一次分式型函数学案

§11.5.2可化为一元一次方程的分式方程的应用（一）一、学习目标：使学生掌握合理设置未知数，确立等量关系，列出方程的一般步骤；培养学生应用多种方法分析数量关系，从多种角度思考问题的意识.二、自主学习1、解应用题的一般步骤：_________________________________________________________________________________2、设甲车的速度为每小时x km(1) 乙车比甲车每小时少行驶10 km，则行驶100 km的路程甲车用____h乙车用_____h甲车比乙车少用_____h.（2）若甲车的速度是乙车的速度1.2倍。

则行驶s km乙车比甲车少用_____h.(3) 若甲车2h行驶的路程乙车需要行驶3h则乙车的速度是__________km／h3 一项工作由甲、乙合作需t小时完成,若甲单独做需s小时完成,则乙单独完成这项工作所需时间是三例题与练习1、远大中学组织学生到离学校15千米的郊区进行社会调查，一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40分钟后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地。

已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.2、为了缓解交通拥挤现象，某市决定修一条轻轨铁路，为使工程提前2个月完成，在保证质量的前提下，必须把工程效率提高10%，问原计划完成这项工程用多少个月？四、练习与检测3、远大中学组织学生到离学校15千米的郊区进行社会调查，一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发25分钟后乘汽车沿相同路线行进，结果乘汽车的同学反而先到15分钟”4、小明家要装修一套房子，若由甲、乙两个装修公司合作需6周完成；若由甲公司做6周后剩下的工程由乙公司来做，则还需9周才能完成。

小明家向选一家公司来做，请你帮小明家分析一下，，若两家的工程质量一样，从装修的时间比较少来考虑，选择哪家公司更合适。

一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。

（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。

二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。

用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。

通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。

三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。

因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。

四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。

学案15 一次分式型函数y = ax+bcx+d(x ∈D)一、课前准备： 【自主梳理】1． 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的函数称为一次分函数。

2． 一次分函数的图象和性质(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+ 2.1 图象：其图象如图所示.2.2定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；2.3 值域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y ； 2.4 对称中心：⎪⎭⎫⎝⎛-a c ab ,； 2.5 渐近线方程：b x a =-和c y a=； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)ba-∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增； 【自我检测】 1．函数111--=x y 的图象是 ．2．函数31()1x f x x -=+的定义域是 ． 3．()10xy x x-=≠的值域是 ． 4．函数21()3x f x x +=+的单调增区间是 ．5．函数21()3x f x x -=+的对称中心是 ．6．函数()xf x x=是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”）二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）函数21()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21()3x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________．（3）已知函数()a x x x f -+=12，若*∈∀N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围是 ．（4）若函数21()x f x x a+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .【例2】（2018年江苏）设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有几个？【例3】已知函数2()1ax af x x +-=+，其中a R ∈。

【学习课题】 第8课时 解分式方程（二）——可化为一元一次方程的分式方程解法【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.了解分式方程验根的必要性；3.进一步强化数学的“转化”思想。

【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程验根的必要性。

【学习难点】明确解分式方程验根的必要性。

一、学习准备1.当x= 时，分式2+x x 无意义。

2.当x= 时分式392+-x x 的值为。

3.2x 1+x x 与的公分母 ；4x 222-+与x x 的公分母 。

二、教材解读与挖掘 1.例一：回忆一元一次方程的解法，解方程6242325213--=++-x x x 解：6242325213--=++-x x x 第一步，去分母：方程两边同时乘以分母的最小倍数6得：第二步，去括号得：第三步，移项，合并得：第四步，化x 的系数为1得：【解后反思】本题的易错点： 例二：模仿例一的解法及步骤，解方程xx 321=- 第一步，去分母：第二步，去括号：第三步，移项，合并：第四步，化x 的系数为1：【解后反思】这样解出的x 是方程x x 321=-的解吗？你怎样检验？ 【试一试】解分式方程452600x 480=-x例三：解分式方程23132--=--xx x 第一步：第二步：第三步：第四步：第五步，检验：【解后反思】解出来的x 是方程23132--=--xx x 的解吗，为什么？一、方程x +=35x 7的解是x= 二、若关于x 的分式方程313292-=++-x x x m 有增根，则增根可能是 三、解方程：①：x x 413=- ②：22151x 210=-+-x ③ x+1-413x 2=-+-x x四、【巩固提高】1、解方程x x +--=-1513x 112 1251x 2=--+-x x x x2、若关于x 的方程9331-=--x m x x 有增根，求m 的值。

【学习课题】 第9课时 解分式方程（二）第二课时【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.掌握解分式方程中的一些常见技巧。

一次函数教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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一次分式型函数y = ax+b cx+d(x ∈D) 1．函数y=432-+x x 的值域 ． 2．函数y=432-+x x （21><x x 或）的值域 ． 3．函数y=42-+-x x 的对称中心是 ． 4．函数y=42-+-x x 的单调增区间是 ． 5．已知函数()x f =ax x -+-2，若若*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ． 6．设曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a= ． 7．若函数2+-=x b x y 在区间()4,+b a ()2-<b 上的值域为()+∞,2，则=b a ______________． 8．若函数x x x f 1)(-=，则函数()()x x f x g -=4的零点是______________． 9．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”。

若函数()a x x x f +-=13的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围。

10．已知函数()),(1a x xa a x x f ≠--+= （1）证明：对定义域内的所有x ，都有()()022=++-x f x a f 。

（2）当()x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,21a a 时，求()x f 的值域。

1． 13y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭2． ()()2,11,3⋃-3． （4，-1）4． ()()+∞∞-,4,4,5． 65<<a6． -27．161 8． 21 9． 解：由题意：方程x ax x =+-13，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆∴01304322a a a a 3115-≠<>⇒a a a 且或 10． （1）略 （2）()a x x a a x x f --+-=--+=111，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,21a a 上单调递增，所以()x f 的值域为[]1,3--。

有关八年级数学一次函数的应用教案4篇【学情分析】本节课主要是复习巩固一次函数的图象与性质，是在学完一次函数之后，并初步了解了如何研究一个具体函数的图象与性质的基础上进行的。

原有知识与经验对本节课的学习有着积极的促进作用，在复习巩固的过程中，学生进一步理解知识，促进认知结构的完善，进一步体验研究函数的基本思路，而这些目标的达成要求教学必须发挥学生的主体作用，给予学生足够的活动、探究、交流、反思的时间与空间，不以老师的讲演代替学生的探索。

【教学目标】知识技能：1、进一步理解一次函数和正比例函数的意义；2、会画一次函数的图象，并能结合图象进一步研究相关的性质；3、巩固一次函数的性质，并会应用。

过程与方法：1、通过先基础在提升的过程，使学生巩固一次函数图象和性质，并能进一步提升自己应用的能力；2、通过习题，使学生进一步体会“数形结合”、“方城思想”、“分类思想”以及“待定系数法”。

情感态度：1、通过画函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美；2、在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。

教学重点难点教学重点：复习巩固一次函数的图象和性质，并能简单应用。

教学难点：在理解的基础上结合数学思想分析、解决问题。

【教法学法】1、教学方法依据当前素质教育的要求：以人为本，以学生为主体，让教最大限度的服务与学。

因此我选用了以下教学方法：1、自学体验法——让学生通过作图经历体验并发现问题，分析问题，进一步解决问题。

目的：通过这种教学方式来激发学生学习的积极主动性，培养学生独立思考能力和创新意识。

2、直观教学法——利用多媒体现代教学手段。

目的：通过几何画板动画演示来激发学生学习兴趣，把抽象的知识直观的展现在学生面前，逐步将他们的感性认识引领到理性的思考。

2、学法指导做为一名合格的老师，不止局限于知识的传授，更重要的是使学生学会如何去学。

分式方程是数学中的一个重要概念，它是由有理函数与一个未知数构成的等式。

在解分式方程时，我们需要遵循特定的步骤和方法，以确保得出正确的答案。

本学案将帮助学生复习分式方程的重要概念、解题方法和相关例题。

第一部分：基础知识回顾1. 什么是分式？怎样表示一个分式？分式是两个整数的比值，由分子和分母组成，分子在上，分母在下，用横线分开。

2. 什么是分式方程？分式方程是一个包含分式的方程，其中未知数出现在分式中。

3. 分式方程的解法步骤是什么？步骤一：清理分母，将分式方程化为无分母的方程。

步骤二：整理方程，将未知数合并在一边，常数合并在另一边。

步骤三：消去未知数的系数，得出方程的解。

第二部分：解分式方程的方法1. 方法一：通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。

首先，找到方程中所有分母的最小公倍数，然后用最小公倍数去分别乘以分式方程的两边，从而消去分母。

2. 方法二：消元法消元法是解决分式方程的另一种方法。

首先，将方程中的分式转化为等值的整式，然后利用解线性方程组的方法求解。

3. 方法三：取倒数法取倒数法也是解决分式方程的一种常用方法。

首先，将方程两边取倒数，然后将倒数化为整式方程，最后利用解线性方程的方法求解。

第三部分：例题分析1. 例题一：求解方程(3/x) + (4/x^2) = 7/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数x^2，得到方程6(3x + 4) = 7x^2。

整理后得到7x^2 - 18x - 24 = 0，通过解二次方程得到x = 6和x = -24/7。

2. 例题二：求解方程(2/(x-1)) - (3/(x+2)) = 5/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数(x-1)(x+2)，得到方程12(x+2) - 10(x-1) = 5(x-1)(x+2)。

整理后得到5x^2 - 9x - 34 = 0，通过解二次方程得到x ≈ 4.326和x ≈ -1.526。

第四部分：总结与反思分式方程在数学中扮演着重要的角色，掌握解分式方程的方法对提高数学能力至关重要。

分式教材及学情分析一、教学目的1、使学生掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分。

2、使学生能准确地进行分式的乘除、加减以及混合运算。

3、使学生学会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算。

4、使学生掌握解分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题。

二、本章知识结构网络图三、数学思想方法1、类比法:本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程。

2、转化思想:转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想。

如：分式除法转化为分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法转化为同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．3、建模思想:本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义。

四、教材特点1、重视从实际问题抽象出数学模型，体现了学生学有用的数学，生活中的数学。

例如：16.1节引进分式的概念时，用一幅江中航行的轮船为背景，引出了路程、速度和时间之间的数量关系，从而导出分式的概念；在16.3节又被用于引入分式方程的概念。

在讨论分式的加减和乘除的过程中，先后按排了涉及容积、工作效率、耕作面积、增长率和工程进度等多个实际问题。

本章安排了大量的实际问题，通过分析与解决实际问题，提高了学生联系实际应用数学知识的意识、兴趣和能力。