2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升5—几何动点问题含答案

专项训练一：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题名师点金：1.根据点的坐标符号可判断点的位置，反之，也可以根据点在坐标平面内的位置判断其坐标的符号情况．2．坐标平面内的点的位置与其坐标的关系是数形结合的典型体现．象限内的点的坐标1．在平面直角坐标系中，点(－1，m2＋1)一定在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．坐标轴上的点的坐标3．已知P(a＋2，b－3)．(1)若点P在x轴上，则b＝________；(2)若点P在y轴上，则a＝________．平面直角坐标系中一些特殊点的坐标4．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，(1)点P在第二、四象限的平分线上？(2)点P在第一、三象限的平分线上？5．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系6．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为( )A．3a，－2b B．－3a，2bC．2b，－3a D．－2b，3a7．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．关于坐标轴对称的点8．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(－4，3) B．(3，－4)C．(－3，－4) D．(3，4)9．已知点A(m－3，2)与点B(2，n＋1)关于y轴对称，则m＝________，n ＝________．10．将点P(4，5)先关于x轴对称得点P1，再将点P1关于y轴对称得点P2，则点P2的坐标为________．关于特殊直线对称的点11．点P(3，5)关于直线y＝x对称的点为点P1，关于直线y＝－x对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为( )A．(3，5)，(5，3) B．(5，3)，(－5，－3)C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3)12．点M(1，4－m)关于直线x＝5对称的点的坐标是____________，若M 关于直线y＝－3对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．专项训练二：巧用坐标求图形的面积名师点金：1.规则图形的面积可用几何图形的面积公式求解，对于不规则图形的面积，通常可采用补形法或分割法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差或和求解．2．求几何图形的面积时，底和高往往通过计算某些点的横坐标之差的绝对值或纵坐标之差的绝对值去求解．利用补形法求三角形的面积1．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．(第1题)利用分割法求四边形的面积2．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)、A(－4，10)、B(－12，8)、C(－14，0)，求四边形OABC的面积．(第2题)已知三角形的面积求点的坐标3．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．专项训练三：思想方法荟萃名师点金：本章主要体现了方程思想、分类讨论思想，这两种数学思想是初中数学中很重要的解题思想．分类讨论思想1．设M(a，b)为平面直角坐标系中的点．(1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？(2)当ab>0时，点M位于第几象限？(3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于何处？2．长方形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为(－1，2)，且AB∥x轴，试求点C的坐标．方程思想3．若点P1(a＋3，4)和P2(－2，b－1)关于x轴对称，则a＝________，b ＝________．4．在平面直角坐标系中，若点M(1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x 的值是________．答案专项训练一1．B2．m＞2 点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.3．(1)3 (2)－2 点拨：(1)x轴上的点的纵坐标为0，则b－3＝0，b＝3；(2)y轴上的点的横坐标为0，则a＋2＝0，a＝－2.4．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，所以3m＝6，m＝2，所以当m＝2时，点P在第二、四象限的平分线上．(2)根据题意，得2m－5＝m－1，m＝4，所以当m＝4时，点P在第一、三象限的平分线上．点拨：第一、三象限的平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．5．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．6．C 点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，可知点A在第二象限，3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.7．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|y|＝2，|x|＝5，所以x＝±5，y ＝±2，所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．8．C9．1；1 点拨：根据题意，得m－3＝－2，n＋1＝2，解得m＝1，n＝1.10．(－4，－5)11．B 点拨：任意点A(a，b)关于直线y＝x(第一、三象限的平分线)对称的点的坐标为(b，a)，关于直线y＝－x(第二、四象限的平分线)对称的点的坐标为(－b，－a)．12．(9，4－m)；17 点拨：点A(a，b)关于直线x＝k对称的点的坐标为(2k －a，b)，关于直线y＝k对称的点的坐标为(a，2k－b)．专项训练二1．解：方法一：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD ·DE －12AD ·CD －12AE ·BE －12BF ·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法二：过点B 作EF ∥x 轴，并分别过点A 和点C 作EF 的垂线，垂足分别是点E 、F.则AE ＝4，BE ＝4，BF ＝2，CF ＝7，EF ＝6,∴S 三角形ABC ＝S 梯形AEFC －S 三角形ABE －S 三角形BFC ＝12(AE ＋CF)·EF －12AE ·BE －12BF ·CF ＝12×(4＋7)×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法三：过点A 作DE ∥y 轴，并分别过点C 和点B 作DE 的垂线，垂足分别为点D 、E.则AE ＝4，BE ＝4，AD ＝3，CD ＝6，DE ＝7，∴S 三角形ABC ＝S 梯形BEDC －S三角形ABE －S 三角形ADC ＝12(BE ＋CD)·DE －12AE ·BE －12AD ·CD ＝12×(4＋6)×7－12×4×4－12×3×6＝18.(第1题)(第2题)2．解：如图，过A 点作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过B 点作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S 四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD ·AD ＋12AE ·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100. 点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则的图形，实际上分割的方法不是唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法．3．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·|m|＝12，即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. ∵点C(3，m)，∴点C 在第一象限或第四象限．当点C 在第一象限时，m ＞0，则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4，综上所述，m的值为－2.4或2.4.专项训练三1．解：(1)∵a＞0，b＜0, ∴点M位于第四象限．(2)∵ab＞0, ∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴点M位于第一象限或第三象限．(3)∵a为任意有理数，b＜0，∴点M位于第三象限或第四象限或y轴的负半轴上．2.(第2题)解：如图，长方形AB1C1D1、长方形AB1C2D2、长方形AB2C3D1、长方形AB2C4D2均符合题意，所以点C的坐标为(3，－4)或(3，8)或(－5，－4)或(－5，8)．点拨：点C的坐标由长方形ABCD的具体位置来确定，应分四种情况讨论．3．－5；－3 点拨：若两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以a＋3＝－2，4＋b－1＝0，解得a＝－5，b＝－3.求点的坐标或坐标中的字母的值时，常利用方程思想求解，往往可以达到事半功倍的效果．4．－4或6 点拨：点M与点N的纵坐标相等，而它们两点之间的距离是5，所以|x－1|＝5，得x＝－4或x＝6.。

2019 秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升 6——一次函数的综合 P157 作业题第 5 题) 一次函数的图象过 M(3，2)，N(－1，－6)两点． (1)求函数的表达式； (2)画出该函数的图象； (3)试判断点 P(2a，4a－4)是否在函数的图象上，并说明理由． 解：(1)设函数的表达式为 y＝kx＋b，(教材3k＋b＝2，k＝2，则－k＋b＝－6，解得b＝－4，教材母题答图即函数表达式为 y＝2x－4； (2)如答图； (3)将 x＝2a 代入表达式得 y＝4a－4，与 P 点纵坐标相同，故 P 点在函数图象上． 【思想方法】 此题主要考查了待定系数法求一次函数表达式，以及画函数图象，关键是掌握待定系 数法求一次函数表达式的一般步骤： (1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的表达式时，先设 y＝kx＋b； (2)将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的表达式，得到关于待定系数的方程或方程组； (3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数表达式．一次函数与几何的综合 1．[永康校级月考]如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x＋8 的图象分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点， 过点 A 的直线交 y 轴正半轴于点 M，且点 M 为线段 OB 的中点． (1)求直线 AM 的函数表达式； (2)试在直线 AM 上找一点 P，使得 S△ABP＝S△AOB，请求出点 P 的坐标．(第 1 题图) 解：(1)当 y＝0 时，2x＋8＝0， 解得 x＝－4，则 A(－4，0)； 当 x＝0 时，y＝2x＋8＝8，则 B(0，8)，第 1 题答图而点 M 为线段 OB 的中点，则 M(0，4)， 设直线 AM 的表达式为 y＝kx＋b， 把 A(－4，0)，M(0，4)分别代入得－4k＋b＝0， k＝1，b＝4，解得b＝4，所以直线 AM 的表达式为 y＝x＋4； (2)S△AOB＝12×4×8＝16， 设点 P 的坐标为(x，x＋4)，∴AP＝ （x＋4）2＋（x＋4）2＝ 2|x＋4|，如答图，过点 B 作 BH⊥AM 于点 H， ∵OA＝OM，∠AOM＝90°， ∴∠AMO＝45°，∴∠BMH＝45°， ∴BH＝BM·22＝4× 22＝2 2， 而 S△ABP＝S△AOB， S△ABP＝12AP·BH＝12× 2|x＋4|×2 2＝2|x＋4|＝16， 解得 x＝4 或 x＝－12， 所以 P 点坐标为(4，8)或(－12，－8)． 2．[海宁校级期末]如图，一次函数 y＝－34x＋3 的图象与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和 B，再将△AOB 沿直线 CD 对折，使点 A 与点 B 重合．直线 CD 与 x 轴交于点 C，与 AB 交于点 D.(第 2 题图) (1)点 A 的坐标为__(4，0)__，点 B 的坐标为__(0，3)__； (2)求 OC 的长度； (3)在 x 轴上有一动点 P，当△PAB 是等腰三角形，求出点 P 的坐标． 解：(1)易知 A 点坐标 y＝0，B 点坐标 x＝0， 代入 y＝－34x＋3 可得 A(4，0)，B(0，3)； (2)设 OC＝x，则 AC＝CB＝4－x， ∵∠BOA＝90°，∴OB2＋OC2＝CB2， ∴32＋x2＝(4－x)2，解得 x＝78， ∴OC＝x＝78； (3)设 P 点坐标为(x，0)，当 PA＝PB 时， 由(2)得 x＝78； 当 PA＝AB 时，解得 x＝9 或 x＝－1； 当 PB＝AB 时，解得 x＝－4. P 点坐标为78，0或(－4，0)或(－1，0)或(9，0)． 3．如图 1，在直角坐标系中放入一个边长 AB 长为 6，BC 长为 10 的长方形纸片 ABCD，B 点与坐标原点 O 重合．将纸片沿着折痕 AE 翻折后，点 D 恰好落在 x 轴上，记为 F. (1)求折痕 AE 所在直线与 x 轴交点的坐标； (2)求过 D，F 的直线的函数表达式； (3)将长方形 ABCD 水平向右移动 m 个单位，则点 B 坐标为(m，0)，其中 m＞0.如图 2，连结 OA，若 △OAF 是等腰三角形，求 m 的值．(第 3 题图) 解：(1)长方形 ABCD 中，AD＝CB＝10，AB＝DC＝6， ∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°， 由折叠的对称性，得 AF＝AD＝10，EF＝DE， 在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝ 100－36＝8， ∴CF＝2， 设 EC＝x，则 EF＝6－x， 在 Rt△ECF 中，22＋x2＝(6－x)2， 解得 x＝83， ∴E 点坐标为10，83， ∴设 AE 所在直线的表达式为 y＝ax＋b，则b1＝0a6＋，b＝83，解得ab＝＝－6，13， ∴AE 所在直线的表达式为 y＝－13x＋6， 当 y＝0 时，x＝18， 故折痕 AE 所在直线与 x 轴交点的坐标为(18，0)； (2)设 D，F 所在直线的表达式为 y＝kx＋c， ∵BF＝8，∴点 F 坐标为(8，0)， 将 D(10，6)，F(8，0)代入，得 180k＋k＋c＝c＝06，，解得kc＝＝3－，24， ∴过 D，F 的直线的表达式为 y＝3x－24； (3)分三种情况讨论： ①若 AO＝AF， ∵AB⊥OF，∴BO＝BF＝8，∴m＝8， 若 OF＝FA，则 m＋8＝10，解得 m＝2， 若 AO＝OF，在 Rt△AOB 中， AO2＝OB2＋AB2＝m2＋36， ∴(m＋8)2＝m2＋36， 解得 m＝－74(m＜0 不合题意，舍去)． 综上所述，若△OAF 是等腰三角形，m 的值为 8 或 2.一次函数与动点问题4．[永康校级月考]如图，已知直线 y＝－ 3x＋4 3与 x 轴相交于点 A，与直线 y＝ 3x 相交于点 P.动 点 E 从原点 O 出发，以每秒 2 个单位的速度沿着 O→P→A 的路线向点 A 匀速运动，同时动点 F 从原 点 O 出发，以每秒 2 个单位的速度沿着射线 OA 的方向运动，当点 E 到达终点 A 时点 F 随即停止运 动，设运动时间为 t s，解决以下问题： (1)直接写出点 P 的坐标并判断△OPA 是什么特殊的三角形； (2)当 t 为何值时，动点 E，F 和点 A 三点能组成等腰三角形？(第 4 题图)第 4 题答图解：(1)由题意可得y＝－ 3x＋4 3， x＝2，解得y＝ 3x，y＝2 3，所以点 P 的坐标为(2，2 3)；将 y＝0 代入 y＝－ 3x＋4 3， 解得 x＝4，即 OA＝4， 如答图，作 PD⊥OA 于 D，则 OD＝2，PD＝2 3， ∴OD＝AD，∴PO＝PA＝4，∴△POA 是等边三角形； (2)t＝1 或 3. 5．[杭州上城区期末]在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是(－6，0)，点 B 的坐标是(0， －8)，点 P 是直线 AB 上的一个动点． (1)求直线 AB 的函数表达式； (2)如果在 x 轴上有一点 Q(点 O 除外)，且△APQ 与△AOB 全等，请写出满足条件的点 Q 的所有坐标； (3)点 M 在直线 x＝－2 上，且使得△ABM 为等腰三角形，请写出所有满足条件的点 M 的坐标． 解：(1)当 A(－6，0)，B(0，－8)， 设 AB 表达式为 y＝kx＋b， －b＝6k－＋8b，＝0，解得kb＝＝－－438，， ∴y＝－43x－8. (2)如答图①所示： ①△AOB≌△AQ1P1，AQ1＝AO＝6， ∴Q1(－12，0)； ②△AOB≌△AP2Q2，AQ2＝AB＝10， ∴Q2(－16，0)； ③△AOB≌△AP3Q3，AQ3＝AB＝10， OQ3＝4，∴Q3(4，0)． 综上所述，点 Q 的所有坐标为 Q1(－12，0)，Q2(－16，0)，Q3(4，0)．①(3)如答图②所示： ①AB＝AM1＝10， ∵AH＝4，∴M1H＝ 102－42＝2 21， ∴M1(－2，2 21)， 同理 M2(－2，－2 21)； ②AB＝BM3＝10，BN＝2， ∴M3N＝ 102－22＝4 6， ∴M3H＝4 6－8，∴M3(－2，4 6－8)， 同理 M4(－2，－4 6－8)； ③AM5＝BM5， 设 M5(－2，m)， ∵AM52＝BM25，A(－6，0)，B(0，－8)， 16＋m2＝4＋(m＋8)2，② 第 5 题答图解得 m＝－143，∴M5－2，－143. 综上所述，M1(－2，2 21)， M2(－2，－2 21)，M3(－2，4 6－8)， M4(－2，－4 6－8)，M5－2，－143. 6．[金华校级期中]如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 y 轴的正半轴交于点 A， 与 x 轴交于点 B(2，0)，△ABO 的面积为 2.动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在射线 OB 上运动，动点 Q 从 B 出发，沿 x 轴的正半轴与点 P 同时以相同的速度运动，过 P 作 PM⊥x 轴交 直线 AB 于 M. (1)求直线 AB 的表达式； (2)当点 P 在线段 OB 上运动时，设△MPQ 的面积为 S，点 P 运动的时间为 t s，求 S 与 t 的函数关系 式(直接写出自变量的取值范围)； (3)过点 Q 作 QN⊥x 轴交直线 AB 于 N，在运动过程中(P 不与 B 重合)，是否存在某一时刻 t(s)，使△MNQ 是等腰三角形？若存在，求出时间 t 的值．(第 6 题图) 解：(1)∵B(2，0)，∴OB＝2， ∴S△ABO＝12OB·OA＝12×2OA＝2，解得 OA＝2，∴A(0，2)， 设直线 AB 的表达式为 y＝kx＋b，则⎩⎨⎧b ＝2，2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝2，∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋2；(2)∵OA ＝OB ＝2，∴△ABO 是等腰直角三角形，∴PM ＝PB ＝OB －OP ＝2－t ，∵点P ，Q 的速度都是每秒1个单位长度，∴PQ ＝OB ＝2，∴△MPQ 的面积S ＝12PQ ·PM＝12×2×(2－t )＝2－t ，∵点P 在线段OB 上运动，∴0＜t ＜2，∴S 与t 的函数关系式为S ＝2－t (0＜t ＜2)；(3)t s 时，PM ＝PB ＝|2－t |，QN ＝BQ ＝t ，所以，QM 2＝PM 2＋PQ 2＝(2－t )2＋4，MN ＝2PQ ＝2 2.①若MN ＝QN ，则t ＝22；②若MN ＝QM ，则(2－t )2＋4＝(22)2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝4；③若QN ＝QM ，则(2－t )2＋4＝t 2，解得t ＝2，此时点P 与点B 重合，不合题意舍去．综上所述，t ＝22或4时，△MNQ 是等腰三角形．7．[平阳月考]如图，直线l的表达式为y＝－43x＋b，它与坐标轴分别交于A，B两点，其中点B坐标为(0，4)．(1)求出A点的坐标；(2)在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点C从y轴上的点(0，10)出发，以每秒1个单位长度的速度向负半轴运动，求出点C运动所有的时间t，使得△ABC为轴对称图形．(直接写答案即可)(第7题图)解：(1)将点B(0，4)代入直线l的表达式得b＝4，∴直线l的表达式为y＝－43x＋4，令y＝0，得x＝3，∴A(3，0)．(2)存在．∵Q在第一象限的角平分线上，设Q(x，x)，根据勾股定理：QB2＋BA2＝QA2，x2＋(x－4)2＋52＝x2＋(x－3)2，解得x＝16，故Q(16，16)．(3)∵△ABC 为轴对称图形，∴△ABC 为等腰三角形，当AB ＝BC 时，C (0，9)或(0，－1)，此时C 点运动1 s 或11 s ，当AB ＝AC 时，C (0，－4)，此时C 点运动14 s ，当AC ＝BC 时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78， 此时C 点运动738 s.综上所述：当C 点运动1 s ，738 s ，11 s ，14 s 时，能使△ABC 为轴对称图形．8．[杭州萧山区期末]如图，已知∠MON ＝90°，点A ，P 分别是射线OM ，ON 上两定点，且OA ＝2，OP ＝6；动点B 从点O 向点P 运动，以AB 为斜边向右侧作等腰直角三角形ABC .设线段OB 的长为x ，点C 到射线ON 的距离为y .(1)若OB ＝2，直接写出点C 到射线ON 的距离；(2)求y 关于x 的函数表达式，并在图2中画出函数图象；(3)当动点B 从点O 运动到点P ，求点C 运动经过的路径长．(第8题图)解：(1)若OB ＝2，则CB＝2，且CB⊥ON，∴点C到射线ON的距离为2；(2)作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F，∵∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF，又∵CA＝CB，∠CEA＝∠CFB＝90°，∴△CEA≌△CFB，∴AE＝BF，CE＝CF，∵AE＝y－2，FB＝x－y，∴y－2＝x－y⇒y＝12x＋1.图象略．(3)连结OC.∵CE＝CF，∴OC平分∠MON，∴点C在OC上，∵x＝0，y＝1，x＝6，y＝4，∴点C从(1，1)运动到了(4，4)，∴点C运动经过的路径长为3 2.。

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八年上册数学动点题1-11、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．2、已知直线m的解析式为与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，在坐标平面内有一点P（a，2），且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）求a的值．2-13、如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且相邻两平行线之间的距离均为1，则AC的长是（）4、在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点B在第二象限,点C在坐标轴上,满足三角形ABC是Rt三角形的点C最多有a个，最少有b个，则a+b的值为解：1、AB为斜边。

以AB为直径做圆，则C点为圆与坐标轴的交点。

最多有4个，最少有2个。

2、AB为直角边。

分别过A和B点做线段AB的垂线。

则与坐标轴最多有4个交点，最少有两个（AB与X轴平行）综合上述，a=8,b=4。

因此a+b=12。

5、一次函数y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于A(6,0)和B(0,2根号3),动点C在x轴上运动（不与点O，点A重合），连接BC。

①若点C为（3，0）则△ABC的面积为多少②若点C（x，0）在线段OA上运动（不与点O，点A重合），求△ABC面积y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围③在x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰△？若存在，直接写出C的坐标，若不存在，说明理由。

解：①△ABC的面积为1/2AC*OB=1/2*(6-3)*2√3=3√3;②因为点C（x，0）在线段OA上运动，所以△ABC面积是1/2AC*OB=√3（6-x）=6√3-√3x，即y=6√3-√3x（0＜x＜6）③在x轴上存在点C，使△ABC为等腰△，C的坐标分别为（6-4√3,0）、（6+4√3,0）、（-6,0）和（2,0）6、点M、N是第一象限内的两点,坐标分别为M(2,3),N(4,0)(1)若点P是y轴的一个动点，当△PMN周长最小是，点P坐标为(2)若P、Q是y轴的两点（P在Q是下方），且P、Q=1，当四边形PQMN周长最小时，点P坐标为分析：PQMN周长=PQ+QM+MN+PN，而PQ=1,MN=根13，是固定的, 所以即求QM+PN最小值. 由轴对称性质，若设M'与M关于y轴对称，得MQ=M'Q 我们发现，将MQ向下平移一个单位,则P与Q重合,于是QM+PN=QM+QN，取M（2,3）下移一个单位后M1（2,2）的关于Y轴对称的点为M2（-2,2），则M1Q=M2Q，（QM1+QN）最小=M2N=2*根10。

1、浙教版八年级上册数学动点题及答案解析(word版可编辑修改)2、3、4、编辑整理：5、6、7、8、9、尊敬的读者朋友们：10、这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙教版八年级上册数学动点题及答案解析(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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12、13、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．14、已知直线m的解析式为与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°，在坐标平面内有一点P（a，2)，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求A,B两点的坐标；（2）求△ABC的面积; （3）求a的值．3、如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上,且相邻两平行线之间的距离均为1，则AC的长是( )4、在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在第二象限，点C在坐标轴上,满足三角形ABC是Rt三角形的点C最多有a个，最少有b个，则a+b的值为解：1、AB为斜边。

以AB为直径做圆，则C点为圆与坐标轴的交点.最多有4个，最少有2个..2、AB为直角边。

分别过A和B点做线段AB的垂线。

则与坐标轴最多有4个交点，最少有两个（AB与X轴平行)综合上述，a=8，b=4。

因此a+b=12。

6、如图，直线y=-3/4x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，点Q是线段OA的中点,点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿O→B→A方向运动，运动时间为t秒，当点P到达A时，运动停止。

2019 秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升 2——特殊三角形的综合(教材 P64 作业题第 6 题)把一个顶角为 36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，分成 3 张小纸片，使每张小纸片都是 等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．解：如答图．教材母题答图【思想方法】 (1)应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对 所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．利用等腰三角形的性质和相似三 角形的性质是解决此题的关键．(2)与等腰三角形有关的计算，如果没有指明这个角是顶角还是底角，应该分两种情况进行分析，已知 给出了一个内角，没有明确是顶角还是底角，也应进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．等腰三角形的综合1．[海宁校级期末]如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列四个结论：①∠AOB＝90°＋12∠C；②AE＋BF ＝EF；③当∠C＝90°时，E，F 分别是 AC，BC 的中点；④若 OD＝a，CE＋CF＝2b，则 S△CEF＝ab. 其中正确的是( C )(第 1 题图)A．①②B．③④C．①②④【解析】 ∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O， ∴∠OBA＝12∠CBA，∠OAB＝12∠CAB， ∴∠AOB＝180°－∠OBA－∠OAB＝180°－12∠CBA－12∠CAB ＝180°－12(180°－∠C) ＝90°＋12∠C，①正确； ∵EF∥AB，∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO，∴FO＝FB，D．①③④同理 EO＝EA，∴AE＋BF＝EF，②正确； 当∠C＝90°时，AE＋BF＝EF<CF＋CE， ∴E，F 分别是 AC，BC 的中点，③错误； 作 OH⊥AC 于 H， ∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O， ∴点 O 在∠C 的平分线上，∴OD＝OH， ∴S△CEF＝12CF·OD＋12CE·OH＝ab，④正确， 故选 C. 2．[余姚期中]如图，AB＝AC＝4，∠A＝45°，P 为 BC 边上的一个动点，PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E，则 PE＋PD＝__2 2__．(第 2 题图)第 2 题答图【解析】 如答图，连结 AP，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，∵∠BAC＝45°，∴CF＝ 22AC＝2 2， S△ABC＝12AB·CF， S△ACP＋S△ABP＝12AC·PE＋12AB·PD＝12AB·(PE＋PD)，∵S△ABC＝S△ACP＋S△ABP， ∴PE＋PD＝CF＝2 2. 3．[绍兴柯桥区校级期中]如图，在△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，E 是 AB 上一点，BE＝2，AE ＝3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB＋PE 的最小值是__10__．(第 3 题图)3 题答图【解析】 如答图，作 B 关于 AC 的对称点 D，连结 AD，ED，则 ED 交于 AC 于点 P，此时 PB＋PE 最小，则 PB＝PD，∠BAC＝∠DAC，AD＝AB，∵在△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝90°，∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6，AB＝AE＋BE＝8，∴DE＝ AE2＋AD2＝10，∴PB＋PE＝PD＋PE＝DE＝10.4．[海宁校级期末]一块直角三角形绿地，两直角边长分别为 3 m，4 m，现在要将绿地扩充成等腰三 角形，保持两个顶点不变且只能延长长为 3 m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为__8 或 10或 12 或235__m2. 【解析】 ∵两直角边长为 3 m，4 m， ∴由勾股定理得 AB＝ 32＋42＝5 m. ①如答图①： 当 AC＝CD＝4 m 时， ∵AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积： 12×4×4＝8(m2)；第 4 题答图①第 4 题答图②②如答图②，延长 BC 到 D 使 CD 等于 3 m，此时 BD＝6 m， 此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4＝12(m2)； ③BD＝BA 时，此时等腰三角形绿地的面积：12×5×4＝10(m2)； ④DA＝DB 时，设 DA＝DB＝x， 在 Rt△ ADC 中，有 x2＝42＋(x－3)2，解得 x＝265，此时等腰三角形绿地的面积：12×265×4＝235(m2)． 故扩充后面积为 8 或 12 或 10 或235. 5．[义乌校级期中]如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点 D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和 BD 相交于点 O.(第 5 题图) (1)求证：△AEC≌△BED； (2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数． 解：(1)证明：∵AE 和 BD 相交于点 O， ∴∠AOD＝∠BOE. 在△AOD 和△BOE 中，∵∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED. 在△AEC 和△BED 中， ∵∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED， ∴△AEC≌△BED(ASA)． (2)∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE. 在△EDC 中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°， ∴∠BDE＝∠C＝69°. 6．[杭州富阳区期末]如图，△ABC 和△DCE 均是等腰三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE.(第 6 题图) (1)求证：BD＝AE； (2)若∠BAC＝70°，求∠BPE 的度数． 解：(1)证明：∵∠BCA＝∠DCE， ∴BCD＝∠ACE，BC＝AC， 在△BCD 和△ACE 中，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE，∴BD＝AE； (2)由(1)得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD， ∴∠BPE＝∠BAP＋∠ABP＝∠BAC＋∠CAP＋∠ABP＝∠BAC＋∠CBD＋∠ABP＝∠BAC＋∠ABC＝ 140°. 7．[永康校级期末]如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD 是角平分线，P，Q 分别是 AD， AB 上的动点，求 BP＋PQ 的最小值．(第 7 题图)第 7 题答图解：∵AB＝AC，AD 是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴B 点，C 点关于 AD 对称，如答图，过 C 作 CQ′⊥AB 于 Q′，交 AD 于 P′，则 CQ′＝BP＋PQ 的最小值，根据勾股定理得 AD＝8，利用等面积法得 AB·CQ′＝BC·AD， ∴CQ′＝BCA·BAD＝121×0 8＝9.6， 所以 BP＋PQ 的最小值是 9.6.8．[柯桥区校级期中]如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP＝OC.(1)求证：∠APO＋∠DCO＝30°；(2)判断△OPC 的形状，并说明理由．(第 8 题图) 解：(1)证明：连结 OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∠BAD＝12∠BAC＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°－∠BAD＝30°， ∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°； (2)△OPC 是等边三角形．理由： ∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°， ∵OP＝OC，∴△OPC 是等边三角形． 9．[杭州西湖区校级期中]如图，将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后， 得折痕 AD，BE(如图 1)，点 O 为其交点．(第 9 题图) (1)探求 AO 与 OD 的数量关系，并说明理由； (2)如图 2，若 P，N 分别为 BE，BC 上的动点． ①当 PN＋PD 的长度取得最小值时，求 BP 的长度； ②如图 3，若点 Q 在线段 BO 上，BQ＝1，则 QN＋NP＋PD 的最小值＝__ 10__． 解：(1)AO＝2OD.理由： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°， ∴AO＝OB.∵BD＝CD， ∴AD⊥BC，∴∠BDO＝90°， ∴OB＝2OD，∴OA＝2OD； (2)①如答图①，作点 D 关于 BE 的对称点 D′，过 D′作 D′N⊥BC 于 N 交 BE 于 P，则此时 PN＋PD 的 长度取得最小值． ∵BE 垂直平分 DD′，∴BD＝BD′. ∵∠ABC＝60°，∴△BDD′是等边三角形， ∴BN＝12BD＝32. ∵∠PBN＝30°，∴BPNB＝ 23，∴PB＝ 3；第9题答图②如答图②，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连结Q′D′，即为QN＋NP＋PD 的最小值．根据轴对称的定义可知∠Q′BN＝∠QBN＝30°，∠QBQ′＝60°，∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，∴∠D′BQ′＝90°.在Rt△D′BQ′中，D′Q′＝32＋12＝10，∴QN＋NP＋PD的最小值＝10.等边三角形的综合10．[杭州滨江区校级期中]如图，等边三角形ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边三角形CDE，连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至Q，P为BQ上一点，连结CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝6时，求PQ的长．(第10题图) 第10题答图解：(1)证明：∵△ABC ，△CDE 均为等边三角形， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠DCO ＝∠DCE －∠DCO ， 即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )； (2)∵AO 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝12∠BAC ＝30°.如答图，过C 点作CH ⊥BQ ，垂足为H ， 由(1)知△ACD ≌△BCE ， 则∠CAD ＝∠CBH ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝3， ∴在Rt △CHQ 中，HQ ＝CQ 2－CH 2＝52－32＝4，又∵CP ＝CQ ，CH ⊥PQ ， ∴PQ ＝2HQ ＝8.11．[义乌校级期中]如图，已知∠DAC ＝90°，△ABC 是等边三角形，点P 为射线AD 上任意一点(点P 与点A 不重合)，连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E .(第11题图)(1)如图1，猜想∠QEP ＝__60__°；(2)如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；(3)如图3，若∠DAC ＝135°，∠ACP ＝15°，且AC ＝4，求BQ 的长． 解：(1)∠QEP ＝60°.证明：如答图①，连结PQ ，设QE ，PC 交于点M . ∵PC ＝CQ ，且∠PCQ ＝60°， ∴△CPQ 是等边三角形，则△CP A 和△CQB 中，⎩⎨⎧PC ＝QC ，∠ACP ＝∠BCQ ，AC ＝BC ，∴△CP A ≌△CQB (SAS )， ∴∠CQB ＝∠CP A ，又∵△PEM 和△CQM 中，∠EMP ＝∠CMQ ， ∴∠QEP ＝∠QCP ＝60°.第11题答图(2)∠QEP ＝60°.以∠DAC 是锐角为例． 证明：如答图②， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝BC ，∠ACB ＝60°，∵线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ， ∴CP ＝CQ ，∠PCQ ＝60°，∴∠ACB ＋∠BCP ＝∠BCP ＋∠PCQ ， 即∠ACP ＝∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中，⎩⎨⎧CA ＝CB ，∠ACP ＝∠BCQ ，CP ＝CQ ，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )， ∴∠APC ＝∠Q ，∵∠1＝∠2， ∴∠QEP ＝∠PCQ ＝60°.(3)如答图③，连结CQ ，作CH ⊥AD 于H ， 同(2)可证明△ACP ≌△BCQ ，∴AP ＝BQ ，∵∠DAC ＝135°，∠ACP ＝15°， ∴∠CAH ＝45°，∠APC ＝30°， ∴△ACH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝CH ＝22AC ＝22×4＝22， 在Rt △PHC 中，PH ＝3CH ＝26， ∴P A ＝PH －AH ＝26－22， ∴BQ ＝26－2 2.直角三角形的综合12．[杭州西湖区校级期中]如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿AD 翻折得到△AED ，连结CE ，则线段CE 的长等于( A ) A.75B.54C.53D ．2(第12题图)第12题答图【解析】 如答图，连结BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ， 在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52.又∵12BC ·AH ＝12AB ·AC ， ∴AH ＝125.又∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分BE ，△BCE 是直角三角形． ∵12AD ·BO ＝12BD ·AH ， ∴OB ＝125，∴BE ＝2OB ＝245.在Rt △BCE 中，CE ＝BC 2－BE 2＝75.故选A.13．[杭州西湖区校级期中]如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，在CD 上找一点P ，使P A ＋PE 最小，则这个最小值是( A ) A ．2 5B ．4 2C ．4 5D ．5(第13题图)第13题答图【解析】 如答图，作E 点关于CD 的对称点F ，连结AF ，AF 与CD 的交点即为P 点， 此时P A ＋PE ＝P A ＋PF ＝F A 最小， ∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点， ∴CD 平分∠ACB ，∴线段AC 和线段BC 关于CD 对称， ∴对称点F 恰好在线段BC 上， ∵E 是AC 中点，∴AE ＝EC ＝2， ∴CF ＝2，∴AF ＝AC 2＋CF 2＝2 5. 故选A.14．[温州鹿城区校级期中]如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E ，F ，则线段B ′F 的长为( B )(第14题图)A.35B.45C.23D.32【解析】 Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝5，根据折叠的性质可得AE ＝ED ，AC ＝CD ，CE ⊥AD ，∠ACE ＝∠ECD ，∠BCF ＝∠B ′CF ，BF ＝B ′F .根据S △ABC ＝ 12AC ·BC ＝12AB ·CE 可求得CE ＝125.在Rt △ACE 中，再根据勾股定理可求得AE ＝95，又∵∠ACE ＋∠ECD ＋∠BCF ＋∠B ′CF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝12∠ACB ＝45°，即△ECF 为等腰直角三角形，∴CE ＝EF ＝125，∴BF ＝AB －AE －EF ＝5－95－125＝45，∴B ′F ＝BF ＝45，故选B.15．[杭州余杭区校级期中]如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 是AB 的中点，点E ，F 分别在AC ，BC 边上运动(点E 不与点A ，C 重合)，且保持AE ＝CF ，连结DE ，DF ，EF .在此运动变化的过程中，有下列结论，其中正确的结论是( D )①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的面积是定值；③点C到线段EF的最大距离为 2.A．②③B．①③C．①②D．①②③(第15题图) 第15题答图【解析】①如答图，连结CD，在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF，∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA，又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝90°＝∠EDF，∴△DFE为等腰直角三角形，正确；②∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE ＝S△CDF，∵S四边形CEDF ＝S△CED＋S△CFD，∴S四边形CEDF ＝S△CED＋S△AED＝S△ADC，∵S△ADC ＝12S△ABC＝4，∴四边形CEDF的面积是定值4，正确；③设C到EF的距离为d，∵△DEF是等腰直角三角形，故D到EF的距离为12EF，又四边形CEDF的面积是定值4，故S四边形CEDF ＝S△CEF＋S△FED＝EF2·⎝⎛⎭⎪⎫EF2＋d＝4，则d＝8EF－EF2，当EF越小，则d越大，由EF＝2DE，则DE最小时，EF最小，此时d最大．而当DE⊥AC时，DE＝2最小，此时EF＝22，d＝822－222＝ 2.故正确．综上，①②③都正确．故选D.16．[嘉兴秀洲区校级期中]如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E在同一条直线上，连结BD，BE.有以下结论：①△ACE≌△BCD；②BD＝CE；③∠ADB＝45°；④∠ACE＋∠DBC＝45°.其中正确的结论是__②③④__．(第16题图)【解析】①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∵AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，故①错误； ②∵△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE .故②正确；③∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝45°.故③正确； ④∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝45°，∴∠ACE ＋∠DBC ＝45°，故④正确．17．[杭州滨江区校级期中]如图，△ABC 和△ADE 都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交AC 于点F ，若AB ＝5，AD ＝32，当△CEF 是直角三角形时，BD 的长为__1或13__．(第17题图)第17题答图【解析】 ∵△ABC ，△ADE 都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°， ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE ，∴在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE . ①当∠CFE ＝90°时，AF ⊥DE ，∴AF＝EF＝22AE＝22×32＝3，∴CF＝AC－AF＝5－3＝2，∴在Rt△CEF中，CE＝32＋22＝13，∴BD＝CE＝13.②如答图，当∠CEF＝90°时，∠AEC＝90°＋45°＝135°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°，∴∠ADB＋∠ADE＝135°＋45°＝180°，∴B，D，F三点共线，过点A作AG⊥DE于点G，则AG＝DG＝22AD＝22×32＝3，∴在Rt△ABG中，BG＝52－32＝4，∴BD＝BG－DG＝4－3＝1.③∵AB>AD，即AC>AE，∴∠ECF不可能为直角．综上所述，BD＝13或1.18．[余姚期中]如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＋CD＝AB.(第18题图) 第18题答图证明：如答图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE.可证△ACD≌△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°，∴∠B＝∠BDE＝45°，∴BE＝ED＝DC，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.19．[慈溪期中]如图，已知AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°.(1)如图1，当∠B＝90°时，求证：DB＝DC；(2)如图2，如果∠ABD＜90°时，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举反例说明；(3)如图3，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝1，则AB－AC＝__2__．(第19题图)解：(1)证明：∵∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠C＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD，∵AD＝AD，∴△ACD≌△ABD(AAS)，∴DB＝DC；(2)DB＝DC仍成立，理由如下：如答图①，在AB边上取点E，使AC＝AE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵AD＝AD，AC＝AE，∴△ACD≌△AED，∴DC＝DE，∠AED＝∠C，∵∠C＋∠B＝180°，∠AED＋∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠B，∴DE＝DB，∴DB＝DC.第19题答图(3)如答图②，在AB上取一点E使AE＝AC，同(2)得AE＝AC，CD＝DE＝BD＝1，∴∠DEB＝∠B＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得BE＝DE2＋DB2＝2，∴AB－AC＝BE＝ 2.特殊三角形的操作探究型问题20．[杭州西湖区校级期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(D)(第20题图)A．4 B．5C．6 D．721．[杭州上城区校级期中]已知△ABC的三条边长分别为3，4，5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(A)A．6条B．7条C．8条D．9条22．[永康校级期末]在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，请以该直角三角形一边为公共边画一个新的三角形与原直角三角形拼成一个等腰三角形，新的三角形与原直角三角形无任何重叠部分．请根据以下要求，分别画图，并在图中直接标出补画的三角形的边长．(准确画图，无需保留作图痕迹，不写画法)(1)在图1上画出一个以AB为腰的等腰三角形；(2)在图2上画出一个以BC为腰的等腰三角形；(3)在图3上画出一个以AB为底边的等腰三角形．(第22题图)解：如答图，答案不唯一．第22题答图23．[义乌校级期中]我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ(0°＜θ＜90°)，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图1所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：(1)小棒能无限摆下去吗？答：__能__；(填“能“或“不能”)(2)设AA1＝A1A2＝A2A3＝1，则θ＝__22.5__度；活动二：如图2所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1.图1 图2(第23题图)数学思考：(3)若只能摆放5根小棒，求θ的范围． 解：(1)能．(2)∵∠A 1A 2A 3＝90°，AA 1＝A 1A 2＝A 2A 3， ∴∠A 2A 1A 3＝45°，∴θ＝22.5°. (3)∵A 4A 3＝A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5＝∠A 4A 5A 3＝4θ，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质， ∴6θ≥90°，5θ＜90°，∴15°≤θ＜18°.24．[杭州西湖区校级期中]△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由；(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S 1.按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2(如图2)，则S 2＝__12__．再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S 3，继续操作下去，则第10次剪取时，S 10＝__129__；(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．(第24题图)解：(1)如图甲，由题意得AE ＝DE ＝EC ，即EC ＝1，如图乙，设MN ＝x ，则由题意得AM ＝MQ ＝QP ＝PN ＝NB ＝MN ＝x ， 则3x ＝22，x ＝232， 又∵1＞232，即EC ＞MN ， ∴甲种剪法所得的正方形面积更大． (2)S 2＝12，S 10＝129.⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＝12n －1 (3)由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为2－S 1＝1＝S 1， 第二次剪取后剩余三角形面积和为S 1－S 2＝1－12＝12＝S 2， 第三次剪取后剩余三角形面积和为S 2－S 3＝12－14＝14＝S 3， …第十次剪取后剩余三角形面积和为S 9－S 10＝S 10＝129. 25．[杭州上城区校级期中]阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为5，10，13，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：(1)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1)．①利用构图法在图2中画出三边长分别为13，20，29的格点△DEF.②计算①中△DEF的面积为__8__．(直接写出答案)(2)已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连结EF.①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由；②如图3，若PQ＝10，PR＝13，QR＝3，直接写出六边形AQRDEF的面积为__32__．(第25题图)解：(1)①如答图①.②S△DEF ＝4×5－12×2×4－12×2×3－12×2×5＝8.第25题答图①第25题答图②(2)①△PQR 与△PEF 面积相等． 理由：如答图②，作RM ⊥PQ 于点M ， EN ⊥FP 的延长线于点N ，在△PMR 与△PNE 中，⎩⎨⎧∠RMP ＝∠ENP ，∠MPR ＝∠NPE ，PR ＝PE ，∴△PMR ≌△PNE (AAS )，∴RM ＝EN ， ∵S △PQR ＝12PQ ·RM ，S △EPF ＝12FP ·EN ， PQ ＝FP ，∴S △PQR ＝S △EPF . ②PQ ＝10，PR ＝13，QR ＝3，将这个六边形放入网格中，则它的面积为(10)2＋(13)2＋2×(3×3－12×3×1－12×2×3)＝10＋13＋9＝32.。

2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升1——有关全等三角形的开放题与探究题(教材P35探究活动)如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上．下面给出四个论断：①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF .任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明．(教材母题图)解：(1)①③④为条件， ②为结论； ∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ， 即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SAS )，∴AC ＝DF .故本命题为真命题； (2)①②④为条件，③为结论；∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS )，∴∠ABC ＝∠DEF .故本命题为真命题； (3)①②③为条件，④为结论；无法证明△ABC ≌△DEF ，故本命题不是真命题． (4)②③④为条件，①为结论；无法证明△ABC ≌△DEF ，故本命题不是真命题． 综上所述，可得到4个命题，其中真命题有2个．【思想方法】 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．条件探索型问题1．[余姚期中]如图，下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是( D ) A ．BD ＝DC ，AB ＝AC B ．∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝DC C ．∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．(第1题图) (第2题图)2．[台州校级期中]如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是(D)A．∠A＝∠D B．BC＝EFC．∠ACB＝∠F D．AC＝DF【解析】∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF.故选D.3．[杭州临安区期末]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：__AC＝AD__等(答案不唯一)__(写出一个条件即可)，可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．(第3题图) (第4题图)4．[金华校级期中]已知：如图，D，E是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明．解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：EC＝BD或AB＝AC或BE＝CD或∠B＝∠C或∠BAD ＝∠CAE或∠BAE＝∠CAD等．证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵EC＝BD，∴CD＝BD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．结论探索型问题5．[杭州上城区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，有下列说法：①CD＝BE；②∠ADB＝112.5°；③AC＋CD＝AB；④若△DEB的面积为1，点P是边AB上的中点，则△ADP的面积为2＋ 2.其中正确的是(A)A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∴DE＝BE，∵CD＝DE，∴CD＝BE，故①正确．∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝12∠CAB＝22.5°，又∵∠B＝45°，∴在△ADB中，∠ADB＝180°－∠DAB－∠B＝112.5°.故②正确．∵△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE.又∵CD＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.故③正确．∵△DEB为等腰直角三角形，∴DE＝BE＝2，BD＝2，∴BC＝2＋2，AB＝2＋22，∵P为AB中点，∴AP＝12AB＝1＋ 2.∴S△ADP ＝12AP·DE＝12×(1＋2)×2＝1＋22，故④错误．(第5题图) (第6题图)6．[台州校级期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D 旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③BE＋CF＝EF；④△BDE≌△ADF，其中正确结论是(C)A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④【解析】∵∠B＝45°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点D为BC中点，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B，∵∠MDN是直角，∴∠ADF＋∠ADE＝90°，∵∠BDE＋∠ADE＝∠ADB＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，在△BDE和△ADF中，∠CAD＝∠B，AD＝BD，∠ADF＝∠BDE，∴△BDE≌△ADF(ASA)，故④正确；∴DE＝DF，BE＝AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；∵AE＝AB－BE，CF＝AC－AF，∴AE＝CF，故②正确；∵BE＋CF＝AF＋AE，∴BE＋CF＞EF，故③错误．故选C.7．[绍兴柯桥区校级期中]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.则下面结论中：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有__①②③④__．(第7题图)【解析】已知DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠EDA＝∠FDA，①正确；可证△ADE≌△ADF，故有AE＝AF，DE＝DF，②正确；AD是△ABC的平分线，AB＝AC，根据“三线合一”可知AD是BC的垂直平分线，∴AD上的点到B，C两点距离相等，③正确；根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．8．[台州校级期中]如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为BC，AC的中点，P是AD上一动点，当EP＋PC最短时，PE，PC满足的数量关系是__PC＝2PE__．(第8题图) 第8题答图【解析】∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴B，C关于直线AD对称，∴如答图，连结BE，交AD于点P′，则此时EP＋PC最短，∵E为AC的中点，∴BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE＝30°，∴∠P′CB＝30°，∴∠P′CE＝30°，∴P′C＝2P′E.9．[宁波校级期中]如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP 之间有一定的数量关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系．(第9题图) 第9题答图解：数量关系是∠OEP＝∠ODP或∠OEP＋∠ODP＝180°.理由：如答图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连结PE2，根据SAS证△E2OP≌△DOP，推出E2P＝PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P＝∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连结PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1＝∠PE1E2，求出∠OE1P＋∠ODP＝180°.10．[乐清校级期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，沿BD对折恰使点A落在BC边上的E 点，EC上有一点F，且DF＝CF.(1)求证：DF＝AD；(2)猜想：BC与BD＋AD的关系，并说明理由．(第10题图)解：(1)∵∠A＝100°，AB＝AC，∴∠C＝40°，又∵DF＝CF，∴∠DFE＝80°，∵∠BED＝∠A＝100°，∴∠DEF＝80°，∴DE＝DF，∵DE＝AD，∴DF＝AD.(2)BC＝BD＋AD.理由：∵∠DEF＝∠DFE＝80°，∴∠EDF＝20°，∴∠BDF＝80°，∴BD＝BF，∵CF＝DF＝AD，∴BC＝BF＋FC＝BD＋AD.11．[金华校级期中]如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于F，且有DC＝FD，AC ＝BF.(1)证明：△BFD≌△ACD；(2)若AB＝10，求AD的长；(3)请猜想BF和AC的位置关系并说明理由．(第11题图)解：(1)证明：∵AD是△ABC的高线，∴△ACD与△BFD都是直角三角形，∵DC＝FD，AC＝BF，∴Rt△BFD≌Rt△ACD.(2)∵Rt△ACD≌Rt△BFD，∴AD＝BD.在Rt△ABD中，∵AD2＋BD2＝AB2，∴2AD2＝AB2，∴AD＝5；(3)BF⊥AC.理由：∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC＝∠DAC.又∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＋∠ACD＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BF⊥AC.12．[台州校级期中](1)阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．请将上述方法补充完整；(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．(第12题图)解：(1)∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，在△AEB和△FEC中，∵∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD，∴AD＝DC＋CF＝DC＋AB；(2)AB＝AF＋CF.证明：如答图，延长AE交DF的延长线于点G，第12题答图∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，∵∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，∴△AEB ≌△GEC ， ∴AB ＝GC ，∵AE 是∠BAF 的平分线， ∴∠BAG ＝∠F AG ，∴∠F AG ＝∠G ，∴F A ＝FG ， ∴AB ＝CG ＝AF ＋CF .13．[杭州上城区校级期中]如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于E ，且∠ABE ＝∠CBE . (1)求证：AB ＝CB ；(2)若∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ； ①判断线段BH 与AC 相等吗？请说明理由； ②求证：BG 2－GE 2＝EA 2.(第13题图)第13题答图解：(1)证明：在△ABE 与△CBE 中，⎩⎨⎧∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∠BEA ＝∠BEC ，∴△ABE ≌△CBE (SAS )，∴AB ＝CB . (2)①BH ＝AC .理由：∵∠BDC ＝∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCD ＝∠ABC ＝45°，∠A ＋∠DCA ＝90°，∠A ＋∠ABE ＝90°， ∴DB ＝DC ，∠ABE ＝∠DCA ， 在△DBH 与△DCA 中，⎩⎨⎧∠DBH ＝∠DCA ，BD ＝CD ，∠BDH ＝∠CDA ，∴△DBH ≌△DCA (ASA )， ∴BH ＝AC .②证明：如答图，连结CG ，AG ， ∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ，∴BE 垂直平分AC ，∴AG ＝CG ， ∵F 点是BC 的中点，DB ＝DC ， ∴DF 垂直平分BC ， ∴BG ＝CG ，∴AG ＝BG ， 在Rt △AEG 中，AG 2－GE 2＝EA 2， ∴BG 2－GE 2＝EA 2.14．[金华校级期中]如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，点P 在AC 上，将△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ .(第14题图)(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB＝4，AP∶CP＝1∶3时，求PQ的长；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A，C重合)，请写出一个反映P A2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．解：由题意知，△ABP≌△CBQ，∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∴∠PCQ＝∠ACB＋∠BCQ＝90°；(2)当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，有AC＝42，AP＝2，PC＝32，∴PQ＝PC2＋CQ2＝25；(3)存在2PB2＝P A2＋PC2.易证△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝2PB，∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2＋CQ2＝P A2＋PC2，故有2PB2＝P A2＋PC2.条件、结论都探索的问题15．[绍兴柯桥区校级期中]学完“等腰三角形”一章后，老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.(1)请你完成这道思考题；(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM ＝CN ”与“∠BQM ＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②如图2，若将题中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM ＝60°？(第15题图)请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①__是__；②__是__．选择一个给出证明． 解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝60°，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN (SAS )， ∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BQM ＝∠BAM ＋∠ABQ ＝∠CBN ＋∠ABQ ＝∠ABM ＝60°； (2)①是，证明如下：∵∠BQM ＝60°，∴∠BQM ＝∠ABM ， ∴∠BAM ＋∠ABQ ＝∠CBN ＋∠ABQ ， ∴∠BAM ＝∠CBN ，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎨⎧∠BAM ＝∠CBN ，AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，∴△ABM ≌△BCN (ASA )， ∴BM ＝CN ；②是，证明方法同(1)． 16．[海宁校级期末]探究题：(1)如图1，△ABC 为等边三角形，动点D 在边CA 上，动点P 在边BC 上，若这两点分别从C ，B 点同时出发，以相同的速度由C 向A 和由B 向C 运动，连结AP ，BD 交于点Q ，两点运动过程中AP ＝BD 成立吗？请证明你的结论；(2)如果把原题中：“动点D 在边CA 上，动点P 在边BC 上”改为“动点D ，P 在射线CA 和射线BC 上运动”，其他条件不变，如图2所示，两点运动过程中∠BQP 的大小保持不变．求证：∠BQP ＝60°； (3)如果把原题中“动点P 在边BC 上”改为“动点P 在AB 的延长线上运动，连结PD 交BC 于E ”，其他条件不变，如图3，则动点D ，P 在运动过程中，DE 始终等于PE 吗？写出证明过程．(第16题图)解：(1)成立．证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C ＝∠ABP ＝60°，AB ＝BC ， 根据题意得CD ＝BP ，∴△ABP≌△BCD(SAS)，∴AP＝BD；(2)证明：根据题意CP＝AD，∴CP＋BC＝AD＋AC，即BP＝CD，∴△ABP≌△BCD(SAS)，∴∠APB＝∠BDC，∵∠APB＋∠P AC＝∠ACB＝60°，∠DAQ＝∠P AC，∴∠BDC＋∠DAQ＝∠BQP＝60°；(3)DE＝PE.证明：如答图，过点D作DG∥AB交BC于点G，第16题答图∴∠CDG＝∠C＝∠CGD＝60°，∠GDE＝∠BPE，∴△DCG为等边三角形，∴DG＝CD＝BP，∵∠DEG＝∠PEB，∴△DGE≌PBE(AAS)，∴DE＝PE.图形变化型问题17．[杭州临安区期末]在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E.(1)如图1，连结 CD ，AE ，求证：CD ＝AE ； (2)如图2，若 AB ＝1，BC ＝2，求 DE 的长；(3)如图3，将图2中的正三角形 BCE 绕B 点作适当的旋转，连结AE ，若有DE 2＋BE 2＝AE 2，试求∠DEB 的度数．(第17题图)解：(1)证明：∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形， ∴AD ＝AB ＝BD ，BC ＝BE ＝EC ， ∠ABD ＝∠EBC ＝60°， ∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，⎩⎨⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC ； (2)如答图①，取BE 中点F ，连结DF ， ∵BD ＝AB ＝1，BE ＝BC ＝2， ∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴BF ＝EF ＝1＝BD ，∠DBF ＝60°， ∴△DBF 是等边三角形， ∴DF ＝BF ＝EF ，∠DFB ＝60°，∵∠BFD ＝∠FED ＋∠FDE ， ∴∠FDE ＝∠FED ＝30°，∴∠EDB ＝180°－∠DBE －∠DEB ＝90°， ∴DE ＝BE 2－BD 2＝22－12＝3；①②第17题答图(3)如答图②，连结DC ，∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形， ∴AD ＝AB ＝BD ，BC ＝BE ＝EC ， ∠ABD ＝∠EBC ＝60°， ∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，⎩⎨⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC . ∵DE 2＋BE 2＝AE 2，BE ＝CE ， ∴DE 2＋CE 2＝CD 2，∴∠DEC ＝90°，∵∠BEC ＝60°，∴∠DEB ＝∠DEC －∠BEC ＝30°.18．[湖州校级期中]已知点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(不与A ，B 重合)，分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．(1)如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是__AE ∥BF __，QE 与QF 的数量关系为__QE ＝QF __；(2)如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；(提示：延长FQ 与AE 交于点D )(3)如图3，当点P 在线段BA (或AB )的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．(第18题图)解：(1)AE ∥BF ，QE ＝QF . ∵Q 为AB 中点，∴AQ ＝BQ ， ∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∠BFQ ＝∠AEQ ＝90°，在△BFQ 和△AEQ 中，⎩⎨⎧∠BFQ ＝∠AEQ ，∠BQF ＝∠AQE ，BQ ＝AQ ，∴△BFQ ≌△AEQ (AAS )，∴QE ＝QF .(2)QE ＝QF .证明：如答图①，延长FQ 交AE 于D ，∵Q 为AB 中点，∴AQ ＝BQ ，∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∴∠QAD ＝∠FBQ ，在△FBQ 和△DAQ 中，⎩⎨⎧∠FBQ ＝∠DAQ ，BQ ＝AQ ，∠BQF ＝∠AQD ，∴△FBQ ≌△DAQ (ASA )，∴QF ＝QD ，∵AE ⊥CP ，∴EQ 是Rt △DEF 斜边上的中线，∴QE ＝QF ＝QD ，即QE ＝QF .第18题答图(3)(2)中的结论仍然成立．证明：如答图②，延长EQ ，FB 交于D ，∵Q 为AB 中点，∴AQ ＝BQ ，∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∴∠1＝∠D ，在△AQE 和△BQD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠D ，∠2＝∠3，AQ ＝BQ ，∴△AQE ≌△BQD (AAS )，∴QE ＝QD ，∵BF ⊥CP ，∴FQ 是斜边DE 上的中线，∴QE ＝QF .19．[义乌校级期中]定义：四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形．我校“快乐走班”数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD 中，AB ＝6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合．三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q .(第19题图)(1)求证：DP ＝DQ ；(2)如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E ，连结PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；(3)如图3，固定三角板直角顶点在D 点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB 的延长线于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q ，仍作∠PDQ 的平分线DE 交BC 延长线于点E ，连结PE ，若AB ∶AP ＝3∶4，请帮小明算出△DEP 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝DC ，∠DAP ＝∠DCQ ＝90°，∵∠PDQ ＝90°，∴∠ADP ＋∠PDC ＝90°，∠CDQ ＋∠PDC ＝90°，∴∠ADP ＝∠CDQ ，在△ADP 与△CDQ 中，⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DCQ ，DA ＝DC ，∠ADP ＝∠CDQ ， ∴△ADP ≌△CDQ (ASA )，∴DP ＝DQ ；(2)PE ＝QE .证明如下：∵DE 是∠PDQ 的平分线，∴∠PDE ＝∠QDE ，在△PDE 与△QDE 中，⎩⎨⎧DP ＝DQ ，∠PDE ＝∠QDE ，DE ＝DE ，∴△PDE ≌△QDE (SAS )，∴PE ＝QE ；(3)∵AB ∶AP ＝3∶4，AB ＝6，∴AP ＝8，BP ＝2，由(1)知：△ADP ≌△CDQ ，则AP ＝CQ ＝8， 由(2)知：△PDE ≌△QDE ，PE ＝QE ，设CE ＝x ，则PE ＝QE ＝CQ －CE ＝8－x ，在Rt △PEB 中，BP ＝2，BE ＝6＋x ，PE ＝8－x ，由勾股定理得22＋(6＋x)2＝(8－x)2，解得x＝6 7，∴QE＝8－67＝507，∴S△DEP ＝S△DEQ＝12QE·DC＝12×507×6＝1507.。