一次分式型函数

分离常数的常见题型
一、分式函数求值域类型
1. 一次分式型
- 比如说（）这种形式。

就像。

咱分离常数的话，就把分子凑成分母的倍数加上一个常数。

- 对于，可以写成。

这时候呢，就很容易看出来值域啦。

因为，所以。

2. 二次分式型（可化为一次分式型）
- 像这种。

咱先把分子变形一下，。

- 那这个函数就变成。

这里要注意哦，当和的时候，根据均值不等式能求出值域的范围。

二、数列通项公式类型
1. 形如这种
- 分离常数就得到。

这对于研究数列的单调性啊，极限啊就很有用。

比如说，当越来越大的时候，就越来越小，所以这个数列是单调递减的，而且极限是。

2. 复杂一点的分式形式
- 比如。

先把分子分母同时除以，得到。

然后再把分子凑成关于的式子，进一步分离常数，这样就能方便地分析数列的性质啦。

三、函数单调性证明类型
1. 分式函数的单调性
- 就拿来说吧。

分离常数得到。

- 要证明它的单调性呢，我们就看这部分。

当在不同区间变化的时候，的变化情况就决定了整个函数的单调性。

比如的时候，越大，越小，函数就越小，所以函数在上单调递减。

一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。

（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。

二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。

用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。

通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。

三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。

因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。

四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。

一次分式型函数的对称中心一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。

其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。

在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。

我们来定义一次分式型函数的对称中心。

对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。

接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。

首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。

这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。

对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。

这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。

进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。

以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。

在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。

这个交点的坐标为(-2/3, -1/3)。

一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。

这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。

2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。

3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。

含参一次型分式函数的应用例题
含参一次型分式函数是一种形式的函数，其中分式部分是以一次函数形式加上一个参数。

在实际应用中，这种函数常常被用来进行数据处理和分析。

以下是一些例题:
1. 已知反比例函数的解析式为，求 y 与 x 的函数关系式。

解：将 x2,y1 代入得，解得 k=9。

因此 y 与 x 的函数关系式为。

2. 求分式方程的应用题例题。

解：设步行速度为 x 千米/分，则汽车的速度为 2.5x 千米/分。

得，解得 x=0.38。

经检验，x=0.38 为方程的解，且符合题意。

因此汽车的速度为每千米 0.95 分。

3. 求一次函数表达式的例题。

解：例 1.一个弹簧，不挂物体时长 12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。

如果挂上 3kg 物体后，弹簧总长是 13.5cm，求弹簧总长是 y(cm) 与所挂物体质量 x(kg) 之间的函数关系式。

如果弹簧最大总长为 23cm，求自变量 x 的取值范围。

解：由题意设所求函数为 ykx12，则 13.5=3k12，得 k=0.5。

因此函数解析式为 y=0.5x12。

由 230.5x12 得 x=22。

因此自变量 x 的取值范围是 0x22。

通过这些例题，我们可以看到含参一次型分式函数在实际应用中具有广泛的应用，可以用于数据处理和分析。

黑龙江科学HEILONGJIANG SCIENCE第12卷第7期2021年4月Vol. 12Apr. 2021分式型函数求极限的方法总结孔敏，王娟，梁登星(北京科技大学天津学院，天津301811)摘要：对分式型函数求极限的方法进行总结，以％T%和为例进行说明。

对分式型函数而言，要先判断分母的极限，再判断 分子的极限,要选择正确简单的做题方法，注意洛必达法则的使用条件。

关键词：分式型函数;极限；方法总结中图分类号：0171 -4 文献标志码：B 文章编号：1674-8646(2021 )07 -0128 -02Summary of Fraction Function Ultimate MethodKong Min , Wang Juan , Liang Dengxing(Tianjin College , University of Science and Technology Beijing, Tianjin 301811 , China)Abstract : The research summarizes the fraction function ultimate method , and explains through the example of x —%0 and . For fraction function , it is necessary to judge the extremity of the denominator first , and then judge theextremity of numerator. It is suggested to conectly select simple problem solving method , and pay attention to the service conditions of L' Hospital's rule.Key words : Fraction function ； Extremity ； Method summaiy0引言为0时,根据无穷大和无穷小的关系，取分式函数的倒 数求极限。

一次分式函数
一次分式函数是一类非常重要的函数，在数学中扮演着非常重要的角色。

它是一个由有理分式组成的连续函数，可以表示为P(x)/Q(x)，其中P、Q是两个多项式。

一次分式函数拥有非常强大的表示能力，它既可以表示连续函数，也
可以表示离散函数。

它是一种图形化函数，因此可以很容易地通过绘
图来理解函数的性质。

它也可以用来分析函数的局部特点，比如极值、拐点和波动性等，从而了解函数的变化趋势。

一次分式函数也可以用来保存数据，它可以把数据表示为函数，从而
可以更精确地描述和分析数据的性质。

因此，一次分式函数也常常被
用来作为数据分析的工具。

一次分式函数也可以用来定义不同的运算操作，比如取余运算、乘方
运算、对数运算和乘法等。

它们对于实现复杂算法有着重要的意义。

总之，一次分式函数在数学中应用广泛，它可以把复杂的数据和运算
表示为一个简单的函数，从而使得精确分析更加容易。

因此，一次分
式函数在数学中扮演着非常重要的角色，不仅在数学学科中，而且在
各种科学和工程领域都有广泛的应用，对人类的发展和进步起着重要
的作用。

分式函数在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型 f (x ) =ax + b cx + d (ad ≠ cb ) ；（2）倒数结构型 f (x ) = ax + b 。

x下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。

一、一次分式型 f (x ) = ax + b(ad ≠ cb )cx + d d a d a图象是以直线 x = - , y = c c （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(- 2x -1, ) ， 通c c常用代点法确定两支双曲线的位置。

例如： y = y3x + 5的图象如图所示：2 3O- 5 - 1 35y = 23x二、倒数结构型 f (x ) = ax + bx（1） a > 0 且b < 0 时，示意图如下：y- -b- b aaOx此时 f (x ) 为奇函数，分段递增， 当 x > 0(或x < 0) 时， y ∈ R（2） a > 0, b > 0 时，示意图如下：y2 aby = ax可看成以直线 y = ax 与 y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点 A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时 f (x ) 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。

Ob xaB注意：当 a < 0, b > 0 时或 a < 0, b < 0 时，可转化为上述两种。

5、一次函数与一次分式型函数一、知识巩固1、一次函数：y=kx+b 为一次函数，其图象是一条直线2、反比例函数xk y =（0≠k ）的图象是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），以坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）． 我们可以称函数bax d cx y ++=（0≠a ）为一次分式型函数． ∵b ax d cx y ++=b ax a bc d b ax a c +-++=)(ab x a bc ad a c +-+=2， ∴函数b ax d cx y ++=，一般可以化为mx k n y -=-（0≠k ）的形式，其中k n m ,,是常数．令m x x -='，n y y -='，则''x k y =，这是一个反比例函数． 因此，一次分式型函数b ax d cx y ++=（0≠a ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．二、典例分析例1、画出下列函数的图象：（1）12+-=x y ；（2）xy 3=． 例2、函数y=123++x x 的图象可由函数y=x 1的图象通过怎样的变换得到？例3、画出函数212--=x x y 的图象，并说明其定义域、值域单调性与零点。

例4、函数y=1---a x x a 的图象关于点（4，-1）成中心对称，求实数a 的值．三、高考赏析（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________四、练习提高1、若函数xk y =的图象经过点)5,2(-A ，则函数的图象分布在（ ） （A ）一、四象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）二、四象限 2、若函数22-=x y （A x ∈）的值域为}2|{-<y y ，则A 表示的区间是（ ） （A ）)2,1( （B ）)3,2( （C ）)2,(--∞ （D ）)1,(-∞3、函数y=11+x 图象的对称中心是（ ） （A ）（1，0） （B ）（1，0） （A ）（0，1） （A ）（0，1）4、函数y=1222++x x 中，函数值y 的取值范围是（ ） （A ）1＜y ≤2（B ）y ≤2 （C ）y ≤1 （D ）0＜y ≤2 5、函数212--=x x y 的图象的对称中心是 ． 6．若函数21++=x ax y 在),2(∞+-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 7．函数y=33-x x 中，函数值y 的取值范围是 。