2012年高考文科数学分类汇编：函数(术科班)

2012年高考文科数学解析分类汇编：函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N 为 （ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-1,1)D ．(,1)-∞2 ．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2xxee y --=D ．31y x =+3 ．（2012年高考（四川文））函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是4 ．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =5 ．（2012年高考（山东文））函数cos 622xxx y -=-的图象大致为6 ．（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =++的定义域为 （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-7 ．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为6π,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BD C 与线段OA 延长线交与点 C ．甲.乙两质点同时从点O 出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧 BD C 行至点C 后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是8 ．（2012年高考（江西文））已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg)5b f =则 （ ）A ．a+b=0B ．a-b=0C ．a+b=1D ．a-b=19 ．（2012年高考（江西文））设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（ ）A ．15B ．3C ．23D ．13910．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π≠时 ,()()02x f x π'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ）A ．2B ．4C ．5D ．811．（2012年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为12．（2012年高考（湖北文））函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．513．（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D．lny =14．（2012年高考（福建文））设1,()0,1,f x ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩0(0)(0)x x x >=<,1,()0,g x ⎧⎪=⎨⎪⎩()(x x 为有理数为无理数),则(())f g π的值为 （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π15．（2012年高考（大纲文））函数1)y x =≥-的反函数为（ ） A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥C ．21(0)y x x =+≥D ．21(1)y x x =+≥16．（2012年高考（北京文））函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．（2012年高考（安徽文））23log 9log 4⨯=（ ）A ．14B ．12C ．2D ．418．（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B = （ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12二、填空题19．（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________ 20．（2012年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f 2（）=_______________.21．（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.22．（2012年高考（四川文））函数()f x =____________.(用区间表示)23．（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .,则=-)1(g _______ .24．（2012年高考（上海文））方程03241=--+x x的解是_________.25．（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____26．（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.27．（2012年高考（课标文））设函数()f x =(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M,最小值为m ,则M+m =____28．（2012年高考（广东文））(函数)函数y x=__________.29．（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a的取值范围是_________.30．（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________. 31．（2012年高考（北京文））已知函数()l g f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b +=_________.32．（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a = 三、解答题33．（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.34．（2012年高考（福建文））某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单阶x (元) 8 8.28.48.6 8.89 销量y (件)9084 83 80 7568(I)求回归直线方程ˆybx a =+,其中ˆ20,b a y b x =-=-; (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)35．（2012年高考（北京文））设A 是如下形式的2行3列的数表,满足:性质P:,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-,且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i （）,()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j （）; 记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,3|()|c A 中的最小值.(1)对如下数表A,求()k A 的值;1 1 -0.80.1-0.3-1(2)设数表A形如1 1 -1-2d-1其中0≤≤.求()-1dk A的最大值;(3)对所以满足性质P的2行3列的数表A,求()k A的最大值.2012年高考文科数学解析分类汇编：函数参考答案一、选择题 1. 【答案】:D【解析】:由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->所以1x <或3log 5x >;由()2g x <得322x -<即34x <所以3l o g 4x <故(,1)M N =-∞【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.2. 【解析】函数x y 2log=为偶函数,且当0>x 时,函数x x y 22loglog==为增函数,所以在)2,1(上也为增函数,选B.3. [答案]C[解析]采用特殊值验证法. 函数(0,1)x y a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.4. 解析:运用排除法,奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确.5. 解析:函数xxx x f --=226cos )(,)(226cos )(x f x x f xx-=-=--为奇函数,当0→x ,且0>x 时+∞→)(x f ;当0→x ,且0<x 时-∞→)(x f ;当+∞→x ,+∞→--x x 22,0)(→x f ;当-∞→x ,-∞→--xx 22,0)(→x f .答案应选D.6. 解析:要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ,即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.7. 【答案】A8. 【答案】C【解析】本题可采用降幂处理,则21cos(2lg 5)1sin(2lg 5)2(lg 5)sin (lg 5)422a f ππ-++==+==211cos(2lg )111sin(2lg 5)52(lg)sin (lg)55422b f ππ-+-==+==,则可得1a b +=.【考点定位】本题主要考查函数的概念,三角函数的恒等变化及对数,属综合应用题.9. 【答案】D【解析】考查分段函数,22213((3))()()1339f f f ==+=.10. 【答案】B【解析】由当x∈(0,π) 且x≠2π时 ,()()02x f x π'->,知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数 又[]0,x π∈时,0<f (x )<1,在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下,由图知y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.11. B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y fx f f =--=--=-=,故可排除D项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x的对数型函数的图象的识别.12. D 【解析】由()c o s 20==f x x x ,得0=x 或cos 20=x ;其中,由cos 20=x ,得()22x k k ππ=+∈Z ,故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π,所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.13.解析:D.()()ln lnf x f x -===.14. 【答案】B【解析】因为()0g π= 所以(())(0)0f g f π==. B 正确【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力.15.答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解,利用原函数反解x ,再互换,x y 得到结论,同时也考查了函数值域的求法.【解析】由2211y x y x y =+=⇒=-,而1x ≥-,故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥,故选答案A16. 【答案】B【解析】函数121()()2xf x x =-的零点,即令()0f x =,根据此题可得121()2xx =,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B. 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.17. 【解析】选D 23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=18. 【解析】选D {3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 二、填空题 19. 【答案】4【解析】由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+--4a ⇒=.【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.20. 【答案】32【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=.21. 【解析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ,当1>x 时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x 时,⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ,综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象,要使函数y 与kx y =有两个不同的交点,则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ,k 满足21<<k ,当经过蓝色区域时,k 满足10<<k ,综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k .22. [答案](21-，∞)[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈(21-，∞).[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.23. [解析] )(x f y =是奇函数,则)1()1(f f -=-,44)1()1()1()1(=+-+=-+f f g g ,所以3)1(4)1(=-=-g g .24. [解析] 0322)2(2=-⋅-xx,0)32)(12(=-+xx,32=x,3log 2=x .25.解析:41(4)()162f --==,((4))(16)4f f f -===26.答案:14解析:当1a >时,有214,a a m -==,此时12,2a m ==,此时()g x =,不合题意.若01a <<,则124,a a m -==,故11,416a m ==,检验知符合题意.另解:由函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数可知41,041<>-m m ;当1>a 时()x f x a =在[-1,2]上的最大值为=2a 4,解得2=a ,最小值为211==-a m 不符合题意,舍去;当10<<a 时,()x f x a =在[-1,2]上的最大值为41=-a ,解得41=a ,此时最小值为411612<==a m ,符合题意,故a =41.27. 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.【解析】()f x =22sin 11x x x +++,设()g x =()1f x -=22sin 1x x x ++,则()g x 是奇函数,∵()f x 最大值为M,最小值为m ,∴()g x 的最大值为M-1,最小值为m -1, ∴110M m -+-=,M m +=2.28.解析:[)()1,00,-+∞ .由100x x +≥⎧⎨≠⎩解得函数的定义域为[)()1,00,-+∞ .29. 【答案】(0,8)【解析】因为 不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a << 【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把握是根本.30. 【答案】(4,0)-【解析】首先看()22xg x =-没有参数,从()22x g x =-入手,显然1x <时,()0g x <,1x ≥时,()0g x ≥,而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可,故只要1x ∀≥时,()0f x <(*)恒成立即可.当0m =时,()0f x =,不符合(*),所以舍去;当0m >时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<,并不对1x ∀≥成立,舍去;当0m <时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<,注意20,1m x ->≥,故20x m ->,所以30x m ++>,即(3)m x >-+,又1x ≥,故(3)(,4]x -+∈-∞-,所以4m >-,又0m <,故(4,0)m ∈-,综上,m 的取值范围是(4,0)-.【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对m 进行讨论.31. 【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.32. 【解析】6- 由对称性:362a a -=⇔=-三、解答题33. [解](1)由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,得11<<-x .由1lg)1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x 因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=,所以所求反函数是x y 103-=,]2lg ,0[∈x34. 【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 解:(1)1234561()8.56x x x x x x x =+++++=1234561()806y y y y y y y =+++++=80208.5250a y b x ∴=-=-⨯=,回归直线方程为:ˆ20250yx =-+ (2)设工厂获利润为L 元,依题意:22(20250)4(20250)2033010003320()361.254L x x x x x x =-+-+-+=-+-=--+当单价定为8.25x =时,工厂获利最大.35. 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.(1)因为1()r A =1.2,2() 1.2r A =-,1() 1.1c A =,2()0.7c A =,3() 1.8c A =-,所以()0.7k A = (2)1()12r A d =-,2()12r A d =-+,12()()1c A c A d ==+,3()22c A d =--.因为10d -≤≤,所以1|()|r A =2|()|r A 0d ≥≥,3|()|c A 0d ≥≥.所以()11k A d =+≤. 当0d =时,()k A 取得最大值1.(3)任给满足性质P 的数表A (如图所示)a bc def任意改变A 的行次序或列次序,或把A 中的每个数换成它的相反数,所得数表*A 仍满足性质P ,并且*()()k A k A =,因此,不妨设112()0,()0,()0r A c A c A ≥≥≥,由()k A 的定义知,112()(),()(),()()k A r A k A c A k A c A ≤≤≤,从而1123()()()()()kA rAcA c A abc ≤++=+++++ ()()3a b c d e f a b f a b f =+++++++-=+-≤因此()1k A ≤,由(2)知,存在满足性质P 的数表A ,使()1k A =,故()k A 的最大值为1.。

绝密*启用前2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(新课标卷)文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0},B ＝{x |－1<x <1},则(A)A ⊂≠B (B)B ⊂≠A (C)A ＝B (D)A ∩B ＝∅ (2)复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是(A)2+i (B)2－i (C)－1+i (D)－1－i 3、在一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )(n ≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n )都在直线y ＝12x +1上,则这组样本数据的样本相关系数为(A)－1 (B)0 (C)12 (D)1(4)设F 1、F 2是椭圆E:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x ＝3a2上一点,△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ) (A)12 (B)23 (C)34 (D)455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z ＝－x+y 的取值范围是(A)(1－3,2) (B)(0,2) (C)(3－1,2) (D)(0,1+3)(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A,B,则 (A)A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和(B)A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数(C)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 (D)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(A)6(B)9(C)12(D)18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为(A)6π (B)43π (C)46π (D)63π(9)已知ω>0,0<φ<π,直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ＝ (A)π4 (B)π3 (C)π2 (D)3π4(10)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A,B 两点,|AB|＝43,则C 的实轴长为(A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8(11)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是(A)(0,22) (B)(22,1) (C)(1,2) (D)(2,2)(12)数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1,则{a n }的前60项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第二部分 基本初等函数(2012年安徽卷理)（2）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1 ()D ()f x x =-【解析】选C()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件（2012年上海卷文）6、方程14230x x +--=的解是（2012年上海卷文）9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=（2012年天津卷理）（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x B 正确.． 1()2xy =1. (2012年福建卷理设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数 (2012年安徽文) （3）（2l o g 9）·（3log 4）=（A ）14（B ）12（C ） 2 （D ） 4 【解析】选D23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=(2012年安徽文)(13)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________. 【解析】_____a =6- 由对称性：362a a -=⇔=-（2012年山东卷理） 3 设a ＞0 a ≠1 ，则“函数f(x)= a x在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 3x 在R 上是增函数”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析：p ：“函数f(x)= a x在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数g(x)=(2-a) 3x 在R上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件. 答案选A 。

2012年高考试题分项解析数学（文科）专题05 三角函数(教师版)一、选择题:1.(2012年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 (A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真2.(2012年高考山东卷文科8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1-3.（2012年高考辽宁卷文科6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) (C) (D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【考点定位】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题.4. (2012年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A. B. C.D.5. （2012年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π46. (2012年高考浙江卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 【考点定位】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。

专题三 三角函数、解三角形1.(2012·高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3C. 3D.322.(2012·高考浙江卷)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )3.(2012·高考安徽卷)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位4.(2012·高考湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3945.(2012·高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.436.(2012·高考江西卷)已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 15)，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1 7.(2012·高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48.(2012·高考重庆卷)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.329.(2012·高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．10.(2012·高考课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .11.(2012·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(Ⅰ)求sin C 和b 的值；(Ⅱ)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值．12.(2012·高考广东卷)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛x4⎭⎫＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017， f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．13.(2012·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．14.(2012·高考湖南卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．15.(2012·高考辽宁卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．16.(2012·高考重庆卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．专题三 三角函数、解三角形1.B 根据正弦定理，BC sin A ＝ACsin B ，则AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3.2.A y ＝cos2x ＋1⇒y ＝cos x ＋1⇒y ＝cos(x ＋1)＋1 ⇒y ＝cos x ＋1，故选A.3.C y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos(2x ＋1)或y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)．4.B由余弦定理得12＝4＋AB 2－72×2AB，解得AB ＝3，∴BC 边上的高h ＝AB ·sin60°＝332.5.B 由已知：2sin α＋2cos α＝sin α－cos α. ∴sin α＝－3cos α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2×（－3）1－9＝34.6.C f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π42＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2.∴f (lg 5)＋f ⎝⎛⎫lg 15 ＝12[1＋sin(2lg 5)]＋12[1＋sin(－2lg 5)]＝1. 7.D 由题意知c ＝b －1，a ＝b ＋1.由3b ＝20a ·cos A ，得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得7b 2－27b －40＝0， 解得b ＝5，则a ＝6，c ＝4.8.C 原式＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝12.9.17250 根据cos(α＋π6)＝45， cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×1625－1＝725，因为cos(2α＋π3)>0，所以sin(2α＋π3)＝1－（725）2＝2425，因为sin(2α＋π12)＝sin[(2α＋π3)－π4]＝sin(2α＋π3)cos π4－cos(2α＋π3)sin π4＝17250.10.解：(Ⅰ)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(Ⅱ)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.11.解：(Ⅰ)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1.(Ⅱ)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218.12.解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，解得A ＝2.(2)f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2 sin α＝－3017，即sin α＝1517，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2 cos β＝85， 即cos β＝45.因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.13.解：(Ⅰ)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝ bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(Ⅱ)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.14.解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2 (12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .15.解：(Ⅰ)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(Ⅱ)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C ＝34.16.解：(Ⅰ)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2）＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos2x＋1(cos2x≠12)．因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠12，故g(x)的值域为[1，74)∪(74，52]．。

2012 年高考数学分类汇编函数的应用一、选择题11)x的零点个数为1．（ 2012 年高考（北京文））函数f ( x)x2(（）2A．0B． 1C． 2D． 32 ．（ 2012 年高考（天津理））函数f (x)=2x+x3 2 在区间(0,1)内的零点个数是（）A．0B． 1C． 2D． 33 ．（ 2012 年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA与OB的夹角为, 以 A6为圆心 ,AB 为半径作圆弧BDC与线段 OA延伸线交与点C．甲 . 乙两质点同时从点 O 出发 , 甲先以速度 1( 单位 :ms) 沿线段 OB行至点 B, 再以速度 3( 单位 :ms) 沿圆弧BDC行至点 C 后停止 , 乙以速率 2( 单位 :m/s) 沿线段 OA行至 A 点后停止 . 设 t 时辰甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t) 的图像大概是4．（ 2012 年高考（湖南文））设定义在R 上的函数 f (x) 是最小正周期为 2的偶函数, f ( x)是f ( x)的导函数,当x0,时,0 f (x)1;当x(0,)且x2时,( x)f( x)0,则函数y f ( x)sin x 在 [2,2] 上的零点个数为（）2A．2B． 4C． 5D． 85．（ 2012 年高考（湖北文））函数 f ( x)x cos 2x 在区间[0, 2] 上的零点个数为（）A．2B． 3C． 4D． 56．（ 2012年高考（辽宁理））设函数f(x)( x R) 知足f(x )=f(x),f(x)=f(2x),且当x[0,1]时 ,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(x)|,则函数h (x)=g(x)-f(x)在 [1 , 3] 上的零点个数2 2为（）A．5B． 6C． 7D． 87．（ 2012 年高考（湖北理））函数f (x)xcos x2在区间 [0,4]上的零点个数为（）A．4B． 5C． 6D． 7二、解答题8．（ 2012 年高考（上海春））本题共有2 个小题 , 第 1 小题满分7 分 , 第 2 小题满分7 分.某环线地铁按内、外环线同时运转, 内、外环线的长均为30 千米(忽视内、外环线长度差异).(1) 当9列列车同时在内环线上运转时, 要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟,求内环线列车的最小均匀速度;(2) 新调整的方案要求内环线列车均匀速度为25 千米/小时,外环线列车均匀速度为30千米 / 小时 . 现内、外环线共有18列列车所有投入运转 , 要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超出 1 分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运转?9．（ 2012 年高考（江苏））如图,成立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1千米 . 某炮位于坐标原点 . 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx1(1k2 )x 2 ( k 0) 表示的曲线上,此中k与发射方向相关.炮的射程是指炮弹落20地址的横坐标.(1)求炮的最大射程 ;(2)设在第一象限有一飞翔物 ( 忽视其大小 ), 其飞翔高度为 3.2 千米 , 试问它的横坐标a不超出多少时 ,炮弹能够击中它?请说明原因 .10．（ 2012 年高考（湖南理））某公司接到生产3000 台某产品的A,B,C 三种零件的订单, 每台产品需要这三种零件的数目分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每日可生产 A 零件或 B 零件 3 件, 或 C 零件 2 件. 该公司计划安排200 名工人分红三组分别生产这三种零件生产 B 零件的人数与生产 A 零件的人数成正比, 比率系数为k(k 为正整数 ).6 件,,(1)设生产 A零件的人数为 x, 分别写出达成 A,B,C 三种零件生产需要的时间 ;(2) 假定这三种零件的生产同时动工, 试确立正整数k 的值 , 使达成订单任务的时间最短,并给出时间最短时详细的人数分组方案.参照答案一、选择题1.【答案】 B11(1) x,在平面【分析】函数 f ( x) x 2( 1)x的零点,即令 f (x) 0 ,依据本题可得 x 222直角坐标系中分别画出这两个函数的图像, 可得交点只有一个 , 因此零点只有一个, 应选答案 B.【考点定位】本小题表面上观察的是零点问题, 实质上观察的是函数图像问题, 该题波及到图像幂函数和指数函数 .2.【答案】 B, 函数的零点的观点 , 零点存在【命题企图】本试题主要观察了函数与方程思想4定理以及作图与用图的数学能力.【分析】解法 1: 因为f (0)=1+02=1, f (1)=2+232=8,即f (0) f (1)<0且函数 f (x) 在 (0,1) 内连续不停,故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是 1.解法 2: 设y1=2x , y2=2x3, 在同一坐标系中作出两函数的图像以下图: 可知B正确.3.【答案】 A4.【答案】 B【分析】由当 x∈(0, π )且 x≠时 ,( x) f (x)0 , 知2222 4 6 8x0,时,为减函数；，时,f(x) 0,f(x)为增函数2 f ( x) 0, f ( x)x2又 x0,时 ,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为2π的偶函数 , 在同一坐标系中作出 y sin x 和 y f ( x) 草图像以下,由图知y=f(x)-sinx在[-2π ,2 π ] 上的零点个数为 4 个.y1y f ( x)2o2xy sin x 1【评论】本题观察函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.5. D 【分析】由f (x ), 得x 0 或cos2 x 0 ;此中,由 cos 2x 0 , 得x c o sx202x kkZ , 故kk Z. 又 因 为 x 0,2 π ,所 以x422xπ 3π 5π 7π1 4 5个.应选 D., , ,. 因此零点的个数为4 4 4 4【评论】本题观察函数的零点 , 分类议论的数学思想. 判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法 . 对于三角函数的零点问题, 一般需要规定自变量的取值范围 ;不然,假如定义域是 R , 则零点将会有无数个; 来年需注意数形联合法求解函数的零点个数, 所在的区间等问题 .6. 【答案】 B【 解 析 】 因 为 当x [ 0 时,f(x)=x3.所 以 当x [1,2]时， (2 -x) [0,1] ,f(x)=f(2x)=(2 x) 3,当 x[0, 1] 时 ,g(x)=xcos ( x) ; 当 x[1 ,3] 时 ,g(x)=xcos ( x) , 注意到函数 f(x) 、22 2g(x) 都是偶函数 , 且 f(0)= g(0), f(1)= g(1),g( 1)g( 3) 0 , 作出函数 f(x) 、 g(x)22的大概图象 , 函数 h(x) 除了 0、1 这两个零点以外 , 分别在区间 [1,0]、[0, 1]、[1 ,1 ]、[1, 3]2222上各有一个零点 , 共有 6 个零点 , 应选 B【评论】本题主要观察函数的奇偶性、对称性、函数的零点, 观察转变能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类议论思想、数形联合思想, 难度较大 .7. 考点剖析 : 本题观察三角函数的周期性以及零点的观点.分析 : f ( x) 0 , 则 x 0 或 cos x 20 , x 2k, k Z , 又 x 0,4 , k0,1,2,3,42因此共有 6个解.选 C.二、解答题8. 解 :(1) 设内环线列车运转的均匀速度为v 千米 / 小时 , 由题意可知 ,3060 10v 209v因此 , 要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟 , 列车的最小均匀速度是 20 千米/ 小时.(2) 设内环线投入 x 列列车运转 , 则外环线投入 (18 x) 列列车运转 , 内、外环线乘客最长候车时间分别为 t 1,t 2 分钟 , 则 t 130 6072, t 2 30 606025x x30(18 x)18 x于是有| t 1 t 2 | |7260 | 1 x 2 150x 1296 0150 17316 x114 18180x18 xx2114x 1296 022又x N * , 因此 x10 , 因此当内环线投入 10 列 , 外环线投入 8 列列车运转 , 内、外环线乘客最长候车时间之差不超出1分钟.9. 【答案】解:(1)在y kx1(1k 2 ) x2 (k 0)中 , 令y0 ,得 kx1(1k 2 ) x2 =0 .2020由实质意义和题设条件知 x >0， k > 0.∴20k2020, 当且仅当 k =1 时取等号 . x=1 k 2=12=10kk∴炮的最大射程是 10 千米.(2) ∵ a > 0 , ∴炮弹能够击中目标等价于存在k 0 , 使ka 1k22(1)a =3.2 成立,即对于 k 的方程a2k2 a 22020ak64=0 有正根.由 =24a2a2640得 a 6 . 20a20a20a2 a 264此时 ,4a 2k =2a 2> 0 (不考虑另一根).∴当 a 不超出 6 千米时 , 炮弹能够击中目标 .【考点】函数、方程和基本不等式的应用.【分析】 (1) 求炮的最大射程即求y1220) 与 x 轴的横坐标,求出后应用kx(1 k ) x (k20基本不等式求解.(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值, 由一元二次方程根的鉴别式求解.10.【分析】解:( Ⅰ) 设达成A,B,C 三种零件的生产任务需要的时间( 单位 : 天 ) 分别为T1 ( x),T2 ( x),T3 ( x), 由题设有2300010002000(x)1500T1 ( x)6x,T2 ( x),T3, x kx200(1 k) x期中 x, kx,200(1 k ) x 均为1到200之间的正整数.( Ⅱ) 达成订单任务的时间为 f ( x)max T1 (x), T2 (x),T3 ( x) , 其定义域为x 0x200 , x N. 易知, T ( x), T(x) 为减函数, T ( x) 为增函数.注意到1 k123T2 ( x)2T1( x), 于是k(1) 当k2时,T1 (x)T2 ( x), 此时f ( x)max T1( x),T3 ( x)max1000,1500,x200 3x10001500时 f ( x) 获得最小值,解得由函数 T (x), T ( x) 的单一性知,当13x200 3xx400. 因为94440045,而 f (44) T 1 (44)250, f (45) T 3 (45)300, f (44)f (45) .91113 故当 x44 时达成订单任务的时间最短 , 且最短时间为250.f (44)11(2) 当k 2时 , T 1 ( x) T 2 ( x),由 于 k 为正整数,故 k3, 此 时T ( x)375 (x)max T 1 (x),T ( x) 易知 T ( x) 为增函数 , 则50 ,xf ( x) max T 1 ( x), T 3 ( x) max T 1( x),T ( x)( x)max 1000 , 375.x 50 x由函数 T 1 ( x), T ( x) 的单一性知 , 当 1000375 时( x) 获得最小值 , 解得 x400 . 由x50 x11于 36400 37, 而 (36) T 1 (36)250 250 , (37) T (37) 375250 ,119 111311此时达成订单任务的最短时间大于250 .11(3) 当k 2时 , T 1 ( x) T 2 ( x),由 于 k 为正整数, 故 k 1, 此 时f ( x) max T 2 ( x), T 3 ( x) max 2000 750.由函数 T 2 ( x),T 3 ( x) 的单一性知 ,x ,x100当 2000750 时 f ( x) 获得最小值 , 解得 x 800 . 近似 (1) 的议论 . 此时x 100 x 250 大于 250 11达成订单任务的最短时间为 , .综上所述 , 当 k 2 9 11时达成订单任务的时间最短 , 此时生产 A,B,C 三种零件的人数分别为 44,88,68.【评论】本题为函数的应用题 , 观察分段函数、函数单一性、最值等, 观察运算能力及用数学知识剖析解决实质应用问题的能力. 第一问成立函数模型; 第二问利用单一性与最值来解决 , 表现分类议论思想 .。

2012年高考试题分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是【答案】C2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞bB. 若ea+2a=eb+3b，则a＜bC. 若ea-2a=eb-3b，则a＞bD. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b【答案】A3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx 则（）A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点【答案】D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f （3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C．6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C)4 (D)8【答案】C7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】8.【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为【答案】。

9【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。

2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin47sin17cos30cos17-（）A．2-B．12-C．12D．22 ．（2012年高考（浙江文））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是3 ．（2012年高考（天津文））将函数()sin(0)f x xωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是（）A．13B．1 C．53D．24 ．（2012年高考（四川文））如图,正方形A B C D的边长为1,延长B A至E,使1A E=,连接E C、E D则sin C ED∠=（）A．10B．10C10D5 ．（2012年高考（上海文））在ABC∆中,若BA22sinsin+形状是（）A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.6 ．（2012年高考（陕西文））设向量a=(1.cosθ)与b=(-1, 2cosθ)垂直,则cos2θ等于A2B12C．0 D．-17 ．（2012年高考（山东文））函数2sin(09)63xy xππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（）A ．2-B ．0C ．-1D ．1--8 ．（2012年高考（辽宁文））已知s in c o s αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=（ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．19 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π410．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ） A ．-34B ．34C ．-43D ．4311．（2012年高考（湖南文））在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于 （ ）A ．2B ．2C 2D ．412．（2012年高考（湖北文））设A B C ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为 （ ） A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 13．（2012年高考（广东文））(解三角形)在ABC∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC=（ ）A ．B ．CD ．214．（2012年高考（福建文））函数()s i n ()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-15．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242516．（2012年高考（大纲文））若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ=（ ）A ．2πB ．23π C ．32π D ．53π17．（2012年高考（安徽文））要得到函数c o s (21)y x =+的图象,只要将函数c o s 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位二、填空题 18．（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____19．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______20．（2012年高考（福建文））在A B C ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则A C =_______.21．（2012年高考（大纲文））当函数s i n c o s (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____.22．（2012年高考（北京文））在△ABC 中,若3a =,b =3A π∠=,则C ∠的大小为___________. 三、解答题 23．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.24．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.25．（2012年高考（天津文））在A B C∆中,内角,,A B C所对的分别是,,a b c.已知2,cos4a c A===-.(I)求sin C和b的值; (II)求cos(2)3Aπ+的值.26．（2012年高考（四川文））已知函数21()cos sin cos2222x x xf x=--.(Ⅰ)求函数()f x的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10fα=求sin2α的值.27．（2012年高考（上海文））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图.24912xy=援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为t7.(1)当5.0=t时,写出失事船所在位置P的纵坐标.两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?28．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A xπω=-+(0,0Aω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x的解析式;(2)设(0,)2πα∈,则()22fα=,求α的值.29．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC中,内角,,A B C所对的边分别为,,a b c,已知s i n(t a n t a nB A CA C+=.(Ⅰ)求证:,,a b c 成等比数列; (Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .30．（2012年高考（辽宁文））在A B C ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.31．（2012年高考（课标文））已知a ,b ,c 分别为A B C ∆三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A =-.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,A B C ∆,求b ,c . 32．（2012年高考（江西文））△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA;(2)若a=3,△ABC 的面积为,求b,c.33．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.34．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈(1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.35．（2012年高考（广东文））(三角函数)已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求A 的值; (Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.36．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin 13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin 15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin 18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos 55sin(25)cos 55-︒+︒--︒︒Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.37．（2012年高考（大纲文））A B C ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .38．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.39．（2012年高考（安徽文））设A B C ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2s i n c o s s i n c o s c o ss i n B A A C A C =+(Ⅰ)求角A 的大小;(II) 若2b =,1c =,D 为B C 的中点,求A D 的长.2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数参考答案一、选择题1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin 17cos 30sin(3017)sin 17cos 30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x 轴上的伸缩变换,在x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,选A. 3.【解析】函数向右平移4π得到函数)4s i n ()4(s i n )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.4. [答案]B1010cos 1sin 10103EC ED 2CD-ECEDCED cos 1CD 5CB AB EA EC 2ADAEED 11AE ][22222222=∠-=∠=∙+=∠∴==++==+=∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abcb a C ,所以C 是钝角,选A.6. 解析:0a b⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.7. 解析:由90≤≤x 可知67363ππππ≤-≤-x ,可知]1,23[)36sin(-∈-ππx ,则2sin [2]63x y ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭, 则最大值与最小值之和为2-答案应选A.8. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈),∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.10. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 11. 【答案】B【解析】设A B =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos 60c c =+-⨯⨯⨯ ,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式11sin 22A B C S A B B C B B C h ==,知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯,解得2h =.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.12. D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数,且>>A B C ,可得a b c >>,所以2,1=+=+a c b c ①;又因为已知320c o s =b a A ,所以3c o s 20b A a=②.由余弦定理可得222c o s 2+-=b c aA bc③,则由②③可得2223202b b c aab c+-=④,联立①④,得2713600--=c c ,解得4=c 或157=-c (舍去),则6=a ,5=b .故由正弦定理可得,sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. 13.解析:B.由正弦定理,可得sin 45sin 60AC BC =︒︒,所以22AC==.14. 【答案】C【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.16.答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,.【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知,y 轴是函数()f x 图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈,而[]0,2ϕπ∈,故0k =时,32πϕ=,故选答案C.17. 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移12二、填空题 18. 【答案】4【解析】11,2,c o s4a b C ===,由余弦定理得22212cos1421244c a b a b C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin 4B ==.【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.19.解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.20.【解析】由正弦定理得sin 45sin 60AC AC =⇒=︒︒【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. 21.答案:56π【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.22. 【答案】2π【解析】222cos 2b c aA c bc+-=⇒=,而sin sin c a CA=,故sin 12C C π=⇒=.【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案. 三、解答题23. 【答案】:(Ⅰ)6πϕ=(Ⅱ)775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈,且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]44224. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【解析】(1)acosB,由正弦定理可得sin sin cos B A A B =,即得tan B =3B π∴=.(2) sinC=2sinA,由正弦定理得2c a=,由余弦定理2222c o sb ac a c B=+-,229422cos3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴==.25.解:(1)在A B C ∆中,由cos 4A =-,可得sin 4A =,又由s i n s i n a c AC=及2a =,c =可得sin 4C =由22222cos 20a b c bc A b b =+-⇒+-=,因为0b >,故解得1b =.所以sin 14C b ==(2)由cos 4A =-,sin 4A =,得23cos 22cos 14A A =-=-,sin 2sin cos 4A A A ==-所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin3338A A A πππ-++=-=26. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos2x sin2x cos 2--21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+=所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22，(2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα).所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-=257251814cos 212=-=+-=）（πα,[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 27. [解](1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =277=t ,代入抛物线方程24912xy =中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan∠OAP =30712327=+,得∠OAP =arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=tt v因为2212≥+tt ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船28.29.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=,sin sin()sin sin B A C A C+=,则2sin sin sin B A C =,再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c成等比数列.(II)若1,2ac ==,则22bac ==,∴2223cos 24a c bB ac+-==,sin 4C =,∴△ABC 的面积11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=.30. 【答案与解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴(2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B acac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.31. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.【解析】(Ⅰ)由sin sin c C c A =-及正弦定理得sin sin sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠,所以1sin()62A π-=,又0A π<<,故3A π=.(Ⅱ) A B C ∆的面积S =1sin 2bc A 故bc =4, 而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8,解得b c ==2. 法二:解: 已知:A c C a c cos sin 3⋅-⋅=,由正弦定理得:A C C A C cos sin sin sin 3sin ⋅-⋅=因0sin ≠C ,所以:AA cos sin 31-= ,由公式:()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=>++=+2,tan ,0sin cos sin 22πϕϕϕa b a x b a x b x a 得:216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA , A 是∆的内角,所以66ππ=-A ,所以:3π=A(2) 1sin 42S bc A bc ==⇔=2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=解得:2b c ==32. 【解析】(1)3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=-=-+=--=-则1cos 3A =.(2) 由(1)得sin 3A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c ab c A bc+-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 33. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上,所以s i n 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)22x x x =-+sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.34. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-++=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 6264πππλ=-⨯-=-=即λ=故5()2sin()36f x x π=--函数()f x 的值域为[22-+.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.35.解析:(Ⅰ)1cos cos 343642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =.(Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4c o s 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8c o s 17α==,3sin 5β==,所以()8415313c o s c o s c o s s i n s i n17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 36. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin 15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒=(2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos 30cos sin 30sin )sin (cos 30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+=37. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B ,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案.【解析】由 A.B.C 成等差数列可得2B A C =+,而A B C π++=,故33B B ππ=⇒=且23C A π=-而由223b ac=与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin3sin()sin 33B AC A Aππ=⇒⨯=-所以可得232223(s 433A A Aππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)2262AA A π-+=⇒-=,由27023666A A ππππ<<⇒-<-<,故266A ππ-=或5266A ππ-=,于是可得到6A π=或2A π=.38. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(s()sin x x xf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈.39. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=在R t A B D ∆中,2AD ===。

【山东省青岛市2012届高三期末检测文】9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．B ．CD ．【答案】D【山东省青岛市2012届高三期末检测文】18．（本小题满分12分）已知函数221()2(cos sin )12f x x x x =---，R x ∈,将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设三角形ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（Ⅰ）若c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B =，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）221()2(cos sin )12f x x x x =---12cos 21sin(2)126x x x π=--=-- …………………………………………1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666C πππ-∈-,所以262C ππ-=,所以3C π=……………………………3分由余弦定理知：222cos73a b ab π+-=，因为sin 3sin B A =,由正弦定理知：3b a =……………………………………………5分 解得：3,1==b a …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由条件知()sin(2)16g x x π=+-所以()sin(2)106g B B π=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π=(cos m A =，(1,sin )n A A =于是1cos )cos sin()26m n A A A A A A π⋅=-==+…… 8分 5(0,)66B A ππ=∴∈,得 ),6(6πππ∈+A ……………………………………………10分 ∴ ]1,0()6sin(∈+πA ，即](0,1m n ⋅∈…………………………………………………12分【山东省青岛市2012届高三期末检测文】3.已知tan()34πα+=，则αtan 的值为A ．21 B ．21- C ．41D ．41-【答案】A【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】5.在ABC ∆中，解A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若,5,3,7===c b a 则角A 等于 A.32π B.65π C.43π D.3π 【答案】A【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】8.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像A.向左平行移动3π个单位长度 B.向右平行移动3π个单位长度 C.向左平行移动6π个单位长度D.向右平行移动6π个单位长度【答案】C【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】17.（本小题满分12分）已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f（I ）求函数()x f 的单调增区间； （II ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f 的最大值及相应的x 值. 【答案】17.解：（I ）()1cos 2cos sin 322-+=x x x x fx x 2cos 2sin 3+= ⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx ……………………………………………………2分 令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ……………………………………4分∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ……………6分（II ）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x ………………………8分 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时.………………………………10分()x f 取最大值，最大值为2.………………………………………12分【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】3. 已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为 A ．2524-B ．2512-C ．54- D ．2524 【答案】A【山东省莱芜市2012届高三上学期期末文】若31)tan(-=-απ，则αααα2c o sc o s s i n 22c o s +的值为 A.38 B.58 C.158 D.78- 【答案】C【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】8. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>，，02πωϕ><，）的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是A ．()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R B ．()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RC ．()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R D ．()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R【答案】A【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】17. （本小题满分12分）已知2()s i n (2)2c o s 16f x x x π=-+-（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()11 ,2 , 2a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.【答案】17. 解：（Ⅰ）因为()f x =2sin(2)2cos 16x x π-+-=12cos2cos222x x x -+=1sin 2cos222x x +=sin(2)6x π+…………（3分） 所以函数()f x 的单调递增区间是[,36k k πππ-π+]（k Z ∈）……………（5分） (Ⅱ)因为()f x =12，所以1sin(2)62A π+=,又0A π<<，所以132666A πππ<+<，从而52,663A A πππ+==故…………（7分） 在ABC ∆中，∵ 1 , 2 , 3a b c A π=+== ∴1=b 2+c 2-2bc cos A ,即1=4-3bc .故bc =1………（10分）从而S △ABC =1sin 24bc A =…………（12分）【山东省莱芜市2012届高三上学期期末文】关于)42sin(3)(π+=x x f 有以下命题：①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)42cos(3)(π-=x x g 图象相同；③)(x f 在区间]83,87[ππ--上是减函数； ④)(x f 图象关于点)0,8(π-对称。

2012年高考文科数学解析分类汇编2：函数与方程2012高考文科试题解析分类汇编：函数与方程 一、选择题1.【2012高考安徽文3】（2log 9）·（3log 4）=（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4【答案】D23lg9lg 42lg32lg 2log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3⨯=⨯=⨯=2.【2012高考新课标文11】当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】A【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题.【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得02a <<，故选A.3.【2012高考山东文3】函数1()ln(1)f x x =++义域为(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]-(D)(1,2]- 【答案】B考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考察。

解析：函数式若有意义需满足条件：210,1,ln(1)0,0,22,40,x x x x x x ⎧+>>-⎧⎪⎪+≠⇒≠⎨⎨⎪⎪-≤≤-≥⎩⎩取交集可得：()(]1,00,2x ∈-。

答案：B.4.【2012高考山东文10】函数cos622xxxy -=-的图象大致为【答案】D 考点：函数图像解析：本题为已知函数解析式，求函数图象的问题。

对于判断函数图象，我们平时最常用的方法是看：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、正负性、极值点。

显然此函数为奇函数，排除A则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y yx x >-<-即,02121<+>+y y x x ，故答案选B.方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b 不妨设12x x <，则223xb =.所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =.120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.法二，x 1bxax +=2，则01-23=+bx ax，令1-)(23bx axx h +=因为()()x g x f ,图像有两个公共点，所以()x h 必然有一个极值为0，又())3(b ax x x h +='，所以032=⎪⎭⎫⎝⎛-ab h 解得23)2(3a b =⎪⎭⎫⎝⎛所以令2,3==a b 可得2,1,21,12121=-==-=y y x x令2,3-==a b 可得2,1,21,12121-==-==y y x x6.【2012高考重庆文7】已知2log3log a =+，2log 9log b =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】B 【解析】：222213log3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log2log 3log 3c ===则a b c=>【考点定位】本题考查对数函数运算．7.【2012高考全国文11】已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（01集合）一、选择题：1.(2012安徽文)设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域；则AB =（ ）A.(1,2)B. [1,2]C. [,)12D ．(,]12 【解析】选D {3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]B A B =+∞⇒=2．(2012北京文、理)已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=（ ）A ．（-∞，-1）B ．（-1，-23）C ．（-23,3） D ． (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D3. (2012福建文)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（ ）A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}4. (2012广东文) 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ð（ ）A. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U4. A. U M =ð{2,4,6}.5．(2012广东理)设集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}4,2,1{=M ，则M C U =（ ）A ．UB ．}5,3,1{C ．}6,5,3{D ．}6,4,2{解析：（C ）．6．(2012湖北文) 已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（ ）A 1B 2C 3D 46.D 【解析】求解一元二次方程，得 {}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.7. (2012湖南文)设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N=（ ）A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0}【答案】B【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1} 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N =，再利用交集定义得出M ∩N.8 (2012湖南理) 设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=（ ）A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}【答案】B【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N.9. (2012江西文) 若全集U=｛x ∈R |x 2≤4} A=｛x ∈R ||x+1|≤1}的补集CuA 为（ ）A |x ∈R |0＜x ＜2|B |x ∈R |0≤x ＜2|C |x ∈R |0＜x≤2|D |x ∈R |0≤x≤2|【答案】C【解析】考查集合的基本运算{|22}U x x =-≤≤，{|20}A x x =-≤≤，则{|02}U C A x x =<≤.10、(2012江西理) 若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（ ） A ．5 B.4 C .3 D.210.C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn 图的考查等.12. (2012辽宁文、理)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为（ ）(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。

2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2x f x e x =+，则()20x f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.【解析】()22212'x f x x x x-=-+=，令()'0f x =，则2x =． 当2x <时，()22212'0x f x x x x -=-+=<；当2x >时，()22212'0x f x x x x-=-+=>．即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的． 所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【答案】B【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

引入：1、议论文的特点：以议论为主要的表达方式，可兼用其他表达方式；以鲜明的态度表明观点或主张；以充分的材料证明其观点或主张。

2、议论文的三要素：论点——对所论述的问题所持的观点、态度。

论点有中心论点、分论点两种，有的议论文只有中心论点，有的议论文中心论点、分论点均有。

论据——对论点进行论证的材料、依据。

论据有事实论据（代表性的确凿的事例与史实、统计的数字等）；道理论据（自然科学的定义、定理，名言警句，俗语谚语等） 论证——用论据证明论点的过程和方法。

3、议论文的分类： 立论——从正面论述其观点、说明其观点的正确。

驳论——批驳错误观点，然后确立其正确观点。

议论文按论证方式分类可分为：立论文和驳论文。

把握中心论点 从题目入手 ①题目即为观点。

例：《抱着长不大》、《孝心无价》；②有的题目是论题，从文中找出直接回答这个论题的语句，就能把握论点。

例：《美的断想。

》 从文中运用的论据推断出论点。

论据是支撑论点的材料。

即抓住文中所运用的事实或道理论据用来证明什么，尤其要抓住的是作者对论据所阐述的话，也能把握论点。

例：《什么是自制力》[先说明自制力是什么，再引用狐狸的事例论证是怎样的自制力，最后提出反问以结尾。

] 捕捉文章的“中心句”。

根据论点常见位置[一般在篇首或篇末，也有在篇中的]来寻找。

[篇首]例：《论事业成效及艺术修养的关系》[开门见山地提出论点] 《谈骨气》审视是不是中心论点，也要慎重，必须通读全文，才可确认。

放在结尾的，往往先提出分论点，层层论述，在结尾处归纳出中心论点。

要很好地研究文章和题目的各种关系，才能归纳出来。

放在文中的这种文章，往往观点的提出有一个过程，经过一番论辩后，再提出中心论点，一般驳论性的文章、读后感一类文章，好采取此种方法。

\^O^/不管放在何处，只要留心题目、论点的位置、分析议论展开后的段落、层次结构，中心论点是可以找到的。

议论文一般只有一个中心论点，有的议论文还围绕中心论点提出几个分论点。

2012高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移 12个单位 （D ） 向右平移12个单位【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。

2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T =-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A.3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1--【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C.5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524-（B ）2512-（C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【2012高考重庆文5】sin 47sin 17cos 30cos17-（A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）2【答案】C 【解析】sin 47sin 17cos 30sin(3017)sin 17cos 30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sinsinsin<+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abcb a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【2012高考四川文5】如图，正方形A B C D 的边长为1，延长B A 至E ，使1A E =，连接E C 、ED 则sin C ED ∠=（ ）（1）10B10C 10D15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC ===3424E D C E D A A D C πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin 1sin 5C ED D C ED CC E∠===∠，所以3sin sin sin55410C ED ED C π∠=∠==.10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A)-1 (B) 2- (C) 2(D) 1【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

B 函数与导数 B1 函数及其表示14．B1[2012·天津卷] 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．14．(0,1)∪(1,2) [解析] y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)，－1≤x <1，x ＋1，x <－1或x >1， 在同一坐标系内画出y ＝kx 与y ＝|x 2－1|x －1的图象如图，结合图象当直线y ＝kx 斜率从0增到1时，与y ＝|x －1|x －1在x 轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到2时，与y ＝|x 2－1|x －1的图象在x 轴上、下方各有一个公共点．11．B1[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________.11．4 [解析] 由题目所给的是一分段函数，而f (－4)＝16，所以f (16)＝4，故答案为4. 3．B1[2012·山东卷] 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]3．B [解析] 本题考查函数的定义域，考查运算能力，容易题． 要使函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，解之得－1<x ≤2且x ≠0.3．B1[2012·江西卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．D [解析] f (x )＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，故选D.5．B1[2012·江苏卷] 函数f (x )＝1－2 log 6x 的定义域为________．5．(0，6] [解析] 本题考查函数定义域的求解．解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件．由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤ 6.11．B1[2012·广东卷] 函数y ＝x ＋1x的定义域为________．11．{x |x ≥－1且x ≠0} [解析] 本题考查函数的定义域，函数有意义，满足：⎩⎨⎧x ＋1≥0，x ≠0.解得{x |x ≥－1且x ≠0}．9．B1[2012·福建卷] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π9．B [解析] 解题的关键是求分段函数的值时，一定要认真分析自变量所在的区间，因为各段上的解析式是不相同的．∵π是无理数，∴g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，所以选择B.13．B1[2012·四川卷] 函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示)13.⎝⎛⎭⎫－∞，12 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≠0，1－2x ≥0，解得x ＜12，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. B2 反函数2．B2[2012·全国卷] 函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( )A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)2．A [解析] 本小题主要考查求反函数的方法．解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x 的表达式．由y ＝x ＋1得y 2＝x ＋1，即x ＝y 2－1，交换x 和y 得y ＝x 2－1，又原函数的值域为y ≥0，所以反函数的定义域为x ≥0，故选A.B3 函数的单调性与最值16．B3[2012·课标全国卷] 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M＋m ＝________.16．[答案] 2[解析] 因为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则f (x )＝g (x )＋1.由g (－x )＝－2x －sin xx 2＋1＝－g (x )及函数g (x )的定义域为R ，得函数g (x )是奇函数，故g (x )max 与g (x )min互为相反数．故g (x )max ＋g (x )min ＝0.易知M ＝g (x )max ＋1，m ＝g (x )min ＋1，所以M ＋m ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝0＋2＝2.13．B3[2012·安徽卷] 若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.13．－6 [解析] 容易作出函数f (x )的图像(图略)，可知函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－a2上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，解得a ＝－6. 12．B2、D2[2012·四川卷] 设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．2112．D [解析] 记公差为d ， 则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋(a 2－3)3＋…＋(a 7－3)3＋(a 1＋a 2＋…＋a 7)－7＝(a 4－3d －3)3＋(a 4－2d －3)3＋…＋(a 4＋2d －3)3＋(a 4＋3d －3)3＋7a 4－7 ＝7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7.由已知，7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7＝14， 即7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7(a 4－3)＝0， ∴(a 4－3)3＋4(a 4－3)＝0.因为f (x )＝x 3＋4x 在R 上为增函数，且f (0)＝0， 故a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝7×3＝21. 2．B3、B4[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.8．B3、B10[2012·北京卷] 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．118．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S nn 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0(m ＋1)－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x －2<0，可得x <1，要使∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1，可得m ∈(－4,0)．20．B3、D4、M4[2012·北京卷] 设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1,2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1,2,3)；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；(2)设数表A 形如其中－1≤d ≤0，求k (A )(3)对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求k (A )的最大值．20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7.(2)r 1(A )＝1－2d ，r 2(A )＝－1＋2d ， c 1(A )＝c 2(A )＝1＋d ，c 3(A )＝－2－2d . 因为－1≤d ≤0，所以|r 1(A )|＝|r 2(A )|≥1＋d ≥0， |c 3(A )|≥1＋d ≥0.所以k (A )＝1＋d ≤1.当d ＝0时，k (A )取得最大值1. (3)任给满足性质P 的数表A (如下所示)．任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *仍满足性质P ，并且k (A )＝k (A *)．因此，不妨设r 1(A )≥0，c 1(A )≥0，c 2(A )≥0. 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c 1(A )，k (A )≤c 2(A )． 从而3k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A ) ＝(a ＋b ＋c )＋(a ＋d )＋(b ＋e ) ＝(a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f )＋(a ＋b －f ) ＝a ＋b －f ≤3. 所以k (A )≤1.由(2)知，存在满足性质P 的数表A 使k (A )＝1.故k (A )的最大值为1.6．B3、B4[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增．22．B3、B9、B12[2012·福建卷] 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0. 当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内至少存在一个零点． 又由(1)知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内有且仅有一个零点． 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g ⎝⎛⎭⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有g ′(x )＜0， 从而g (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递减．当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减． 又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．8．B3、B10[2012·北京卷] 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前mA ．5B ．7C ．9D ．118．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S nn 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0(m ＋1)－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.16．B3、B4[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.16．[答案] 32[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.B4 函数的奇偶性与周期性12．B4[2012·重庆卷] 若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.12．4 [解析] 因为f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，所以根据f (x )为偶函数得f (x )＝f (－x )，即x 2＋(a －4)x －4a ＝x 2＋(4－a )x －4a ，所以a －4＝4－a ，解得a ＝4.9．B4[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.9．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数．已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 4．B4[2012·广东卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋14．D [解析] 根据奇偶性的定义知A 、B 都为奇函数，C 非奇非偶函数，D 是偶函数，所以选择D.6．B3、B4[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增． 2．B3、B4[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1x D ．y ＝x |x |2．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.16．B3、B4[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.16．[答案] 32[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32. B5 二次函数12．B5[2012·山东卷] 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<012．B [解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难． 当y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为作出点A 关于原点的对称点C ，则C (－x 1，－y 1)，由图象知－x 1<x 2，－y 1>y 2，故x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0，故选B.6．B5、B6[2012·上海卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 [解析] 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x －3＝0，化为(2x －3)(2x ＋1)＝0， 所以2x ＝3，或2x ＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23.B6 指数与指数函数4．B6[2012·四川卷] x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )1－14．C [解析] 由f (1)＝0可知选C. 15．B6、B8[2012·山东卷] 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.15.14 [解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝⎛⎭⎫142<14成立． 4．B6、B7[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a4．A [解析] ∵a ＝21.2>2,1＝⎝⎛⎭⎫120<b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8<⎝⎛⎭⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .6．B5、B6[2012·上海卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 [解析] 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x －3＝0，化为(2x －3)(2x ＋1)＝0，所以2x ＝3，或2x ＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23.11．B6、B7[2012·课标全国卷] 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)11．B [解析] 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x <log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫22，1.故选B. 5．B6、B8、B9[2012·北京卷] 函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.7．E1、B6、B7[2012·湖南卷] 设a ①c a ＞cb；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．10．A1、E3、B6[2012·重庆卷] 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x －2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)10．D [解析] 因为f (g (x ))＝[g (x )]2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式[g (x )]2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x －2＜1或3x －2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝(－∞，1)∪(log 35，＋∞)，又由g (x )＜2，即3x －2＜2,3x ＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝(－∞，log 34)，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.B7 对数与对数函数7．B7[2012·重庆卷] 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c7．B [解析] 因为a ＝log 233＞1，b ＝log 293＝log 233＞1，又∵0＝log 31＜log 32＜log 33＝1，∴a ＝b ＞c ，选B.11．B7[2012·全国卷] 已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x11．D [解析] 本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作比较．x ＝lnπ>lne ＝1,0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.12．B7[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.12．2 [解析] 本题考查函数解析式与对数运算性质．因为f (ab )＝lg(ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(ab )2＝2lg(ab )＝2.3．B7[2012·安徽卷] (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．43．D [解析] (解法一)由换底公式，得()log 29·()log 34＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3lg2·2lg2lg3＝4. (解法二)()log 29·()log 34＝()log 232·()log 322＝2()log 23·2()log 32＝4.4．B6、B7[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．A [解析] ∵a ＝21.2>2,1＝⎝⎛⎭⎫120<b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8<⎝⎛⎭⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .7．E1、B6、B7[2012·湖南卷] 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c a ＞cb；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．2．A1、B7[2012·安徽卷] 设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]2．D [解析] 根据已知条件，可求得A ＝[]－1，2，B ＝()1，＋∞，所以A ∩B ＝[]－1，2∩()1，＋∞＝(]1，2.11．B6、B7[2012·课标全国卷] 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)11．B [解析] 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x <log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫22，1.故选B. B8 幂函数与函数的图像象15．B6、B8[2012·山东卷] 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.15.14 [解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝⎛⎭⎫142<14成立． 5．B6、B8、B9[2012·北京卷] 函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.6．B8[2012·湖北卷] f (x )的图象如图1－1所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )图16．B[解析] y ＝f (x )→y ＝f (－x )→y ＝f [－(x －2)]→y ＝－f (2－x )，即将y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向右平移2个单位长度，然后关于x 轴对称，即为B 图象．B9 函数与方程21．B9、B12、E5[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值；(3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围． 21．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1. ∵f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＝⎝⎛⎭⎫12n －12×1＜0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调递增的，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点．(2)解法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6， 在点(0,0)取到最大值0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法二：由题意知－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， 所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法三：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－b ＋c ，f (1)＝1＋b ＋c ，解得b ＝f (1)－f (－1)2，c ＝f (1)＋f (－1)－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f (－1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2.注：②，③也可合并证明如下： 用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时，M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ⎝⎛⎭⎫－b 2 ＝f (－1)＋f (1)2＋|f (－1)－f (1)|2－f ⎝⎛⎭⎫－b2 ＝1＋c ＋|b |－⎝⎛⎭⎫－b24＋c ＝⎝⎛⎭⎫1＋|b |22≤4恒成立．3．B9、C1[2012·湖北卷] 函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．D[解析] 要使f (x )＝x cos2x ＝0，则x ＝0或cos2x ＝0，而cos2x ＝0(x ∈[0,2π])的解有x ＝π4，3π4，5π4，7π4，所以零点的个数为5.故选D. 22．B3、B9、B12[2012·福建卷] 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0. 当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内有且仅有一个零点． 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g ⎝⎛⎭⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有g ′(x )＜0， 从而g (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递减．当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减． 又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．5．B6、B8、B9[2012·北京卷] 函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.B10 函数模型及其应用21．B10、B11、B12 [2012·浙江卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时 函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫a 6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 6，a 6. (2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0. 18．B10、B11、B12[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围． 18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．18．K2、B10、I2[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．18．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )． (2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为 p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7. 18．B10、I4[2012·福建卷] 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)18．解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1000＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．B11 导数及其运算9．B11[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点9．D [解析] 所给的原函数f (x )＝2x ＋ln x 的导函数为f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0可得x ＝2，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为极小值点，故选D.13．B11[2012·课标全国卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．13．[答案] y ＝4x －3[解析] y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4.故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.21．B10、B11、B12 [2012·浙江卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0.21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时 函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫a 6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 6，a 6. (2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0. 18．B10、B11、B12[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围． 18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．12．B11[2012·辽宁卷] 已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－812．C [解析] 本小题主要考查导数的几何意义的应用．解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率．由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2),以点P 为切点的切线方程P A 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.7．D3、B11[2012·上海卷] 有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n→∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.7.87 [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝18，由极限公式得lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n)＝V 11－q ＝11－18＝87. 10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x ＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a <e b －2b ，令函数f (x )＝e x －2x ，则f ′(x )＝e x －2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．B12 导数的应用8．B12[2012·重庆卷] 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )图18．C [解析] 在A 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在B 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在C 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处取得极小值；在D 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处取得极大值．综上所知，选C.20．B12[2012·天津卷] 已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围； (3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13. (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43. ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]， 且－1,1∈[t ，t ＋3]．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)． f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53，所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.21．B10、B11、B12 [2012·浙江卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时 函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫a 6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 6，a 6. (2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x ＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a <e b －2b ，令函数f (x )＝e x －2x ，则f ′(x )＝e x －2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．22．B12[2012·山东卷] 已知函数f (x )＝ln x ＋kex (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.22．解：(1)由f (x )＝ln x ＋kex ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，。