分式函数的图像与性质

有理分式函数的图象及性质【知识要点】1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c- （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。

（62．函数(0,0)b yax a b x =+>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数(0,0)b y ax a b=+><的图象和性质：【例题精讲】1．函数11+-=x y 的图象是 （ ）A B C D2．函数23(1)1x y x x +=<-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2222x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++=<=≠=<=≠---- 3．若函数2()x f x x a+=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D --4．若函数21()x f x x a-=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .22A aB aC aD a ≠-≠≠≠- 5．不等式14x x>的解集为 （ ） 1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-6．已知函数2()ax b f x x c+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。

分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)axbx c y a b c d e fR dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。

※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

分式函数三种值域求法（原创实用版）目录1.引言2.分式函数的定义和性质3.三种值域求法a) 直接法b) 反函数法c) 数形结合法4.实际应用举例5.总结正文一、引言分式函数是数学中一种重要的函数类型，它在各个领域中都有着广泛的应用。

在研究分式函数的过程中，值域问题是一个关键环节。

为了更好地理解和解决这个问题，本文将为大家介绍三种求分式函数值域的方法。

二、分式函数的定义和性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。

在研究分式函数时，我们需要关注它的定义域、值域、单调性等性质。

三、三种值域求法1.直接法直接法是最简单也最容易理解的方法。

它主要通过分析函数的性质和结构，直接求出函数的值域。

具体操作步骤如下：a) 确定函数的定义域；b) 分析函数的单调性；c) 求出函数的最大值和最小值；d) 得出函数的值域。

2.反函数法反函数法是通过求解原函数的反函数，从而得到原函数的值域。

具体操作步骤如下：a) 求出原函数的反函数；b) 求出反函数的定义域；c) 根据反函数的定义域得出原函数的值域。

3.数形结合法数形结合法是将函数的性质与图形结合起来求解值域的方法。

具体操作步骤如下：a) 画出函数的图形；b) 观察图形的特征，如渐近线、极值点等；c) 根据图形特征得出函数的值域。

四、实际应用举例假设有一个分式函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们需要求出它的值域。

1.使用直接法：首先确定定义域为{x|x≠±1}，然后分析函数的单调性，得出函数的最大值为 2，最小值为 -2。

因此，函数的值域为 (-∞,-2]∪[2,+∞)。

2.使用反函数法：求出原函数的反函数为 f^-1(x)=±√(1+x^2)，然后求出反函数的定义域为 R，因此原函数的值域为 R。

3.使用数形结合法：画出函数的图形后，观察到函数的渐近线为 y=±1，因此函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。

分式方程的性质
分式方程是一种微积分研究中非常重要的概念，它可以表达出一些和微积分有关的问题。

分式方程可以定义为方程的一种，它包含两个或者更多的分式，其中可以有未知量。

在微积分中，分式方程可以用来描述函数和求出解。

首先，分式方程可以用来描述函数。

在分式方程中，所有分子和分母之和都是某一常量，所以它可以用来表示函数的一般解析式。

例如，如果分子是a和b的和，分母是c的和，那么可以用分式方程表示函数f（x）=a+bx/c。

其次，分式方程有助于求解，它有助于我们求出分式的零点和极值。

求解分式方程的第一步是将它化为有理函数（即上面说的出现在分式方程中的函数），这样可以用求有理函数零点和极值的方法求出分式方程的解。

例如，当分式方程为f（x）=3x+4x/8时，把它化为函数f（x）=2x/8，然后可以求出零点x=-4。

此外，分式方程还有助于求函数的极限。

在微积分中，分式方程可以用来求出某个函数的定义域以及极限值。

举个例子，对于f（x）=3x-6x/8，它的定义域就是[-∞，+∞]，极限值就是0。

最后说说分式法分解。

分式法分解是一个非常有用的分析技术，它可以把一个分式分解为一系列更容易求得结果的更简单的分式。

分式法分解有助于简化问题，因为结果和原测试分式相等，所以它可以帮助人们把一个看起来很复杂的分式简化至更容易解决的问题。

总而言之，分式方程是微积分研究中非常重要的概念，它可以用来描述函数和求出解，还可以用于求取函数的极限和极值，分式法分解也有助于简化问题。

学习是件快乐的事情分式函数的图像与性质形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，数学有时候是折磨人的工具需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

分式函数的像和性质分式函数是指形式为f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}的函数，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，且Q(x)≠0。

分式函数的像是指定义域中所有满足f(x)=y的x值构成的集合，即函数的所有可能的输出值。

分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性和图像。

1. 分式函数的定义域：分式函数的定义域由Q(x)≠0确定，因为分母不能为零。

可以通过求解Q(x)≠0的方程来确定定义域的范围。

2. 分式函数的值域：分式函数的值域包括所有满足f(x)=y的y值，其中x是定义域中的值。

对于一些特定的分式函数，可以通过变换或者观察分子、分母的特点来确定值域的范围。

3. 分式函数的奇偶性：对于分子和分母都是偶函数或者奇函数的分式函数，其奇偶性与分子和分母相同。

如果分子是奇函数而分母是偶函数，或者分母是奇函数而分子是偶函数，则分式函数是奇函数。

4. 分式函数的单调性：对于分式函数f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}，其单调性取决于P(x)和Q(x)的符号变化。

如果P(x)和Q(x)都大于零或者都小于零，那么分式函数是单调的。

如果P(x)比Q(x)先变号，那么分式函数在这个区间上是增函数；如果P(x)和Q(x)同时变号，那么分式函数在这个区间上是减函数。

5. 分式函数的图像：分式函数的图像可以通过绘制图像或者利用分子和分母的零点、极值点、拐点等特点来分析。

- 当分式函数的分子的次数小于分母的次数时，函数的图像在水平方向上趋近于零。

- 当分式函数的分子的次数等于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在水平渐近线。

- 当分式函数的分子的次数大于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在斜渐近线。

分式函数的像和性质对于理解和分析分式函数的性质和行为具有重要意义。

通过对分式函数的像和性质进行研究，可以更好地理解分式函数的定义和特点，并且能够应用于解决实际问题和数学推理中。

2023必修一人教版高考调研数学数学作为一门基础学科，在高考中占据了重要地位。

为了适应社会的发展需求，2023年高考对数学的要求也进行了调整。

本文将对2023年必修一人教版高考调研数学进行分析和解读。

第一章分式函数与图像的性质1. 分式函数的定义与性质分式函数在高中数学中扮演着重要的角色，其定义为两个多项式函数的商。

分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性以及图像的特点等等。

2. 分式函数的图像与解析式分式函数的图像形态各异，通过对解析式的推敲和分析，可以准确绘制分式函数的图像。

同时，了解分式函数的图像特点有助于解决实际问题。

第二章平面上的向量1. 向量的基本概念向量是空间中的一个有方向和大小的量，可以通过起点和终点来表示。

向量的加法、减法和数量积等运算是研究向量的基础。

2. 平面上的向量运算利用向量的基本运算，可以求解向量的大小、夹角以及向量之间的关系。

这些技巧在几何问题和物理问题中都有广泛的应用。

第三章空间解析几何1. 空间点与向量空间中的点可以由坐标表示，同时向量也可以定义为点的有序组。

空间点与向量之间有着密切的联系，可以通过向量表示点的位置关系和几何性质。

2. 空间中直线与平面的方程直线和平面是空间几何中的重要概念，其方程形式各异。

掌握直线和平面的方程可以推导出几何关系和求解问题。

第四章三角比与三角函数1. 角度与弧度的换算角度和弧度是度量角的单位，两者之间可以进行换算。

在高考数学中，要灵活运用角度和弧度概念，解决与三角函数相关的题目。

2. 三角函数的图像与性质通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的图像分析，可以总结出它们的基本性质，并应用到实际问题中。

第五章函数的应用1. 函数的模型建立在实际问题中，我们可以通过观察问题的特点和已知条件，建立数学模型。

掌握函数的应用技巧，可以将实际问题转化为数学问题进行求解。

2. 函数的最值与增减性函数的最值和增减性对于求解优化问题至关重要。

通过对函数的增减性及最值的分析，可以确定函数的取值范围和最优解。

ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。

如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。

x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。

如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。

3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。

如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。

需要借助“分离常数”的处理方法。

ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。

分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念ax 2 bx c 2x形如 yexf (a,b,c, d ,e, f R) 的函数称为分式函数。

如 ydx 2 x 2y4x 1等。

x 32、分式复合函数a[ f (x)]2bf (x) c (a, b, c, d, e, f R) 的函数称为分式复合函数。

如形如 yef ( x) fd[ f (x)]2ysin x 2， yx 1 2等。

3sin x3x 31，yx 2 1 ， xx 22 x y2x1，1 2※ 学习探究探究任务一 ：函数 yaxb(ab0) 的图像与性质x问题 1： yax b(a, b, c, d R) 的图像是怎样的？cx d例 1、画出函数 y2 x1的图像， 依据函数图像， 指出函数的单调区间、 值域、对称中心。

x1【分析】 y2x 1 2( x 1) 1 12 ，即函数 y2x 1的图像可以经由函数 y1x1 x 1x 1x1x的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。

如下表所示：1右1 1 上 2y1yy12xx x1由此可以画出函数y2 x 1的图像，如下：x 1yyyOx O12xO1x单调减区间： ( ,1),(1,) ；值域： (,2) U (2,) ；对称中心： (1,2) 。

【反思】 yaxb(a,b, c, d R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx d条件决定？【小结】 yaxb(a,b, c, d R) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx d需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数 y axb(a,b,c,dR) 的图像与性质cx dd }（1）定义域： { x | x；c （2）值域： { y | ya} ；cd),(d, + ) ；（3）单调性： 单调区间为 (,cc d, ya，对称中心为点 (d , a) ；（ 4）渐近线及对称中心：渐近线为直线xccc c（ 5）奇偶性：当 a d 0 时为奇函数； （ 6）图象：如图所示yyO x O x问题 2： yaxb(ab 0) 的图像是怎样的？x例 2、根据 y1的函数图像， 绘制函数 y x1 x 与 y的图像， 并结合函数图像指出函xx数具有的性质。

第一章 函数与导数第1节 一次型分式函数的图象性质知识与方法我们把函数()ax bf x cx d +=+()0,c ad bc ≠≠称为一次型分式函数，这类函数的图象一定是双曲线，且有垂直渐近线d x c =-，水平渐近线a y c =，对称中心,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.在理解并熟悉了这些性质的基础上，可以快速地作出函数()y f x =的图象，解决一些常见的问题.典型例题【例1】函数()211x f x x -=-在[]2,3上的值域为________. 【解析】()f x 图象的两条渐近线分别为1x =和2y =，且()01f =，据此可作出()f x 的大致图象如图，由图可知()f x 在[]2,3上，所以()()max 23f x f ==，()()min 532f x f ==，故()f x 在[]2,3上的值域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式 函数()43sin 2sin xf x x+=-的值域为_________.【解析】设sin t x =，则11t -≤≤，且()432tf x t+=-，函数432ty t +=-图象的两条渐近线分别为2t =和3y =-，且过点()0,2，所以其大致图象如图所示，由图可知432t y t +=-在[]1,1-上，故max 7y =，min 13y =，从而函数()f x 的值域为1,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例2】（2021·新课标Ⅰ卷）设函数()11xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）（A ）()11f x -- （B ）()11f x -+ （C ）()11f x +- （D ）()11f x ++【解析】解法1：A 项，()()()()11221111111x xf x f x x x-----=-=⇒--+-不是奇函数，故A 项错误； B 项，()()()()1121111111x f x f x x x---+=+=⇒-++-是奇函数，故B 项正确；至此本题已可选出答案， C 项，()()()()112211111112x x f x f x x x -+++-=-=⇒+-+++不是奇函数，故C 项错误； D 项，()()()()11211111112x f x f x x x -+++=+=⇒+++++，不是奇函数，故D 项错误. 解法2：由题意，()f x 的图象的对称中心为()1,1--，故将其右移1个单位，上移1个单位，得到的图象关于就原点对称，恰好为奇函数，即()11f x -+为奇函数，故选B. 【答案】B【例3】函数()52x f x x m-=+的图象关于直线y x =对称，则m =_________. 【解析】由题意，函数()52x f x x m -=+的对称中心为点1,22m A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于直线y x =对称，所以点A 在直线y x =上，从而122m=-，故1m =-.【答案】1-.【例4】函数()xf x x a=-在()1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【解析】由题意，()f x 的图象的两条渐近线分别为x a =和1y =，如图，要使()f x 在()1,+∞上，首先应有1a ≤，其次，()2212f a=<-，所以0a <，故a 的取值范围是(),0-∞.【答案】(),0-∞强化训练1.（★★）函数()125xf x x -=+在[]2,0-上的最大值为_______. 【解析】()f x 的图象的两条渐近线分别为52x =-和12y =，且()105f =，据此可作出()f x 的大致图象如图，由图可知()f x 在[]2,0-上，所以()()max 23f x f =-=.【答案】32.（★★）函数()2sin 2sin 4xf x x -=+的值域为_________.【解析】设sin t x =，则11t -≤≤，且()224t f x t -=+，函数224t y t -=+的两条渐近线分别为2t =-和12y =-，且过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以其大致图象如图所示，由图可知函数224ty t -=+在[]1,1-上， 从而()()max2132142y --==⨯-+，min 2112146y -==⨯+，故函数()f x 的值域为13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.（★★★）函数()22x kf x x +=-与()3log 2y x =-在()3,+∞上有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________.【解析】显然()3log 2y x =-在()3,+∞上，由题意，()22x kf x x +=-在()3,+∞也， 函数()22x kf x x +=-的两条渐近线为2x =和2y =，其大致图象如图所示，由图可知应有()362f k =+<，从而4k <-. 【答案】(),4-∞-4.（★★★）在数列{}n a 中，1n n ca n +=+()c ∈R ，则对于任意的正整数n ，有（ ）（A ）1n n a a +< （B ）1n n a a +> （C ）n a 与1n a +的大小与c 有关 （D ）n a 与1n a +的大小与n 有关【解析】解析：设()1x cf x x +=+，则函数()y f x =的图象的渐近线为1x =-和1y =，且过点()0,c ，所以()y f x =的大致图象有三种可能，如图，若为图1，则1c <，此时()f x 在()1,-+∞上，因为()n a f n =，所以{}n a 是递增数列，从而1n n a a +<； 若为图2，则1c >，此时()f x 在()1,-+∞上，所以{}n a 是递减数列，从而1n n a a +>；若为图3，则1c =，所以()1f x =()1x ≠-，从而1n a =，故1n n a a +=，综上所述，n a 与1n a +的大小与c 有关，选C.【答案】C5.（★★★）已知定义在R 上的函数()f x 满足()222,012,10x x f x x x ⎧+≤<⎪=⎨--≤<⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在[]7,3-上的实根之和为（ ）（A ）9- （B ）10- （C ）11- （D ）12-【解析】画出函数()y f x =的图象如图所示，函数()y g x =的图象的两条渐近线分别为2x =-和2y =，且过点()1,3D -，其图象如图，由图可知两个函数的图象在[]7,3-上共有5个交点，分别为图中的A 、B 、C 、E 、F ，其中A 和F 、B 和E 、C 和D 两两关于点()2,2-对称，所以这六个点的横坐标之和为4312-⨯=-，但()f x 的图象上不包括点D ，且点D 的横坐标为1-，故两个函数图象交点的横坐标之和为()12111---=-，即方程()()f x g x =在[]7,3-上的实根之和为11-. 【答案】C。

分式函数的图像与性质一、课前准备1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。

二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。