2019年文科数学高考分类汇编1280

高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录专题一 集合1.若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B =（ ）A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}53x x -<< 【答案】A考点：集合的交集运算. 2. 若集合{|(4)(1)0}Mx x x ，{|(4)(1)0}N x x x ，则M NA ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 【答案】A ．【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题． 3. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C 【解析】 试题分析：{}1MN =，故选C ．考点：集合的交集运算． 4.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D考点：推理与证明．5.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U AC B =( )（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 【答案】B 【解析】试题分析：∵{}6,5,1=B C U ∴()U A C B ={}1 ∴选B 考点：集合的运算6.（福建文科）若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1 【答案】D考点：集合的运算． 7.8. 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0AB =-，故选A9.已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算.10. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算． 11. 集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A考点：集合间的运算.12.(15年天津理科) 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合UAB =（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】 试题分析：{2,5,8}UB =,所以{2,5}UAB =，故选A.考点：集合运算. 13. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U ,集合{2,3,5}A ,集合{1,3,4,6}B ,则集合A U B （）（ ）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】试题分析：{2,3,5}A ,{2,5}UB ,则A 2,5U B （）,故选B.考点：集合运算 14.15. 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则AB =(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x AB =-+<=<<=,答案选(C)16.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==，，，，，，，，，个元素 考点：集合运算专题二 函数1.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是AB Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.3.设函数()()()2142 1.x a xf xx a x a x⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a=，则()f x的最小值为；②若()f x恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a≤<或2a≥.考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想. 4.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=【答案】B 【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.5. 32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】试题分析：31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>>2log 5最大.考点：比较大小.6.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题． 7.设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2。

高考文科数学真题解析分类汇编数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}1．C[解析] A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．16．201[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()A．{0，2} B．{2，3}C．{3，4} D．{3，5}1．B[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A＝{2，4，7}．故选C.2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．C[解析] 由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B ＝________．11．{3，5，13}[解析] 由集合交集的定义知，A∩B＝{3，5，13}．1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．1．{－1，3}[解析] 由题意可得A∩B＝{－1，3}．2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)2．C[解析] ∵A＝(－3，3)，∁R B＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴A∩(∁R B)＝(－3，－1]．1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}1．D[解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为()A．2 B．3C．5 D．71．B[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}1．B[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N ＝()A．(－2，1) B．(－1，1)C．(1，3) D．(－2，3)1．B[解析] 利用数轴可知M∩N＝{x|－1<x<1}．2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0，2] B．(1，2)C．[1，2) D．(1，4)2．C[解析] 因为集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选C.1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)1．D[解析] 由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}1．D[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B ＝{－1，0，1，2}．故选D.20．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.1．[2014·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2，5) D．[2，5]1．D[解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5] ，故选D.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．D[解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7．A[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2R sin A，b＝2R sin B．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B . 6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β6．D [解析] 对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错． 对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确． 5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3．C [解析] 函数在x ＝x 0处有导数且导数为0，x ＝x 0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0 ，所以p 是q 的必要不充分条件．4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.8．[2014·陕西卷] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假8．A [解析] 由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”；②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q6．A [解析] 由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．A3 基本逻辑联结词及量词 2．[2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 5．[2014·福建卷] 命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05．C[解析] “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.3．[2014·湖北卷] 命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∈/R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∈/R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x03．D[解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x20＝x0”. 故选D.1．[2014·湖南卷] 设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤01．B[解析] 由全称命题的否定形式可得綈p：∃x0∈R，x20＋1≤0.3．[2014·天津卷] 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B. ∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C. ∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D. ∀x≤0，总有(x＋1)e x≤13．B[解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定． A4 单元综合数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119. 3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.B2 反函数5．[2014·全国卷] 函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R )5．D [解析] 因为y ＝ln(3x ＋1)，所以x ＝(e y －1)3.因为x >－1，所以y ∈R ，所以函数y ＝ln(3x ＋1)(x >－1)的反函数是y ＝(e x －1)3(x ∈R )．B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对．19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1. 综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确21．、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.B4 函数的奇偶性与周期性 4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x4．D [解析] A 中，f (－x )＝－x －1，f (x )为非奇非偶函数；B 中，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ，f (x )为非奇非偶函数；C 中，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数；D 中，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )为偶函数．故选D.14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －12x B ．x 3sin xC ．2cos x ＋1D ．x 2＋2x5．A [解析] 对于A 选项，令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域是R ，f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以A 正确；对于B 选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x 3sin x 是偶函数；C 显然也是偶函数；对于D 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解． 当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．15．－32[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32.19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1. 综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．112．D [解析] 因为f (x ＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x ＝0，所以函数f (x )的图像的对称轴为直线x ＝2.又因为函数f (x )是奇函数，其定义域为R ，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝0＋f (－5)＝－f (5)＝－f (－1)＝f (1)＝1.15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，又函数为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，故f (－1)＝3.5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数5．C [解析] 因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 13．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 13．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.B5 二次函数 10．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．10.⎝⎛⎭⎫－22，0 [解析] 因为f (x )＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，解得⎩⎨⎧－22＜m ＜22，－32＜m ＜0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－22，0.14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32.B6 指数与指数函数 5．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b . 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋15．A [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．故选A. 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D. 12．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．12.10 [解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝1012＝10.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ·log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.4．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a4．C [解析] ∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0，c ＝1π2<1，∴b <c <a .B7 对数与对数函数 12．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．12．(－∞，0) [解析] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．11．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．13．5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ·log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 39．D [解析] 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b ＝(a＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3a b ，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.B8 幂函数与函数的图像 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．15.⎝⎛⎭⎫0，16 [解析] “∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝f (x －1)的图像的上方”，函数y ＝f (x －1)的图像是由函数y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，16.13．、[2014·江苏卷] x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．13.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图像可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x 1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.B9 函数与方程6．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)6．C [解析] 方法一：对于函数f (x )＝6x －log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x 与g (x )＝log 2x 的大致图像，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2，4)．7．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞97．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3，∴6<c ≤9，故选C.10．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 10．A [解析] 作出函数f (x )的图像，如图所示．函数g (x )＝f (x )－mx －m 的零点为方程f (x )－mx －m ＝0的根，即为函数y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)图像的交点．而函数y ＝m (x ＋1)的图像恒过定点P (－1，0)，由图易知有两交点的边界有四条，其中k PO ＝0，k P A ＝12，k PB ＝－2，第四条为过P 点的曲线y ＝1x ＋1－3的切线PC .将y ＝m (x ＋1)(m ≠0)代入y ＝1x ＋1－3，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，则由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝4m ＋9＝0，得m ＝－94，即k PC＝－94，所以由图可知满足条件的实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－94，－2∪⎝⎛⎭⎫0，12.15．[2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．15．2 [解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点． 综上可知，函数f (x )的零点的个数是2. 9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解． 当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D. 13．、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．13.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图像可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.4．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 4．A [解析] 因为f (－1)＝21＝2，f (2)＝a ·22＝4a ＝1，所以a ＝14.15．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.15.2 [解析] 令t ＝f (a )，若f (t )＝2，则t 2＋2t ＋2＝2 满足条件，此时t ＝0或t ＝－2，所以f (a )＝0或f (a )＝－2，只有－a 2＝－2满足条件，故a ＝ 2.21．[2014·全国卷] 函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．21．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．(i)若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f (x )在R 上是增函数．(ii)由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根；x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数．若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)． 14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．14．(1，2) [解析] 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x |的图像，如图所示，当y ＝a |x |与y ＝f (x )的图像。

第一章 集合与常用逻辑用语1.【2019高考新课标Ⅰ，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A IA. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2.【2019高考新课标Ⅱ，文1】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A. (–1，+∞) B. (–∞，2) C. (–1，2) D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】由题知，(1,2)A B =-I ，故选C ．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．3.【2019高考新课标Ⅲ，文1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =I （ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】21,x ≤∴Q 11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-I ， 故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4.【2019高考北京卷，文1】已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A. （–1，1） B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A B ⋃=+∞ ， 故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.5.【2019高考天津卷，文1】设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =I UA. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D 【解析】 【分析】先求A C I ，再求()A C B I U 。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则()U AB ⋃=ðA ．{}6,8 B ．{}5,7C ．{}4,6,7D ．{}1,3,5,6,82．若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a +b 与a b -的夹角等于A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π 3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =A ．xxe e-- B ．1()2x xe e -+ C ．1()2xx e e -- D ．1()2x xe e -- 4．将两个顶点在抛物线22(0)y p x p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则 A ．0n = B ．1n = C ．2n = D ．3n ≥5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为A ．18B ．36C ．54D ．726．已知函数()3s i n c o s,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．5|,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭7．设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V ，下列说法中最合适的是A ．V 比V 大约多一半B ．V 比V 大约多两倍半C ．V 比V大约多一倍 D ．V 比V大约多一倍半8．直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升 10．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记22(,),a b a b a b ϕ=+--那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

2019 年高中数学（文科）分类汇编参考答案目录丏题01 集合参考答案 (1)丏题02 常用逻辑用语参考答案 (2)丏题03 函数的基本性质参考答案 (4)丏题04 基本初等函数参考答案 (5)丏题05 函数的模型及应用参考答案 (6)丏题06 三角函数参考答案 (7)丏题07 解三角形参考答案 (17)丏题08 数列参考答案 (20)丏题09 不等式参考答案 (35)丏题10 推理与证明参考答案 (36)丏题11 平面向量参考答案 (37)丏题12 导数及其应用参考答案 (38)丏题13 复数的概念与运算参考答案 (71)丏题14 三视图与直观图参考答案 (72)丏题15 空间位置关系参考答案 (73)丏题16 直线与圆的方程参考答案 (103)丏题17 圆锥曲线与方程参考答案 (104)丏题18 圆锥曲线综合参考答案 (105)丏题19 算法与框图参考答案 (132)丏题20 统计与概率参考答案 (133)丏题21 统计与概率综合参考答案 (134)2019 年高中数学（文科）分类汇编参考答案专题01 集合参考答案丏题01 集合参考答案三、历年真题1 2 3 4 5 6 7A C C A CB D四、专题训练1 2 3 4 5 6 7A C DB D D D8 9 10 11 12 13 14C C A C B C B15 16 17 18 19 20 21C D C B A A C22 23 24 25 26 27 28B A AC C C C29 30 31 32 33C D D 22 {x|﹣2≤x≤3}专题 02 常用逻辑用语参考答案丏题 02常用逻辑用语参考答案三、历年真题8．解： f ( x ) 定义域为 x ∈ R（I ）∵ f (x ) = x 3+ ax 2+ bx + c ，则 f (0) = c ， 又 f '(x ) = 3x 2+ 2ax + b ，k = f '(0) = b ， 故切线方程为 y - f (0) = f '(0)(x - 0)，即 y - c = b (x - 0) ，即 y = bx + c （II ）若a = b = 4 ，则 f (x ) = x 3+ 4x 2+ 4x + c ， f '(x ) = 3x 2+ 8x + 4 ， 令 f '(x ) = 0 ，得3x 2 + 8x + 4 = 0 ，即(3x + 2)( x + 2) = 0 ，得 x =- 2， x = -2 ；当 x ∈ R 变化时， f '(x ) 与 f (x ) 的变化情况如下表所示：132易知，当 x ∈ -∞, -2和- , +∞时， f x 单调递增；3 ⎪ ⎝⎭当 x ∈ ⎛-2, - 2 ⎫时， f ( x ) 单调递减。

【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题1. 已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=()A.{−1,0,1}B.{0,1}C.{−1,1}D.{0,1,2}2. 若z(1+i)=2i，则z=()A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i3. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.1 6B.14C.13D.124. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.85. 函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.56. 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= ()A.16B.8C.4D.27. 已知曲线y=ae x+xlnx在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b，则()A.a=e,b=−1B.a=e,b=1C.a=e−1,b=1D.a=e−1,b=−18. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则()A.BM=EN，且直线BM, EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM, EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM, EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM, EN是异面直线9. 执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于()A.2−124B.2−125C.2−126D.2−12710. 已知F是双曲线C:x24−y25=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|= |OF|，则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.9211. 记不等式组{x+y≥6,2x−y≥0表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9；命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②¬p∨q③p∧¬q④¬p∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④12. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则()A.f(log314)>f(2−32)>f(2−23)B.f(log314)>f(2−23)>f(2−32)C.f(2−32)>f(2−23)>f(log314)D.f(2−23)>f(2−32)>f(log314)二、填空题已知向量a→=(2,2)，b→=(−8,6),则cos<a→,b→>=________.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a3=5,a7=13，则S10=________.设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.三、解答题为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服用甲离子溶液，B组小鼠给服用乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同，经过一段时间后，用某种科学方法测算出残留在小鼠体内的离子百分比，根据试验数据分析得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE= BF=2,∠FBC=60∘,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.(1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积.已知函数f(x)=2x3−ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M−m的取值范围.已知曲线C:y=x22,D为直线y=−12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A,B.(1)证明：直线AB过定点;(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.如图，在极坐标系Ox中，A(2, 0),B(√2, π4),C(√2, 3π4),D(2, π)，弧AB^，BC^,CD^所在圆的圆心分别是(1, 0)，(1, π2)，(1, π)，曲线M1是弧AB^，曲线M2是弧BC^，曲线M3是弧CD^.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1,M2,M3构成，若点P在M上，且|OP|=√3，求P的极坐标.设x,y,z∈R，且x+y+z=1.(1)求(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(2)若(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13成立，证明：a≤−3或a≥−1.参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为B={x|x2≤1}，所以B={x|−1≤x≤1}，又因为A={−1,0,1,2}，所以A∩B={−1,0,1}.故选A.2.【答案】D【考点】复数的运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：由z(1+i)=2i得，z=2i 1+i=2i(1−i) (1+i)(1−i)=1+i.故选D.3.【答案】D【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，两位男同学和两位女同学随机排成一列，共有A44=4×3×2×1=24种方式，两位女同学相邻有2×A33=2×3×2×1=12种方式，所以两位女同学相邻的概率是1224=12,故选D.4.【答案】C【考点】容斥原理古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：分析如图，∴70100=0.7.故选C.5.【答案】B【考点】二倍角的正弦公式函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，f(x)=2sinx−sin2x=2sinx−2sinxcosx=2sinx(1−cosx),令f(x)=0,因为x在区间[0,2π]内，所以当sinx=0时，x可以取0，π，2π,当1−cosx=0时，x取0，2π,综上可得零点有3个.故选B.6.【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：由a5=3a3+4a1以及等比数列的基本性质，得q4−3q2−4=0，解得q2=4，又各项均为正数的等比数列，故q=2.根据S4=a1+a2+a3+a4=15，解得a1=1，故a3=a1q2=4.故选C.7.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，y′=ae x+lnx+1，所以ae+1=2，解得，a=e−1，又2+b=ae,所以b=−1,故选D. 8.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：建立如图所示坐标系，连接BE，BD，设四边形ABCD边长为2，由图可知，B(0,2,0), E(1,0,√3), N(1,1,0), M(32,0,√32)，所以|BM→|=√(32−0)2+(0−2)2+(√32−0)2=√94+4+34=√7，|EN→|=√(1−1)2+(1−0)2+(0−√3)2=√0+1+3=2，∴ EN≠BM，∴BM→=(32,−2,√32),BN→=(1,−1,0),BE→=(1,−2,√3).∵BM→=12BE→+BN→，由平面向量基本定理可知，点B , M , E ，N四点共面，∴BM与EN相交.故选B.9.【答案】C【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：模拟执行程序，可得：x=1,s=0，不满足条件x<ε，执行循环体，x=12,s=1；不满足条件x<ε，执行循环体，x=14,s=1+12；不满足条件x<ε，执行循环体，x=18,s=1+12+14；不满足条件x<ε，执行循环体，x=116,s=1+12+14+18；不满足条件x<ε，执行循环体，x=132,s=1+12+14+18+116；不满足条件x<ε，执行循环体，x=164,s=1+12+14+18+116+132；不满足条件x<ε，执行循环体，x=1128,s=1+12+14+18+116+132+164；满足条件x<ε，退出循环，输出s=1+12+14+18+116+132+164=1×(1−127)1−12=2−12.故选C.10.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，c=3,因为点P在双曲线C上，所以可设P(−√20+4y25, y)，因为|OP|=|OF|，所以(−√20+4y25)2+y2=32，解得，|y|=53，所以△OPF的面积为=12×3×53=52，故选B.11.【答案】A【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可作出可行域D，如图所示，可求得交点坐标为(2, 4),而2x+y≥9经过可行域，故命题p为真命题，而2x+y≤12经过可行域但并不是所有点都满足条件，故命题q为假命题，①p∨q为真命题；¬p为假命题，故②¬p∨q为假命题；¬q为真命题，故③p∧¬q为真命题；④¬p∧¬q为假命题，故为真命题的是①③，故选A.12.【答案】C【考点】指数函数与对数函数的关系偶函数函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由偶函数的性质得，f (log 314)=f (−log 34)=f (log 34),又∵ log 34>1,1>2−23>2−32>0, ∴ log 34>2−23>2−32>0,∵ f(x)在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (2−32)>f (2−23)>f (log 314). 故选C .二、填空题【答案】−√210【考点】平面向量的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得， cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−√210.故答案为：−√210.【答案】100【考点】等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据等差数列的基本性质，由a 3=5,a 7=13，可得a 1=1,d =2, 由S n =na 1+n(n−1)2d,n ∈N ∗,可得S 10=100,故答案为：100.【答案】(3, √15)【考点】椭圆中的平面几何问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，F 1(−4, 0),F 2(4, 0), M 为C 上一点且在第一象限， 所以可设M(t, √180−5t 29)(t >0),又因为△MF 1F 2为等腰三角形， 所以|MF 1|=|F 1F 2|， 所以(t +4)2+180−5t 29=64，解得，t =3或t =−21(舍去), 所以M 的坐标为(3, √15). 故答案为：(3, √15). 【答案】 118.8【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，挖去的四棱锥的底面GHEF 是一个菱形， 面积S =12HF ×GE =12cm 2，所以四棱锥的体积V =13Sℎ=13×12×3=12cm 3，所以该模型的体积为V 剩余=6×6×4−12=132cm 3，又因为原料密度为0.9gcm 3，所以该模型所用原料质量为132×0.9=118.8g . 故答案为：118.8. 三、解答题【答案】解：(1)由已知得：0.70=a +0.20+0.15， 故a =0.35，所以b=1−0.05−0.15−0.70=0.10.故a=0.35,b=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知得：0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35，所以b=1−0.05−0.15−0.70=0.10.故a=0.35,b=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 【答案】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC=sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘,0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).【考点】三角恒等变换综合应用正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinA sinC=sin(120∘−C)sinC=√32tanC +12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘,0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32,因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).【答案】(1)证明：由已知得AD//BE,CG//BE，所以AD//CG，故AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,D四点共面，由已知得AB⊥BE,AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE,又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连结EM,DM,如图所示，因为AB//DE,AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG. 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60∘,得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM,因此DM⊥CG在Rt△DEM中，DE=1,EM=√3，故DM=2,所以四边形ACGD的面积为4.【考点】直线与平面垂直平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知得AD//BE,CG//BE，所以AD//CG，故AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,D四点共面，由已知得AB⊥BE,AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE,又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连结EM,DM,如图所示，因为AB//DE,AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60∘,得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM,因此DM⊥CG，在Rt△DEM中，DE=1,EM=√3，故DM=2,所以四边形ACGD的面积为4.【答案】解：(1)f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)令f′(x)=0,得x=0或x=a3,若a >0，当x ∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f ′(x)>0， 当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减， 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0； 当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,a3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)当0<a <3时，由(1)知，在(0,a3)单调递减，在(a3,1)单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+2， 最大值为f(0)=2或f(1)=4−a ，于是 m =−a 327+2,M ={4−a,0<a <22,2≤a <3，所以M −m ={2−a +a 327,0<a <2a 327,2≤a <3，当0<a <2时，可知2−a +a 327单调递减,所以M −m 的取值范围是(827,2), 当2≤a <3时，a 327单调递增，所以M −m 的取值范围是[827,1), 综上，M −m 的取值范围是[827,2).【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a) 令f ′(x)=0,得x =0或x =a3,若a >0，当x ∈(−∞,0)∪(a 3,+∞)时，f ′(x)>0， 当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减， 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0； 当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,a3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)当0<a <3时，由(1)知，在(0,a3)单调递减，在(a3,1)单调递增， 所以f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+2，最大值为f(0)=2或f(1)=4−a ，于是 m =−a 327+2,M ={4−a,0<a <22,2≤a <3，所以M −m ={2−a +a 327,0<a <2a 327,2≤a <3，当0<a <2时，可知2−a +a 327单调递减,所以M −m 的取值范围是(827,2), 当2≤a <3时，a 327单调递增，所以M −m 的取值范围是[827,1), 综上，M −m 的取值范围是[827,2).【答案】(1)证明：设D(t,−12), A(x 1,y 1),则x 12=2y 1,由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1， 整理得2tx 1−2y 1+1=0，设B(x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0， 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0, 所以直线AB 过定点(0,12).(2)解：由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12, 由{y =tx +12,y =x 22可得x 2−2tx −1=0, 于是x 1+x 2=2t,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1, 设M 为线段AB 的中点，则M(t,t 2+12),由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0,解得t =0或t =±1, 当t =0时，|EM →|=2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4;当t =±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2.【考点】直线恒过定点利用导数研究曲线上某点切线方程 平行向量的性质 点与圆的位置关系 中点坐标公式 斜率的计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：设D(t,−12), A(x 1,y 1),则x 12=2y 1,由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1， 整理得2tx 1−2y 1+1=0，设B(x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0， 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0, 所以直线AB 过定点(0,12).(2)解：由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12, 由{y =tx +12,y =x22可得x 2−2tx −1=0, 于是x 1+x 2=2t,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1, 设M 为线段AB 的中点，则M(t,t 2+12),由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0,解得t =0或t =±1,当t =0时，|EM →|=2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4; 当t =±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2.【答案】解：(1)由题设可得，弧AB^,BC ^,CD ^所在圆的极坐标方程分别为 ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=−2cosθ.所以M 1的极坐标方程为ρ=2cosθ(0≤θ≤π4)， M 2的极坐标方程为ρ=2sinθ(π4≤θ≤3π4)，M 3的极坐标方程为ρ=−2cosθ(3π4≤θ≤π). (2)设P(ρ, θ),由题设及(1)知， 若0≤θ≤π4，则2cosθ=√3，解得θ=π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sinθ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cosθ=√3，解得θ=5π6.综上，P的极坐标为(√3,π6)或(√3, π3)或(√3, 2π3)或(√3, 5π6).【考点】圆的极坐标方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题设可得，弧AB^,BC^,CD^所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=−2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ(0≤θ≤π4)，M2的极坐标方程为ρ=2sinθ(π4≤θ≤3π4)，M3的极坐标方程为ρ=−2cosθ(3π4≤θ≤π).(2)设P(ρ, θ),由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，则2cosθ=√3，解得θ=π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cosθ=√3，解得θ=5π6.综上，P的极坐标为(√3,π6)或(√3, π3)或(√3, 2π3)或(√3, 5π6).【答案】(1)解：由于[(x−1)+(y+1)+(z+1)]2=(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x−1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x −1)]≤3[(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2]故由已知得(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53, y=−13, z=−13时等号成立，所以(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)由于[(x−2)+(y−1)+(z−a)]2=(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2+2[(x−2)(y−1)+(y−1)(z−a)+(z−a)(x −2)]≤3[(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2]故由已知得(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4−a3,y=1−a3,z=2a−23时等号成立，因此(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a≤−3或a≥−1.【考点】一般形式的柯西不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由于[(x−1)+(y+1)+(z+1)]2=(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x−1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x −1)]≤3[(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2]故由已知得(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53, y=−13, z=−13时等号成立，所以(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)由于[(x−2)+(y−1)+(z−a)]2=(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2+2[(x−2)(y−1)+(y−1)(z−a)+(z−a)(x −2)]≤3[(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2]故由已知得(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4−a3,y=1−a3,z=2a−23时等号成立，因此(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a≤−3或a≥−1.。

2019年全国各省高考文科数学试题及答案汇总（七份）全国卷1 ------------------ 2～ 9 全国卷2 ------------------ 10～16 全国卷3 ------------------ 17～26 北京卷 ------------------- 27～36 天津卷 ------------------- 37～46 江苏卷 ------------------- 47～64 浙江卷 ------------------- 65～762019年高考全国卷1文科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz -=+，则z =A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12． 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长 度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．-2B ．-C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编考点11 导数的概念及计算1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C （C 为常数），21,,y x y x y x===的导数. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. • 常见基本初等函数的导数公式：1()0();(),n n C C x nx n -+''==∈N 为常数； (sin )cos ;(cos )sin x x x x ''==-；(e )e ;()ln (0,1)x x x x a a a a a ''==>≠且；11(ln );(log )log e(0,1)a a x x a a x x''==>≠且. • 常用的导数运算法则：法则1：()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.法则2：()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.法则3：2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠.一、导数的概念 1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数. 3．瞬时变化率4．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x f x +x f x yx x∆→∆→∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00()l i mx yf x x ∆→∆'==∆000()()lim x f x +x f x x∆→∆-∆.【注】函数()y f x =在0x x =处的导数是()y f x =在0x x =处的瞬时变化率. 5．导函数的概念如果函数()y f x =在开区间(a ，b )内的每一点都是可导的，则称()f x 在区间(a ，b )内可导．这样，对开区间(a ，b )内的每一个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间(a ，b )内()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数(简称导数)，记为()f x '或y '，即()f x y ''==0()()li mx f x +x f x x∆→∆-∆.二、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0000()()()limx f x +x f x k f x x∆→∆-'==∆.【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0)； （2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y −f (x 1)=f ′ (x 1)(x −x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y −f (x 1)=f ′(x 1)(x −x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 三、导数的计算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.（3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 3．复合函数的导数复合函数y=f (g (x ))的导数和函数y=f (u )，u=g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考向一 导数的计算1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.典例1 求下列函数的导函数：（1）42356y x x x --=+； （2）21y x x=+； （3）2cos y x x =； （4）tan y x =.【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()y f x =在开区间(a ,b )内的导数的基本步骤： ①分析函数()y f x =的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.1．已知函数2()22(1(1))f x x x f f ++'=，则()2f '的值为A ．2-B ．0C ．4-D ．6-考向二 导数的几何意义求曲线y =f (x )的切线方程的类型及方法（1）已知切点P (x 0, y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，通过方程k =f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k =f ′(x 0)求出切点坐标(x 0, y 0)，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．典例2 已知函数2ln y x x =.（1）求这个函数的图象在1x =处的切线方程；（2）若过点()0,0的直线l 与这个函数图象相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）2ln y x x x '=+， 当1x =时，0,1y y '==，∴这个函数的图象在1x =处的切线方程为1y x =-.【规律总结】求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．1．函数在处的导数是A ．0B ．1C ．D ．2．已知函数的导函数是，且，则实数的值为A ．B ．C ．D ．13．设函数的导函数记为，若，则A ．-1B ．C ．1D ．34．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是A ．B ．C ．D ．5．已知过曲线e xy =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是A ．()0,+∞BC ．()1,+∞D ．()2,+∞6．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则A ．B ．C ．D ．7．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：300()2t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率为10ln 2-(太贝克/年)，则(60)M = A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克 D ．150太贝克8．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 A ． B ． C ．D ．9，则(1)f '=__________． 10．已知函数的导函数为，且满足，则_________．11．曲线的切线方程为，则实数的值为_________．12．曲线250xy x y -+-=在点()1,2A 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_________． 13．求下列函数的导数：（1）21cos xy x +=； （2）()3ln xy x x =⋅-.14．已知函数()32f x x bx cx d =+++的图象过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=．（1）求()1f -和()1f '-的值；（2）求函数()f x 的解析式．1．（2018新课标全国Ⅰ文科）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．（2016山东文科）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin x B ．y =ln x C ．y =e xD ．y =x 33．（2016四川文科）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln 01,ln ,1x x x x -<<⎧⎨>⎩，图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞)D ．(1,+ ∞)4．（2018天津文科）已知函数f (x )=e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 5．（2018新课标全国Ⅱ文科）曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．6．（2017天津文科）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．7．（2017北京文科节选）已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；8．（2017山东文科节选）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；9．（2017天津文科节选）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；10．（2017浙江节选）已知函数f (x )=(x e x -(12x ≥)． （Ⅰ）求f (x )的导函数；2．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选C．1．【答案】C【解析】因为，故选C．2．【答案】B【解析】，选B．3．【答案】D【解析】根据题意，得，由，得，化简可得，即，故选D．4．【答案】C【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又因为过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，应选C.5．【答案】C【解析】因为()0e xk f x'==，所以切线方程为()00e xy y x x-=-，即()00e ex xy x x-=-，令0x=得()01e xy x=-，截距小于0时，()01e0xy x=-<，解得1x>，故选C．6．【答案】D【解析】令G （x ）=()exf x ，则G ′（x ）==2x -2，可设G （x ）=x 2+c ，∵G （0）=f （0）=1，∴c =1．∴f （x ）=（x 2+1）ex故选D.8．【答案】C【解析】因为切线，的切点分别为而，所以.因为，所以(.因为，所以，因此，选C ．9．【答案】12.【解析】 1x =，得()()111f f ='-'，解得 10．【答案】【解析】求导得，把代入得，解得．11．【答案】212．【答案】496【解析】由250xy x y -+-=，得()52x y f x x +==+，∴()()232f x x -='+，∴()113f '=-， ∴曲线在点()1,2A 处的切线方程为()1213y x -=--． 令0x =，得73y =；令0y =，得7x =． ∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为17497236S =⨯⨯=． 13．【解析】（1()()()24sin 1cos 2x x x x x --+⋅=3sin 2cos 2x x x x++=-. （2）()()()3ln 3ln xxy x x x x '⋅⋅''=-+-()13ln3ln 31x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-+⋅- ⎪⎝⎭13ln3ln ln31x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.14．【解析】（1）∵()f x 在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=，故点()()1,1f --在切线670x y -+=上，且切线斜率为6，得()11f -=且()16f '-=．（2）∵()f x 过点()0,2P ，∴2d =，∵()32f x x bx cx d =+++，∴2()32f x x bx c '=++，由()16f '-=得326b c -+=，又由()11f -=，得11b c d -+-+=，联立方程得232611d b c b c d =-+==-+-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得332b c d ⎧=-=-=⎪⎨⎪⎩，故()32332f x x x x =--+．1．【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 2．【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值分别为10,e 0,x y y y x'''=>=>=230x ≥，不符合题意，故选A ． 3．【答案】A【解析】设111222(,ln ),(,ln )P x x P x x -(不妨设121,01x x ><<)，则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为1111ln ()y x x x x -=-，切线2l 的方程为2221ln ()y x x x x +=--，即1111ln ()y x x x x -=--.分别令0x =得11(0,1ln ),(0,1ln ).A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121(,ln ).11x x P x x x -+++211122112111,||||1,01211PABA B P PABx x x S y y x S x x +>∴=-⋅=<=∴<<++△△，故选A.4．【答案】e【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．【答案】y =2x –2 【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 6．【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-，切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =，故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．7．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.9．【解析】（II ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以0000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0. 10．【解析】（Ⅰ）因为(1x '=，(e )e x x '--=-，所以()(1(x xf x x --'=-1)2xx -=>．考点12 导数的应用1．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a ,b )内：（1）如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; （2）如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; （3）如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数f (x )在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数f (x )在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值一般地，对于函数y =f (x )，（1）若在点x =a 处有f ′(a )=0，且在点x =a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x=a 为f (x )的极小值点，()f a 叫做函数f (x )的极小值.（2）若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x=b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为： （1）求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一 利用导数研究函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1 已知函数，其中.（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；（2）讨论函数的单调性.（2）由于，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；当时，由得或，①当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，，单调递增；②当时，，单调递增；③当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.典例2 设函数2()e ln x f x a x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+. 【解析】（1）()f x 的定义域为(0+)，¥，2()=2e (0)x af x x x¢->. 当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2=e x y 单调递增，ay x=-单调递增，所以()f x ¢在(0+)，¥上单调递增. 又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，()0f b ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（2）由（1），可设()f x ¢在(0+)，¥上的唯一零点为0x . 当0(0)x x ,Î时，()0f x ¢<;当0(+)x x ，违时，()0f x ¢>. 故()f x 在0(0)x ,上单调递减，在0(+)x ，¥上单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202e=0x a x -，所以02000022()=e ln 2ln 2ln 2xa f x a x ax a a a x a a -=++?（当且仅当0022aax x =，即012x =时，等号成立）.故当0a >时，2()2lnf x a a a?.1（1）当1a =时，求()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在[]1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.考向二 利用导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． （2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 已知函数21()e 2xf x ax x =-+． （1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1e a <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．（2）由（1）知()f 'x 在[1,)+∞上单调递增， 因为1e a <-，所以()e 110f 'a =-+<，所以存在(1,)t ∈+∞，使得()0f 't =，即e 0t t a -+=，即e t a t =-， 所以函数()f x 在[1,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当[1,)x ∈+∞时222min 111()()e e (e )e (1)222t t t t f f t at t t t t t x t ==-+=-+-=-+，令21()e (1)2x h x x x =-+，1x >，则()(1e )0x h'x x =-<恒成立，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以211()e(11)122h x <-+⨯=， 所以211e (1)22tt t -+<，即当[1,)x ∈+∞时min 1()2x f <， 故函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12． 典例4 已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则.，则，①；，则，②.由②得，由①得.将，代入得，∴，.（2）由，得，即在上恒成立，令，则，其中在上恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减，则，∴.故的取值范围是.2．已知函数()1 lnf x a x xx=+-，其中a为实常数.（1）若12x=是()f x的极大值点，求()f x的极小值；（2）若不等式1lna xb xx-≤-对任意52a-≤≤，122x≤≤恒成立，求的最小值.考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴的交点的横坐标为函数的极值点.典例 5 设函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ），若函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是【答案】D【解析】2()e ()e e [(2)]x x x y f x f x ax a b x b c ''=+=++++，因为函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，所以1x =-是2(2)0ax a b x b c ++++=的一个根，整理可得c a =，所以2()f x ax bx a =++，对称轴对于A,由图可得0,(0)0,(1)0a f f >>-=，适合题意； 对于B,由图可得0,(0)0,(1)0a f f <<-=，适合题意；对于C, 对于D, D.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数A ．有极大值，没有最大值B ．没有极大值，没有最大值C ．有极大值，有最大值D ．没有极大值，有最大值考向四生活中的优化问题1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值. 2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．典例 6 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线CP PQ-，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路CP的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线CP PQ-的修建总成本最低？请说明理由.【解析】（1）由题意，，所以π3CPθ=-，又，所以观光专线的总长度为，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以， 当时，；当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．1．已知函数()()2e e ln exf x f x '=-（e 是自然对数的底数），则()f x 的极大值为 A ．2e-1 B ．C ．1D ．2ln22．已知函数，则的单调递减区间为A ．B ．C ．和D ．和3．函数在闭区间上的最大值，最小值分别是A ．B ．C ．D ．4．设定义在上的函数的导函数满足，则 A ．B ．C ．D ．5．若函数在上有最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．6．已知函数()22,2e 2,2x x xx f x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数有两个零点，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．①当x ＝时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．8．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________． 9．定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为__________.(其中为自然对数的底数)10．用一张16cm 10cm ⨯的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的最大容积是_________3cm .11．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值.12．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD BOC θ∠=.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()fθ，求()f θ的表达式；（2）当cos θ为何值时，能符合园林局的要求？13．设函数.（1）讨论函数的单调性； （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.14．设.（1）在上单调，求的取值范围； （2）已知在处取得极小值，求的取值范围.15．已知函数．（1）若曲线的切线经过点，求的方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．1．（2016四川文科）已知a 为函数()3–12f x x x =的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．22．（2017浙江）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是3．（2016新课标全国Ⅰ文科）若函数1()sin2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--4．（2017浙江）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）． （1）求f (x )的导函数；。

【12份】高考数学（文）试题分类汇编目录不等式 (1)程序框图 (5)导数及其应用 (9)复数、推理 (21)函数 (23)集合与常用逻辑用语 (28)解+析几何 (30)立体几何 (44)平面向量 (59)三角函数 (61)数列 (68)统计与概率 (76)高考数学文试题分类汇编不等式一、选择题1、（2016年山东高考）若变量x，y满足2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C2、（2016年浙江高考）若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）【答案】B3、（2016年浙江高考）已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若4log>1b，则（）A.(1)(1)0a b--< B. (1)()0a a b-->C. (1)()0b b a--< D. (1)()0b b a-->【答案】D二、填空题1、（2016年北京高考）函数()(2)1xf x xx=≥-的最大值为_________.【答案】22、（2016江苏省高考）已知实数x，y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x2+y2的取值范围是▲ .【答案】4[,13]53、（2016年上海高考）设x∈R，则不等式31x-<的解集为_______.【答案】)4,2(4、（2016上海高考）若,x y满足0,0,1,xyy x≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y-的最大值为_______.【答案】2-5、（2016全国I卷高考）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。

高考数学试题分类汇编及答案解析（22 个专题）目录专题一集合 (1)专题二函数 (2)专题三三角函数 (7)专题四解三角形 (10)专题五平面向量 (12)专题六数列 (14)专题七不等式 (18)专题八复数 (21)专题九导数及其应用 (23)专题十算法初步 (27)专题十一常用逻辑用语 (31)专题十二推理与证明 (32)专题十三概率统计 (33)专题十四空间向量、空间几何体、立体几何 (43)专题十五点、线、面的位置关系 (53)专题十六平面几何初步 (54)专题十七圆锥曲线与方程 (56)专题十八计数原理 (62)专题十九几何证明选讲 (63)专题二十不等式选讲 (65)专题二十一矩阵与变换 (66)专题二十二坐标系与参数方程 (66)专题一集合1.（ 15 年北京文科）若集合x 5 x 2，x 3 x3，则I（）A．x 3 x 2B． x 5 x 2C．x 3 x 3D． x 5 x 32.(15年广东理科 )若集合 M = { x |( x + 4)( x +1) = 0} ， N = { x | ( x - 4)( x - 1) = 0} ，则 M I N = A．B．1, 4C．0D．1,43.(15年广东文科 )若集合1,1 ，2,1,0，则I（）A．0, 1B．0C．1D．1,14.（ 15年广东文科）若集合p, q, r , s 0p s4,0 q s4,0r s 4且 p, q, r ,s，F t,u, v, w0t u4,0v w 4且 t ,u,v, w，用 card表示集合中的元素个数，则card card F（）A．50B．100C．150D．2005.（ 15年安徽文科）设全集U1，2，3，4，，56 ， A1，2 ， B2，3，4 ，则 A I C U B( )（ A）1，2，5，6（B ）1（ C）2（ D）1，2，3，46.（ 15年福建文科）若集合M x 2 x 2 ， N0,1,2 ，则 M I N 等于（）A．0B．1C．0,1,2D0,17.(15年新课标 1 文科 )1、已知集合A{ x x3n2,n N}, B{6,8,10,12,14} ，则集合 A I B 中的元素个数为 ()（ A） 5（ B） 4（C） 3（ D） 28.(15年新课标 2 理科 )已知集合 A= ｛ -2， -1,0， 1,2｝， B=｛ x|（ X-1 ）（ x+2 ）＜ 0｝ ,则 A∩ B=（）（ A ）｛ --1,0｝（B）｛ 0,1｝（C）｛ -1,0,1｝（ D）｛ ,0,，1， 2｝9.(15年新课标 2 文科 )已知集合 A x | 1x 2, B x |0x 3 ,则 A U B（）A ．1,3B ．1,0C．0,2D．2,310.(15年陕西理科 ) 设集合M { x | x2x}， N{ x |lg x 0} ，则M U N（）A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D ．(,1]11.(15陕西文科 ) 集合M{ x | x2x} ， N{ x | lg x 0} ，则M U N（）A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D ．(,1]12.(15年天津理科 ) 已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合 A 2,3,5,6，集合 B1,3,4,6,7 ，则集合A I e U B（A）2,5（ B ）3,6（ C）2,5,6（ D）2,3,5,6,813.(15年天津理科) 已知全集U = {1,2,3,4,5,6},集合A = {2,3,5},集合B = {1,3, 4,6},则集合A I（e U B）=（）(A) {3}(B){2,5}(C){1,4,6}(D){2,3,5}14.(15年浙江理科 ) 1.已知集合 P{ x x22x0} ， Q{ x 1x2} ，则(e R P) I Q（）A. [0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]15.(15年山东理科 ) 已知集合 A= { x | x24x30}, B{ x | 2x4} ，则 A I B(A)(1,3)(B)(1 ，4)(C)(2 ， 3)(D)(2 ， 4)16.(15年江苏 ) 已知集合A1,2,3， B2,4,5，则集合 A B 中元素的个数为_______.专题二函数1. （ 15 年北京理科）如图，函数 f x的图象为折线ACB，则不等式f x ≥ log 2 x 1 的解集是A． x | 1 x ≤ 0B． x | 1 ≤ x ≤ 1 C． x | 1 x≤ 1D． x | 1 x≤ 2y2CAOBx -122.（ 15 年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，消耗10 升汽油D．某城市机动车最高限速 80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油3.（ 15 年北京理科）设函数 f x2x a ?x 1?x 2a ? x ≥ 1.4 x a①若 a1，则 f x的最小值为；②若 f x恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是．4.（ 15 年北京文科）下列函数中为偶函数的是（）A．y x2sin x B． y x2 cosx C． y ln x D． y 2 x3 ，15.(15 年北京文科 ) 232， log2 5三个数中最大数的是．6.（ 15 年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．y x e x B．y x1C．y 2x1D．y1 x2x2x7.（ 15 年广东理科）设a1，函数 f ( x)(1 x2 )e x a 。