一次分式函数

一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。

（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。

二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。

用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。

通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。

三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。

因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。

四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。

一次分式型函数的对称中心一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。

其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。

在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。

我们来定义一次分式型函数的对称中心。

对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。

接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。

首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。

这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。

对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。

这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。

进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。

以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。

在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。

这个交点的坐标为(-2/3, -1/3)。

一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。

这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。

2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。

3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。

专题11 一次分式函数【方法点拨】1． 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分式函数. 2． 一次分式函数(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的图象和性质（1）图象：.（2）性质：①定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；2.3 值域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y ； ②对称中心：⎪⎭⎫⎝⎛-a c ab ,； ③渐近线方程：b x a =-和cy a=； ④单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)ba-∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增. 【典型例题】例1 设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N ={M x x f y y ∈=),(}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有几个？【解析】函数f （x ）= (0)11(0)1x x x x xx x x ⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩其图象如下图所示，由图象可知，y =f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。

而N =｛y |y =f （x ），x ∈M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［a ，b ］时其值域为Ｎ。

由Ｍ＝Ｎ得解得a =b =0，这与a <b 矛盾，所以0个.例2 已知函数2()1ax af x x +-=+，其中a R ∈.(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值； (2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）a ＝3； （2）{}1a a <. 【分析】(1)部分分式2(1)2222()111ax a a x a af x a x x x +-++--===++++ 所以()f x 的对称中心为(－1，a )，与P(－1，3)比较得a ＝3. (2)由2()1ax af x x +-=+知x ＝－1为()f x 的一条渐近线，又由一次分函数的性质知，当且仅当1(2)1a a ⨯->⨯，即a <1时，()f x 在(－1,+∞)上单调递减，故a 的范围是{}1a a <. 点评：一次分式型函数的最常用变形手段“部分分式”（其核心就是分子‘凑’分母），其常用方法有凑配、换元、长除法等.例3 求函数2121x x y -=+的值域.【答案】（－1,1）【分析】令2(0)xt t =>，则2121x x y -=+为11t y t -=+与2(0)x t t =>复合而成而12111t y t t -==-++，故在0t >递增，所以1y >- 又当t →+∞时，1y →故2121x x y -=+的值域是（－1,1）.【巩固练习】1．函数y=432-+x x 的值域 ．2．函数y=432-+x x （21><x x 或）的值域 ．3．函数y=42-+-x x 的对称中心是 ．4．函数y=42-+-x x 的单调增区间是 ．5．已知函数()x f =ax x -+-2，若*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．5．若函数2+-=x b x y 在区间()4,+b a 上的值域为()+∞,2，则=ba ______________． 6．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”.若函数()ax x x f +-=13的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围.()2-<b【答案与提示】1．【答案】 13y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭2．【答案】 ()()2,11,3⋃- 3．【答案】（4，-1）4．【答案】 ()()+∞∞-,4,4, 5．【答案】65<<a 5．【答案】1616．【答案】【解析】由题意：方程x ax x =+-13，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆∴01304322a a a a 3115-≠<>⇒a a a 且或.。

一次分式函数
一次分式函数是一类非常重要的函数，在数学中扮演着非常重要的角色。

它是一个由有理分式组成的连续函数，可以表示为P(x)/Q(x)，其中P、Q是两个多项式。

一次分式函数拥有非常强大的表示能力，它既可以表示连续函数，也
可以表示离散函数。

它是一种图形化函数，因此可以很容易地通过绘
图来理解函数的性质。

它也可以用来分析函数的局部特点，比如极值、拐点和波动性等，从而了解函数的变化趋势。

一次分式函数也可以用来保存数据，它可以把数据表示为函数，从而
可以更精确地描述和分析数据的性质。

因此，一次分式函数也常常被
用来作为数据分析的工具。

一次分式函数也可以用来定义不同的运算操作，比如取余运算、乘方
运算、对数运算和乘法等。

它们对于实现复杂算法有着重要的意义。

总之，一次分式函数在数学中应用广泛，它可以把复杂的数据和运算
表示为一个简单的函数，从而使得精确分析更加容易。

因此，一次分
式函数在数学中扮演着非常重要的角色，不仅在数学学科中，而且在
各种科学和工程领域都有广泛的应用，对人类的发展和进步起着重要
的作用。

分式函数在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型 f (x ) =ax + b cx + d (ad ≠ cb ) ；（2）倒数结构型 f (x ) = ax + b 。

x下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。

一、一次分式型 f (x ) = ax + b(ad ≠ cb )cx + d d a d a图象是以直线 x = - , y = c c （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(- 2x -1, ) ， 通c c常用代点法确定两支双曲线的位置。

例如： y = y3x + 5的图象如图所示：2 3O- 5 - 1 35y = 23x二、倒数结构型 f (x ) = ax + bx（1） a > 0 且b < 0 时，示意图如下：y- -b- b aaOx此时 f (x ) 为奇函数，分段递增， 当 x > 0(或x < 0) 时， y ∈ R（2） a > 0, b > 0 时，示意图如下：y2 aby = ax可看成以直线 y = ax 与 y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点 A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时 f (x ) 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。

Ob xaB注意：当 a < 0, b > 0 时或 a < 0, b < 0 时，可转化为上述两种。

5、一次函数与一次分式型函数一、知识巩固1、一次函数：y=kx+b 为一次函数，其图象是一条直线2、反比例函数xk y =（0≠k ）的图象是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），以坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）． 我们可以称函数bax d cx y ++=（0≠a ）为一次分式型函数． ∵b ax d cx y ++=b ax a bc d b ax a c +-++=)(ab x a bc ad a c +-+=2， ∴函数b ax d cx y ++=，一般可以化为mx k n y -=-（0≠k ）的形式，其中k n m ,,是常数．令m x x -='，n y y -='，则''x k y =，这是一个反比例函数． 因此，一次分式型函数b ax d cx y ++=（0≠a ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．二、典例分析例1、画出下列函数的图象：（1）12+-=x y ；（2）xy 3=． 例2、函数y=123++x x 的图象可由函数y=x 1的图象通过怎样的变换得到？例3、画出函数212--=x x y 的图象，并说明其定义域、值域单调性与零点。

例4、函数y=1---a x x a 的图象关于点（4，-1）成中心对称，求实数a 的值．三、高考赏析（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________四、练习提高1、若函数xk y =的图象经过点)5,2(-A ，则函数的图象分布在（ ） （A ）一、四象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）二、四象限 2、若函数22-=x y （A x ∈）的值域为}2|{-<y y ，则A 表示的区间是（ ） （A ）)2,1( （B ）)3,2( （C ）)2,(--∞ （D ）)1,(-∞3、函数y=11+x 图象的对称中心是（ ） （A ）（1，0） （B ）（1，0） （A ）（0，1） （A ）（0，1）4、函数y=1222++x x 中，函数值y 的取值范围是（ ） （A ）1＜y ≤2（B ）y ≤2 （C ）y ≤1 （D ）0＜y ≤2 5、函数212--=x x y 的图象的对称中心是 ． 6．若函数21++=x ax y 在),2(∞+-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 7．函数y=33-x x 中，函数值y 的取值范围是 。

第九讲 一次分式函数【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a dcx b ax y ++=的函数，叫做一次分式函数。

（1）特殊地，)0(≠=k xk y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c ca y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。

【典例分析】例1 说明函数13+=x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。

例2 求函数x x y +-=11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。

例3 将函数xx f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式；（2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。

例4 求函数)0(123≥+-=x x x y 的值域。

例5 函数1)(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)(<x f （1）求常数a 的值；（2）若方程mx x f =)(有唯一的实数解，求实数m 的值。

例6 已知)0,0(>>=a x xa y 图象上的点到原点的最短距离为6 （1）求常数a 的值；（2）设)0,0(>>=a x xa y 图象上三点A 、B 、C 的横坐标分别是t ，t+2，t+4，试求出最大的正整数m ， 使得总存在正数t ，满足△ABC 的面积等于t m 。

【反馈练习】1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。

2、函数312+--=x x y 的图象关于点_____________对称。

3、若直线y=kx 与函数59++=x x y 的图象相切，求实数k 的值。

4、画出函数1||1--=x x y 的图象。

5、若函数21++=x ax y 在(-2，+∞)是增函数，求实数a 的取值范围。

专题四 一次分式函数在解题中的应用一、问题的提出 【2016高考】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 在近几年的高考试卷及模拟试卷中经常会出现以分式函数为载体的试题,特别是分子和分母中的代数式都是一次函数的一次分式函数,对其图象与性质的研究常涉及到平移变换及对称变换,是考查能力的好载体,所以一直被高考命题者看好,在近几年的高考中再现率很高.但由于这一类函数问题现行高中教材中未作专门介绍,致使相当一部分学生碰到这一类问题不知道从哪里入手,为帮助同学们掌握这一内容,.本文从平移理论的角度出发,总结出一次分式函数的性质,并通过实例说明其结论在解题中的应用. 二、问题的探源 本题解法：1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握． 首先我们给出分式函数及一次分式函数的定义：当)(x p 、)(x q 为既约整式且)(x q 的次数不低于一次时,我们把形如)()()(x q x p x f =的函数叫做分式函数,当)(x p 、)(x q 的次数不高于一次时,这样的分式函数叫做一次分式函数,即形如，），（bc ad c dcx b ax x f ≠≠++=0,)(的函数．我们先来看一个简单的一次分式函数y=1-x x . 由于y=1-x x =1+11-x ,所以把y=x 1的图象向右平移一个单位可得到y=1-x x ,因此根据y=x1的图象与性质可总结出y=1-x x 的图象与性质.下面我们利用平移理论及反比例函数的图象与性质来研究一次分式函数，），（bc ad c dcx b ax x f ≠≠++=0,)(的图象与性质：首先利用分离常数法可得d cx b ax x f ++=)(=dcx c ad b c ad ax +-++=c a +d cx c ad b +-,设c ad b -=m,则f （x ）=c a +d cx m +,所以y=f （x ）的图象可由反比例函数y=cxm的图象经过平移得到,由反比例函数的图象可知dcx bax x f ++=)(的图象也是双曲线,其性质如下：⒈d cx b ax x f ++=)(的定义域是（-∞,cd-）∪（cd-,+∞）； ⒉d cx b ax x f ++=)(的值域是（-∞,c a ）∪（ca ,+∞）； ⒊d cx b ax x f ++=)(的图象即关于点（c d -,c a ）对称,又关于直线y-c a =±（x+cd ）对称；⒋ 当m>0时,d cx b ax x f ++=)(在（-∞,cd -）上及（cd-,+∞）上都是增函数,且x ∈（-∞,c d -）时f （x ）∈（-∞,c a ）；x ∈（c d -,+∞时f （x ）∈（ca ,+∞） 当m<0时,d cx b ax x f ++=)(在（-∞,cd-）上及（c d -,+∞）上都是减函数,且x ∈（-∞,cd-）时f （x ）∈（c a ,+∞）；x ∈（cd -,+∞时f （x ）∈（-∞,ca）. 三、问题的佐证 【例1 】若 ax x x f ++=32)(在（-1,+∞）上满足对任意的x 1<x 2都有f （x 1）>f （x 2）,求a 的取值X 围.【解析】ax x x f ++=32)(=2+a x a +-23,由题意知f （x ）在（-1,+∞）上是增函数,由性质⒋可得-a≤-1且3-2a>0,所以1≤a<23.【例2 】已知 ()1a bxf x x a -=--的图象的对称中心为(3,-1,,),求a,b 的值.【解析】由性质知f(x)的的图象的对称中心为(a+1,-b) ,因此a+1=3,-b=-1,所以a=2,b=1. 【例3 】【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与 ()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.【点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.这类问题源于课本,又高于课本,能较好的函数学生分析问题及解决问题的能力,因此备受命题这的青睐. 【例4】 已知()()1011n f n n n *-=∈-N （n∈）,求()f n 的最大值及最小值的n 值.【例5】 【2014高考某某版文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________.【答案】12014xx+【解析】111()1111x x f x x x x+-===-+++，0x ≥，11x ∴+≥，111x∴≤+，1101x∴-≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号，当0x =时，(0)0n f =；当0x >时()0f x >，1()(())n n f x f f x +=1()()1()n n n f x f x f x +∴=+，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+， 即1111()()n n f x f x +-=，∴数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+ ()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n xf x x nx∴=≥+，2014()12014xf x x ∴=+ 【点晴】本题主要考查的是数列的通项公式；数列与函数之间的关系，属于难题．解题时要紧紧抓住已知条件，得到1()()1()n n n f x f x f x +=+，这是解题的关键，而后得到数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列，进而()(0)1n xf x x nx=>+，则问题可解，解题要有敏锐的观察力和严密的推理能力. 四、问题的解决1．函数()f x =21++x ax 在区间()2∞－，＋上单调递增,则实数a 的取值X 围是（ ） A ．（0,21） B ．（21,＋∞）C ．()2∞－，＋D ．())1(1∞⋃∞－，－，＋ 【答案】B 【解析】()()212112222a x a ax af x a x x x ++-+-===++++,函数在区间()2∞－，＋上 单调递增11202a a ∴-<∴> 2．已知函数21()(0)a f x ax a x+=->,若22(1)(3)f m f m m +>-+,则实数m 的取值X 围是（ ）A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(2,)-+∞D.(,2)-∞- 【答案】A【解析】∵0a >,∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.∵22(1)(3)f m f m m +>-+, ∴2213m m m +>-+,解得2m >,故选项为A.【评注】本题主要考查了初等函数的单调性以及利用单调性解抽象函数的不等式的能力,注重对基础的考查,难度一般；当0>a 时,对于形如22(1)(3)f m f m m +>-+这种形式的抽象函数不等式主要利用函数()x f 的单调性来解,熟练掌握初等函数ax y =和xa y 12+-=为单调递增函数是解决问题的关键,将其转化为2213m m m +>-+. 3．已知函数①y x =-；②1y x =+；③1y x=(0x >),其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B4．函数111y x =--的图象是（ ）【答案】B【解析】将1y x =-的图象沿x 轴向右平移1个单位得到11y x =--的图象,再沿y 轴向上平移1个单位得到111y x =--的图象.故选B ．5.【2014某某文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )A.91(,2](0,]42--B.111(,2](0,]42--C.92(,2](0,]43--D.112(,2](0,]43--【答案】A 【解析】4321123456642246令()h x mx m =+，则问题转化为()f x 与()h x 的图象在(]1,1-内有且仅有两个交点；()f x 是一个分段函数，()h x 的图象是过定点()1,0-的直线发上图所示，易求当直线与曲线在第三象限相切时，94m =-由图可知，924m -<≤-或102m <≤,故选A.【点晴】本题主要考查的是函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理,属于中档题,对于分段函数求零点问题,一定要分开分析,往往需要借助于数形结合的方法,先画出已知的那段函数的图象,判断出已知的那段函数有几个零点,再通过综合分析确定含有参数的那段函数的位置,即可得到参数的X 围或具体的数值,分段函数的处理方法是解决此类题目的关键. 6．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数： ①1y x x =-；②1y x x =+；③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①② B．①③ C．②③ D．① 【答案】B 【解析】①设()()111111,,1f x xf x f x y x x x x xx x⎛⎫=∴=-=-=-∴= ⎪⎝⎭是满足“倒负”变换的函数；②设()()1155,,2222f x x f f x⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭,即()112,2f f y x x ⎛⎫≠-∴=+ ⎪⎝⎭是不满足“倒负”变换的函数；③设()()()(),010,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩,则()()()(),010,1,011,1x x f x x x x x⎧⎪-<<⎪-==∴<<⎨⎪⎪>⎩时,11x >,此时111f x x x⎛⎫=-=-⎪⎝⎭;1x =时,11x =, 此时10,1f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭时,101x <<,此时()()()()()()()010111101,,01,1111x x f x x f f x x x y x xx x x x x==⎧⎧⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-<<∴==-<<∴=⎨⎨ ⎪ ⎪>->⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎩是满足“倒负”变换的函数,故选B.【评注】本题通过新定义满足“倒负”变换的函数主要考查函数分段函数的解析式、“新定义”问题,属于难题.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题五个函数的判断都围绕满足“倒负”变换的函数具有“()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭”这一重要性质进行的,只要能正确运用这一性质,问题就能迎刃而解.7．已知函数3||3||x y x -=+的定义域为[,](,)a b a b Z ∈,值域为[0,1],那么满足条件的整数对(,)a b 共有（ ）A ．6个B ．7个 C.8个 D ．9个 【答案】．B 【解析】函数1||36||3|x |-3-+=+=x x y ,易知函数是偶函数,0>x 时是减函数,所以函数的图象如图所示,根据图象可知满足整数数对的有共7个．故选B ．【评注】此题考查学生会利用分类讨论及数学结合的数学思想解集实际问题,掌握函数定义域的求法,通过分离常数化简)(x f ,然后推出函数是偶函数,结合反比例函数的图象,0>x 得到)(x f 为减函数,利用偶函数图象关于y 轴对称的性质画出)(x f 的图象关于y 轴对称,可画出函数的图象,从函数的图象看出满足条件的整数对有7个． 8．函数52x y x a -=--在(1,)-+∞上单调递增,则a 的取值X 围是（ ）A.3a =-B.3a <C.3a ≤-D.3a ≥- 【答案】．C【评注】此题考查反比例函数的图象和性质,函数的图象的平移、对称变换,通过分离常数把)(x f 化成反比例型函数,通过做关于x 轴对称,向右平移,纵向伸缩把反比例函数变换成)(x f ,再结合反函数的图象和性质,画出)(x f 的图象,从函数的图象判断可知2+=a x 在1-=x 的左侧,即12-≤+a ,故3-≤a .9．如图,,A B 两点在反比例函数1k y x =的图象上,C D 、两点在反比例函数2ky x=的图象上,AC x ⊥轴于点E ,BD x ⊥轴于点F ,2AC =,3BD =,103EF =,则21k k -＝（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6[ 【答案】A【解析】设11(,),(,)k k A m B n m n ,则22(,),(,)k k A m B n m n ,由题意,得122110323n m k k mk k n ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得214k k -=,故选A ．【评注】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段,垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于k ,结合函数图象所在的象限可以确定k 的值,反过来,根据k 的值,可以确定此矩形的面积；求函数解析式,一般先根据题意,找出或求出图象上的相关点,用待定系数法列方程求解,且常常将平面坐标系中三角形的面积问题转化为求线段的长度进而转化为求点的坐标问题．10.对于函数()f x ,定义域为D, 若存在0x D ∈使()00f x x =, 则称()00,x x 为()f x 的图象上的不动点. 由此，函数()953x f x x -=+的图象上不动点的坐标为. 【答案】(1,1),(5,5)【解析】显然不动点就是图数y=f(x)与直线y=x 的交点，所以由953x x x -=+得x=1,x=5，所以不动点坐标为(1,1),(5,5). 11.函数()1xf x x =+的对称中心为__________，如果函数()322(1)1x ax axg x x x -+=>-+的图像经过四个象限，则实数a 的取值X 围是__________． 【答案】 ()1,1-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知关于x 的方程1|1|202kx x ---=+有三个不相等实根,那么实数k 的取值X 围是.【答案】(0,1(,0)-∞ 【解析】由题可知,2|211|+=+-kx x ,分别作出函数|211|+-=x y 及2+=kx y 的图象,如图,若关于x 的方程1|1|202kx x ---=+有三个不相等实根,则两函数图象有三个公共点,又直线2+=kx y 恒过点)2,0(,可知当0<k ,显然成立；当0>k 且与曲线211+-=x y 在)2,(--∞有两个交点时,此时2211+=+-kx x ,即03)12(2=+++x k kx ,其01842>+-=∆k k ,解得231-<k 或231+>k （舍去）,所以2310-<<k ,综上,实数k 的取值X围是(0,1(,0)-∞. 13．设函数x x x f +=1)(,则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值X 围是. 【答案】()1,∞- 【解析】()1x f x x=+为奇函数且为增函数,所以)12()(->x f x f 等价于1,12<->x x x . 14．若函数(x)43mx f x =-3()4x ≠在定义域内恒有[(x)]f f x =,则m 的值等于. 【答案】3【解析】()[]()x x m x m x x mx x m x mx x mxm x f f 91249124334434222+-=⇔=+-=---⨯=, 所以⎩⎨⎧==-901242m m ,解得：3=m . 15.已知函数[]1(),3,5,2x f x x x -=∈+ （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性,并利用函数单调性定义进行证明；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值和最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()12x f x x -=+在[]3,5上单调递增， 所以max 4()(5)7f x f ==, min 2()(3)5f x f == 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；（4）下结论.。

巧借齐一次分式函数模型解决数学问题李鑫斌(福建省龙海第一中学ꎬ福建龙海３６３１００)摘㊀要:齐一次分式函数模型是一类重要的函数模型.文章举例说明齐一次分式函数在数学中的应用ꎬ阐述借助模型化思想解决数学问题的重要性ꎬ以提高学生的数学分析能力ꎬ解题能力ꎬ培养数学建模素养.关键词:齐一次分式ꎻ函数图象ꎻ数学建模中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００４９－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:李鑫斌(１９９４.２－)ꎬ从事高中数学教育研究.基金项目:福建省教育科学 十四五 规划２０２２年度 协同创新 (含帮扶项目)专项课题 新课程大单元理念下高中数学集体备课模式构建 (项目编号:Ｆｊｘｃｚｘ２２－０７３)㊀㊀齐一次分式函数是高中阶段重要的基本初等函数ꎬ可以看成是反比例函数的推广.从数学建模的角度看待该函数ꎬ可以将齐一次分式函数看成一种模型.借助齐一次分式函数模型解决数学问题往往可以化繁为简.形如ｆｘ()＝ａｘ＋ｂｃｘ＋ｄ的函数称为齐一次分式函数ꎬ图象有对称中心－ｄｃꎬａｃæèçöø÷ꎬ两条渐近线ｘ＝－ｄｃꎬｙ＝ａｃ.函数的图象夹在两条渐近线内.１在指数函数中的应用例１㊀已知函数ｆｘ()＝２ｘ－１２ｘ＋１ꎬ考查函数ｆｘ()在定义域上的单调性及值域.解析㊀定义域ｘɪＲ.令ｕ＝２ｘ>０ꎬｙ＝ｕ－１ｕ＋１.画出齐一次分式函数ｙ＝ｕ－１ｕ＋１的图象ꎬ如图１.图１㊀ｙ＝ｕ－１ｕ＋１的图象由于当ｕɪ０ꎬ＋ɕ()时ꎬｙ＝ｕ－１ｕ＋１单调递增ꎬｕ＝２ｘ在定义域上单调递增ꎬ所以函数ｆｘ()在Ｒ上单调递增.由于当ｕɪ０ꎬ＋ɕ()时ꎬｙɪ－１ꎬ１()ꎬ故ｆｘ()ɪ－１ꎬ１().２对数函数中的应用例２㊀已知函数ｙ＝ｆｘ()＝ｌｏｇａｘ－２ｘ＋２ꎬ其中ａ>０９４且ａʂ１.若对于ｘɪ－４ꎬ－３[]ꎬｆｘ()>ｌｏｇａ(ａ２－５ａ＋９)恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀当ｘɪ－４ꎬ－３[]时ꎬ画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ－２ｘ＋２的图象ꎬ如图２所示.图２㊀ｙ＝ｘ－２ｘ＋２的图象当ｘɪ－４ꎬ－３[]时ꎬｙ＝ｘ－２ｘ＋２单调递增ꎬｙɪ３ꎬ５[]ꎬ即ｘ－２ｘ＋２ɪ３ꎬ５[].由已知可得ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｆｘ()ｍｉｎ.当ａ>１时ꎬｆｘ()ɪｌｏｇａ３ꎬｌｏｇａ５[]ꎬ则ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｌｏｇａ３ꎬ此时２<ａ<３ꎻ当０<ａ<１时ꎬｆｘ()ɪｌｏｇａ５ꎬｌｏｇａ３[]ꎬ则ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｌｏｇａ５ꎬ此时０<ａ<１.所以ａɪ０ꎬ１()ɣ２ꎬ３().３在三角函数中的应用例３㊀求函数ｆｘ()＝ｓｉｎｘ２ｓｉｎｘ＋１的值域.解析㊀令ｔ＝ｓｉｎｘꎬｔɪ－１ꎬ－１２[öø÷ɣ－１２ꎬ１æèç].则ｙ＝ｔ２ｔ＋１.画出图象ꎬ如图３所示.图３㊀ｙ＝ｔ２ｔ＋１的图象显然当ｔɪ－１ꎬ－１２[öø÷ɣ－１２ꎬ１æèç]时ꎬｙɪ－ɕꎬ１３æèç]ɣ１ꎬ＋ɕ[).４在数列中的应用例４㊀设等差数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａｎ>０(ｎɪＮ∗)ꎬ其前ｎ项和为Ｓｎꎬ若数列Ｓｎ{}也为等差数列ꎬ则Ｓｎ＋１０ａ２ｎ的最大值是.解析㊀由已知有２Ｓ２＝Ｓ１＋Ｓ３ꎬ２２ａ１＋ｄ＝ａ１＋３ａ１＋３ｄ.故ｄ＝２.则ａｎ＝２ｎ－１ꎬＳｎ＝ｎ２.所以Ｓｎ＋１０ａｎ２＝ｎ＋１０()２２ｎ－１()２＝ｎ＋１０２ｎ－１æèçöø÷２.画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１图象.如图４.图４㊀ｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１的图象当ｘɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷时ꎬｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１单调递增.由于ｎɪＮ∗ꎬ所以当ｎ＝１时ꎬＳｎ＋１０ａ２ｎ有最大值ꎬ为１２１.５在圆锥曲线中的应用例５㊀已知双曲线Ｃ的离心率为ｅꎬ左㊁右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ点Ｍ在Ｃ的左支上运动且不与顶点重合ꎬ记Ｉ为ΔＭＦ１Ｆ２的内心ꎬλ＝ｔａｎøＩＦ１Ｆ２ｔａｎøＩＦ２Ｆ１ꎬ若ｅɪ２ꎬ４[]ꎬ则λ的取值范围为.解析㊀设ΔＭＦ１Ｆ２内切圆的半径为ｒꎬ则０５ｔａｎøＩＦ１Ｆ２＝ｒｃ－ａꎬｔａｎøＩＦ２Ｆ１＝ｒｃ＋ａ.故λ＝ｃ＋ａｃ－ａ＝ｅ＋１ｅ－１.画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ＋１ｘ－１图象ꎬ如图５.图５㊀ｙ＝ｘ＋１ｘ－１的图象当ｘɪ２ꎬ４[]时ꎬｙ＝ｘ＋１ｘ－１单调递减.故当ｅɪ２ꎬ４[]时ꎬλɪ５３ꎬ３[].６综合性问题例６㊀已知函数ｆｘ()＝１－ｘｘ＋１２(ｘ>０).当ｍ>ｎ>０时ꎬ函数ｆｘ()的定义域与值域均为ｍꎬｎ[]ꎬ求所有ｍꎬｎ的值.解析㊀先画出齐一次分式函数ｙ＝１－ｘｘ的图象(如图６)ꎬ接着画出ｙ＝１－ｘｘ的图象(如图７)ꎬ最后画出ｙ＝１－ｘｘ＋１２的图象(如图８).图６㊀ｙ＝１－ｘｘ的图象当０<ｘɤ１时ꎬｙ＝１ｘ－１＋１２＝１ｘ－１２.当０<ｎ<１<ｍ时ꎬｆｘ()在ｘɪｎꎬｍ[]的最小值为ｆ１()＝１２.图７㊀ｙ＝｜１－ｘｘ｜的图象㊀㊀㊀㊀图８㊀ｙ＝｜１－ｘｘ｜＋１２的图象又ｆｘ()ɪｎꎬｍ[]ꎬ所以ｎ＝１２.由于当ｎ＝１２时ꎬｆ１２æèçöø÷＝３２ꎬ故当ｘɪ１２ꎬｍ[]时ꎬｆｘ()ɪ１２ꎬ３２[]ꎬ所以ｍ＝３２.齐一次分式函数在高中课本中并没有系统地讲解ꎬ但是在平时的解题中不乏出现它们的身影.高考试题中有时也会涉及到ꎬ主要考查图象的识别及其性质的应用[１].本文从数学建模的观点出发ꎬ将该函数看成一种模型ꎬ简要介绍了利用该模型来求解函数的值域问题.对于分式中的ｘꎬ除了把它看成单一的变量之外ꎬ更应该看成一个整体ꎬ是某一个表达式ꎬ如ｓｉｎｘꎬｃｏｓｘꎬａｘꎬｘ等ꎬ这是整体思想的一个体现[２].另外对于本文所举例题ꎬ其实不乏多解ꎬ但是综合分析比较ꎬ运用本文方法不仅容易理解㊁接受ꎬ而且容易将其推广至一类题目ꎬ具有探究价值.正如马丁 迦德纳所言:数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法解决复杂问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.普通高中数学课程标准解读(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１５。