19．故选：A．【点评】本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1，D．1，2，2【考点】勾股定理的逆定理．【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．B、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．C、12+12=（）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．D、12+22≠22，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．7．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°﹣120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4cm．故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．8．用配方解方程3x2﹣6x﹣1=0，则方程可变形为（）A．（x﹣3）2=B．3（x﹣1）2=C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先把常数项移到等号的右边，再把二次项系数化为1，然后再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式即可得出答案．【解答】解：∵3x2﹣6x﹣1=0，∴3x2﹣6x=1，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=；故选D．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤是：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上的一点，AD=BD=2，AB=，则AC的长为（）A．B．C．3 D．【考点】勾股定理．【分析】根据题意作出图形，设CD=x，在直角三角形ACD中，根据勾股定理表示出AC的长，再在直角三角形ABC中，根据勾股定理求出x的值，从而可得AC 的长．【解答】解：如图：设CD=x，在Rt△ACD中，AC2=22﹣x2；在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，即22﹣x2+（2+x）2=（2）2，解得x=1．则AC==．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理是解题的关键，正确设出未知数方可解答．10．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）【考点】平行四边形的性质．【分析】从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数．【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选B．【点评】本题为找规律题，从前三个图形各自找出有多少个平行四边形，从中观察出规律，然后写出与n有关的代数式来表示第n个中的平行四边形的数目．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．当x≥3时，式子有意义．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，解得，x≥3，故答案为：≥3．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．12．若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=10．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，然后利用整体代入思想计算．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴a+b=2，ab=﹣3，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣3）=10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个解为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．13．三个正方形如图所示其中两个正方形面积分别是64，100，则正方形A的面积为36．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．【解答】解：由题意知，BD2=100，BC2=64，且∠DCB=90°，∴CD2=100﹣64=36，正方形A的面积为CD2=36．故答案为：36．【点评】本题考查了勾股定理的运用，以及正方形面积的计算，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．14．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE．延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG ≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④△GCF是等边三角形，其中正确结论有①②③．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；正方形的性质．【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于BG=CG，得到tan∠AGB=2，求得∠AGB≠60°，根据平行线的性质得到∠FCG=∠AGB≠60°，求得△GCF不是等边三角形；【解答】解：①正确，∵四边形ABCD是正方形，将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AB=AD=AF，在△ABG与△AFG中，，△ABG≌△AFG；②正确，∵EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x，在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，∴BG=3=6﹣3=GC；③正确，∵CG=BG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．∵BG=CG，∴BG=AB，∴tan∠AGB=2，∴∠AGB≠60°，∵AG∥CF，∴∠FCG=∠AGB≠60°，∴△GCF不是等边三角形；故答案为：①②③．【点评】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．三、解答题（本题共两小题，每小题8分，共16分）15．计算：【考点】二次根式的混合运算．【分析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：==．【点评】本题主要考查了二次根式的加减及除法运算，注意理解最简二次根式的概念．16．解方程：x（x﹣3）=4．【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等．【分析】把方程化成一般形式，用十字相乘法因式分解求出方程的根．【解答】解：x2﹣3x﹣4=0（x﹣4）（x+1）=0x﹣4=0或x+1=0∴x1=4，x2=﹣1．【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程化成一般形式，再用十字相乘法因式分解求出方程的根．四、本题(本题共两小题，每小题8分，共16分）17．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加上已知∠BAE=∠DCF可推出△ABE≌△DCF，得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，又已知∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=DF．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等．18．已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若方程的一个根为4，求方程的另一根．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4+8n＞0，然后解不等式即可得到n的取值范围；（2）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=2，然后解关于t的一次方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△=4+8n＞0，解得n＞﹣；（2）设方程另一个根为t，根据题意得4+t=2，解得t=﹣2，即方程的另一根为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．五、本题（本题共两小题，每小题10分，共20分）19．（10分）（2016春•安庆期末）已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．【解答】（1）证明：连接CE，如图，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE=BE…∵BE2﹣EA2=AC2，∴CE2﹣EA2=AC2，∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；（2）解：∵DE=3，BD=4，∴BE==5=CE，∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，∵BC=2BD=8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．20．（10分）（2016春•顺义区期末）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：（1）直接写出表中a 、b 、c 的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A 班，A 班的成绩比B 班好”，但也有人说B 班的成绩要好，请给出两条支持B 班成绩好的理由．【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）求出A 班的平均分确定出a的值，求出A 班的方差确定出c 的值，求出B 班的中位数确定出b 的值即可；（2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持B 成绩好的原因．【解答】解：（1）A 班的平均分==94，A 班的方差=， B 班的中位数为（96+95）÷2=95.5，故答案为：a=94 b=95.5 c=12；（2）①B 班平均分高于A 班；②B 班的成绩集中在中上游，故支持B 班成绩好；【点评】本题考查了方差的计算，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．要学会分析统计数据，运用统计知识解决问题．六、本题（12分）21．（12分）（2016春•安庆期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AM ⊥BC ，垂足为M ，AN ⊥DC ，垂足为N ，若∠BAD=∠BCD=120°，AM=AN=， ①求证：四边形ABCD 是菱形；②求四边形ABCD 的面积．【考点】菱形的判定．【分析】①利用全等三角形的判定与性质得出AB=AD，进而利用菱形的判定方法得出答案；②直接利用等边三角形的性质结合勾股定理得出AN，AD的长进而得出答案．【解答】①证明：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形∵AM⊥BC，AN⊥DC∴∠AMB=∠AND=90°在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；②解：如图：连接AC，在Rt△AND中，∠D=60°则AD=2DN AN=，有AD2=DN2+AN2即4DN2=DN2+3，解得：DN=1，故AD=2，AN=，=CD×AN=，在等边三角形ACD中S△ACD故S ABCD=2S△ACD=2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．七、本题12分22．（12分）（2016春•安庆期末）某超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为了赚得8 000元的利润，你认为售价（售价不能超过进价的160%）应定为多少？这时应进货多少个？【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润，根据这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，表示出实际的销售量．由利润=（售价﹣进价）×销售量，列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设此商品的单价为（50+x）元，则每个商品的利润是[（50+x）﹣40]元，销售数量为（500﹣l0x）个．由题意，得[（50+x）﹣40]（500﹣l0x）=8 000，整理得x2﹣40x﹣300=0．解得x1=10，x2=30，∵商品售价不能超过进价的160%，∴取x=10．这时应进货500﹣l0x=400（个）．故售价定为60元，这时应进货400个．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价1元，其销售量就减少10个”．八、本题14分23．（14分）（2011•嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四边形是矩形，根据勾股定理求出AH=HD=AD，DG=GC=CD，CF=BF=BC，AE=BE=AB，推出EF=FG=GH=EH，根据正方形的判定推出四边形EFGH是正方形即可；（2）①根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣α，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DG=CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，根据SAS证△HAE≌△HDG，根据全等三角形的性质即可得出HE=HG；③与②证明过程类似求出GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．【解答】（1）解：四边形EFGH的形状是正方形．（2）解：①∠HAE=90°+α，在平行四边形ABCD中AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+α，答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，∵△AHD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．③答：四边形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．。

第四届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛（初二年级）共12题,每题10分1. (a 2＋b 2)(c 2＋d 2) ＝ ( ac ＋bd )2 ＋ ( )22. 将一个多边形沿几条直线剪开，得到若干个多边形，它们的边数的和比原多边形的边数多6，它们的内角和的和等于原多边形的内角和。

原多边形至少为 边形。

3. 已知：34=n m ，149=t r ，mrnt nt mr 743--= 。

4. 若数组(x ,y ,z )满足下列三个方程：1=++z y x xy 、23=++z y x zx 、3=++z y x yz ，则xyz ＝ 。

5. 已知：x >0，y >0，x +y =12。

则162522+++y x 的最小值为 。

6. 右边的算式中，字母为数字1～8，不同的字母代表不同的数字，且A<B ，A<C ，C<D 。

这个算式是。

7. 整数x 满足下列等式，其中 [x ]表示不大于x 的最大整数，n !=1×2×3×…×n 。

226!2006!3!2!1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x ， 则x ＝ 。

8. 下面是一块由8个正六边形构成的住宅工地。

在每块正六边形的空地上建一幢楼房（分别为2层、3层、4层），建成后须使图中的同一条虚线上的楼房都高低不同，且从正北方向沿虚线分别看到2幢、1幢、2幢（的全体或一部分），从东北方向沿虚线分别看到1幢、3幢、1幢、1幢（如图）。

请在每个正六边形中标出各幢楼的层数。

9. 将1、2、、3、…、64填入右图8×8的表格中，每格一个数。

如果某格所填的数至少大于同行中的5个，且至少大于同列的5个，那么就将这个格子涂上红色。

涂上红色的格子最多 个。

幢 幢幢 幢10.如图，一个正方形的每条边上的半圆直径都相等，6厘米、2厘米。

第十二届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动趣味数学解题技能展示大赛初赛注意事项:1．请在密封线内填好有关信息. 总分2．不允许使用手机、计算器等电子设备.小学三年级试卷（A 卷）填空题I（每题8 分，共40 分）1. 2⨯(99981+19⨯38)=2. 3 个人排成一排，有种不同的排法？3. 我们知道0,1,2,3,……叫做自然数，只能被1 和自身整除的大于1 的自然数叫做质数或素数，比如2,3,5,7,11 等，按照从小到大的顺序，第8 个质数是.4. “24 点”游戏时很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52 张扑克牌（不含大小王）中抽取4 张，用这4 张扑克牌上的数字（从1 到13，其中A=1，J=11，Q=12，K=13）通过加减乘除四则运算法则运算得出 24，最先找到算法的人获胜。

游戏规定 4 张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用一次，比如2，3，4，Q，则可以由算法(2⨯Q)⨯(4 -3)得到24. 如果在一次游戏中恰好抽到了 4，8，8，8，则你的算法是：.5. 自然数1，2，…，50 中，被3 除余1 的数有个。

填空题II（每题10 分，共50 分）6. 下图中有个正方形。

7. 将一根长80 厘米的细绳对折一次后，用剪刀在中点处剪开，其中最长的一段绳长是厘米。

8. 将一个面积为36 平方厘米的正方形纸片按照下图所示方式折叠两次后对折，沿对折线剪开，得到的长方形纸片中面积最大的为平方厘米。

9. 古希腊的数学家们将自然数据按照以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数：三边形数：1,3,6,10,15，…… 四边形数：1,4,9,16,25，…… 五边形数：1,5,12,22,35，…… 六边形数：1，6,15,28,45，…………则按照上面的顺序，第8 个三边形数为10. 将下图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则至少需要种颜色。

填空题III（每题12 分，共60 分）11. 2015 年1 月1 日是星期四，根据这一信息，可以算出2015 年2 月1 日是星期.12. 用1 颗红珠子，2 颗蓝珠子，2 颗绿珠子串成一个手链，可以串成种不同的手链。

第十二届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动趣味数学解题技能展示大赛初赛注意事项:1．请在密封线内填好有关信息. 总分2．不允许使用手机、计算器等电子设备.小学四年级试卷（A 卷）填空题I（每题8 分，共40 分）1. 计算：47167×61×7=。

2. 4 个人排成一排，有种不同的排法。

3. 我们知道0,1,2,3，……叫做自然数。

只能被1 和自身整除的大于1 的自然数叫做质数或者素数，比如2,3,5,7,11 等。

按照从小到大的顺序，第10 个质数是.4. 吴宇写好了三封信和三个信封，要将每封信放入相应的信封中，一个信封只放入一封信，三封信中至少有一封信被装错的所有可能情形有种.5. “24 点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52 张扑克牌（不包括大小王）中抽取4 张，用这4 张扑克牌上的数字（A=1，J=11，Q=12，K=13）通过加减乘除四则运算得出24，先找到算法者获胜。

游戏规定4 张牌扑克都要用到，而且每张牌只能用1 次，比如 2,3,4，Q，则可以由算法（2×Q）×（4-3）得到 24.如果在一次游戏中恰好抽到了9,7,3,2，则你的算法是。

填空题II（每题10 分，共50 分）6. 将一个正方形纸片按照下图所示方式折叠两次后再对折，沿对折线剪开，得到个小正方形纸片。

7. 将一根长 80 厘米的细绳对折一次后，用剪刀在中点处剪开，取其中长度最长的与最短的各一段，这两段绳的绳长之和是厘米。

8. 下图中有个平行四边形。

9、古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数：三角形数：1,3,6,10,15…… 四边形数：1,4,9,16,25…… 五边形数：1,5,12,22,35……六边形数：1,6,15,28,45…………则按照上面的顺序，第6 个五边形数为。

10. 用 180°与四边形的每一个内角作差，所得到的值叫做这个内角的角亏。

八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，，B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，62．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m3．平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°4．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．87．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）A．36 B．30 C．24 D．208．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠59．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≥B．x≤3 C．x≤D．x≥310．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共24分，每小题3分）11．写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）．12．甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）13．方程x2﹣2x=0的根是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=6cm，则EF=cm．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．17．如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为．18．在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA 上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是．三、解方程：（本题共8分，每小题8分）19．解方程：（1）2x2﹣3x+1=0．（2）x2﹣8x+1=0．（用配方法）四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）20．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．21．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．22．如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．23．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；=2，求点C的坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）24．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD 与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．25．已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2•x1，求这个函数的表达式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是．26．如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．（1）点A的坐标为，矩形ABCD的面积为；（2）求a，b的值；（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，，B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6【考点】勾股定理的逆定理．【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵12+（）2=（）2，∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；B、∵22+32≠42，∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、∵12+22≠32，∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、∵42+52≠62，∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选A．2．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线定理得到AB=2DE，计算即可．【解答】解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．3．平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1：2：1：2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数．【解答】解：根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为X，则有：x+2x=180°∴x=60°，即较小的内角是60°故选B．4．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【考点】统计量的选择．【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，故选：A．5．一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是哪个．【解答】解：∵一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是第三象限．故选：C．6．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6，解得α=4．故选C．7．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）A．36 B．30 C．24 D．20【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【解答】解：如图所示，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB==5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：D．8．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5．故选C．9．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≥B．x≤3 C．x≤D．x≥3【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】将点A（m，3）代入y=2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．【解答】解：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，解得，m=，∴点A的坐标为（，3），∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．故选：A．10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．【解答】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，面积由“增加→不变→减少”变化．故选：C．二、填空题：（本题共24分，每小题3分）11．写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）y=2x．【考点】正比例函数的性质．【分析】根据正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，可得k＞0，写一个符合条件的数即可．【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，∴k＞0，取k=2可得函数关系式y=2x．故答案为：y=2x．12．甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是甲（填“甲”或“乙”）【考点】方差；折线统计图．【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察图中的信息可知小华的方差较小，故甲的成绩更加稳定．【解答】解：由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S甲2＜S乙2，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为：甲．13．方程x2﹣2x=0的根是x1=0，x2=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=6cm，则EF=6cm．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=12cm，再根据中位线的性质可得EF=AB=6cm．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴AB=2CD，∵CD=6cm，∴AB=12cm，∵E、F分别是BC、CA的中点，∴EF=AB=6cm，故答案为：6．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为x2+52=（x+1）2．【考点】勾股定理的应用．【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2，再解即可．【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12，则x+1=13，答：水深12尺，芦苇长13尺，故答案为：x2+52=（x+1）2．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．17．如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为3．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】先依据△ABF的面积为24，求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，接下来，求得CF的长，设EC=x，则FE=DE=8﹣x，在△EFC中，依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得EC的长．=24【解答】解：∵AB=8，S△ABF∴BF=6．∵在Rt△ABF中，AF==10，∴AD=AF=BC=10∴CF=10﹣6=4设EC=x，则EF=DE=8﹣x．在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，即（8﹣x）2=x2+42，解得，x=3．∴CE=3．故答案为：3．18．在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA 上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF 互相垂直且平分（答案不唯一）．【考点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论．【解答】解：如图，连接DF、DE．根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF．则四边形DECF恰为菱形．故答案是：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）．三、解方程：（本题共8分，每小题8分）19．解方程：（1）2x2﹣3x+1=0．（2）x2﹣8x+1=0．（用配方法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）2x2﹣3x+1=0，（2x﹣1）（x﹣1）=0，2x﹣1=0，x﹣1=0，x1=，x2=1；（2）x 2﹣8x +1=0，x 2﹣8x=﹣1，x 2﹣8x +16=﹣1+16，（x ﹣4）2=15，x ﹣4=±， x 1=4+，x 2=4﹣．四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分） 20．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数．【分析】（1）先根据加权平均数公式即可求得平均数，再将表中的数据按照从大到小的顺序排列，根据中位数和众数的概念求解即可；（2）应根据（1）中求出的中位数和众数综合考虑．【解答】解：（1）平均数===26（件），将表中的数据按照从大到小的顺序排列，可得出第8名工人的加工零件数为24件，且零件加工数为24的工人最多，故中位数为：24件，众数为：24件．答：这15人该月加工零件数的平均数为26件，中位数为24件，众数为24件． （2）24件较为合理，24既是众数，也是中位数，且24小于人均零件加工数，是大多数人能达到的定额．21．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．【解答】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．22．如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=BC=5．23．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；=2，求点C的坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；=2求出C的横坐（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．（2）设点C的坐标为（x，y），=2，∵S△BOC∴•2•x=2，解得x=2，∴y=2×2﹣2=2，∴点C的坐标是（2，2）．五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）24．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD 与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2从而得出AM=DM=，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2从而得出GM=即可．【解答】（1）如图1，延长EB交DG于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE在△ADG与△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，∴DG⊥BE；（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，∵BD是正方形ABCD的对角，∴∠MDA=45°在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2，∴AM=DM=，在Rt△AMG中，∵AM2+GM2=AG2∴GM=，∵DG=DM+GM=+，=DG•AM=（+）=1+．∴S△ADG25．已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2•x1，求这个函数的表达式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是﹣11＜b＜﹣5．【考点】翻折变换（折叠问题）；根的判别式；根与系数的关系；一次函数的性质．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式判断即可；（2）先根据一元二次方程的求根公式得出x1，x2，即可得出函数函数关系式；（3）画出新函数的图形和直线y=2a+b，利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论．【解答】（1）证明：∵ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）=4＞0，∴方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式，得x==．∴x=1或x=1﹣．∵a＞0，x1＞x2，∴x1=1，x2=1﹣，∴y=ax2•x1=a×（1﹣）﹣1=a﹣3．即函数的表达式y=a﹣3（a＞0），（3）解：如图，直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点，再向下平移，就和这些CBA有两个公共点，继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点，再向下平移和这些CBA也只有一个公共点，由（2）知，函数的表达式y=a﹣3（a＞0），当a=2时，y=2﹣3=﹣1，∴B（2，﹣1），由折叠得，C（4，﹣3），当函数y=2a+b的图象过点B时，∴﹣1=2×2+b，∴b=﹣5，当函数y=2a+b的图象过点C时，∴﹣3=2×4+b，∴b=﹣11，∴﹣11＜b＜﹣5．故答案为：﹣11＜b＜﹣5．26．如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．（1）点A的坐标为（1，0），矩形ABCD的面积为8；（2）求a，b的值；（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标，由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积；（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值；（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点；当3≤t＜5时，如图3所示S=△EFA的面积；当5≤t＜7时，如图4所示：S=S BEFG+S ABG；当7≤t≤9时，如图5所示．S=S ABCD﹣S CEF．【解答】解：（1）令直线y=x﹣4的y=0得：x﹣4=0，解得：x=4，∴点M的坐标为（4，0）．由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，∴点A的坐标为（1，0）沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，∵y=x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+3﹣4=x﹣1，∴点A的坐标为（1，0）；由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，∴点D的坐标为（﹣3，0）．∴AD=4．∴矩形ABCD的面积=AB•AD=4×2=8．（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．∵点A的坐标为（1，0），∴点B的坐标为（1，2）设直线MN的解析式为y=x+c，将点B的坐标代入得；1+c=2．∴c=1．∴直线MN的解析式为y=x+1．将y=0代入得：x+1=0，解得x=﹣1，∴点E的坐标为（﹣1，0）．∴BE===2．∴a=2如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．∵点D的坐标为（﹣3，0），∴点C的坐标为（﹣3，2）．设MN的解析式为y=x+d，将（﹣3，2）代入得：﹣3+d=2，解得d=5．∴直线MN的解析式为y=x+5．将y=0代入得x+5=0，解得x=﹣5．∴点F的坐标为（﹣5，0）．∴b=4﹣（﹣5）=9．（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点．∴s=0．当3≤t＜5时，如图3所示；S===；当5≤t＜7时，如图4所示：过点B作BG∥MN．由（2）可知点G的坐标为（﹣1，0）．∴FG=t﹣5．∴S=S BEFG+S ABG=2（t﹣5）+=2t﹣8．当7≤t≤9时，如图5所示．FD=t﹣7，CF=2﹣DF=2﹣（t﹣7）=9﹣t．S=S ABCD﹣S CEF=8﹣=．综上所述，S与t的函数关系式为S=．。

第五届“走进美妙数学花园”决赛五年级试题填空题（共12题，第1～4题每题8分）1、计算：223×7.5+22.3×12.5+230÷4-0.7×2.5+1=（）。

2、五个数，平均值是100。

添上一个数后，平均值增加2。

再添上第七个数，平均值又增加2。

第七个数是（）。

3、一个长方形和一个等腰三角形如图放置，图中六块的面积分别为1，1，1，1，2，3。

大长方形的面积是（）。

4、一个两位数，数字和是质数。

而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数，满足条件的两位数为（）。

（第5～8题每题10分）5、一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为S(n)，为偶数的那些数字的和记为E(n)。

例如S(134)=1+3=4，E(134) =4。

S(1)+ S(2) +……+S(100)= （）。

E (1)+E(2) +……+E(100)= （）。

6、今有A、B两个港口，A在B的上游60千米处。

甲、乙两船分别从A、B两港同时出必，都向上游航行。

甲船出发时，有一物品掉落水中，浮在水面，随水流漂往下游。

甲船出发航行一段后，调头去追落水的物品。

当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇。

已知甲、乙两船在静水中的航行速度相同，且这个速度为水速的6倍。

当甲船调头时，甲船已航行（）千米。

7、N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。

N的最大值是（）。

8、如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2。

长方形EFGH的面积为（）。

（第9～12题每题12分）9、4支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每两队都赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。

比赛结束4支队的得分恰好是4个连续自然数。

第四名输给第（）名。

10、二十多位小朋友围成一圈做游戏。

他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目。

小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91。

ABCD第十一届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动趣味数学解题技能展示小学六年级试卷（B 卷）一、填空题 I （每题 8 分，共 40 分）1. 183⨯ 279⨯361-182⨯ 278⨯360 的计算结果是（填写 A 、B 、C 、D 四个字母中的一个）A.217017B.207217C.207216D.217016【考点】计算 【难度】☆☆ 【答案】A【分析】若学生对代数比较熟练，可以用(a +1)(b +1)(c +1) = abc + ab + bc + ca + a + b + c +1来减少计算量．2. 假设地球是个均匀的球体（半径 6378 千米），围绕地球赤道正上方上有一圈铁丝，铁丝的周长比地球赤道长 1 米，在赤道和铁丝之间会有一个缝隙，下列动物中，有 种可以安全通过铁丝．①蚂蚁；②蜜蜂；③青蛙；④老鼠；⑤猫；⑥成年奶牛；⑦大象 【考点】圆 【难度】☆☆ 【答案】5【分析】设地球周长为 a 米，铁丝周长为 a +1 米，那么通过c = πd 可知，铁丝的直径比地球直径 1多了 π米，缝隙的高度为该值的一半，约为 16 厘米，所以前四个动物都可以通过．至于猫能不能通过就看出题人想法了．3. 将 0-5 这六个数字中的 4 个数字填入由图的圆圈中，没条线段两端的数字作差（大或小），可以得到 5 个差，这 5 个查恰好为 1-5.在所有满足条件的填法中，四位数 ABCD （首位不能为 0）的最小值 是 ．【考点】数字谜 【难度】☆☆ 【答案】1052【分析】让四位数最小，那么 A 为 1，B 为 0，又因为必须有一个差为 5，故而 CD 中有一个是 5．若C 为5，那么D 只能为2 或3；若D 为5，那么C 无解；故而最小值为1052．4.一次考试中，总人数的1又3 人得了3 分，总人数的1又4 人得了4 分，总人数的1又5 人得了3 4 55 分，其余人都得2 分．已知得2 分的人数和得5 分的人数一样多，则有人得了4 分．【考点】比例应用题【难度】☆☆【答案】259【分析】设总人数为60 份，那么3 分的是20 份+3 人，4 分的是15 份+4 人，5 份的是12 份+5 人，剩下2 分的是13 份-12 人，5 分和2 分一样多，所以1 份是17 人，4 分人数为15⨯17 +4=259 人．5.在一个长20 米、宽8 米、深1.6 米的长方体游泳池的四壁及地面贴瓷砖，瓷砖是边长为0.2 米的正方形，共需瓷砖块．【考点】立体几何【难度】☆☆【答案】6240【分析】地面上横向100 块，纵向40 块，共4000 块；四壁高为8 块，共8⨯（100+40）⨯2=2240块，所有的瓷砖为6240 块．二、填空题II（每题10 分，共50 分）6.如右图所示，正方形的边长是20 厘米，阴影部分面积为平方厘米．（π取3.14）【考点】圆【难度】☆☆【答案】400【分析】阴影面积=四个小半圆面积+正方形面积-大圆面积，而方外圆面积是方内圆面积两倍，且两个小半圆可组成一个方内圆，故而阴影部分面积=正方形面积，为400．7.两个相同的玻璃被，都装满了糖水，糖与水的质量比分别是1:7 和1:9，现将这两杯糖水混合，混合后糖水的含糖率是％．【考点】比例【难度】☆☆2 0＋13【答案】11.25【分析】设原来每个杯子 40 份液体，那么第一杯 5 份糖，第二杯 4 份糖，混合后共 80 份液体，9 份糖，含糖量为9 ÷80⨯100% =11.25%8. 一个游戏需要 8 人参加，分成红、黄两队，每队各 4 人，一对兄弟来参加这个游戏，他们俩很想被分在同一队，但是谁被编入哪个队是完全随机的，那么这对兄弟被分进同一队的可能性是 【考点】概率 【难度】☆☆ 3【答案】73【分析】不管第一个兄弟在哪个队，该队都剩下 3 个空位，第二个兄弟进入这个空位的概率就是79. 将数字 1-9 填入右图算式的 9 个方格中，每个数字只能用一次，算式中和的最大值为．【考点】数字谜 【难度】☆☆ 【答案】3972【分析】让和最大，则和的百位为 9，若和的十位不为 8，那么第二个加数百位最大为 7，但是十位无法提供进位；所以和的十位最大为 7．此时第二个加数百位为 8．第三个加数千位为 3，剩下 1、2、4、5、6．若个位没有进位，只能是2 +1+ 2 = 5 ，那么十位无法凑出和为 7．故而个位有进位， 满足要求的最大的和为12 + 804 + 3156 = 3972．10. 军区食堂晚饭需用 1000 斤大米和 200 斤小米，军需员到米店后发现米店正在促销．“大米 1 元 1斤，每购 10 斤送 1 斤小米（不足 10 斤部分不送）；小米 2 元 1 斤，每购 5 斤送 2 斤大米（不足 5斤部分不送）．军需员至少要付 元钱才能买够晚饭需用的米． 【考点】列方程解应用题、估算 【难度】☆☆☆☆ 【答案】1168【分析】仔细观察两种米的促销方法，会发现其折扣本质是相同的（如果把“10 斤大米”和“5斤小米”看做一份促销品的话，那么 10 元钱能买到的折扣都是 1 5份促销品），故不存在多买大米好还是多买小米好的问题，只需凑足所需重量，就一定是最省的方法；设买大米 x 斤，小米 y 斤，列⎨ ⎧x + 2y ≤ 1000 方程组：⎪ 51 来估算大米与小米应买多少斤；得到大致重量：大米买 950 斤，小米买 105⎪ x + y ≤ 200 ⎩10斤，此时花了 1160 元，已有 992 斤大米和 200 斤小米，再用 8 元买 8 斤大米即可，最少用 1168 元 （构造方法不唯一）.三、填空题 III （每题 12 分，共 60 分）11. 定义a &b = (a + 2)(b + 2) - 2算式1⨯3⨯5⨯7⨯9⨯11⨯13- (1&3&5&7 &9 &11）的计算结果是 ．【考点】类比与猜想 【难度】☆☆☆ 【答案】2【分析】1&3 = 3⨯5 - 2 ， 1&3&5 = (1⨯3⨯5 - 2 + 2)⨯7 - 2 =1⨯3⨯5⨯7 - 2 ……以此类推，1&3&5&7 &9&11 =1⨯3⨯5⨯7⨯9⨯11⨯13- 2，故原式答案为 2．12. 右图中共能数出个三角形．【考点】几何计数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】76【分析】单个的三角形有 24 个，两个小三角形构成的由 24 个，三个小三角形构成的有 12 个，一个外围三角形加 3 个内圈三角形构成的有 12 个，加上两个六边形里各有两个正三角 形，共 76 个．13. 甲乙两船从一条和的 A 、B 两个码头同时出发，相向而行，甲船的静水速度比乙船的静水速度快20％，水速为乙船静水速度的 10％，两船在距离中点 10 千米处相遇．A 、B 两个码头间的距离为千米．【考点】流水行船 【难度】☆☆☆ 【答案】110【分析】设水速为 1，则乙船静水速度为 10，甲船静水速度为 12．若乙顺水甲逆水则两船在中点相遇，不符合要求，故而甲是顺水，甲速度为 13，乙速度为 9．若全程为 22 份，相遇时甲走了 13 份，故 2 份为 10 千米，全程为 110 千米．14.一个四位数，他最小的8 个约数的和是43，那么这个四位回文数是．（回文数例如：1111、4334、3210123）【考点】约数、整除性质【难度】☆☆☆☆☆【答案】2772【分析】由整除性质，4 位回文数一定是11 的倍数．若没有约数2，那么不可能满足最小8 个约数和为43；若没有约数3，1+ 2 + 4 + 5 + 7 + 8 +10 +11 = 48 > 43 ，也不满足要求．若没有约数4，1+ 2 + 3+ 5 + 6 + 7 + 9 +10 = 43 ，但是同时有约数7、9、10、11 的数只能是6930，也不满足回文数．所以约数1、2、3、4、6、11 是必须存在的．若有约数5，则一定有约数10，这个四位数个位是0，不可能是回文数．所以最小的8 个之和为43，只有1、2、3、4、6、7、9、11 这一种情况满足要求．他们最小公倍数为2772，符合回文数要求，2772 的其他倍数也不是回文数．15.小俊掷骰子游戏，刚开始他站在起点格（如图），如果他掷出1 至5 点，掷出几点就前进几格，如果他掷出 6 点或某次前进后超出终点格，则立即返回起点格；若小俊掷了四次恰好到达终点格，掷骰子的顺序有种可能．起 1 2 3 4 5 6 7 8 9 终【考点】类比与猜想【难度】☆☆☆【答案】92【分析】注意终点是10 号格．从起点出发，两次即到达终点的方法有5+5 一种．若恰好三次到达，可以第一次扔6，有1 种情况；也可以第一次不扔6，第一次扔1 有2 种、扔2 有3 种，扔3 有4种、扔4 有5 种，扔5 有4 种，共19 种．恰好四次到达，可以第二次扔后爆掉，第一次可以扔1到5 五种，也可以在第一次扔出6 爆掉，转化为3 次到达的情况，有19 种，共1+19+5+19=44 种．。

“走进美妙数学花园”决赛六年级试题共12题，每题10分1、1.25×17.6+36÷0.8+2.64×12.5=（）。

2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）。

3、下图是常见的正方体，我们可以看到三面，共有3×9=27个边长为1的正方形。

在这三面上有三条“蛇”。

每条由5个连续的正方形（每两个连续正方形有一条公共边）组成，不全在一个面上。

每两条蛇互不接触（两条蛇的方格不能有公共点）。

请将这三条蛇画出来。

4、商店一次进货6桶，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。

上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍。

剩下的一桶重（）千克。

5、李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。

三遇店和花，喝光壶中酒。

壶中原有（）斗酒。

6、若干个硬币排成下图。

每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数或小数），如对于a，差为7-5=2。

所有差的总和为（）。

7、有10根长度不等的木条，每根长度都是整数，最短的为1，最长的89。

现在想用其中的3根拼成一个三角形木架，但是不管怎样都不能拼成。

这10根木条中第二长的木条长（）。

8、如图，9个3×3的小方格表合并成一个9×9的大方格表。

每个格子中填入1～9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3×3的小方格表中也只出现一次。

10个“☆”处所填数的总和是（）。

9、一栋公寓楼有5层。

每层有一或两套公寓。

楼内共有8套公寓。

住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里。

已知：（1）J住在两套公寓的楼层。

（2）K住在P的上一层。

（3）二层只有一套公寓。

（4）M、N住在同一层。

（5）O、Q不同层。

（6）Q不住在一层或二层。

（7）L住在她所在层公有的公寓里，且不在第一层或第五层。

（8）M在第四层。

J住在第（）层里。

1.走进美妙的数学世界知识纵横从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,•人类任何时候都受到数学的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数、•量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系.走进美妙的数学世界,我们将一起走进崭新的“代数”世界，•不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知。

诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宇说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。

”例题求解【例1】(1)我们平常用的数是十进制数,如2639=2×103+6×102+3×10+9,表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字):0,1,2,3……9,在电子计算机中用的是二进制,只要两个数码0和1,如二进制中101=1×22+0×21+1等于十进制的数5,•那么二进制中的1101等于十进制的数_________. (2001年浙江省金华市中考题)(2)探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，•吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个３的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上数字再立方、求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=__________,•我们称之为数字“黑洞”。